对尺规作图不能问题的再探求

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发挥直观想象，发展推理意识——小学尺规作图教学的思考与实践

发挥直观想象，发展推理意识——小学尺规作图教学的思考与实践摘要：数学领域的研究过程离不开工具的辅助和应用。

尺规作图源于古希腊,是研究数学几何的一种尤为重要的方法,小学阶段的学生没有太强的逻辑思维能力,在学习数学知识时难以在没有外部工具辅助的情况下通过想象构建具体的图形与模型。

在此阶段采用尺规作图法,既可以帮助小学生更加直观地感受和理解课本知识,也可以在锻炼小学生的实际动手操作能力时促进小学生逻辑思维的形成,为他们日后的数学学习奠定基础。

关键词：小学数学；尺规作图；教学策略；引言：根据规定的《义务教育数学课程标准(2022年版)》,几何直观意旨使用图形来处理题目。

正确使用几何直观能够助力学生理解数学,尤其是抽象数学,并可以通过简化复杂的数学问题来帮助提高学生解决问题的能力。

在教学实践中,通常很难将几何直观和几何思维结合起来。

几何直观侧重于视觉化,几何思维侧重于严格的逻辑。

在很多教师眼里,"尺规作图"往往被看作是实际练习和操作的工具,而轻视了作图中的几何思维。

一、小学数学教学引入尺规作图的价值（一）培养学生的动手操作能力动手操作是数学学习过程中必不可少的环节,数学课程中所有已知的公式和定理都是通过历史上许多数学家反复实验和验证后才被整理和总结出来的。

小学生的年龄小,思维能力处在培养和发展的阶段。

呈现在教材上的知识点大都语言简练,虽然便于学生记忆,但在理解上通常会存在一些困难,往往需要通过更加直观的观察和实际的动手操作展开思考[1]。

（二）尺规作图能够培养学生分析问题的习惯采用尺规作图的方法,要求学生在分析问题时既促使学生有一定的几何直观,还培养学生解决问题的思维模式,如对解答某一问题时,正确理解每一个步骤是很重要的。

比如几何图形的概念、分树形相关关系的推导等,应用尺规作图能够有效解决问题,培养学生的分析思考问题的习惯以及解决复杂问题的水平,也可以增强学生的创新思维能力。

二、小学数学教学中尺规作图的教学策略（一）将问题的提出和解决融入实际教学过程小学生在学习过程中最大的问题就是缺乏主动性,需要教师在课前提出指导、课时抛出问题、课后解决问题,让学生能够跟着老师的思路开展思考和归纳总结。

尺规作图不能问题略谈

正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做; 正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的尺规作图方法.确实，有的困难一些，有的容易一些. 人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来.这个悬案一直悬而未决两千余年.
正五边形作法： 1）作OA的中点M。 2）以M点为圆心，M1为半径作弧，交水平直径于K点。 3）以1K为边长，将圆周五等分，即可作出圆内接正五边形
为什么没有正七边形的尺规作图呢？
尺规作图不能问题
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。这其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：三等分角问题：三等分一个任意角；倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
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二、熟练掌握尺规作图题的规范语言用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；
或延长××交××于点×；
用圆规作图的几何语言：
①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×
1900年左右，Hermes花费十年的功夫用尺规作图作出正65537 边形，他的手稿装满一大皮箱，可以说是最复杂的尺规作图。
约翰· 卡尔· 弗里德里希· 高斯（C.F.Gauss，1777年4 月30日－1855年2月23日），男，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯是一对贫穷夫妇的唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有 “数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。高斯在历史上影响巨大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。

高中生能听懂的有关“三大几何作图难题”的探讨

惊惶的雅典人，向太阳神阿波罗祈祷消除灾难。太阳神指示：
果设原来香案的棱长为1，新香案的棱长就必须是2的立方根。
非尺规作图“倍立方体”
柏拉图先画了两条互相垂直相交于O点的直线m和l，在l 上截取线段OC＝1；在m上截取线段OD＝2。再把两个木匠用的角尺，像下图那样放在上面，使两把角尺的直角点A、B，分别在两条直线上，并且另外两条臂分别通过C、D两点(如图)：
O R A R V B 3R 3R 底面半径：R
1 AVB AOB 3
母线：3R
A
B
非尺规作图“三等分角” B O
O
A
B A
4 x 3 3 x a（ , a为已知数）
没有有理根
三大几何问题（3）：倍立方体
作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍
非尺规作图“倍立方体”
环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅
笔，用铅笔拉紧线，并保持线
在拉紧状态，然后在纸上画出
由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。
阿基米德的非尺规作图“化圆为方”
阿基米德螺线化圆为方
达芬奇的非尺规作图“化圆为方”
达芬奇式化圆为方
意大利著名艺术大师达芬奇利用巧妙方法来解决化圆为方.
“化圆为方”的本质
（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
3.尺规作图的五种基本图形
（1）作一个角等于已知角（2）平分已知角
（3）作已知直线的垂直平分线
（4）作一条线段等于已知线段（5）过一点作已知直线的垂线
4.三大几何问题
（1）化圆为方
求作一正方形，使其面积等于一已知圆
（2）三等分角
分任意角为三等分
（3）倍立方体

尺规作图不能问题

尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。

这其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：■三等分角问题：三等分一个任意角；■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

在2400年前的古希腊已提出这些问题，直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。

1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。

【尺规作图不能问题的另类做法】[编辑本段]■总述人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.■关于三等分一任意角问题★作法一尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法二帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法，对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法三帕普斯(Pappus，约公元320年)方法，对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB 并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA★作法四玫瑰线方法：交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA■关于立方倍积问题★作法一柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边.★作法二门纳马斯(Menaechmus，约公元前375—325年)方法：从a∶x=x∶y=y∶2a可得y2=2ax，x2=ay.所以，在直角坐标平面上画出上述两个二次方程所对应的两条抛物线(图16).这两条抛物线交于O、A两点，那么点A在x轴上的投影到原点的距离，就是所求的立方体的棱长.★作法三阿波罗尼(Apollonius de Perge，约公元前260—200年)方法：作一矩形ABCD，这里AB=a、AD=2a.以此矩形对角线交点G为圆心，以适当长度为半径作圆，与AB、AD之延长线分别交于E、F，使E、C、F三点共线，则AB∶DF=DF∶BE=BE∶AD，线段DF之长即为所求立方体的棱长.■化圆为方问题★作法：对于已知圆O，作出它在第一象限的圆积线①l.连结这一圆积线的两个端点B、F，过点B引BF的垂线BG，交x轴于G.在OA上取一点H，使HA=1/2GO.以H为圆心，HG 为半径画弧，交y轴于点K.则以OK为一边的正方形，即为所求作的与圆O等积的正方形．【尺规作图不能问题的积极意义】[编辑本段]我们可以看出，几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.【尺规作图不能问题的相关趣事】[编辑本段]阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者,在天文学中,他曾因解释日,月食的成因而闻名遐迩,并且认识到月球自身并不发光.正是他出色的研究成果给他带来了不幸, 在他大约50岁的时候,横祸从天而降,蒙受了冤狱之苦.灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头.由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵,而这位学者却无视宗教的权威,说太阳是一块石头,因而被投入监狱.尽管被囚禁的时间并不太长,可是,在被囚禁的日子里冤屈,苦闷,无聊实在让人度日如年.在阴暗,潮湿的牢房里,阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭,每天只有不长时间,阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内.每当阳光进入囚室,在墙壁上撒下一片光亮时,总会引起作为学者的他的种种联想.有一天,他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时,他那习惯于思索的头脑突发奇想:能不能(仅用直尺和圆规)作一个正方形,使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢就这样,一道世界名题——"化圆为方"问题诞生了,它与"立方倍积"问题,"三等分任意角"问题一起被后人称作古希腊几何作图三大难题. 阿纳克萨戈勒斯想到化圆为方问题之后非常兴奋,因为他身边没有书籍,没有笔,很难研究别的问题,而这个问题却不同,只要用草棍在地上画就行了,草棍在牢房里有的是.他在进入高墙之前做梦也没有想到,在他最痛苦的时候,是数学排除了他的几分烦恼.不过,他一生也未能解决他提出的这个问题。

新课程标准下的尺规作图问题

新课程标准下的尺规作图问题
尺规作图：精准指引、准确反映绘图要求
2018新课程标准对尺规作图问题提出了新的要求，以赋予学生更全面的技术能力。

以下是有关尺规作图问题的新课程标准的重要内容：
1. 加强绘图工具的运用：学习者应考虑和学习使用市场上各种绘图工具，如微软office中的专业绘图应用，矢量绘图软件等，以满足对绘图的需求。

2. 会从图示中识别特征：学习者应学习识别和分析图表中的变化，从而了解各个图形间特征与差别。

3. 加强基本绘图技能：学习者应以满分方式学习把已给定的数据展示成图形，并学习正确地标注横轴、纵轴，以及学习各图形的绘制方法和绘制原则。

4. 注意图形陈述：学习者应学习向阅卷老师有效传达所基礎的数据以及绘制图形的原因，以便教师审阅更了解学习者学习过程中所做的总
结和推理。

最后，学习者应掌握以上新课程标准中关于尺规作图的要求，努力提
升自己的绘图技能，以满足尺规作图纲要的要求。

此外，学习者应当
注意自己的绘图工具、分析数据变化的能力以及对图表信息的传达等，这些都是学习尺规作图时必不可少的要素。

发挥直观想象,发展推理意识——尺规作图教学的思考与实践

据悉，正在修订的义务教育数学课程标准将在小学阶段增加尺规作图的内容，这引发了小学数学教育工作者的广泛关注与思考。

尺规作图具体指什么？尺规作图的教育价值是什么？此前，尺规作图都是在中学学习的，小学生通常到六年级才开始在课堂上使用圆规，如果放到小学阶段学习，如何整体设计这部分内容，从而发挥其教育价值呢？带着这些问题，我们开展了系列研究。

理意识。

所谓尺规作图，是指用无刻度的直尺和圆规进行作图。

尺规作图有助于发展学生的想象力和推理意识。

例如，在研究怎样的三条线段能围成一个三角形的时候，通常做法是事先给定一些小棒让学生操作。

这样操作，不仅由于小棒的粗细会出现误差，学生也往往不能深入思考能否围成的原因。

如果给定三条线段，鼓励学生尝试用尺规作图，看看能否作出一个三角形，学生可以先作出与某条给定线段等长的线段，再分别以这条线段的两个端点为圆心，以给定的另外两条线段的长度为半径画弧。

当两条线段的长度之和小于第三条线段时，两条圆弧没有交点，无法构成三角形（如图1）；当两条线段的长度之和等于第三条线段时，两条圆弧的交点在某条线段上或某条线段的延长线上，只能得到重合的线段，也无法构成三角形（如图2）；而只有当两条线段的长度之和大于第三条线段时，两条圆弧才有交点，分别连接先固定的那条边的端点和其中一个交点，就能够构成三角形（如图3）。

图1图2图3通过这样的操作，学生能初步体会到三角形两边之和大于第三边，更为重要的是，在这个过程中，想象力和推理意识伴随始终，正如课堂上学生提到的“其实就是固定一条边和两个顶点，然后想象两条弧能不能恰好交会得到第三个顶点”。

总之，在尺规作图中，需要想象和思考如何作，如何用简洁的语言将作图过程表达出来，这恰恰是想象力和推理意识的集中体现。

尺规作图，需要构思、需要推理、需要表达，的确是发展学生的想象力和推理意识的好载体。

2.尺规作图能大大激发学生的兴趣和创造◇刘鹏张丹宋云凤发挥直观想象——尺规作图教学的思考与实践发展推理意识性。

尺规作图教学反思（精选13篇）

尺规作图教学反思尺规作图教学反思（精选13篇）在社会一步步向前发展的今天，课堂教学是我们的工作之一，反思自己，必须要让自己抽身出来看事件或者场景，看一段历程当中的自己。

我们该怎么去写反思呢？以下是小编为大家整理的尺规作图教学反思，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

尺规作图教学反思篇1接到学校的通知，让我星期四到涨水坪中学上一节七年级数学，内容题《用尺规作线段》，我把内容看了一遍，写出了相对比较普通的教案，内容少、任务不多，我便假想如果完成得太快，超过我想象的速度。

我得准备好剩余的时间，怎么样打发，于是精心挑选了几道有代表性的试题，我又一次阅读了教材，真是书读百遍，其意自现，我发现尺规作图对七年级的同学比较陌生，有必要讲清它的历史和意图，有利于激发同学们的兴趣，基于这样的原因，我第二次把我的教案进行修改，我结合自己在以前教学中的经验和不足，虽然学生的情况不太了解，但我进行了很多情况的假设，包括课堂上可能出现的各种偶然因素，自己应该能够很好的驾驭，闭上眼睛。

在自己的大脑中像放电影一样，播放自己的教案，我对我的教学设计还感觉比较满意，当我走上讲台，询问同学们有没有信心学好这节课，同学们异口同声地说：“有”。

正如我想象中的一样，一切进展顺利，当我讲到尺规作图历史，一个个同学听得津津有味，我还敢肯定，许多听课的老师也不一定知道，新课开始了，我用一支粉笔让同学们说出我们目前测量方法从而引进新课，当我让同学们分组讨论，交流做一做，连接四个点从同学画的图发现有许多同学连接成的是一个圆，而教师用书的答案是正方形，出现圆这种情况，我确实没有考虑到，怎样给同学们讲课，画成圆也是一种连接，只不过是三年级的内容，目前没有学，经过反复思考，我给这个问题进行了点评，给同学们的答案的给予肯定，同学们完成的挺快。

接下来，我请同学起来讲一下自己的画法，山里的孩子胆量不够，我就鼓励他们要勇于表明自己的观点，来提高我们各方面的能力，终于有同学举手了，我对他进行了表扬，鼓励同学们给他一点掌声，气氛变得活跃了，我又请了几位同学说出他们的做法，他们有点紧张，我自己一边给他们提示，一边给他们补充，在这一环节上用时多了一点，导致我精心设计的让同学们画“风车”的任务未能完成，下课的时间到了，我有点遗憾，最精彩的部分没有机会展现，这节课的重点是作图以及用语言表达自己的做法，我多用一点时间巩固和加强同学们的表达能力应该是值得的，正所谓残缺的美，静心沉思，我想一篇教学后反思，将会促进我的教学更新，解决课堂教学环境的创设，应变能力、相比过去有所加强，更主要的是教学行为背后的思想，观念在不断的反思中获取进步。

剖析尺规作图,探讨破题启示

剖析尺规作图，探讨破题启示符学建[摘要]尺规作图是初中数学较为重要的内容，中考对尺规作图的考查涉及多种形式，有直接考查作图设计的，也有依托尺规作图考查几何问题的，而理解根本的几何原理，了解作图的根本过程，能够从中提炼出几何性质是突破考题的关键.文章探析了中考尺规作图题的根本类型，并展开相应的学习思考.[关键词]尺规作图;几何;设计;思考启示尺规作图指的是，在仅使用圆规和无刻度直尺的情况下进行相应的作图操作.尺规作图，不仅可以归纳一些性质和定理，还可以锻炼学生的实践操作能力.近几年，中考常将尺规作图融入考题，用以考查学生的几何知识和实践分析能力，下面笔者将对尺规作图题进行探析【1】.类型探究，破题评析1.尺规作图与几何计算例1〔2021年淮安中考〕如图1所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧的交点分别为P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，那么CD的长是______.分析上述呈现了垂直平分线的作图过程，即PQ为线段AB的垂直平分线.要求线段CD的长，需要充分利用垂直平分线的性质.连接AD后，由垂直平分线的性质可得AD=BD.假设设AD=x，那么CD=BC-DB=5-x.在Rt△ACD 中由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，从而可构建关于x的方程，解方程后即可求得CD的长.解答连接AD，如图2，因为PQ为线段AB的垂直平分线，所以AD=DB.设AD=x，那么CD=BC-DB=5-x.在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2=32+〔5-x〕2，解得x=，所以CD=.评析此题将尺规作图与线段求值相结合，考查学生垂直平分线的性质和勾股定理等知识.考题在设计上摒弃了传统的几何特征表达的方式，采用的方式是作图过程描述，解题的关键是理解垂直平分线的作图方法猜想例2〔2021年深圳中考节选〕此题，首先需要理解新定义，并从中提炼满足定义的条件，即菱形的一个角与三角形融合，且对角顶点在三角形上;然后分析尺规作图的过程，提取其中的几何信息.具体证明思路可以是，先证明四边形ACDB为菱形，再结合定义条件证明其为△FEC的亲密菱形.证明上述呈现的是角平分线的尺规作圖过程，即CB 为△ACD的平分线，于是有△ACB=△DCB，AC=CD.因为AB△CD，所以△ABC=△DCB.所以△ACB=△ABC.所以CD=AC=AB.所以四边形ACDB为菱形.因为△ACD与△CFE中的△FCE重合，且对角顶点B在EF边上，所以四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.评析此题将尺规作图与新定义题的证明进行有机结合，用作图过程替换了其中的几何条件，在增强应用性的根底上考查了学生的演绎推理能力.解答问题时需注意两点：一是提取作图过程中形成的几何性质;二是严格按照几何证明的逻辑进行推理，由探未知，用推理证猜想方案设计例3〔2021年天门中考〕图4和图5都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点.点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成以下画图.〔1〕在图4中画出△MON的平分线OP;〔2〕在图5中画一个Rt△ABC，使点C在格点上.分析第〔1〕问要求在网格中作出△MON的平分线，考虑到全等三角形的对应角相等，于是可以作出共顶点O和P的两个全等的三角形，如△MOP△△NOP，在网格中可以利用单元菱形的性质来确定等长.第〔2〕问是作Rt△ABC，条件有两个：一是有直角，二是点C在格点上.由于单元图形为菱形，而菱形的两条对角线互相垂直，于是可以借助其特性，通过连线、作平行线的方式来实现.解答〔1〕具体作图如图6，确保△MOP与△NOP全等即可.〔2〕因为点B为单元菱形的一个顶点，所以可以连接该单元菱形的对角线，分别命名为EF和BC，连接AC即可，此时AC△EF，而EF△BC，所以BC△AC.所以△ABC是以△ACB=90°的直角三角形，如图7.评析上述考题要求在网格内作图，属于尺规作图的方案设计题.解决尺规设计题需要把握两点：一是设计的原理，即根据几何定理和性质确定方案;二是按照特定的程序和顺序开展设计，即在绘图时基于原理以一定的顺序进行连线.因此，以尺规作图为载体的方案设计题是对学生几何理解和数学探究能力的综合考查，可见培养实践技能对于该类问题的解答十分重要.4.尺规作图与实际应用例4〔2021年济宁中考〕在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛面积的方法，现有以下工具〔如图8〕：①卷尺;②直棒EF;③T形尺〔CD所在的直线垂直平分线段AB〕.[卷尺][B][D][C][E][A][F][直棒][T形尺][图8]〔1〕在图9中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图〔保存画图痕迹，不写画法〕;〔2〕如图10，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可以求出环形花坛的面积.如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积.[图10][O][E][F][M][N]分析上述为应用尺规作图求解实际问题的案例.第〔1〕问利用T形尺找圆心，首先需要理解T形尺的两条边的关系，即长边是短边的垂直平分线.如果将T形尺放入圆内任意位置，那么由其性质可知T形尺的长边必过圆心，于是可以利用两线交点确定一点来到达找圆心的目的.第〔2〕问同样是尺规作图的生活化实践，首先需要结合圆环的求解公式分析所需的线段参数，然后构建模型.解答〔1〕将T形尺的短边沿圆内壁任意位置摆放，记长边为CD，然后换个位置再记长边为C′D′，那么CD与C′D′的交点就是圆心O，如图11所示.〔2〕如图12所示，过圆心O作MN的垂线，垂足为点Q，连接OM.由于MN为内圆的切线，所以S=π·OM2-π·OQ2=π·〔OM2-OQ2〕.结合Rt△MOQ中的勾股定理可得OM2-OQ2=MQ2，于是S=π·MQ2.又MQ=MN=5m，所以S环形=25πm2.评析此题通过探究的方式将尺规作图融入生活实际问题中，用实物量具取代数学尺规工具，可以充分考查学生对数学的理解与应用.同时，这种生活化的作图气氛也是对“知识源于生活，又效劳于生活〞理念的表达.求解时，需要充分利用所学思考问题解决的措施，并结合具体的几何定理来构建问题分析模型.作图思考，学习启示1.强化几何原理尺规作图虽然属于实践操作类问题，但操作的过程是基于对应的几何原理，因此本质上尺规作图是知识与操作综合应用的过程.理解几何的根本性质和定理是进行尺规作图的前提，依据科学理论进行操作才是有意义的【2】.尺规作图最为常用的几何原理有角平分线性质、垂直平分线性质和三角形全等定理等，对于上述内容的学习，不仅需要理解具体的含义，还需要掌握具体的应用过程，能够使用对应的性质、定理进行问题的分析，具体学习时可以多关注教材的实践活动，拓展应用视野.2.理解数学语言一类尺规作图题常以文字表达的形式来呈现作图过程，要求结合作图过程解决相应的问题，如上述考题关于角平分线和垂直平分线的作图问题，其中最为显著的特点是呈现过程，隐含性质，因此理解过程、准确地提取性质是解决问题的关键.教材中对相关作图操作进行描述时使用的是对应的数学语言，即综合符号、字母和文字，因此学习时特别需要注重数学语言与几何作图的对应轉化.如学习角平分线的性质时，不仅要掌握角平分线的作图过程和性质，还需要理解作图语言【3】.掌握数学语言的定理描述，实现几何的标准化操作，是提升尺规作图能力的必要条件.3.提升数学思维数学的解题过程是多种思维活动的过程，作图时需要掌握对应的方法流程和几何原理，所以解决尺规作图题时，需要结合相应的知识进行推理，包括合情推理和演绎推理.尤其是对于较为复杂的作图题，需要进行严格的分析和论证，必要时还需要结合对应的思想方法方法为指引，以根本知识为依托，进行数学思维的推理活动，这才是科学的尺规作图.因此，提升尺规作图能力时，首先要提升数学思维能力，促进自身综合素养的开展.参考文献：【1】冒劼.明晰尺规功能，让明理与得法同行[J].中学数学，2021〔02〕：19-21.【2】仇恒光.尺规作图教学的策略探究[J].中学数学教学参考，2021〔11〕：61-63.【3】杨春霞.简约中蕴新意多途径显深度[J].中学数学教学参考，2021〔25〕：33-35.。

阅读材料由尺规作图产生的三大难题

华东师大2011版八年级上册第十三章全等三角形阅读材料由尺规作图产生的三大难题湖北省宜昌市英杰学校袁璐大家好！我今天说课的内容是华东师大2011版八年级上册，第十三章全等三角形，阅读材料——由尺规作图产生的三大难题。

下面，我从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学模式、教具准备、教学过程和板书设计八个方面来说这节课。

一、教材分析尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容。

它能够培养学生更加强烈的图形意识,能够更加深入的培养初中生的画图能力,能够给于学生更加强大的空间感。

所以，尺规作图知识虽然篇幅简短，但不可忽略其作用。

在学习尺规作图后，对尺规作图不能问题进行一个简单的探究，对数学历史进行一个简要的介绍，让学生体会到尺规作图的简单美和精确美，从而感受数学独有的文化魅力。

二、学情分析经过本章前一课时的学习，学生已经了解了尺规作图的基本要求，掌握了尺规作图的5种基本作图，能有选择地使用作图工具，完成需要的图形。

学生对尺规作图的接受度较高，对尺规作图的便利性有了较深的体会。

但对尺规作图的研究历史缺乏，对尺规作图还存在片面的认识。

因此，要通过本节课的学习，力争达到以下教学目标。

三、教学目标1、通过阅读材料，了解尺规作图三大难题的具体内容，了解数学发展的历史，渗透数学文化教育，激发学生对数学的热爱；2、在已有的尺规作图经验下，引导学生独立思考、合作交流，通过三等分任意角问题，引导学生发现并初步探究尺规作图不能问题；3、传播数学文化，提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的永不放弃、不停探索的科学精神。

根据以上教学目标和学生已有的认知基础，我确定了本节课的教学重点，教学难点，及如何突出重点，突破难点。

四、教学重难点：教学重点：尺规作图的基本要求，认识由尺规作图产生的三大难题。

教学难点：提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的探索精神。

几何三大问题为尺规作图不能问题的证明

1.立方倍积问题假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有x3=2a3.令a＝1，则上述方程取更简单的形式x3-2=0.根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题.2.三等分任意角问题对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线.以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出.令OD=x，则有4x3-3x-cosθ＝0.如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之.8x3-6x-1=0.以2x=y代入此方程，可得较简单的形式y3-3y-1=0.根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题.当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程4x3-3x-cosθ=0就变为4x3-3x=0.解之，得(见图6).注意，当cosθ取值为无理数时，如θ=30°、45°等，则我们所用的定理2就不再适用了.3.化圆为方问题假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有x2=πr2.令r=1，即得不可作.但π是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即π不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题.4.正七边形和正九边形的作图问题正多边形的作图，亦即等分圆周问题，自古以来就一直吸引着人们.古希腊时期，人们已会运用尺规作出3，4，5，6.10，15边数的正多边形，但是企图作正七边形或正九边形却终归失败.现在来证明正七边形和正九边形都属尺规作图不能问题.(图8).∵7θ=2π，∴3θ=2π-4θ，∴ cos3θ=cos(2π－4θ)＝cos4θ.根据三角恒等式，有cos3θ=4cos3θ-3cosθ，cos4θ=8cos4θ-8cos2θ＋1，所以4cos3θ-3cosθ=8cos4θ-8cos2θ＋1.即8cos4θ-4cos3θ-8cos2θ＋3cosθ＋1=x4-x3-4x2+3x＋2=0.分解因式，得(x-2)(x3+x2-2x-1)=0.x3+x2-2x-1=0.由试验，知±1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题.的作图，而θ=40°角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20°角，将导致三等分60°角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题.由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n×7和2n×9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题.对于尺规作图不能问题，除了直接应用本书第14页的定理来判断外，通常还有两种间接判断方法：1°有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是.2°有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图不能问题时，不妨相机证明它的特例不能作图，特例既经证实，一般情形的不能作图便不言而喻了(但特例可行则不等于这问题可作).例如解决三等分角问题时所采用的方法即是.。

浅谈尺规作图

浅谈尺规作图第一篇：浅谈尺规作图浅谈尺规作图所属县：广西百色市凌云县单位：广西百色市凌云县凌云中学姓名：唐奕清内容提要：尺规作图，具有悠久的历史渊源、丰富的教学意义和现实内涵。

但由于各种原因，尺规作图的教学存在着许多不利因素。

我们需正视困难和问题，寻找解决问题的途径，提高尺规作图的教学质量。

关键词：尺规作图教学意义教学困难提高途径尺规作图，是指有限次使用无刻度的直尺和圆规来解决不同的几何作图问题。

尺规作图有着悠久的历史，古希腊人最早提出了尺规作图。

后经希腊数学家欧几里德在《几何原本》一书中以理论形式加以明确，并被人们一直所遵守，进而流传至今。

在我国，关于尺规作图的教学一直有着优良的教学传统。

根据张景中院士的回忆，在1978年举行的全国中学生数学竞赛中，数学家苏步青就曾写信向主持命题工作的数学大师华罗庚建议，出一道有关尺规作图的题目作为考试试题。

[1]这种重视尺规作图的意识，进一步在《全日制九年义务教育数学课程标准》中得到了体现。

《标准》中明确要求学生能完成一些基本的尺规作图，并能根据一些基本作图探索一些问题；对于尺规作图的过程，要求能写出已知、求作和作法。

尺规作图不仅有悠久的历史渊源，也拥有着丰富的教学意义和现实内涵。

首先，尺规作图能够丰富教学情境，培养学生的实践能力。

众所周知，尺规作图是一种由学生实际执行的操作，具有不可替代的直观性，十分符合让学生自己动手解决问题的教学理念。

在实际教学中，尺规作图是一种情境的创设，即要求在某种条件下，由学生自己动手解决问题。

学生能作出一张符合要求的图形，是一种具有挑战性的创造活动，能够激发学生的创造性。

因此，在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图理应得到足够的重视.[2] 其次，尺规作图能培养学生严谨的学习习惯、严密的逻辑思维和空间想象能力。

尺规作图的一般步骤如下：①要求学生画出草图，假设图形已作出；②根据图形分析画法；③利用尺规严格操作并写出作法；④若要求证明，就给出证明；否则就写出结论。

尺规作图教学重在“探索方法”

尺规作图教学重在)探索方法*钱德春"$于婷婷%#":江苏省泰州市教育局教研室$%%!&##'%:江苏省泰州市第二中学附属初级中学$%%!&##%摘!要!教学要求的变化和学生能力的不足都表明$尺规作图教学重在引导学生探索作图方法&为此$需要细化尺规作图的教学过程!面对作图问题#任务%$引导学生执果索因$感悟解题思路'引导学生追根溯源$寻找作图方法'引导学生变式作图$强化思路与方法'引导学生多维感悟$把握尺规作图的本质&关键词!尺规作图'作图方法'探索!!尺规作图是有限次地使用无刻度的直尺和圆规作图的活动$是初中数学教学的重要内容&本文基于课标对尺规作图教学要求的变化和一道中考尺规作图题的考查$给出尺规作图教学的几点建议&一"教学要求的变化!从)了解作图方法*到)探索作图方法*-全日制义务教育数学课程标准#实验稿%.对尺规作图内容教学的一般要求是)了解尺规作图的步骤$对于尺规作图题$会写已知"求作和作法#不要求证明%*&-义务教育数学课程标准#%#""年版%.对尺规作图内容教学的一般要求是)了解作图的道理$保留作图的痕迹$不要求写出作法*&据了解$即将颁布的新版义务教育数学课程标准对尺规作图内容教学的一般要求是)经历尺规作图的过程$增强动手能力$能够想象出通过尺规作图的操作形成的图形$理解尺规作图的基本原理与方法$发展空间观念和空间想象力*&从了解作图方法#步骤%$到理解作图道理#原理%$再到探索#发现%作图方法#步骤%$课标对尺规作图内容教学的要求越来越高!一般来说$探索结论比证明结论难度大$证明结论比了解结论难度大&究其原因$可能是$仅仅将尺规作图作为技能$单纯记住作图方法的价值已经不大了$因为借助更先进的工具#包括电脑作图软件等%$作图可以变得更加容易'而通过探索发All Rights Reserved.现作图方法#同时可以理解作图道理%的过程$是执果索因#先想象出通过尺规作图的操作形成的图形%$利用几何知识解决几何问题的过程$可以更好地培养学生的探索性思维#包括直觉思维"发散思维"联想思维等%和直观想象能力"逻辑推理能力&此外$新版课标不再有)不要求写出作法*的表述$可能是因为关注到写出作法可以培养学生的数学语言表达能力$以及图形"文字与符号语言转换能力&二"学生探索作图方法的能力不足从一道中考题说起%#%"年泰州市中考卷中有一道限制工具使用次数的尺规作图题!#"%如图"$8为#%的中点$直线9""9%分别经过点8"%$且9"-9%&以点8为圆心"8#长为半径画弧$交直线9%于点:$连接#:&求证!直线9"垂直平分#:&#%%如图%$平面内直线9"-9%-9&-96$且相邻两直线间距离相等$点1";分别在直线9""96上$连接1;&用圆规和无刻度的直尺在直线96上求作一点2$使线段12最短&#两种工具分别只限使用一次$并保留作图痕迹&%图(!!图)本题第#%%问是尺规作图题$第#"%问是第#%%问的铺垫$意在让学生发现#想起%!以线段的中点为圆心"线段长的一半为半径作弧#圆%$弧#圆%上一点对线段的张角为(#C$即由弧#圆%上一点可以得到以线段为斜边的直角三角形&有了第#"%问的铺垫$第#%%问的解决并不太难!显然$由于点1确定$直线96确定$要在直线96上确定一点2$使线段12最短$只要12.直线96即可&受第#"%问的启发$可先确定1;的中点$再以该中点为圆心"1;长的一半为半径作弧$与直线96相交得到点2&但是$由于题目条件规定直尺和圆规)分别只限使用一次*$因此$无法确定1;的中点&这时$可以结合题中平行线的条件$转换思路!通过12垂直于其他直线$得到12.直线96&显然$图中确定了1;与直线9%"9&的交点$可分别设为点<"=$则<为1=的中点&由此$可以点<为圆心"1<长为半径作弧$与直线9&相交得到点>$延长1>$与直线96相交得到点2&这样$就有1>.直线9&$12.直线96&但是$本题第#%%问的考试结果不太理想!得分率仅为#$%(=&其原因主要有两个!一是学生对)分别只限使用一次*的作图要求不知道如何处理'二是学生机械套用第#"%问的结论$只考虑作1;的中点$没有想到将)12.直线96*转化&这在一定程度上反映了在-义务教育数学课程标准#%#""年版%.没有明确提出)探索作图方法*要求的背景下$教师对尺规作图内容教学#以及教材对尺规作图内容编写%的定位及策略不够清晰与合理!通常直接呈现作图方法$有时追问作图道理$没有很好地引导学生探索发现作图方法$没有解决作图方法)从哪儿来*)是怎么想到的*的问题$使学生)一知半解*$只会)机械模仿*$尤其是遇到有一定思维含量的作图问题时不会展开探索&三"尺规作图教学的几点建议教学要求的变化和学生能力的不足都表郑艳$石树伟:初中尺规作图教学谈555从一道限定工具作图题说起1;2:教育研究与评论#中学教育教学%$%#%"#6%!!#!&&All Rights Reserved.明$尺规作图教学重在引导学生探索作图方法&为此$我们认为$需要细化尺规作图的教学$使之成为一个循序渐进的过程&作图方法本质上是由作图问题#任务%引发的知识$下面主要以上述作图问题为例$说明如何细化尺规作图的教学过程&#一%引导学生执果索因$感悟解题思路解决尺规作图问题的基本思路是)倒过来想*$即假设图形已经作出$再根据想象的图形分析需要满足什么条件$什么条件是可以通过直尺和圆规的作图得到的&教学中$教师要多问学生)我要什么图形*)已经有什么条件*)还需要什么*)怎么得到*&例如$上述作图问题的教学中$教师要引导学生思考!要使线段12最短$需要什么条件(并让学生逐步认识到$这是探索作图方法的出发点$执果索因是探索作图方法的基本思路&#二%引导学生追根溯源$寻找作图方法数学问题千变万化$却不离其宗&尺规作图教学中$学生明确)从作图结果出发$执果索因*后$教师要善于引导学生追根溯源获得灵感$寻找作图方法&一是从基础知识中寻找灵感&解决尺规作图问题的基础是几何知识$教师要引导学生从基础几何知识出发获得灵感&例如$解决上述作图问题的关键是如何得到垂直或直角&教学中$可以启发学生回忆与垂直或直角有关的知识$如)一条直线垂直于平行线中的一条$必然垂直于另一条*)等腰三角形底边上的中线就是底边上的高*)一边上的中线等于这边长一半的三角形是直角三角形*)圆中直径或半圆所对的圆周角是直角*等&得到这些有关垂直或直角的定理#结论%$就为解决上述作图问题提供了灵感&二是从基本问题#已有问题%中寻找灵感&除了联想基础几何知识$加强对基本几何问题与图形的识别与联想$也有利于打开思路获得灵感$让学生自然生成作图方法&例如$上述作图问题的图形及结论在苏科版初中教学教材中有&处原型!一是八年级上册-%$!等腰三角形的轴对称性.的例%!)如图&$/>#:是0#%:的外角$#2平分/>#:$#2-%:&求证!#% ,#:&*图*二是九年级上册-%$%圆的轴对称性.习题的第6题!)如图6$#%":2是18的直径$弦:>-#%$<:>,6#C$求/#8:的度数&*图+三是九年级上册-%$6圆周角.练习的第%题!)如图!$#%":2是18的直径$弦:>-#%$<%2,<%>吗(为什么(*图"由这些问题$学生也有可能想到上述作图问题的作图方法&#三%引导学生变式作图$强化思路与方法变式教学是指通过问题的)形变神不变*和)神变形不变*$在内化基本思路与方法的同时$培养学生的聚合思维与发散思维能力&得All Rights Reserved.到作图方法后#当然$需要有序表达方法"证明检验方法$但这基本上可以与探索过程同步进行%$教师要充分利用作图问题的发展价值$适度开展尺规作图的变式教学#如将问题纵向变式$向纵深发展'或将问题横向变式$与其他领域的知识结合%$从而让学生对解题思路的理解和对作图方法的认识得到升华&例如$对上述作图问题可以作如下变式!变式(!如图$$平面内直线9"-9%-9&-96$且相邻两直线间距离之比为"Q%Q&$点1";分别在直线9""96上$连接1;&用圆规和无刻度的直尺在直线96上求作一点2$使线段12最短&#两种工具分别只限使用一次$并保留作图痕迹&%图#这是一种纵向变式$将原来)相邻两直线间距离相等*的条件适度一般化$需要学生将适度一般化的情形向原来的特殊情形转化#这里给的数据比较特殊$"5%,&$因此$其中一个分点就是1;的中点%$可以帮助学生充分体会解决尺规作图问题乃至一般数学问题时极其重要的转化与化归思想&变式)!如图-$平面内直线9"-9%-9&-96$且相邻两直线间距离相等$点1在直线9"上$点<";分别在直线96上$分别连接1<"1;&用圆规和无刻度的直尺在1;上求作一点2$使线段<2平分01<;的面积&#两种工具分别只限使用一次$并保留作图痕迹&%图$这是一种横向变式$将原题与三角形的面积相联系&如何处理)线段<2平分01<;的面积*(先要认识到2为1;的中点$然后需要从中心对称的角度思考!)平行*加)相等*可得平行四边形$因此$可以根据平行四边形的对角线互相平分来作图&此外$这里的变式还可以体现在作图工具的进一步开放与限制上$比如$不限制作图工具或限制作图工具的使用次数和种类$完成同样的作图$从而让学生进一步领悟如何展开探索&#四%引导学生多维感悟$把握尺规作图的本质启发学生感悟数学本质"掌握通性通法是数学教学的最高境界&尺规作图教学要让学生感悟作图方法的本质是)交轨*&尺规作图所作图形无论多么复杂$都离不开关键点位置的确定$而点的位置是由线与线相交得到的$这些线的本质是满足特定条件的点的轨迹&初中阶段的轨迹主要是直线与圆弧&教学中$)交轨法*的名称不必提出$但要通过具体案例引导学生初步感知)交轨法*的意义&尺规作图教学要让学生感悟作图问题之间的联系性和一致性&比如$作线段的垂直平分线"过一点作已知直线的垂线"作已知角的平分线$这&种作图问题的本质都是构造轴对称图形&尺规作图教学还要让学生感悟直观"操作与推理的相互依存关系&作图之前要先假设图形已经作出$由此寻找作图方法$那么$作出的图形是什么样子的$这就需要直观想象&知道了作图方法$如何准确地作出图形$这就需要动手操作&图形作出之后$要弄清为什么这样作"这样作对不对$这说明尺规作图是建立在逻辑推理基础上的&All Rights Reserved.。

尺规作图不能问题

尺规作图不能问题尺规作图三大难题历经2000多年，早已得到解决，即它们都是尺规作图不能问题。

但我们经常收到一些同学的来信,声称他们能用尺规三等分一个角.下面附一段有关小资料，如各位有兴趣，可以查阅更多资料。

在爱琴海上有个小岛，叫提洛岛。

传说，很久以前，鼠疫袭击提洛岛，一个预言者说已经得到神的谕示，必须将立方体的阿波罗祭坛加倍，瘟疫方能停息。

一个工匠简单地将祭坛的各边加倍，体积变为原来的8倍，这并不符合神的意旨，因此瘟疫更加加猖獗。

作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。

这就是古希腊几何作图的三大难题之一——倍立方问题。

另外两个难题是：化圆为方问题——作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积；三等分任意角问题——任意给一个角，作一个角，使它等于已知角的三分之一。

当然，“神的谕示”仅仅只是一个传说。

实际上，这三个问题是古希腊人在解出了一些作图题之后所作的一种引伸。

例如，因为任意角可以二等分，于是就想会想到任意角能不能三等分；因为容易作出一个正方形，它的面积是给定正方形面积的二倍，因此就想到倍立方的问题。

从表面上看，这三个问题都很简单，似乎应该可用尺规作图来完成，因此两千多年来曾经有许许多多数学家为此花费了大量的时间和精力。

虽然有些人不时声称自己获得了成功，但后来发现，他们不是用了错误的方法，就是违背了尺规作图的限制。

当然，某些特殊角还是可以用尺规进行三等分的，如90°角和45°角。

一般地，180/2n (n是正整数)的角都可以用尺规三等分。

1837年旺策尔(P.L.Wantzel，1814—1848)首次证明了三等分任意角和立方倍积这两个问题不能用尺规作图来完成，1882年，林德曼(C.L.F.von Lindemann，1852—1939)证明了化圆为方也是尺规作图不能问题。

1895年克莱因(F.Klein，1849—1925)在总结前人研究成果的基础上，给出了几何三大问题不可能用尺规完成的简单而明晰的证法，从而使两千多年没有解决的疑难问题告一段落。

尺规作图问题新探

【关键词】尺规作图；作图本质；几何作图三大难题
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．其中的直尺必须没有任何刻度，可以任意延长，且只能用它画直线；圆规可以开合任意宽度，但上面仍不能有刻度．由于尺规的限制，人们研究作图的过程中产生了著名的“几何作图三大难题 ”，经过两千多年的研究才得以解决，成为数学史上闪耀的篇章．
作出长为－”ｙ－的线段了．
０
设ＤＥ＝ＣＥ＝１，过Ｅ任作直线ｚ，取ｚ上一点曰，使ＢＥ：６，过８，Ｇ，Ｄ三点作圆０（利用基本作图结果 ④ ）交ｆ于Ａ
１
点，由ＩＡＥＩ×Ｉ８ＥＩ＝ｌｃＥｌ×ｌＤＥＩ，得出ｌＡＥＩ：÷ ，由以上
Ｄ
１
办法可以作出。×÷ （如图２所示）．ｏ
一、尺规作图的历史中国古代的作图工具主要是规和矩．规，即能画圆的圆规，矩，为两条相连成直角的长短不一的尺构成，可以画直线和直角．“规矩 ”两字在甲骨文中都存在，可见其出现较早，甚至可追溯到大禹治水以前．最迟在春秋战国时代，规矩已被广泛使用 … ．古希腊人恩诺皮德斯（Ｏｅｎｏｐｉｄｅｓ）是目前已知最早明确提出几何作图只能使用尺规的人．约公元前３００年欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）将其总结在他的名著《几何原本》中，成为希腊几何学的基石．希腊人强调尺规作图的原因也是想从尽可能简单的条件得出尽可能多的结果．另外，希腊人认为圆是最完美的平面图形，直线是最简单的几何图形，它们是平面几何最基本的研究对象，通过尺规可以作出，因此，要求作图只能够用这两个工具Ｊ．二、尺规作图的本质在初中几何教学中，我们知道关于尺规作图有以下基本作图结果：① 作一线段等于已知线段；② 作一角等于已知角；③ 平分已知角；④ 作线段的垂直平分线（作线段中点）；⑤ 经过一点作已知直线的垂线．有限次重复利用基本作图和这些基本结果可以实现大部分平面几何的作图问题．尺规作图实际上可归结为代数问题．基本作图结果 ① “作一条已知长度的线段”实意是 “做出一个实数 ”的长度，因此，可以用尺规人作出任意两实数的和与差．那么任意给定两实数，能否用尺规作出它们的乘积呢？答案是否定的．首先要给定单位长度１，再给定两线段ｏ，ｂ（ｎ，ｂ为实数），即可作出长度为ａｘｂ的线段了．设ＡＥ，ＢＥ是给定线段，ＩＡＥ１．０，ＩＢＥｌ＝ｂ，单位长１给定．过Ｅ任作一条直线ｚ，在ｆ上截取ＣＥ＝１，过ＡＢＣ三点作圆０（利用基本作图结果④ ）交ｆ于Ｄ点，由ＩＡＥｌ×ＩＢＥＩ＝ｌＣＥｆＸｆＤＥＩ，得出ＩＤＥＩ＝０×ｂ（如图１所示）．类似的道理可以尺规作出两个实数的除法，若给定线段长度为。，ｂ（由实际意义知ｎ，ｂ均不为０），单位长１，可以

重视探究过程,升华基本作图——一道尺规作图题的思考

重视探究过程,升华基本作图——一道尺规作图题的思
考
一道尺规作图题的思考
一、前期环节的基本准备
1、弄清所要解决的问题内容，把握基本信息；
2、熟悉尺规作图所涉及的知识点；
3、把握尺规作图中平行、垂直、比例三大原则，明确作图规程；
4、仔细把握题目所给信息，把题目信息全部取出来；
5、标出坐标轴起点架，确定起点位置。

二、过程求解
1、根据题目信息，合理安排比例，画出统一的尺度；
2、在尺度上标出上下限，定位题目所给的几个点的位置，绣出这几个点；
3、用尺规计算出各点距离，并在轴上标出刻度；
4、在相应的地方画出细节；
5、根据题目的要求，适当写出坐标、角，完成作图定位题目要求的坐标；
6、把计算出的结果写在纸上，最终给出问题解答。

三、思考深化
1、借助绘图及其他工具进一步提高作图能力；
2、如何更有效地完成作图，分析、思考、提出新见解；
3、明白题目的结构，以及它的解题的规律性；
4、进一步深化对尺规作图解题过程的分析，学习尺规作图技巧，掌握
作图方法；
5、注意教会自己，提高自学能力。

四、总结与反思
尺规作图是一种解决问题的特定工具，无论是在校园学习还是在实际
生活中都会遇到各种数字题。

因此，要掌握尺规作图，需要学生把握
三大原则，仔细把握题目信息，仔细制定解题规程，熟练运用，认真
审题审要求，用心学习，把尺规作图的基本方法掌握，加强自我探究，使解答尺规作图的能力得以进一步提高。

联想构图显关联明理得法见真章--对一道尺规作图题的思考

勞题探索12021年第1期中学数学教学参考（中旬>联想构图显关联明理得法见真章—对一道尺规作图题的思考郭源源（江苏省南京市金陵中学西善分校）摘要：对一道尺规作图题多种作法的探究及其变式剖析，用化归思想揭示“过点切边”类作图的常用思考方法，并结合尺规作图教学中存在的问题，着眼于作图中的“法”与“理”，提出相应的教学建议。

关键词：尺规作图；明理；确定；位似关联文章编号：1002-2171 (2021) 1-0020-03尺规作图以其直观的方式、开放的思路、严密的逻辑成为数学教学中别具一格的教学内容。

作图题中，通过作图痕迹能充分暴露学生推理的路径和思考的方向，达到考查学生思维的目的。

笔者近期在一节九年级复习课上，发现一道“不起眼”的尺规作图题，经学生的联想构图、关联模型得到了多种精彩的作法，其背后的“理”和“法”值得反思和总结。

下面笔者就这道题的作图方法及其变式研究，谈谈对尺规作图的教学思考和建议。

1课标要求《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标(2011年版）》)对尺规作图的要求如下。

(1)能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。

(2)会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。

(3)会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。

(4) 在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图痕迹，不要求写出作法。

不难发现，课标中提出的要求包含“学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由”，即“能作”且“明理”。

可以看出，作图不再是机械的作法，其背后活跃着灵活的思维和严谨的推理，学生只要能运用所学知识，展开联想，通过原理去构图，就能得到对应的方法。

尺规作图的历史和难题

尺规作图的历史和难题中国篇俗话说：“不以规矩，不成方圆”，究竟什么是“规”，什么是“矩”？“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性国际篇古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处以死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。

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对尺规作图不能问题的再探求
摘要：由尺规作图的准则1，准则2 ，定理1，定理2来研究
著名的尺规作图不能问题。

关键词：作图准则；尺规作图；立方倍积；三等分角；化园为
方
中图分类号：g42 文献标识码：a 文章编
号：1009-0118（2011）-12-0-02
一、预备知识
任何能用尺规来完成的作图，无论它多么复杂，都不外乎归结
为三条公法的有限次的有序结合，因此，要说明准则可以借助解析
几何知识，把每一条作图公法用代数解析式表示出来，就不难得出
结论。

（一）通过两个已知点作直线
在直角坐标系里，设两点p(a,b)q(c,d)则|a|,|b|,|c|,|d|都是
已知线段，过pq的直线方程是
如果用一般式表示，则为ax+by+c=0
式中a=d-b b=a-c c=bc-ad,它们都是仅含|a|,|b|,|c|,|d|
的有理整函数，即系数可从已知线段用有理运算作图求出。

（二）以已知点为圆心，已知长为半径作圆
设已知点坐标为（e,f）,已知长为r，则|都是已知线段。

以（e,f）
为圆心，r为半径的圆的方程是(x-e)2+(y-f)2=r2
或x2+y2+dx+ey+f=0
其中d=-2e,e=-2f f=e2+f2-r2都是仅含|e| |f| r的有理整函数，即系数可从已知线段用有理运算作图求出。

（三）关于求作交点的问题
1、作两已知直线的交点，
设两直线l1,l2的方程为
l1：a1x+b1y+c1=0
l2:a2x+b2y+c2=0
知a1，a2 b1 b2 c1 c2都是已知线段的有理整函数
若a1b2-a2b1≠0
则xy通过解方程用a1，a2，b1，b2，c1，c2的加，减，乘，除的式子表示。

x,y是仅含a1，a2，b1，b2，c1，c2的有理函数，即交点坐标都可以从已知线段用有理运算作图求出。

2、作已知直线和已知圆的交点
设已知直线l和圆c的方程为
l:ax+by+c=0
c:x2+y2+dx+ey+f=0
由（1）（2）知，a,b,c,d,e,f都是已知线段的有理整函数。

解这个方程组得x=p+q和x=p-q （s1≥0）
y=m+n和y=m-n （s2≥0）
其中p,q,s1及m,n s2也是仅含a,b,c,d,e,f的有理函数
即交点坐标x,y可以从已知线段用有理运算及平方作图求得。

3、作两已知圆的交点
设两已知圆c1和c2的方程为
c1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0
c2:x2+y2+d2x+e2y+f2=0
这个方程组与下面的方程组同解：
c1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0
l1:(d1-d2)x+(e1-e2)y+(f1-f2)=0
此方程组得解与第2种情形有相同形式，即两圆交点的坐标x,y 可以从已知线段用有理运算及平方作图求得。

由上述总结得出准则1
准则1：一个作图题中所要求出的线段x，可由一次齐次式
x=f(a1,a2,…am)表示，这个作图问题可用尺规作出的充分必要条件是：f是已知线段ak经过有限次的有理运算（加，减，乘，除）及开平方运算而得出。

显然一次和二次方程的根能用尺规作图，三次（甚至四次）方程的根能否仅用尺规作图，还需有如下准则2。

准则2有理系数的三次方程ax3+bx2+cx+d=0的根能用尺规作图的充要条件是它有一个有理根。

由此可知，如果有理系数的三次方程没有有理根，那么长度等于它的任何实根的线段不能用尺规来作图。

至于判断方程是否有有理根，可用下面的代数知识的。

定理1 设方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0具有整系数，且有
有理根，p q是互质的整数，则p必是an的约数，而q是a0的约数。

如果a0=1，若方程有有理根，则此根必是an的约数。

定理2 设f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an为一整系数多项式。

如果有质数p不为a0的约数，p为是a1，a2…，an的公约数，但p2不是an的约数，则f(x)在有理数范围内不可约。

显而易见，整系数的三次方程f(x)=ax3+bx2+cx+d=0
如果多项式f(x)在有理数范围内不可约，则此方程必没有有理根，根据定理2这个三次方程的根不能仅用尺规作图。

二、著名的尺规不能问题
约在两千四百多年前，在希腊盛传着下列三个作图题：
（一）立方倍积问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体积的两倍。

（二）三等分角问题：求作一角，使等于已知角的三分之一。

（三）化圆为方问题：求作一正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

下面分别说明这三个问题仅用尺规作图是不可能的。

1、立方倍积问题
设已知立方体的棱长为a所求作立方体的棱长为x，则按提意有x3=2a3
即x3-2a3=0
令a=1，则此方程变的更简单形式：x3-2=0
根据准则2，如果方程含有有理根，只可能是1，-1，2，-2，
但代入检验均不符合。

故方程没有有理根。

由准则1知方程的根不能仅用尺规作图，因此立方倍积问题属于尺规作图不能问题。

2、三等分角问题
设已知角∠xoy=a,op,oq是它的三等分线，∠xop=∠poq=∠qoy=?%a,在这两条三等分线中，只要能求得任何一条，即可求得另一条，现研究射线op。

取单位长为半径画弧交射线oz,oy,op与a,b,c,引bd,ce垂直ox于d,e。

令od=a oe=x则a=cos?%a，x=cos
根据三角公式cos?%a=4cos3-3cos
因而得到三次方程：a=4x3-3x 即4x3-3x-a=0
如果能证明方程的根不能用尺规作图，则e点不可得，于是射线op也就不能作出了。

为此，我们取?%a=
此时a=cos=
于是得到方程的一个特例如下：
8x3-6x-1=0设y=2x化简这个方程得y3-3y-1=0
由于1，-1不能满足方程，所以方程没有有理根，从而方程
8x3-6x-1=0也没有有理根。

这就是说的角不能用尺规三等分，因此三等分任意角当然属于尺规不能问题。

3、化圆为方问题
设已知圆的半径为r，所求正方形边长为x，按题意有
x2=?%ir2
令r=1即得x=
这就是说，要我们作一条线段x。

使它的长度等于。

这条线段当然存在，但由于?%i是无理数，不是有理系数的代数方程，当然更不是加，减，乘，除开平方所表示的，所以它不能仅用尺规作图。

研究尺规作图不能问题目的还在于在遇到仅用尺规作图问题时，先应该对这个问题做出一个判断，看能不能仅用尺规来作出，判断的方法除了用准则外，还可以将问题归结为某一已知的作图不能问题，那么就可断言当前的问题也不能仅用尺规作图。

参考文献：
[1]陈达.几何研究[m].江苏高校试用教材.。

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