Black-Scholes公式的推导及其求解 -复制方法

后利用 Poisson 公式求出 Black-Scholes 偏微分方程的解。
首先作如下换元： τ= T − t ，由此变换公式，推得 ∂C = ∂C ⋅ ∂τ = − ∂C ，这 ∂t ∂τ ∂t ∂τ
样原偏微分方程就变为：
−
∂C ∂τ
+
rS
∂C ∂S
+
1σ 2
2S 2
∂2C ∂S 2
−
rC
∞
( r− 1σ 2 )T +σ
(
−∞
S0e
2
Tz − K)+ ⋅
1
− 1 z2
e 2 dz
2π
∫ S e − K ) ⋅ = e ( −rT ∞ 1 (ln K −( r− 1σ 2 )T )
( r− 1σ 2 )T +σ T z 2
0
σ π S0
2
1
− 1 z2
e 2 dz
2π
= J1 − J2
则
g
(t,
x)
满足偏微分方程
gt
(t,
x)
+
α
(t,
x)
gx
(t,
x)
+
1 2
β
2
(t,
x) g xx
(t,
x)
= 0 .而终点条
件为 g(T , x) = h(x) 。
~
由于 St 在风险中性测度 Q 下的动态为 dSt = rSt dt + Stσd W t ，令
g(t, S ) = e−rtC(t, S ) = EQ (e−rT C(t, S ) Ft )
−
(ξ
−
(
v
+σ
2u
))2 −2 2σ 2u
vσ
2u
−σ
4u
2
−
(
v−ξ )2 2σ 2u
2 v ln K
这就是 Black-Scholes 偏微分方程的解。
令v
=
ln
ST
，
z
=
v −ξ σu
，于是有：
= V (u, v)
1 +∞
v+σ 2u−z2
∫ e ln K −v−σ 2u
2π σ u
2 dz −
)
+
1 Bt
dSt
+
dSt
⋅d( 1 Bt
)
,
于是有 d ( St Bt
) =(µ
− r)
St Bt
dt
+σ
St Bt
dWt
即 d (= St Bt ) σ ⋅ St Bt
µ−r σ
dt
+ dWt
，令
µ− σ
r
=θ,
W~t
= θt
+ Wt , ，
从而 d ( St
)
=
St
~
σd W t
Bt Bt
∫ 由 Girsanon 定理，令 Q( A) =
和抽出）
考虑一个自融资投资组合过程 Zt，我们记 Yt 为投资于股票的资金总量,剩下
的资金总量 Zt −Yt 投资于无风险债券,由于 Zt 是自融资投资组合，故其动态为：
dZt = r (Zt − Yt) dt + dYt = r (Zt − Yt) dt + μYtdt + σYtdWt = [rZt + (μ − r) Yt] dt + σYtdWt. （1）
B-S 模型假设： 1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相 同的回报，均为无风险利率 r ； 2、市场上没有交易费用； 3、市场的交易可以连续进行； 4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的 证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）； 5、证券在期权存续期内无红利发放； 6、资产价格服从几何布朗运动模型：= dSt µStdt + σ StdWt
其中，W 是标准布朗运动， µ 是证券的期望增长率，σ 是证券的波动率。
复制方法：卖期权的机构拿到期权金 C0 后,需要把这个资金拿去投资，构造 一个自融资投资组合把期权的收益完全复制出来以规避风险，而这一点在一个完
备市场中是可以做到的。那么这个自融资投资组合在任何时刻的价值就是期权在
该时刻的价值。（自融资投资组合：在整个投资期间,没有中间过程资金的注入
e S −rT ∞ −d1 0
( r− 1σ 2 )T +σ T z 2
1
− 1 z2
e 2 dz
2π
∫ = e S e ⋅ −rT ∞ −d1 0
rT − 1 ( z−σ T )2 2
1 dz ， 2π
令u = z−σ
T , d2 = d1 +σ
T = 1 (ln S0 + (r + 1 σ 2 )T ) ，
2
)T
+σW~T
− K)+)，
令W~T = T Z, Z ~ N (0,1)
( r− 1σ 2 )T +σ
S0e 2
TZ
> K ⇒ (r − 1 σ 2 )T + σ 2
T Z > ln K S0
⇒ Z > 1 (ln K − (r − 1 σ 2 )T ) ，
σ T S0
2
∫ ⇒ V0 = e−rT
σT K
2
∫ J1 = e−rT
∞
rT − 1 u2
S −d2 0 e 2 ⋅
1 du ， 2π
∫ = S0
d2 −∞
−1u2
e2 ⋅
1 2π du = S0 N (d2 ) ，
所以，V0 = S0 N (d 2 ) - e−rT KN (d1 ) 。
注 1：Girsanov 定理：令Wt (0 ≤ t ≤ T ) 为概率空间 (Ω, F, P) 上的布朗运动。设
∂C ∂τ
+
(r
−
σ2 2
)
∂C ∂s
+
1 2
σ
2
∂2C ∂s2
−
rC
=0

C(0, ln S= T ) (ST − K )+
（2）；
这是一个常系数抛物型方程。现在设 v =s + (r − σ 2 )τ ， u = τ 于是有
2
∂C = ∂C ⋅ ∂u + ∂C ⋅ ∂v = ∂C + ∂C (r − σ 2 ) ； ∂τ ∂u ∂τ ∂v ∂τ ∂u ∂v 2
记Zt = C (t, St)，由 Itoˆ 引理得，
dC(t, St=)
σ St
∂C(t, St ) ∂St
dWt
+

µ St
∂C(t, St ) ∂St
+
1σ 2
2 St 2
∂2C(t, St ) ∂St 2
+
∂C(t, St ) ∂t
dt
，（2）
比较（1）和（2）得，
Yt
=
令 d1
=
− σ
1 Twenku.baidu.com
(ln
K S0
−
(r
−
1σ 2
2 )T ) = σ
1 T
(ln
S0 K
+
(r
−
1σ 2
2 )T ) ，
∫ ∫ J 2 = e−rT
∞
K⋅
−d1
1
− 1 z2
e 2 dz
=
e −rT
K d1 ⋅
2π
−∞
1 2π
− 1 z2
e 2 dz =
e−rT KN (d1 ) ，
∫ J = e ⋅ 1
K +∞
− z2
∫ 2π
e ln K −ln ST 2 dz
σu
v+σ 2 u
= e 2 N (d1) − KN (d2 ) ；
其中 d1
=
v
− ln K σ
+σ u
2u
， d2
=
v − ln K σu
， u=
T −t ，v=
ln x + (r − σ 2 )(T − t) ； 2
最后我们得到期权的价格的解析表达式：
∂C = ∂C ⋅ ∂u + ∂C ⋅ ∂v = ∂C ； ∂s ∂u ∂s ∂v ∂s ∂v
= ∂∂2sC2
∂= (∂C ) ∂s ∂v
∂2C ；
∂v2
代回到方程（2），有
∂C ∂u
−
1σ 2
2
∂2C ∂v2
+
rC
= 0
C(0, ln S= T ) (ST − K )+
最后我们令V (u, v) = ervC(u, v) ，于是有
St ∂C ，rZt ∂S
+
(μ − r)
Yt
= µSt
∂C ∂S
+
1σ 2
2
S
2 t
∂2C ∂S 2
+ ∂C ， ∂t
于是得到： Ct (t, S) +
1 2
σ
2
S
2Css
(t,
S
)
+
rS
Cs (t, S) − rC(t, S) = 0 。
求解 Black-Scholes 偏微分方程：
要进行多次变化，将 Black-Scholes 偏微分方程变为热传导方程的形式，然
12、Girsanov 定理：令 Wt (0 ≤ t ≤ T ) 为概率空间 (Ω, F, P) 上的布朗运动，
∂g ∂S
=
e−rtCS (t, S ) ；
∂2g ∂S 2
=
e−rtCSS (t, S )
.
代入方程
∂g ∂t
+ rS
∂g ∂S
+
1σ 2S2 2
∂2g ∂S 2
= 0 ，有
Ct (t, S) + rS
CS (t, S) +
1 2
σ
2
S
2CSS
(t
,
S
)
−
rC
(t,
S
)
= 0 ，
这正是 Black-Scholes 方程。
Ft (0 ≤ t ≤ T ) 为相应的域流，并设θ (t)(0 ≤ t ≤ T ) ，是与此相适应的过程。对 0 ≤ t ≤ T
∫ ∫ ∫ ~
定义：Wt =
t
θ (u)du
0
+ Wt ,
Zt
= ex p−
t
0 θ (u)dWu
−
1 2
t
θ
2
(u)du

；
0

∫ 并定义一个新的测度，对任意 A∈ F ，定义 P ( A) = A ZT dP ；则在新测度下 P 下，
v
∂V 的函数满足的这个方程
∂u
=
1σ2 2
∂2V ∂v2
，在数学物理中这个方程被
称为热传导方程，因此，利用一维热传导方程的 Poisson 公式得：
= V (u, v)
∫ 1
+∞ (eξ
− (v−ξ )2
− K )+e 2σ 2u dξ
2σ 2π v −∞
= σ
π ∫ ξ 1
(e − Ke )d ； +∞
T −t K
2
风险中性定价方法：风险中性定价原理表达了资本市场中的这样的一个结论： 即在市场不存在任何套利可能性的条件下，金融衍生证券的价格与投资者的风险 态度无关的。
在理想的风险中性世界中，首先，投资者并不要求任何的风险补偿，所以基 础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率 r ；其次，正由于不存在 任何的风险补偿，市场的贴现率也恰好等于无风险利率 r ，所以基础证券或衍生 证券的经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险 中性定价过程是鞅（Martingle），所以现值的风险中性定价方法又称为等价鞅方 法（Martingale Pricing Technique）。
C(t, x) = e−ruV (u, v)
= e−r (T −t)V
(T
−
ln x+(r −σ 2
t,e
2
)(T −t )
)
=
xN
~ (d1
)
-
e
−
r
(T
−t
)
KN
(
~ d2
)
；
其中 d~1 = = σ
1 (ln x + (r + 1 σ 2 )(T − t)) ，
T −t K
2
~ d2
=
σ
1 (ln x + (r − 1 σ 2 )(T − t)) 。
由 Feynman-Kac 定理知 g(t, S) 满足：
∂g ∂t
+
rS
∂g ∂S
+
1σ 2S2 2
∂2g ∂S 2
= 0 ,而 g(t, S) = e−rtC(t, S)
，

g(T , ST ) = e−rT CT
故
∂g ∂t
= −re−rtC(t, S ) + e−rtCt (t, S ) ；
~
过程Wt (0 ≤ t ≤ T ) 仍是布朗运动。
注 2：Feynman-Kac 定理：考虑随机微分方程 dXu =α (u, Xu )du + β (u, Xu )dWu .
设 h( y) 是 Borel 可测函数。固定T > 0 并给定 t ∈[0,T ] 。定义函数
g(t, x) = Et,xh( XT ) ，
St
=
St Bt
~
σd W t
⇒ dSt
~
= rStdt + Stσd W t ，
其解为：
St
=
S e S 0
(
r
−
1σ 2
2
)
t
+σW~t
，故
T
= S e(
r
−
1σ 2
2
)T
+σW~T
0
于是可以求出V0 。
V0 = e−rT Eˆ ((ST − K )+ ) =
e −rT
Eˆ
((
S
0
e
(
r
−
1σ 2
= 0

C(0, S= T ) (ST − K )+
（1）；
接下来设 s = ln S ，这样
∂C =∂C ⋅ ∂s =1 ⋅ ∂C ; ∂S ∂s ∂S S ∂S
∂2C ∂S 2
=∂ ∂S
(1 S
⋅ ∂C ) ∂S
=− S12
⋅ ∂C ∂s
+
1 S2
⋅
∂2C ∂s2
将它们代入方程（1），有
−
故Vt = E~(e−r(T −t) (ST − K )+ |Ft)
= e−r(T −t) Eˆ ((ST − K )+ |Ft)，
设在客观测度P下， St 的动态为：= dSt µStdt + σ StdWt ， 0 ≤ t ≤ T ,
由
Itoˆ
公式可得:
d ( St Bt
1 ) = Std ( Bt
∂C = −re−ruV (u, v) + e−ru ∂V ；
∂u
∂u
（3）；
∂C = e−ru ∂V ；
∂v
∂v
∂2C ∂v2
=
e − ru
∂2V ∂v2
；
将它们代回到方程（3），有

∂V ∂u
=
1σ2 2
∂ 2V ∂v2
V (0, ln S= T ) (ST − K )+
V
作为
u
和
A ZT d
P,其中 ZT
= e ∫ ∫ ，在新测度 −
T 0
µ−r σ
dWt
−
1 2
T ( µ −r )2 dt 0σ
Q 下， W~t 是鞅，
St 在新测度 Q 下也是鞅。 Bt
于是 St 在等价鞅测度 Q 下的动态为：
d( St ) = Bt
St Bt
~
σd W t
⇒ dSt
⋅1 Bt
−
rdt Bt