人教版九年级上册数学《正多边形和圆》同步习题(含答案)

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2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章正多边形和圆》同步练习带答案(人教版)

2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章正多边形和圆》同步练习带答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（）A．20°B．30°C．70°D．110°2．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：33．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（）A．130°B．135°C．140°D．145°4．如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（）A．18°B．36 C．D．72°5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠ABC＝108°，则∠AOC的度数为（）A．72°B．108°C．144°D．150°6．如图，AB，是的两条弦，且，点，分别在，上．若，则的度数为（）A．119°B．112°C．109°D．108°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°8．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（）A．1 B．2C．2﹣2 D．4﹣2二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．一个正多边形的内角度数为，则这个正多边形的边数为.10．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC=AE，∠D=128°，则∠B= °。

人教版九年级上册数学《正多边形和圆》同步练习及答案

24.3正多边形和圆知识点1.________________ 相等， ______________也相等的多边形叫做正多边形.2．把一个圆分红几等份，连结各点所获得的多边形是________________ ，它的中心角等于______________________________________________.3.一个正多边形的外接圆的 ____________叫做这个正多边形的中心，外接圆的__________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的__________ 叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的____________叫做正多边形的边心距.4.正 n 边形的半径为 R，边心距为 r ，边长为 a，（1）中心角的度数为： ______________.（2）每个内角的度数为： _______________________.（3）每个外角的度数为： ____________.（4）周长为： _________，面积为： _________.5. 正 n 边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有_______条，而且仍是中心对称图形；当边数为奇数时，它不过 _______________. （填“轴对称图形” 或“中心对称图形” ）一、选择题1. 以下说法正确的选项是（）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形2. （2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3B．： 2C． 1：2D．： 23.(2013山东滨州) 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A．6，32B．3 2，3C．6，3D． 62，3 24.如下图，正六边形 ABCDEF内接于⊙ O，则∠ ADB的度数是（）．第 4 题A． 60°B．45°C．30°D．22．5°5. 半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为（）A.1: 2: 3B.3: 2:1C.3:2:1D.1:2:36.圆内接正五边形 ABCDE中，对角线 AC和 BD订交于点 P，则∠ APB的度数是（）．A． 36°B．60°C．72°D．108°第 6 题7.（2013?自贡）如图，点 O是正六边形的对称中心，假如用一副三角板的角，借助点 O（使该角的极点落在点 O处），把这个正六边形的面积 n 平分，那么 n 的全部可能取值的个数是（）第 7 题A.4B.5C.6D. 78.如图，△ PQR是⊙ O的内接正三角形，四边形 ABCD是⊙ O的内接正方形，BC∥QR，则∠ AOQ的度数是（）A.60 °B.65°C.72 °D.75°第 8 题二、填空题9.一个正 n 边形的边长为 a，面积为 S，则它的边心距为 __________.10. 正多边形的一其中心角为36 度 , 那么这个正多边形的一个内角等于__________ 度 .211. 若正六边形的面积是24 3 cm，则这个正六边形的边长是 __________.第 13题12.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是_______.13. 点 M、 N分别是正八边形相邻的边AB、 BC上的点，且 AM=BN，点 O是正八边形的中心，则∠MON=_____________.14.边长为 a 的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________.15.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则采用的圆形铁片的直径最小要__________cm.16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2 ，则这个正多边形的边数是 __________.17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.18.(2013 ?徐州 ) 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形 BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为________cm2.第 18题三、解答题19. 比较正五边形与正六边形，能够发现它们的同样点与不一样点.正五边形正六边形比如它们的一个同样点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.它们的一个不一样点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形. 请你再写出它们的两个同样点和不一样点.同样点：（ 1）____________________________________________________________________;（2） ___________________________________________________________________.不一样点：（ 1）____________________________________________________________________;（2）____________________________________________________________________. 20. 已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为 6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r 6、面积 S6.第 20题21. 如图，⊙ O的半径为 2 ，⊙O的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积 .第 21题22.已知⊙ O和⊙ O上的一点 A.（1）作⊙ O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；（2）在（ 1）题的作图中，假如点 E 在弧 AD上，求证： DE是⊙ O内接正十二边形的一边.第 22题23.如 1、 2、 3、⋯、 n，M、 N 分是⊙O 的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五形 ABCDE、⋯、正 n 形ABCDE⋯的 AB、 BC上的点，且 BM=CN， OM、 ON.(1)求 1 中∠ MON的度数；(2)2 中∠ MON的度数是 _________， 3 中∠ MON的度数是 _________；(3)研究∠ MON的度数与正 n 形数 n 的关系 ( 直接写出答案 ).24.3正多边形和圆知识点1.各边各角2.正多边形正多边形每一边所对的圆心角3.圆心半径圆心角距离360(2)(n2) 180360(5)nar4. (1)n (3)(4)nan n25.n 轴对称图形一、选择题1.C2.B3.B4.C5.B6.C7.B解：依据圆内接正多边形的性质可知，只需把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以 30 的倍数就能够解决问题．360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．所以 n 的全部可能的值共五种状况，应选 B．8.D二、填空题9. 2S10.14411.4cm 12.1213.45° 14.1:2:3 15.42 16.四 17.2:3na18.40三、解答题19.同样点：（ 1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；（ 2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）.不一样点：（ 1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；（ 2）正五边形的对称轴是 5 条，正六边形的对称轴是 6 条.20.解：连结OA,OB.过点 O作 OG AB于G.AOB =60， OA OBAOB 是等边三角形OA OB6即 R=6OA OB ,OG ABAG 1AB13 262在 Rt AOG 中， r 6OG OA 2AG 2 6 2 3 2 3 3S1663354362R 6 cm , r 6 3 3 cm , S654 3 cm 2 .21.解：连结 OB∵在 Rt △ AOC中， AC= OA2OC 2 2 1=1∴AC=OC∴∠ AOC=∠ OAC=45°∵OA=OB OC⊥ AB∴A B=2AC=2 ∠ AOB=2∠ OAC=2× 45° =90°∴这个内接正多边形是正方形 .∴面积为22=4∴中心角为90°，边长为2，面积为 4.22.(1) 作法：①作直径 AC; ②作直径BD⊥AC; ③挨次连结A、B、C、 D 四点 ,四边形 ABCD即为⊙O 的内接正方形 ;第 22题④分别以A、 C 为圆心，以OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G;⑤按序连结A、 E、 F、 C、 G、H 各点 .六边形 AEFCGH即为⊙O 的内接正六边形.(2)证明：连结 OE、DE.∵∠ AOD＝360＝90°，∠ AOE＝360＝60°，46∴∠ DOE ＝∠ AOD －∠ AOE ＝ 90° -60 ° =30°.∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边.23.(1) 方法一：连结 OB 、 OC.∵正△ ABC 内接于⊙ O ，∴∠ OBM=∠OCN ＝30°，∠ B OC=120°.又∵ BM=CN ， OB=OC ，∴△ OBM ≌△ OCN （ SAS ） .∴∠ BOM ＝∠ CON.∴∠ MON=∠BOC=120°.方法二：连结 OA 、 OB.∵正△ ABC 内接于⊙ O ，∴ AB=AC ，∠ OAM=∠OBN=30°, ∠AOB=120°.又∵ BM ＝ CN ，∴ A M=BN.又∵ OA=OB,∴△ AOM ≌△ BON （ SAS ） .∴∠ AOM=∠BON.∴∠ MON=∠AOB=120°.(2)90 ° 72 °(3) ∠MON=360.n。

人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案

人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案1.若正多边形的一个外角为72︒，则这个正多边形的中心角的度数是( )A.18︒B.36︒C.72︒D.108︒2.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,点M在AF上( )A.60︒B.45︒ C.30︒ D.15︒3.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为( )A.4B.5C.6D.74.如图，正五边形ABCDE内接于O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，⊥DG PC垂足为G，则∠PDG等于( )A.72°B.54°C.36°D.64°5.如图，正六边形ABCDEF内接于，正六边形的周长是12，则的半径是( )A.3B.2C.22D.236.如图是半径为4的O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是( )O OA.23B.3C.2D.37.如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为( )A.32 πB.332 πC.332 2π3D.33 π8.如图,正三角形ABC 和正六边形ADBECF 都内接于,O 连接,OC 则∠+∠=ACO ABE ( )A.90︒B.100︒C.110︒D.120︒9.如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠=CPD ________°.10.如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的周长等于6π，则正六边形的边长为______.11.早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为_________________.12.如图，圆内接正六边形ABCDEF的半径为2，则该正六边形的面积是_________________.13.有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的面积.（结果保留根号）14.如图，O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于O.（1）求圆心O 到AF 的距离.（2）求正六边形ABCDEF 的面积.参考答案及解析1.答案：C 解析：正多边形的一个外角为72︒∴正多边形的边数为360725︒÷︒=∴这个正多边形的中心角的度数是360572︒÷=︒故选：C.2.答案：C解析:连接OC ,OD多边形ABCDEF 是正六边形60∴∠=︒COD1302∴∠=∠=︒CMD COD故选:C.3.答案：C解析：内接正n 边形的边长与⊙O 的半径相等∴正n 边形的中心角为60︒360606︒÷︒=∴n 的值为6故选：C.4.答案：B解析：正五边形ABCDE 内接于O∠CPD 与所对的弧相同1362∴∠=∠=︒CPD COD故选：B.5.答案：B解析：如图，连结OA ，OBABCDEF 为正六边形1360606∴∠=︒⨯︒=AOB∴AOB △是等边三角形正六边形的周长是1211226∴=⨯=AB2∴===AO BO AB故选B.6.答案：A解析：如图，做⊥OM AB 于点M360725COD ︒∴∠==︒COD ∠180903654PDG ∠=︒-︒-︒=∴︒正六边形ABCDEF 外接半径为4的O4∴==OA OB 360606︒∠==︒AOB 1302∴∠=∠=∠=︒AOM BOM AOB122∴===AM BM OA2223∴=-=OM OA AM ∴圆心O 到边AB 的距离为23故选：A.7.答案：D解析：连接OB 、OC六边形ABCDEF 为正六边形360606︒∴∠==︒BOC 。

人教版九年级上数学24.3正多边形和圆练习题含答案

24.3正多边形和圆01基础题知识点1认识正多边形1．下面图形中，是正多边形的是(C)A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2．(柳州中考)如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是(B) A．240°B．120°C．60°D．30°3．(连云港中考)一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为12．4．(资阳中考)如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝36°．知识点2与正多边形有关的计算5．(沈阳中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是(B)A. 3B．2C．2 2D．2 36．(株洲中考)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(A) A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形7．(滨州中考)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)A. 2 B ．2 2 C.22D ．18．边长为6 cm 的等边三角形的外接圆半径是9．(宁夏中考)如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A 点的坐标为(－1，0)，则点C 的坐标为(12，－2)．10．(教材P109习题T6变式)将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于结果保留根号)．知识点3 画正多边形11．如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别是：对于甲、乙两人的作法，可判断(A)A ．甲、乙均正确B ．甲、乙均错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确12．(镇江中考改编)图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图2，AE 是⊙O 的直径，用直尺和圆规作⊙O 的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)．解：如图．02中档题13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为(D)A．4R＝5r B．3R＝4rC．2R＝3r D．R＝2r14．(滨州中考)如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(C)A．(2，－3) B．(2，3)C．(3，2) D．(3，－2)15．(达州中考)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A)A.22 B.32 C. 2 D. 316．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(A)A．2a2 B．3a2 C．4a2D．5a217．(山西中考命题专家原创)如图，圆O与正八边形OABCDEFG的边OA，OG分别交于点M，N，则弧MN所对的圆心角∠MPN的大小为67.5°．18．(连云港中考)如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝75°．19．如图，⊙O 是正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的外接圆．(1)正方形ABCD 与正六边形AEFCGH(2)连接BE ，BE 是否为⊙O 的内接正n 边形的一边？如果是，求出n 的值；如果不是，请说明理由．解：BE 是⊙O 的内接正十二边形的一边，理由：连接OA ，OB ，OE ，在正方形ABCD 中， ∠AOB ＝90°，在正六边形AEFCGH 中，∠AOE ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∵n ＝360°30°＝12，∴BE 是正十二边形的边． 03 综合题20．如图1，2，3，…，m ，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…正n 边形ABCDEF …的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON.(1)求图1中∠MON 的度数；(2)图2中∠MON 的度数是90°，图3中∠MON 的度数是72°； (3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案)．解：(1)连接OA ，OB. ∵正三角形ABC 内接于⊙O ， ∴OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBA ＝30°， ∠AOB ＝120°.∵BM ＝CN ，AB ＝BC ， ∴AM ＝BN.∴△AOM ≌△BON(SAS)． ∴∠AOM ＝∠BON.∴∠AOM ＋∠BOM ＝∠BON ＋∠BOM ，即∠AOB ＝∠MON. ∴∠MON ＝120°. (3)∠MON ＝360°n .。

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点正多边形与圆1.定义：正多边形的圆的圆心叫做这个正多边形的中心圆的半径叫做正多边形的半径正多边形每一边所对的角叫做正多边形的中心角到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ）中心（O ）中心角（∠AOB ）半径（R ））边心距（r ）如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆关系定义圆心实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。

在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。

1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。

人教版数学九年级上册第二十四章圆 243 正多边形和圆同步练习题含答案

第二十四章圆 24.3 正多边形和圆同步练习题1．用等分圆周的方法，画一个圆的内接正十边形，则相邻等分点之间的弧所对的圆心角度数为( )A．10° B．18° C．36° D．72°2．圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）A. 扩大了一倍 B. 扩大了两倍 C. 扩大了四倍 D.没有变化3．正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（）A. 3∶2∶1B.4∶3∶2C. 4∶2∶1D. 6∶4∶34．边长为a的正六边形的面积等于( )A.34a2 B．a2 C.332a2 D．155．在同一个圆中，圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( ) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶2∶ 3 D.3∶2∶16．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.62B.34C. 63D.437．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（）A.S3＞S4＞S6B.S6＞S4＞S3C.S6＞S3＞S4D.S4＞S6＞S38．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB ＝( )A．30° B．35° C．45° D．60°9．正五边形共有________条对称轴，正六边形共有________条对称轴. 10．中心角是45°的正多边形的边数是___________.11．若正 n边形的一个外角是一个内角的23时，此时该正n边形有_________条对称轴.12．已知正六边形的边长为2，那么它的边心距是.13．边长为4的正方形的半径为.14．某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数. 15．如图，在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？参考答案:1---8 CDACD ABA9． 5 610． 811． 512． 313． 2 214．解：设此正多边形的边数为n，则各内角为()nn︒⋅-1802，外角为n︒360，依题意得()nn︒⋅-1802-n︒360=100°.解得n=9.15．设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连接O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△O1O2O3，则正△O1O2O3的半径为334 cm，所以大圆的半径为334 +2=363 4+(cm).。

2021年人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆同步测试及答案【精修】

正多边形和圆1．正六边形的边心距与边长之比为( B ) A.3∶3 B.3∶2 C ．1∶2 D.2∶2【解析】如图：设正六边形的边长是a ，则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC ＝12AB ＝12a ， ∴OC ＝OA 2－AC 2＝32a ， ∴正六边形的边心距与边长之比为：32a ∶a ＝3∶2. 3－1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( D ) 图24－3－1A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°【解析】因为OA ＝AB ＝OB ，所以△OAB 是等边三角形，又OC ⊥AB ，所以∠AOC ＝∠BOC ＝30°，所以∠BAC ＝15°，D 不正确．3．如图24－3－2，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O (使该角的顶点落在点O 处)，把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是( B )图24－3－2A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；360÷120＝3；360÷180＝2.因此n 的所有可能的值共五种情况．4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a ＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( C )图24－3－3 A ．6 2 mm B ．12 mmC ．6 3 mmD ．4 3 mm5．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( B )A ．6B ．12C ．6 3D ．12 3【解析】正六边形的边长等于半径，设半径为R ，则⎝⎛⎭⎫12R 2＋(3)2＝R 2，∴R ＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B.6．若正六边形的边长为4 cm ，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm ，边心距是__23__cm ，它的每一个内角是__120°__．7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm ，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.8．已知一个正n 边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n ＝__8__．【解析】由360n ＝180（n －2）n ×13，得n ＝8. 9．已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，如图24－3－4所示．图24－3－4(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题所作的图中，如果点E 在AB ︵上，试证明EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)计算EB 所对的圆心角的度数．解：(1)如图所示，在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD ；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH . (2)如图，连接OE .∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°.∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，∴n ＝12， ∴EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．10．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1；(2)以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连接BD ，如图2.若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是( C )图24－3－5 A ．BD 2＝5－12OD B ．BD 2＝5＋12OD C ．BD 2＝5ODD ．BD 2＝52OD 11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm 2，则正八边形的面积为____________cm 2.图24－3－6【解析】连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：（8－2）×180°8＝135°， ∴∠HGM ＝45°，∴MN ＝MG ，设MH ＝MG ＝x ，则HG ＝AH ＝AB ＝GF ＝2x ，∴BG ×GF ＝2(2＋1)x 2＝20，四边形ABGH 面积＝12(AH ＋BG )×HM ＝(2＋1)x 2＝10， ∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm 2)．12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE 是正五边形．图24－3－7第13题答图证明：如图所示，连接BE ，AD ，设纸条的宽度为h ，则S △ABE ＝12AB ·h ＝12AE ·h ， ∴AB ＝AE ，同理得AB ＝BC ，BC ＝CD ，∴AE ＝AB ＝BC ＝CD .∵纸条的宽度固定，∴AE ∥BD ，CD ∥BE ，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD ＋∠ABC ＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB ，AE ＝AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴五边形ABCDE 是正五边形．13．如图24－3－8所示，已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．图24－3－8 【解析】要证明五边形AEBCD 是正五边形，只需证AE ︵＝EB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵即可．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°，即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ，∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点，∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图24－3－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于O .(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．:学科图24－3－9解：(1)△ABO ，△ABC ，△BOC ，△DOC ，△BCD .(2)四边形AODE 是菱形，理由如下：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝12×(180°－108°)＝36°，同理得∠CBD ＝∠CDB ＝36°，∴∠ABO ＝∠ABC －∠CBD ＝72°，∠AOB ＝180°－∠ABO －∠BAC ＝72°，∴AB ＝AO ，同理得DO ＝DC ，∴OA ＝AE ＝ED ＝DO ，∴四边形AODE 是菱形．15．小刚现有一边长为a m 的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？解：如图所示，在正方形ABCD 中，△DEF ，△CGH ，△BOP ，△AMN 为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF 为正八边形．设直角边DE ＝DF ＝CG ＝CH ＝x .在Rt △DEF 中，EF ＝2x . ∵EF ＝FG ，且DC ＝DF ＋FG ＋CG ，∴x ＋x ＋2x ＝a ，解得x ＝2－22a ≈0.3a ，因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m 的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB 长为2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝__522__．图24－3－10【解析】设正五边形的边长为a ，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有12×2×a ×5＝⎝⎛⎭⎫12×AB ×a 2＋12×a ×AC ×2，即522a ＝⎝⎛⎭⎫12AB ＋AC ×a ，∴12AB ＋AC ＝522.。

九年级数学上册第二十四章圆24.3正多边形和圆同步测试新版新人教版(含答案)

九年级数学上册第二十四章圆：24.3 正多边形和圆一、选择题（共15小题）1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3 B．9 C．18D．362．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，π C．，D．2，3．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．4．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．65．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A． B．C．D．6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°7．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2 C．3 D．28．如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFDC．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE11．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm12．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A．4个B．6个C．8个D．10个13．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：14．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．215．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）二、填空题（共14小题）16．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为cm．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个．18．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是cm．19．圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为cm2．20．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．21．半径为1的圆内接正三角形的边心距为．22．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为．23．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于．25．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为．26．如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为．27．正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为．28．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．29．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（，）．三、解答题（共1小题）30．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.3 正多边形和圆参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3 B．9 C．18D．36【考点】正多边形和圆．【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，π C．，D．2，【考点】正多边形和圆；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．【解答】解：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，==π，故选D．【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．3．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．【考点】正多边形和圆；勾股定理；概率公式．【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF=EF=1，∠AFE=120°，∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．4．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】正多边形和圆．【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠AB C=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BC•AD，即可得出结果．【解答】解：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD=，∴BC=2，∴△ABC的面积=BC•AD=×2×3=3；故选：B．【点评】本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握圆内接正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A． B．C．D．【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题；规律型．【分析】连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．【解答】解：连结OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．【点评】本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°【考点】正多边形和圆；解直角三角形．【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC=×360°=72°，∴∠1=∠BOC=×72°=36°，R2﹣r2=（a）2=a2，a=Rsin36°，a=2Rsin36°；a=rtan36°，a=2rtan36°，cos36°=，r=Rcos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．故选A．【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．7．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2 C．3 D．2【考点】正多边形和圆；勾股定理．【专题】几何图形问题．【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．【解答】解：∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选：B．【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．8．如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】正多边形和圆．【分析】根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．【解答】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，∴设S空白=x，则S阴影=6x﹣x=5x，∴=5．故选C．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知边长为a的正六边形的面积是边长为a的等边三角形的面积的6倍是解答此题的关键．9．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】正多边形和圆．【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．【解答】解：如图，∵三角形的斜边长为a，∴两条直角边长为a， a，∴S空白=a•a=a2，∵AB=a，∴OC=a，∴S正六边形=6×a•a=a2，∴S阴影=S正六边形﹣S空白=a2﹣a2=a2，∴==5，法二：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即=5 故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．10．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFDC．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．【分析】首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱形，得CF=AF，即△CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出AC2+BF2=4CD2，可证明△CDE∽△DFE，即可得出DE2=EF•CE．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A选项正确；∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，∴AC2+BF2=4CD2．故C选项正确；由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴=，∴DE2=EF•CE，故D选项正确；故选：B．【点评】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．11．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【考点】正多边形和圆．【专题】计算题．【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．【解答】解：已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．故选A．【点评】此题所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边形的边长．12．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【考点】正多边形和圆．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即，有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．13．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【考点】正多边形和圆；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．【解答】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD==，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=．故选：A．【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．14．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．2【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题．【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF=r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r•sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即则的值是．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．15．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）【考点】正多边形和圆；坐标确定位置．【专题】新定义．【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．【解答】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=2，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×2=4，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．故选：A．【点评】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．二、填空题（共14小题）16．（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为 2 cm．【考点】正多边形和圆．【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OAD=60°，∴OD=OA•sin∠OAB=AO=，解得：AO=2．．故答案为：2．【点评】本题考查的是正六边形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有8 个．【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定．【分析】在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．故答案是：8．【点评】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．18．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是 2 cm．【考点】正多边形和圆．【分析】首先求出∠AOB=×360°，进而证明△OAB为等边三角形，问题即可解决．【解答】解：如图，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，∴边长为2cm，∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA=AB=2，即该圆的半径为2，故答案为：2．【点评】本题考查了正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键．19．（2015•营口）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为24cm2．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，∵OG=OA•cos 30°，∴OA===4，∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．20．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= 72°．【考点】正多边形和圆．【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°又∵EA=ED，∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，故答案是：72°．【点评】本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键．21．半径为1的圆内接正三角形的边心距为．【考点】正多边形和圆．【专题】几何图形问题．【分析】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．【解答】解：如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．∵等边三角形的内心和外心重合，∴OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；∵OD⊥BC，OB=1，∴OD=．故答案为：．【点评】考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．22．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为（，﹣）．【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质．【专题】计算题．【分析】先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交Y轴于G，那么∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．即可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似可求出．【解答】解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．∴GE=，OG=．∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F（﹣，）．故答案为：（，﹣）【点评】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．23．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）【考点】正多边形和圆．【专题】计算题．【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【解答】解：如图所示：连接BO，CO，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中，∴△COW≌△ABW（AAS），∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC==．故答案为：．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于2π．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解．【解答】解：正方形的边长AB=2，则半径是2×=，则面积是（）2π=2π．故答案是：2π．【点评】本题考查了正多边形的计算，根据正方形的面积求得半径是关键．25．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为54°．【考点】正多边形和圆．【分析】连接OB，则OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．【解答】解：连接OB，则OB=OA，∴∠BAO=∠ABO，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠AOB==72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；故答案为：54°．【点评】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、正五边形中心角的求法；熟练掌握正五边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．26．如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为（﹣1）/2 ．【考点】轨迹．【专题】压轴题．【分析】当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，六边形对角线EH与正方形对角线AC重合就可解决问题．【解答】解：如图所示，当EH=AB时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当EH与正方形对角线AC重合时，AE最小∵正方形ABCD的边长为1；∴AC=∴而EH=1∴AE=，则AE的最小值为AE=．故答案为【点评】本题考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得AE最小．27．正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为2．【考点】正多边形和圆．【分析】根据题意画出图形，过点F作FG⊥AE于点G，先根据正六边形的性质得出∠AFE的度数，再由AF=EF 可知FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出AG的长，进而得出结论．【解答】解：如图所示，过点F作FG⊥AE于点G，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE=120°，AF=EF，∴FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，∴A G=AF•cos30°=2×=，∴AE=2AG=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．28．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于π．【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB•cos60°=2，∴BD=2BM=4，∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，同理△FDO的面积是4；∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，故答案为：π．【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．29．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（2， 4 ）．【考点】正多边形和圆；两条直线相交或平行问题．【专题】压轴题．【分析】首先得出△AOF是等边三角形，利用建立的坐标系，得出D，F点坐标，进而求出直线DF的解析式，进而求出横坐标为2时，其纵坐标即可得出答案．【解答】解：连接AE，DF，∵正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，∴可得：△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=2，∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，EO=FO+EF=4，∴∠EAO=90°，∠OEA=30°，故AE=4cos30°=6，∴F（，3），D（4，6），设直线DF的解析式为：y=kx+b，则，解得：，故直线DF的解析式为：y=x+2，当x=2时，y=2×+2=4，∴直线DF与直线AE的交点坐标是：（2，4）．故答案为：2，4．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及待定系数法求一次函数解析式等知识，得出F，D点坐标是解题关键．三、解答题（共1小题）30．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【考点】正多边形和圆；圆锥的计算；作图—复杂作图．【专题】作图题．【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；。

人教版九年级上数学24.3《圆和正多边形》测试(含答案)

圆和正多边形测试时间：100分钟总分：100一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若正六边形的半径长为4，则它的边长等于A. 4B. 2C.D.2.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为，则其外接圆的半径为A. B. 4 C. D. 23.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是A. B. C. D.4.如图，是等边三角形ABC的外接圆，的半径为2，则等边的边长为A. 1B.C.D.5.如图，的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为A.B.C.D.6.正六边形的边心距为，则该正六边形的外接圆半径为A. B. 2 C. 3 D.7.如图，正六边形ABCDEF内接于，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为A. 2，B. ，C. ，D. ，8.如图，在的内接四边形ABCD中，，，点E在弧AD上若AE恰好为的内接正十边形的一边，弧DE的度数为A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.已知一个正六边形的边心距为，则它的半径为______ ．10.如果正多边形的中心角等于，那么它的每个内角为______度11.如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为______．12.半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为______．13.正六边形的边长为8cm，则它的面积为______ ．14.如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部包括边界，则正方形边长a的取值范围是______．15.一个正三角形和一个正六边形面积相等，则它们的边长之比为______．16.我们规定：一个正n边形为整数，的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为，那么______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17.比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点：相同点：______ ；______ ．不同点：______ ；______ ．18.设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积须证明你的论断．四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）19.如图，正三角形ABC内接于，若，求的半径．20.如图，的半径为，的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积．21.如图，已知的内接正六边形ABCDEF，若的半径为2，求：阴影部分弓形的面积结果保留答案和解析【答案】1. A2. B3. A4. D5. A6. B7. D8. C9. 210. 15011.12. 1：：13.14.15. ：116.17. 都是轴对称图形；都有外接圆和内切圆；内角和不同；对角线的条数不同18. 证明：如图，设为正方形ABCD的一个内接正三角形，作正的高EK，连接KA，KD，，，K，G，D四点共圆，，同理，，故也是一个正三角形，K必为一个定点．又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，面积也最小．当KF通过B点时，边长为，这时边长最大，面积也最大．19. 解：过点O作于点D，连接BO，正三角形ABC内接于，点O即是三角形内心也是外心，，，，解得：，即的半径为2cm．20. 解：连结OB，在中，，，，，，，，这个内接正多边形是正方形．面积为中心角为，边长为2，面积为4．21. 解：的半径为2，的面积为，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，每个三角形面积为，正六边形面积为，阴影面积为，【解析】1. 解：正六边形的中心角为，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．故选：A．根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．2. 解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，则度，度，在直角中，根据三角函数得到．故选B．根据正n边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．3. 解：如图1，，；如图2，，；如图3，，，则该三角形的三边分别为：1，，，，该三角形是直角三角形，该三角形的面积是：．故选：A．由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．4. 解：作于D，连接OB，如图所示：则，是等边三角形ABC的外接圆，，，，，即等边的边长为；故选：D．作于D，连接OB，由垂径定理得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，求出OD，再由三角函数求出BD，即可得出BC的长．本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、含角的直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5. 解：六边形ABCDEF是正六边形，，是等边三角形，，设点G为AB与的切点，连接OG，则，，．阴影扇形故选A．由于六边形ABCDEF是正六边形，所以，故是等边三角形，，设点G为AB与的切点，连接OG，则，，再根据阴影扇形，进而可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出是等边三角形是解答此题的关键．6. 解：如图，在中，，，；故选：B．设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．7. 解：连接OB，，，，，故选：D．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．8. 解：连接BD、OA、OE、OD，如图所示四边形ABCD是的内接四边形，，，，，是等边三角形，，，恰好为的内接正十边形的一边，，；故选：C．连接BD、OA、OE、OD，根据圆的内接四边形的性质得出的度数，由，可证得是等边三角形，求得，由圆周角定理求出的度数，由正十边形的性质求出的度数，得出的度数即可．此题考查了正多边形的性质、圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质求出的度数是解决问题的关键．9. 解：如图，在中，，，；故答案为：2．设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得OA．本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．10. 解：由于正多边形的中心角等于，，所以正多边形为正12边形，又因为其外角和为，所以其外角为，其每个内角为．根据正多边形的中心角为，求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为180度求出每个内角的度数．本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的中心角和外角、内角混淆．11. 解：连接CF，DF，则是等边三角形，，在正五边形ABCDE中，，，的长，故答案为：连接CF，DF，得到是等边三角形，得到，根据正五边形的内角和得到，求得，根据弧长公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12. 解：由题意可得，正三角形的边心距是：，正四边形的边心距是：，正六边形的边心距是：，半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1：：，故答案为：1：：．根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．13. 解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作；此多边形是正六边形，；，是等边三角形，，．正六边形．先根据题意画出图形，作出辅助线，根据的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，把正六边形的面积化为求三角形的面积解答．14. 解：当正方形ABCD 的对角线AC 在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a 的值最小，AC 是正方形的对角线，，，当正方形ABCD 的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a 的值最大，AC 是正方形的对角线AC ，设时，正方形的边长最大，，，设直线MN 的解析式为，，，，，直线MN 的解析式为，将代入得，此时，取最大值，，正方形边长a 的取值范围是：，故答案为：．当正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到a ，当正方形ABCD 的对角线AC 在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a 的值最小，AC 是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．15. 解：设正三角形的边长为a ，则正六边形的边长为b ；过A 作于D ，则，，；连接OA、OB，过O作；，，，，，六边形六边形，解得：a：：1故答案为：：1．根据题意画出图形，分别设出边长并表示出面积后即可利用面积相等得到答案．本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答．16. 解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，是等边三角形，，，，，，，是直角三角形，，，故答案为．如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明是直角三角形即可解决问题．本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．17. 解：相同点不同点都有相等的边边数不同；都有相等的内角内角的度数不同；都有外接圆和内切圆内角和不同；都是轴对称图形对角线条数不同；对称轴都交于一点对称轴条数不同．此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处．本题考查了正多边形和圆的知识，一个是奇数边的正多边形，一个是偶数边的正多边形此题的答案不唯一，只要抓住正多边形的性质进行回答均可．18. 设为正方形ABCD的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上，连接KA，KD，易证E，K，G，D四点共圆，则，同理，可证也是一个正三角形，K必为一个定点，再分别求边长FG的最大值与最小值．本题考查了四点共圆的判断，等边三角形的性质关键是运用四点共圆证明新的等边三角形，得出定点．19. 利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出，，再利用锐角函数关系得出BO即可．此题主要考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出，是解题关键．20. 连结OB，根据勾股定理求出AC的长，故可得出，再根据，得出，，由此可知这个内接正多边形是正方形，故可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形的性质是解答此题的关键．21. 利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积圆的面积正六边形的面积，即可得出结果．本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积圆的面积正六边形的面积是解答此题的关键．。

人教版九年级数学上册正多边形和圆2同步练习题含答案

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是 A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形． B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条． C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:14．已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（）A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。

2020年人教版九年级数学上册24.3《正多边形和圆》同步练习(含答案)

2020年人教版九年级数学上册24.3《正多边形和圆》同步练习一．选择题1．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形2．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2 D．23．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM 边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.54．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2 C．D．15．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等7．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．28．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形9．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个10．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2 D．4二．填空题11．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．12．如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．13．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．14．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．15．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．（1）图2中的图案外轮廓周长是；（2）在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．16．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．17．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．18．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．19．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．20．如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是．21．正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．22．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．23．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．24．半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．25．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．26．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．27．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为．28．如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是．参考答案1．A．2．B．3．C．4．A．5．A．6．A．7．B．8．B．9．C．10．A．11．72°．12．12+4．13．：1．14．815．14，21．16．72．17．．18．π+1．19．﹣1．20．≤a≤3﹣．21．96cm2．22．．23．3．24．1：：．25．8+8．26．2．27．8．28．3n﹣1•．。

人教版九年级数学上《正多边形和圆》练习题含答案

24.3正多边形和圆知识点1正多边形与圆的关系1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定2．如图24－3－1所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．图24－3－1知识点2与正多边形有关的计算3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()A．4 B．5 C．6 D．74．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为()A．3 2 B．3 C．6 D．6 25．2016·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于()A．4 B．2 C．2 3 D．4 36．如图24－3－2所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()图24－3－2A．60°B．45°C．30°D．22.5°7．正八边形的中心角等于________度．8．将一个边长为1的正八边形补成如图24－3－3所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)图24－3－39．2017·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC ＝________°.图24－3－410．如图24－3－5，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.图24－3－5知识点3与正多边形有关的作图11．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．12．如图24－3－6所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()图24－3－6A. 6B.8C.10D.1713．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于()A．120°B．6°C．114°D．114°或6°14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A. 2 B．2 2－2C．2－ 2 D.2－115．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22 B.32 C. 2 D. 316．2017·云南如图24－3－7，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为________．图24－3－717．如图24－3－8，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．图24－3－818．如图24－3－9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图24－3－9(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．教师详解详析1．C [解析] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C .2．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°，即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ， ∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点， ∴五边形AEBCD 是正五边形．3．B [解析] 设这个正多边形为正n 边形，由题意可知72n ＝360，解得n ＝5.故选B . 4．B5．A [解析] 正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.6．C [解析] 连接OB ，则∠AOB ＝60°， ∴∠ADB ＝12∠AOB ＝30°.7．45 8．1＋ 2[解析] 如图，∵△BDE 是等腰直角三角形，BE ＝1，∴BD ＝22， ∴正方形的边长等于AB ＋2BD ＝1＋ 2.9．24 [解析] 正六边形的一个内角＝16×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一个内角＝15×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ，∴∠ABC ＝12×(180°－132°)＝24°.10．证明：(1)由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠BAE ，AB ＝BC ， ∴△ABC ≌△EAB ，∴AC ＝BE.(2)连接AD ，由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ， ∴△ABC ≌△AED ， ∴AC ＝AD.又∵M 是CD 的中点， ∴AM ⊥CD. 11．解：如图所示．作法：①作直径AC ；②作直径BD ⊥AC ，依次连接AB ，BC ，CD ，DA ，则四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形；③分别以点A ，C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙O 于点E ，H 和F ，G ，顺次连接AE ，EF ，FC ，CG ，GH ，HA ，则六边形AEFCGH 为⊙O 的内接正六边形．12．C [解析] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C 满足要求．13．D [解析] 分两种情况考虑：(1)如图①所示，∵AB 是⊙O 内接正五边形的一边，∴∠AOB ＝360°5＝72°.∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOC ＝360°6＝60°，∴∠BOC ＝72°－60°＝12°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝6°.(2)如图②所示，∠AOB ＝72°，∠AOC ＝60°，∴∠OAB ＝54°，∠OAC ＝60°，∴∠BAC ＝60°＋54°＝114°.综上所述，可知选D .14．B [解析] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为2 2.如图，根据三角形内切圆的性质可得CD ＝CE ＝r ，AD ＝BE ＝AO ＝BO ＝2 2－r ，∴AB ＝AO ＋BO ＝4 2－2r ＝4，解得r ＝2 2－2.故选B .15．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝1；如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2；如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝3，则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2， ∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A .16．2π＋4 [解析] 如图，连接HO ，并延长交BC 于点P ，连接EO ，并延长交CD 于点M.∵正方形ABCD 外切于⊙O ， ∴∠A ＝∠B ＝∠AHP ＝90°，∴四边形AHPB 为矩形，∴∠OPB ＝90°. 又∵∠OFB ＝90°，∴点P 与点F 重合， ∴HF 为⊙O 的直径，同理：EG 为⊙O 的直径．由∠D ＝∠OGD ＝∠OHD ＝90°且OH ＝OG 知，四边形DGOH 为正方形．同理：四边形OGCF 、四边形OFBE 、四边形OEAH 均为正方形， ∴DH ＝DG ＝GC ＝CF ＝2，∠HGO ＝∠FGO ＝45°， ∴∠HGF ＝90°，GH ＝GF ＝GC 2＋CF 2＝2 2，则阴影部分面积＝12S ⊙O ＋S △HGF＝12·π·22＋12×2 2×2 2 ＝2π＋4. 故答案为2π＋4.17．解：如图，连接OA ，作OH ⊥AC 于点H ，则∠OAH ＝30°.在Rt △OAH 中，设OA ＝R ，则OH ＝12R ，由勾股定理可得AH ＝OA 2－OH 2＝R 2－（12R ）2＝123R. 而△ACE 的面积是△OAH 面积的6倍，即6×12×12 3R ×12R ＝48 3，解得R ＝8，即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.18．解：(1)方法一：如图①，连接OB ，OC.图①∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°.又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°.方法二：如图②，连接OA ，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝360°n.。

人教版九年级上册数学《正多边形和圆》同步辅导与测试(含解析)

九年级数学同步指导与测试正多边形和圆要点、难点：1.正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。

2. 正多边形与圆的关系（ 1）把圆分红 n （ n ≥ 3）等份，有以下结论：其一：挨次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。

其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为极点的多边形是这个圆的外切正边形，这圆是正 n 边形的内切圆。

n（ 2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是齐心圆。

3.相关的观点（ 1）正多边形的中心（ 2）正多边形的半径（ 3）正多边形的边心距（ 4）正多边形的中心角4.正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分红 2n 个全等的直角三角形。

这里我们设：正 n 边形的中心角为 α，半径为 R ，边心距为 r ，边长为 a n ，周长为 P n ，面积为 S n ，则有（）360 ；（ 2 ） a n2 R180 ；（）180 ；1nsin3 rR cosnn22 1 211（ 4）Rr4an ；（ 5）P n n a n ；（ 6） S n2n r an2r Pn ；（ 7 ）正多边形的每一个内角( n2) 180，内角和(n 2) 180 .n5. 每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它仍是中心对称图形。

6.要点和难点：（ 1）要点是正多边形的计算问题，计算往常是经过解直角三角形来解决的，所以在解这种题时，要尽量创建直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，特别是含30°、 60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。

（ 2）难点是灵巧运用正多边形的知识和观点解题。

〖知识总结〗正多边形的定义要理解后记牢，这里各边都相等，各角都相等，缺一不行，边数同样多的正多边形是相像多边形。

关于随意三角形来讲都有外接圆和内切圆，但注意只有正三角形的外接圆和内切圆是齐心圆。

相关正多边形的计算本质是把问题转变为解直角三角形的计算，所以这里要用到三角函数及勾股定理等相关知识。

人教版九年级数学上册圆一章正多边形和圆练习题及答案

九年级数学圆一章正多边形和圆练习题及答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1
B.4∶3∶2
C.4∶2∶1
D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
5.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
二、课中强化(10分钟训练)
1.若正n 边形的一个外角是一个内角的3
2时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.3
6 D.34 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )
A.S 3>S 4>S 6
B.S 6>S 4>S 3
C.S 6>S 3>S 4
D.S 4>S 6>S 3 4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).
(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；
(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.
图24-3-1。

人教版九年级数学上册正多边形和圆同步练习题含答案

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (1) 1．边长为a的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________。

2．如图1，正方形的边长为a，以顶点B、D为圆心，以边长a为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是___________。

(1) (2) (3)3．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为__________。

4．正六边形的面积是183，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________。

5．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________。

6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________。

7．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________。

8．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________。

9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________。

10．正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为___________。

B卷1．正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。

2．如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。

3．如图2，正方形边长为2a，那么图中阴影部分的面积是__________。

4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。

5．半径为R的圆的内接正n边形的面积等于__________。

6．如果圆的半径为a，它的内接正方形边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，则a,b,c间满足的关系式为___________。

7．如图3，正△ABC 内接于半径为1cm 的圆，则阴影部分的面积为___________。

新人教版九年级上册数学4.3 正多边形和圆同步练习

2014人教版九年级数学上册第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形． (3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．BC ．1:2:3D ． 3:2:14．已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。

最新人教版九年级数学上册：正多边形和圆-同步练习(1)及答案.docx

《正多边形和圆》同步试题一、选择题1．下列正多边形不能用尺规作图画出的是（）．A．正三角形B．正方形 C．正五边形D．正六边形考查目的：考查尺规作图法作圆内接正多边形．答案：C．解析：尺规作图法不能作圆内接正五边形，故答案应选择C．2．用尺规作图法作出正三角形后，还能继续用尺规作图法作出的正多边形是（）．A．正方形? B．正六边形? C．正九边形? D．正十边形?考查目的：考查正多边形的尺规作图法．答案：B．解析：作出圆内接正三角形后，再过圆心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角的角平分线与⊙O 相交，即可以作出圆内接正六边形，照此方法依次可作正十二边形、正二十四边形……故答案应选择B．3．下列⊙O的内接正多边形中，最接近圆的面积的是（）．A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形考查目的：考查正多边形的面积的与圆的面积的关系．答案：D．解析：圆内接正多边形的边数越多，面积越接近圆的面积，故答案应选择D．二、填空题4．正八边形的中心角的度数为_______°，每一个内角度数为_______°，每一个外角度数为_______°．考查目的：考查正多边形中心角、内角、外角的概念．答案：45；135；45．解析：中心角的度数为360°÷8=45°；每一个内角度数为（8-2）180°÷8=135°；每一个外角度数为360°÷8=45°．5．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积分别记作S3、S4、S6，则它们之间的大小关系是_____．（用“>”连接）考查目的：考查正多边形的周长与面积的关系．答案：S6>S4>S3．解析：在周长相等的条件下, 边数越多，面积越大．6．下列命题：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②正多边形的任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心；③正多边形的任意两条边的中垂线如果相交，则交点是正多边形的中心；④圆内接正多边形各边所对的弧相等．其中假命题是_______（填序号）．考查目的：考查正多边形的有关知识．答案：④．解析：①圆内接多边形各边相等，所对的劣弧所对的圆周角相等，所以是正多边形；②正多边形的内角平分线必过中心，所以任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心；③正多边形每边的中垂线是对称轴，必过中心，所以，任意两条边的中垂线如果相交，则交点是正多边形的中心；④圆内接正多边形各边所对的弧分为优弧和劣弧，不一定相等．所以①②③正确，④错误．三、解答题7．已知，如图，在⊙O中用尺规作图法画圆内接正方形．考查目的：考查尺规作图法作圆内接正方形．答案：图略．解析：在⊙O中作两条互相垂直的直径，垂足为O，就可以把圆四等分，顺次连接四等分点，从而作出圆内接正方形．8．已知，如图，画图把⊙O十等分．考查目的：考查用度量法等分圆周．答案：画图略．解析：把360°的圆心角用量角器十等分，每一份36°，角的边与圆的交点即为各十等分点．9．已知，如图，在⊙O中用不同的方法画圆的内接正三角形．考查目的：考查用度量法、尺规作图作正多边形．答案：如图．图1 图2 图3解析：度量法①：如图1，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．度量法②：如图2，用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．尺规作图法：如图3，用圆规在⊙O上顺次截取6条长度等于半径的弦，间隔一点顺次连接其中的AB、BC、CA即可．。

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24.3正多边形和圆同步习题
一、选择题
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝3∠B，则∠B的度数为（）
A．30°B．36°C．45°D．60°
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，若∠D＝110°，则∠ABE 的度数是（）
A．30°B．35°C．50°D．55°
3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．一个三角形的外接圆的圆心在这个三角形的外部，则该三角形一定是（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三角形
5．如图，△ABC是半径为1的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（）
A．3 B．3
2
C．3D．
3
2
6．如图，正五边形ABCDE内接于O，点P是劣弧BC上一点（点P不与点C重合），则CPD
∠=（）
A．45︒B．36︒C．35︒D．30
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，110
BOD︒
∠=，那么BCD
∠等于（）
A．110°B．135°C．55°D．125°
8．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ADC的度数是（）
A．80°B．160°C．100°D．40°
9．如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（）
A ．30
B ．36
C ．72
D ．90 10．如图，正五边形ABCD
E 和等边AFG 内接于O ，则GFD ∠的度数是（）
A ．10︒
B ．12︒
C ．15︒
D ．20︒
二、填空题 11．如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，已知BOD 110∠=，则BCD ∠的度数为____________________．
12．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在BC 的延长线上，若∠BOD ＝100°，则∠DCE ＝_____°．
14．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC 的度数为_____．
15．如图，点A ，B ，C ，D 在
O 上，CD CB =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，
则ADB =∠_______．
三、解答题
16．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 与BD 为对角线，BCA BAD ∠=∠，过点A 作//AE BC 交CD 的延长线于点E ．求证：EC AC =．
17．如图，ABC 的外角BAM ∠的平分线与它的外接圆相交于点E ，连接BE ，CE ，过点E 作//EF BC ，交CM 于点D
求证：（1）BE CE =；
（2）EF 为⊙O 的切线．
18．如图，⊙O 外接于正方形,ABCD P 为弧AD 上一点，且1,3AP PC ==，求正方形ABCD 的边长和PB 的长．
参考答案
1-5 CBBCC
6-10 BDCBB
11．125°
12．1800°
13．50
14．90
15．70°
16．
证明：∵//AE BC ，
∴ACB EAC ∠=∠．
∵ACB BAD ∠=∠，
∴EAC BAD ∠=∠，
∴EAD CAB ∠=∠，
∵180ADE ADC ∠+∠=︒，180ADC ABC ∠+∠=︒，
∴ADE ABC =∠∠，
∵180EAD ADE E ∠+∠+∠=︒，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒， ∴E ACB EAC ∠=∠=∠，
∴CE CA =．
17．证明：（1）∵四边形ACBE 是圆内接四边形，
∴∠EAM ＝∠EBC ，
∵AE 平分∠BAM ，
∴∠BAE ＝∠EAM ，
∵∠BAE ＝∠BCE ，
∴∠BCE ＝∠EAM ，
∴∠BCE ＝∠EBC ，
∴BE ＝CE ；
（2）如图，连接EO 并延长交BC 于H ，连接OB ，OC ，
∵OB ＝OC ，EB ＝EC ，
∴直线EO 垂直平分BC ，
∴EO ⊥BC ，
∵EF//BC ，
∴EO ⊥EF ，
∵OE 是⊙O 的半径，
∴EF 为⊙O 的切线．
18．解：连接AC ，作AE PB ⊥于点E ，如图所示．
∵四边形ABCD 是正方形，
,AB BC CD AD ∴===90,45ABC D BCD ACB ︒︒∠=∠=∠=∠=， AC ∴是O 的直径，ABC 是等腰直角三角形， 90,2,APC AC ︒∴∠==
22221310,AC AP PC ∴=+=+= 52
AB ∴== 45,,APB ACB AE PB ︒∠=∠=⊥
APE ∴是等腰直角三角形，
22PE AE AP ∴=== 2222232(5)22BE AB AE ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，
232
∴=+=+=．
PB PE BE
22
正方形ABCD的边长为5,PB的长为22．。