Black-Scholes公式的推导 - 对冲方法

B-S 模型假设：

1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相同的回报，均为无风险利率r ；

2、市场上没有交易费用；

3、市场的交易可以连续进行；

4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）；

5、证券在期权存续期内无红利发放；

6、资产价格服从几何布朗运动模型：t t t t dS S dt S dW μσ=+

其中，W 是标准布朗运动，μ是证券的期望增长率，σ是证券的波动率。

对冲方法：构造一个由一个期权和数量为t -∆的标的资产（股票）组成的无风险投资组合，下面将由此组合的无风险性推出t ∆的值。

设这个投资组合在t 时刻的价值为(,)t t t t C t S S ∏=-∆⋅，其中，(,)t C t S 是一份欧式期权的价值，它是t 和t S 的函数。当时间变化一个dt 时间单位时，该投资

组合价值的变化为

(,)t t t t d d C t S d

S ∏=-∆⋅ 由B-S 模型的假设资产价格服从几何布朗运动模型：t t t t dS S dt S dW μσ=+ （*）

由ˆIto

引理，有 2222(,)(,)(,)(,)1(,)2t t t t t t t t t t t t C t S C t S C t S C t S dC t S S dW S S dt S S S t σμσ⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

（**） 将（*）和（**）代入(,)t t t t d dC t S dS ∏=-∆⋅整理后得：

整理后得：

2222(,)(,)(,)(,)12t t t t t t t t t t t t t t t C t S C t S C t S C t S d S dW S S S dt S S S t σμσμ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∏=-∆+++-∆ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

由于该组合是无风险的，故其收益率为r ，有t t

d rdt ∏=∏，即t t d r dt ∏=∏，又由于(,)t t t t C t S S ∏=-∆⋅，故((,))t t t t d r C t S S dt ∏=-∆⋅，即有：

2222(,)(,)(,)(,)12((,))t t t t t t t t t t t t t t t t t t t C t S C t S C t S C t S d S dW S S S dt S S S t d r C t S S dt σμσμ⎧⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∏=-∆+++-∆⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎨⎝⎭⎝⎭⎪∏=-∆⋅⎩得2222(,)(,)(,)1(,)2

t t t t t t t t t t C t S S C t S C t S S r S rC t S S t σ∂⎧∆=⎪∂⎪⎨∂∂⎪++∆=⎪∂∂⎩ 得到(,)C t S 满足的偏微分方程：

221(,)(,)(,)(,)02

t ss s C t S S C t S rSC t S rC t S σ++-= 这被称为Black-Scholes 偏微分方程。

注：ˆIto

引理是随机分析中的链法则。 ˆIto

过程是有如下形式的过程： 00()(0)()()t t

u X t S u dW u du =+∆+Θ⎰⎰. 或者可以写成微分形式：t dW t dt t t dX )()()(∆+Θ=.

令t X 为ˆIto

过程， (,)f t x 为实值函数且偏导数(,)t f t x ，(,)x f t x 及(,)xx f t x 均有定义且连续， 则1(,)(,)(,)(,)2t t t x t t xx t t t df t X f t X dt f t X dX f t X dX dX =++

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