最新13高阶导数与高阶偏导数汇总

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13高阶导数与高阶偏导数
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三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般地 ,函数 f(x)的 n1阶导数的导数称为
函数 f(x)的 n 阶导数 ,记作
f(n)(x), y(n), d dx ny n或 dn dfx(nx).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地 , f ( x ) 称为零阶导数 ; f ( x ) 称为一阶导数 .
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例1 已知函数 y (x 3 7 x 8 )2(3 0 x 7 )30 求y(90)和y(91).
解由于函数 y (x 3 7 x 8 )2(3 0 x 7 )30
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问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 5 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
展开后的最高次幂项为
所以
330x32 030330x90
y(90) 330 90!,
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y(91) 0 .
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一、高阶偏导数的定义
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fyy(x,y)
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例8 yaxlnx ，求 y(n ) (a0， a1).
x2 (x2
y2 y2 )2
.
所以
2u x 2
2u y2
y2x2 (x2y2)2
(xx22yy22)2
0.
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二、求高阶导数与高阶偏导数
1.直接法: 根据定义逐步求高阶(偏)导数.
例6 设 y a r c t a n x ,求 f ( 0 ) ,f ( 0 ) .
2u abeaxsinby, xy
2u abeaxsinby. yx
问题：混合偏导数都相等吗？
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x3y 例 4 设f(x,y)x2y2 (x,y)(0,0)
0
(x,y)(0,0)
求f(x,y)的二阶混合偏导数.
解当 (x,y)(0,0)时 ,
原函数图形
偏导函数图形
偏导
导二函阶
函
数混
数图
图合形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.
解 uaeaxcobsy, x x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobsy,
纯偏导
y x zx2zyfx(yx,y) ,x y zy2 zxfyx (x,y)
混合偏导
定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例 2 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
fx(x,y)3x2y(x(2x 2 y2y )2 )2 2xx3yx32x2yy2(x22x4yy2)2,
x3
2x3y2
fy(x,y)x2y2(x2y2)2,
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当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
解设 u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y(20) (e2x)(20)x220(e2x)(19)(x2) 20(201)(e2x)(18)(x2)0 2!
220e2x x2 20219e2x 2x 2019218e2x 2 2!
2 2 0 e2 x (x 2 2 0 x 9 5 ).
.
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2 z 6xy2, x 2
3z x 3
6y2,
2
y
z
2
2x318x;y
2z
2z
x y 6x2y9y21, y x 6x2y9y21.
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v 2!
n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n) k!
n
C u v k (nk) (k) n k0
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莱布尼兹公式
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例7 设 yx2e2x,求 y(20).
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
lim
y0
0 y
0,
fx(y 0,0) ly i0m fx(0, y ) yfx(0,0) 0,
fy(x 0 ,0 ) lx i0m fy( x ,0 )x fy(0 ,0 )1.
显然 fx y (0 ,0 ) fy x (0 ,0 ).
斯方程
2u x2
2u y2
0.
解因为 lnx2y21ln (x2y2), 2
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因此 u x x x2 y2 ,
u y
x2
y
y2
,
x2u2 (x2(x2y2)y2x)22x
y2 (x2
x2 y2 )2
,
2u (x2y2)y2y y2 (x2y2)2
解
y
1
1 x2
y
1
( 1
x2
)
2x (1 x2 )2
y ((12xx2)2)
2(3x2 1) (1 x2 )3
f(0)(1 2xx2)2 x0 0;
f(0)2((13xx22)13)
2.
x0
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2. 高阶导数的运算法则: 设函数 u 和 v 具有 n 阶导数 ,则 (1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )