2015宜春市高一数学期末统考试卷

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江西省宜市高一数学下学期期末试卷(含解析)

2014-2015学年江西省宜春市高一（下）期末数学试卷一、选择题（12×5=60分）1．（2015春•宜春期末）某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，该单位为了解职工每天的业余生活情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8 B．12 C．20 D．30考点：分层抽样方法．专题：数系的扩充和复数．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，则40﹣50岁的职工有350﹣70﹣175=105人，年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为=12人，故选：B．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．2．（2015春•宜春期末）已知点P（tanα，cosα）在第四象限，则角α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：由点P（tanα，cosα）在第四象限，可得，即可得出．解答：解：∵点P（tanα，cosα）在第四象限，∴，∴α在第三象限．故选：C．点评：本题考查了角所在象限的符号、点在各个象限的坐标符号，属于基础题．3．（2015春•宜春期末）某居民小区年龄在20岁到45岁的居民共有150人，如图是他们上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在的人数分别是39、21人，则年龄在=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故将y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度单位可得函数y=cos2x的图象，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．8．（2015春•宜春期末）函数y=sin2（x﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω为（）A． 2 B．C． 4 D．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．解答：解：∵函数y=sin2（x﹣）==﹣sinωx 的最小正周期为=π，则ω=2，故选：A．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．9．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜ϕ＜），其部分图象如下图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A． g（x）=sin（x+1）B．g（x）=sin（x﹣）C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x）的解析式，再利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象可得A=1，=4（1+1），求得ω=．再根据五点法作图可得×（﹣1）+ϕ=0，求得ϕ=，可得函数f（x）=sin（x+）．把f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向右平移1个单位得到g（x）=sin=sin （x﹣]的图象，故选：B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．（2015春•宜春期末）的值是（）A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差公式、诱导公式即可得出．解答：解：原式===sin30°=．故选：C．点评：本题考查了两角和差公式、诱导公式，属于基础题．11．（2011•石狮市校级模拟）一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B． C． D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比，进而计算可得答案．解答：解：根据几何概型知识，其概率为体积之比，即，故选A点评：本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．12．（2015春•宜春期末）△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知等式先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果．解答：解：因为3+4+5=，所以3+4=﹣5，所以，因为A，B，C在圆上，所以．代入原式得=0，同理=所以===﹣；故选A．点评：本题考查了平面向量在几何问题中的应用．要利用向量的三角形法则，将所求进行化归，从而将问题转化为数量积．二、填空题（4×5=20分）13．（2015春•宜春期末）箱子中有4个分别标有号码1、2、3、4的小球，从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，则两次记下的号码至少一个奇数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，共4×4=16种情种情况，而两次之都为偶数的情况有2×2=4种，进而可得两次记下的号码至少一个奇数的情况有12种，由等可能事件的概率公式计算可得答案．解答：解：根据题意，设两个号码至少一个奇数的事件为A，从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，共4×4=16种情况，而两次之都为偶数的情况有2×2=4种，则两个号码至少一个为偶数的情况有16﹣4=12种；故两次记下的号码至少一个奇数的概率为P（A）==，故答案为：点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，属于基础题．14．（2015春•宜春期末）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）= ﹣7 ．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求cosα，tanα，利用两角和的正切函数公式即可得解．解答：解：∵α∈（，π），sinα=，∴cos=﹣，t anα==﹣，∴tan（α+）===﹣7．故答案为：﹣7．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，同角三角函数基本关系的运用，两角和的正切函数公式的应用，属于基础题．15．（2012•广州二模）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若，则的值为﹣2 ．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：计算题．分析：取BC的中点M，连接DM，交AC于N，由平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE 与AC相交于点F，知AF=FN=CN，故=﹣，由此能求出结果．解答：解：取BC的中点M，连接DM，交AC于N，∵ABCD是平行四边形，且点E、M分别为AD、BC的中点∴DE∥BM，DE=BM，∴四边形BEDM是平行四边形，∴BE∥DM，在△AND中，∵EF∥DN且点E为AD中点，∴点F也为AN中点，∴AF=FN，同理可得CN=FN，∴AF=FN=CN，∴=﹣+=﹣，∵，∴m=，n=﹣，∴．故答案为：﹣2．点评：本题考查向量的线性运算性质及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是①③④．（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）（x∈）的单调递增区间是；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：①，利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的增区间，即可判断出正误；②将代入f（x），即可判断出正误；③f（x）=，向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为，由题意得，即可判断出正误；④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解，结合函数及y=m的图象即可得出．解答：解：①，∴函数的增区间为，又∵，∴增区间为．∴①正确；②将代入f（x）得，∴②不正确；③，∴向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为，由题意得，∵，因此m的最小值是，∴③正确；④若实数m使得方程f（x）=m在上恰好有三个实数解，结合函数及y=m的图象可知，必有x=0，x=2π，此时，另一解为，即x1，x2，x3满足，④正确．综上知，只有①③④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（10分）（2015春•宜春期末）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，而终边经过点P（1，﹣2）．（1）求tanα的值；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意，根据P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值即可；（2）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，而终边经过点P （1，﹣2），∴tanα=﹣2；（2）∵tanα=﹣2，∴原式===6．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（2015春•宜春期末）已知函数f（x）=﹣cos2x+2cos2（﹣x）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用诱导公式，倍角公式及辅助角公式，可将函数f（x）的解析式化为，由ω=2可得f（x）的最小正周期；（2）借助正弦函数的图象和性质，分别f（x）在区间上最值，可得答案．解答：解：（1）（2分）=（4分）∵ω=2，∴f（x）最小正周期为T=π，（6分）（2）因为，所以（8分）当时，函数取最小值﹣2；当时，函数取最大值；所以，所以f（x）取值范围为．点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，难度中档．19．（2015春•宜春期末）已知，，是一个平面内的三个向量，其中=（1，3）．（1）若||=2，∥，求及；（2）若||=，且﹣3与2+垂直，求与的夹角．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量平行的性质得到坐标的关系；=（λ，3λ），利用模求参数λ；（2）利用已知向量垂直得到数量积为0，求出，的数量积，利用数量积公式求夹角．解答：解：（1）因为||=2，∥，所以设=（λ，3λ），并且λ2+9λ2=40，解得λ=±2，所以=（2，6）或者（﹣2，﹣6），=±20；（2）因为||=，且﹣3与2+垂直，所以（﹣3）（2+）=0，所以2=0，又=10，，所以=，所以与的夹角的余弦值为=，所以与的夹角60°．点评：本题考查了平面向量平行和垂直的性质；向量数量积公式求向量夹角．20．（2015春•宜春期末）从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量，被抽取学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，如图是按上述分组方法得到的条形图．（1）根据已知条件填写下面表格：组别 1 2 3 4 5 6 7 8频数（2）估计这所学校高三年级800名学生中身高在175cm以上（含175cm）的人数；（3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为同性别学生的概率是多少？考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图分析可得各数据段的频率，再由频率与频数的关系，可得频数．（2）求出这所学校高三年级800名学生中身高在175cm以上（含1175cm）的频率，即得频数（3）第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，列出基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（1）由条形图得第七组频率为.1﹣（0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3）=0.06，∴0.06×50=3人∴第七组的人数为3人．（1分）组别 1 2 3 4 5 6 7 8频数 2 4 10 10 15 4 32（4分）（2）由条形图得前四组频率为0.04+0.08+0.2+0.2=0.52，后四组频率为1﹣0.52=0.48．估计这所学校高三年级身高在175cm以上（含175cm）的人数800×0.48=384（人）．（8分）（3）第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：a b c d1 1a 1b 1c 1d2 2a 2b 2c 2d3 3a 3b 3c 3d所以基本事件有12个，恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a共7个，因此实验小组中，恰为两男或两女的概率是=．点评：本题考查了古典概型概率计算及频率分布直方图的应用，关键是正确分析频率分布直方图的数据信息，准确计算．21．（2015春•宜春期末）x的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数x．（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的y（y＜5）的概率；（3）求输出的y（6＜y≤8）的概率．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；概率与统计；算法和程序框图．分析：（1）由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，分析程序各分支对应的操作可得程序框图所表示的函数表达式；（2）求出输出的y（y＜5）的x值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；（3）求出输出的y（6＜y≤8）的值的范围，代入几何概型概型计算公式，可得答案；解答：解：（1）由已知可得程序框图所表示的函数表达式是；（3分）（2）当y＜5时，若输出y=x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足x+1＜5，所以0≤x＜4，若输出y=x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足x﹣1＜5，所以0≤x＜6（不合），所以输出的y（y＜5）的时x的范围是0≤x＜4．则使得输出的y（y＜5）的概率为；（7分）（3）当x≤7时，输出y=x+1（0≤x≤7），此时输出的结果满足6＜x+1≤8解得5＜x≤7；当x＞7时，输出y=x﹣1（7＜x≤10），此时输出的结果满足6＜x﹣1≤8解得7＜x≤9；综上，输出的y（6＜y≤8）的时x的范围是5＜x≤9．则使得输出的y满足6＜y≤8的概率为．点评：本题考查的知识点是程序框图，分段函数，几何概型，是概率，函数与算法的综合应用，难度不大，属于基础题．22．（2015春•宜春期末）已知向量=（﹣cos（π﹣θ），sin（﹣θ）），=（，2cos2﹣1）．（1）求证：⊥（2）设=+（t2+3），=﹣k+t，g（t）=（λ∈），若存在不等于0的实数k 和t（t∈），满足⊥，试求g（t）的最小值h（λ），并求出h（λ）的最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）首先化简两个向量的坐标，然后进行数量积的运算；（2）由可得，进一步利用k，t表示，化简后根据解析式特点，讨论最小值的取得．解答：解：（1）=（﹣cos（π﹣θ），sin（﹣θ））=（cosθ，﹣sinθ）=（，2cos2﹣1）=（sinθ，cosθ）所以=sinθcosθ﹣sinθcosθ=0，∴；（3分）（2）由可得，即，∴，∴，又∵，∴﹣k+t3+t=0，∴k=t3+3t，∴g（t）=，（t∈）（7分）①当即λ＞﹣2时，g（t）min=g（1）=λ+4②当即﹣4≤λ≤﹣2时，③当即λ＜﹣4时，g（t）min=g（2）=2λ+7∴（10分）∴h（λ）min=﹣9点评：本题考查了利用三角函数的诱导公式以及逆用两角和与差的三角函数公式化简三角函数式、平面向量的数量积公式的运用以及讨论思想的考查；属于中档题．。

2015-2016年江苏省宜春市丰城中学高一下学期数学期末试卷及参考答案(理科)

19．（12 分）已知函数（Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知，求△ABC 的面积．
，a=2，
20．（12 分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：分组 [10，15） [15，20）频数 m 24 频率 P n
2015-2016 学年江苏省宜春市丰城中学高一（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5 分）学校教务处要从某班级学号为 1﹣60 的 60 名学生中用系统抽样方法抽取 6 名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（ A．5，10，15，20，25，30 B．3，13，23，33，43，53 C．1，2，3，4，5，6 D．2，4，8，16，32，48 2．（5 分）在△ABC 中，如果 sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么 cosC 等于（ A． B． C． D．）））
3．（5 分）设 0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（ A．a3＞b3 B． C．ab＞1 D．lg（b﹣a）＜0
4．（5 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a5=3， S5=10，则 a13 的值是（ A．1 B．3 C．5 D．7
）
5．（5 分）下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为 =0.8x﹣155，后因某未知原因第 5 组数据的 y 值模糊不清，此位置数据记为 m（如表所示），则利用回归方程可求得实数 m 的值为（ x y ） 196 1 197 3 200 6 203 7 204 m

2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一(上)数学期末试卷及解析(重点班)

7．（5.00 分）已知直线 l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0 互相垂直，则 a 的值是（ A．0 B．1 ） C．0 或 1 D．0 或﹣1 ）
8．（5.00 分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A．y=|x|（x∈R） B．y=﹣x3（x∈R） C． D．
9．（5.00 分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，其中主视图和左视图均为等腰三角形，俯视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是（）
A．1
B．2
C．3
D．4 ）
10．（5.00 分）函数 y=lg（﹣x2+2x）的单调递增区间是（ A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（0，1） D．（1，+∞）
18．（12.00 分）已知集合 A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1} （Ⅰ）当 m=3 时，求 A∩B．（Ⅱ）若 B⊆A，求实数 m 的取值范围． 19．（12.00 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱 PA⊥面 ABCD， BD 交 AC 于点 E，F 是 PC 中点，G 为 AC 上一动点．（1）求证：BD⊥FG；（2）在线段 AC 上是否存在一点 G 使 FG∥平面 PBD，并说明理由．
3．（5.00 分）已知 A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点 M 在 x 轴上，且到 A、B 两点的距离相等，则 M 的坐标为（ A．（﹣3，0，0） B．（0，﹣3，0）） C．（0，0，﹣3） D．（0，0，3））
4．（5.00 分）已知函数 f（x）= A． B． C．4 D．9
与直线 kx﹣y﹣2k+4=0 有两个相异的交点时，

2014-2015年江西省宜春市奉新一中高一下学期数学期末试卷及参考答案

2014-2015学年江西省宜春市奉新一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．lna＞lnb B．0.3a＞0.3b C．D．2．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣33．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．5 B．9 C．log345 D．104．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞B．0＜x＜2 C．＜x＜2 D．＜x≤26．（5分）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．88．（5分）在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈[0，]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）若2m+2n＜2，则点（m，n）必在（）A．直线x+y=1的左下方B．直线x+y=1的右上方C．直线x+2y=1的左下方D．直线x+2y=1的右上方11．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，=2，=，则b=（）且S△ABCA．4 B．3 C．2 D．112．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1 B．3：2：2 C．：2：1 D．：1：2二．填空题：（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为．14．（5分）已知x＞0，y＞0且=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是．15．（5分）锐角△ABC中，，则=．16．（5分）有限数列D：a 1，a2，…，a n，其中S n为数列D的前n项和，定义为D 的“德光和”，若有99项的数列a1，a2，…，a99的“德光和”为1000，则有100项的数列8，a1，a2，…，a99的“德光和”为．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（10分）已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（）=﹣，b=1，c=，且a＞b，求角B和角C．20．（12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求频率分布直方图中m的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[70，80），[80，90），[90，100]中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[80，100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80，90）中的概率．21．（12分）三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}及f（x n）=a1x+a2x2+…+a n x n，f n（﹣1）=（﹣1）n n，n ∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和T n；（Ⅲ）若（n）•a n≤m2+m﹣1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年江西省宜春市奉新一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．lna＞lnb B．0.3a＞0.3b C．D．【分析】不妨令a=﹣1、b=﹣2，代入各个选项检验，可得结论．【解答】解：不妨令a=﹣1、b=﹣2，代入各个选项检验可得A、B、C都不成立，只有D成立，故选：D．2．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣3【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值．【解答】解：∵l1⊥l2∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）=0，即（a﹣1）（a+3）=0解得a=1或a=﹣3故选：D．3．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．5 B．9 C．log345 D．10【分析】利用等比中项、对数性质可知log3a1+log3a2+…+log3a10=5log3a4a7，进而计算可得结论．a n=a1•q11﹣n﹣1•a1•q n﹣1=•q9为定值，【解答】解：依题意当n≤10时，a11﹣n又∵a5a6+a4a7=18，∴a4a7=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3a1a10+log3a2a9+log3a3a8+log3a4a7+log3a5a6=5log3a4a7=5log39=10，故选：D．4．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩==90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩==88.4+当X=8或9时，≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣=故选：C．5．（5分）已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞B．0＜x＜2 C．＜x＜2 D．＜x≤2【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入表示出sinB，根据B 的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可．【解答】解：∵在△ABC中，a=x（x＞0），b=2，A=60°，∴由正弦定理得：sinB==∵A=60°，∴0＜B＜120°，要使三角形有两解，得到60°＜B＜120°，且B≠90°，即＜sinB＜1，∴＜＜1，解得：＜x＜2，故选：C．6．（5分）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．8．（5分）在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈[0，]的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为π，满足sinx∈[0，]的，求出区间长度，由几何概型公式解答．【解答】解：在区间[0，π]上，当时，，由几何概型知，符合条件的概率为．故选：C．9．（5分）若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．【分析】==，而=，代入已知条件即可算出．【解答】解：由题设知，，又=，所以=，所以===，故选：D．10．（5分）若2m+2n＜2，则点（m，n）必在（）A．直线x+y=1的左下方B．直线x+y=1的右上方C．直线x+2y=1的左下方D．直线x+2y=1的右上方【分析】由已知利用基本不等式得到m+n＜1，再由二元一次不等式表示的平面区域得答案．【解答】解：由2m+2n＜2，得，∴，即m+n＜1．∴点（m，n）必在直线x+y=1的左下方．故选：A．11．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，=2，=，则b=（）且S△ABCA．4 B．3 C．2 D．1=求得a=1，【分析】由条件利用正弦定理可得c=2a，sinB=．再由S△ABC可得c=2，再利用余弦定理求得b的值．【解答】解：△ABC中，cosB=，=2，∴由正弦定理可得c=2a，sinB=．===a2•，可得a=1，∴c=2，再由S△ABC∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=1+4﹣4×=4，∴b=2，故选：C．12．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1 B．3：2：2 C．：2：1 D．：1：2【分析】利用正弦定理化简已知表达式，通过，不共线，求出a、b、c的关系，利用正弦定理求解即可．【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，若2a=0，则2a+=﹣3c=﹣3c（﹣﹣），即（2a﹣3c）+（b﹣3c）=，又因∵，不共线，则2a﹣3c=0，b﹣3c=0，即2a=b=3c，由正弦定理可知：sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：2，故选：B．二．填空题：（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为4x﹣y﹣13=0或x=3．【分析】根据题意，求出经过点P且与AB平行的直线方程和经过P与AB中点C 的直线方程，即可得到满足条件的直线方程．【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线．∵A（2，﹣3），B（4，5），∴AB的斜率k==4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x﹣3），化简得4x﹣y﹣13=0，又∵AB中点为C（3，1）∴经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4x﹣y﹣13=0或x=3．14．（5分）已知x＞0，y＞0且=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，16] ．【分析】不等式x+y≥m恒成立⇔（x+y）min≥m．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0且=1，∴x+y==10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∵不等式x+y≥m恒成立⇔（x+y）min≥m．∴m∈（﹣∞，16]，故答案为：（﹣∞，16]．15．（5分）锐角△ABC中，，则=4．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用余弦定理列出关系式，两者联立得到4abcosC=c2，原式提取tanC，利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用正弦定理变形，将4abcosC=c2代入即可求出值．【解答】解：∵+==6cosC，由余弦定理得：a2+b2﹣2abcosC=c2，∴4ab•cosC=c2，则原式=tanC•=tanC•=，由正弦定理得：=，∴上式===4．故答案为：416．（5分）有限数列D：a1，a2，…，a n，其中S n为数列D的前n项和，定义为D 的“德光和”，若有99项的数列a1，a2，…，a99的“德光和”为1000，则有100项的数列8，a1，a2，…，a99的“德光和”为998．【分析】通过S1+S2+S3+…+S n=na1+（n﹣1）a2+（n﹣2）a3+…+2a n﹣1+a n入手，计算即可得到结论．【解答】解：∵S1=a1，S n=a1+a2+…+a n，∴S1+S2+S3+…+S n=na1+（n﹣1）a2+（n﹣2）a3+…+2a n﹣1+a n，对于数列a1，a2，…，a99有：S1+S2+S3+…+S99=99a1+98a2+97a3+…+2a98+a99=1000n=99000，对于数列8，a1，a2，…，a100有：S1+S2+S3+…+S100=800+99a1+98a2+97a3+…+2a98+a99=99800；所以数列8、a1、a2、a3、…、a99的“德光和”为998，故答案为：998．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（10分）已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（1）利用斜率计算公式即可得出；（2）求出与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积计算公式和二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）直线l过点（m，0），（0，4﹣m），则2，解得m＞0或m＜﹣4且m≠4．∴实数m的取值范围是m＞0或m＜﹣4且m≠4；（2）由m＞0，4﹣m＞0得0＜m＜4，则，则m=2时，S有最大值，直线l的方程为x+y﹣2=0．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求a n及S n；（Ⅱ）求出b n的通项公式，利用裂项法即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有，解得a1=3，d=2，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n====（﹣），所以数列{b n}的前n项和T n=（1﹣﹣）=（1﹣）=，即数列{b n}的前n项和T n=．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（）=﹣，b=1，c=，且a＞b，求角B和角C．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换，把f（x）化为Asin（ωx+φ）的形式，求出它的最小正周期与递增区间；（Ⅱ）由f（）=求出B的值，再由正弦定理求出A、C的值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=cos2x•（﹣）+sin2x•﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=（•sin2x﹣cos2x）=sin（2x﹣），∴故函数f（x）的最小正周期为T==π；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z ）；（Ⅱ）f（）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣．∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=．由正弦定理得：==，∴sinC=，∵0＜C＜π，∴C=或；当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍）；综上，B=，C=．20．（12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求频率分布直方图中m的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[70，80），[80，90），[90，100]中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[80，100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80，90）中的概率．【分析】（Ⅰ）根据各小组频率和等于1，求出m的值；（Ⅱ）利用频率=，计算成绩落在[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生人数；（Ⅲ）用列举法求出从[80，100]中的学生抽取2人的基本事件数以及此2人的成绩都在[80，90）的基本事件数，求出概率即可．【解答】解：（Ⅰ）根据各小组频率和等于1，得；10×（2m+3m+4m+5m+6m）=1，∴m=0.005；…（3分）（Ⅱ）成绩落在[70，80）中的学生人数为20×10×0.03=6，成绩落在[80，90）中的学生人数是20×10×0.02=4，成绩落在[90，100]中的学生人数2是0×10×0.01=2；…（6分）（Ⅲ）设落在[80，90）中的学生为a1，a2，a3，a4，落在[90，100]中的学生为b 1，b2，则Ω1={a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2}，基本事件个数为n=15，设A=“此2人的成绩都在[80，90）”，则事件A包含的基本事件数m=6，∴事件A发生的概率为．…（13分）21．（12分）三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理化简可得：=，结合A的范围，可得＜sin（A）＜1，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，即C=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B=，∴由正弦定理可得：====，∵0，A＜，＜sin（A）＜1，∴＜＜，从而解得：∈（1，）．22．（12分）已知数列{a n}及f（x n）=a1x+a2x2+…+a n x n，f n（﹣1）=（﹣1）n n，n ∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和T n；（Ⅲ）若（n）•a n≤m2+m﹣1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过令n=1、2、3代入计算可知a1、a2、a3的值，利用（﹣1）n+1•a n+1=f n+1（﹣1）﹣f n（﹣1）计算即得通项公式；（Ⅱ）通过a n=2n﹣1可知当n≥时b n≥0，分类讨论即得结论；（Ⅲ）通过令c n=，通过作差可知当n=2时c n取最大值，进而解不等式m2+m﹣1≥即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f1（﹣1）=﹣a1=﹣1，∴a1=1，∵f2（﹣1）=﹣a1+a2=2，∴a2=3，∵f3（﹣1）=﹣a1+a2﹣a3=﹣3，∴a3=5，∵（﹣1）n+1•a n+1=f n+1（﹣1）﹣f n（﹣1）=（﹣1）n+1•（n+1）﹣（﹣1）n•n，=（n+1）+n=2n+1，∴a n+1∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）∵a n=2n﹣1，∴b n=a n﹣10=2n﹣11，∴数列{b n}的前n项和S n==n2﹣10n，由b n≥0得n≥，∴当1≤n≤5时，T n=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣S n=﹣n2+10n；当n≥6时，T n=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+…+b n=S n﹣2S5=n2﹣10n﹣2（52﹣10×5）=n2﹣10n+50；综上，T n=；（Ⅲ）令c n=，则c n+1﹣c n=﹣=，∴当n=1时，c1=；当n=2时，c2=；＜c n，．当n≥2时，c n+1∴当n=2时，c n取最大值，又（n）•a n≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，∴m2+m﹣1≥对一切正整数n恒成立，解得：m≥1或m≤﹣7．。

宜春市2014-2015学年第一学期期末统考高一数学试卷

宜春市2014-2015学年第一学期期末统考高一数学试卷一、选择题:1.集合U={}6,5,4,3,2,1，A={}5,3,1,B={}5,4,2,则A ⋂()B C U 等于 A.()6,3,1 B {}3,1 C. {}1 D.{}5,4,22.已知集合A=[]6,0，集合B=[]3,0,则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( ) A. f: x →y=61x B. f: x →y=31xC. f: x →y=21x D. f: x →y=x 3.已知A(2,0,1),B(1,-3,1),点M 在x 轴上，且到A 、B 两点间的距离相等,则M 的坐标为( ) A.(-3,0,0) B.(0,-3,0) C.(0,0,-3) D.(0,0,3)4.函数y=x 2+2(m-1)x+3在区间()2,-∞-上是单调递减的，则m 的取值范围是( )A. m ≤3B. m ≥3C. m ≤-3D. m ≥-3 5.函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间( ) A.(81,41) B. (41,21) C.(21,1) D.(1,2) 6.视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是( ) A.1 B. 2 C . 3 D.47.已知二次函数f(x)=x 2-x+a(a>0)，若f(m)<0，则f(m-1)的值是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a 有关8.直线x+y+6=0截圆x 2+y 2=4得劣弧所对圆心角为( ) A.6π B. 3π C. 2π D. 32π9.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是A.EF 与BB 1垂直B. EF 与A 1C 1异面C.EF 与CD 异面D.EF 与BD 垂直 10.已知偶函数f(x)在[]2,0单调递减，若a=f(0.54),b=f(log 214),c=f(26.0),则a, b, c 的大小关系是( )A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>b D .b>c>aDA B CEF D 1A 1B 1C 1 主视图左视图11.已知圆C 与直线3x-4y=0及3x-4y=10都相切，圆心在直线4x+3y=0上，则圆C 的方程为( ) A. (x-53)2+(y+54)2=1 B. (x+53)2+(y+54)2=1 C.(x+53)2+(y-54)2=1 D. (x-53)2+(y-54)2=1 12.对于函数f(x),若任给实数a,b,c ，f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为 “可构造三角形函数”。

江西省宜春市高安二中2015-2016学年高一下学期期末数学试卷含解析

2015-2016学年江西省宜春市高安二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要的）1．已知，则等于（）A．B．7 C． D．﹣72．在四边形ABCD中，=（1,2），=（﹣4，2),则该四边形的面积为（）A．B． C．5 D．103．等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=(）A．B．﹣C．2 D．﹣24．设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A． +与﹣B．3﹣2与4﹣6C． +2与+2D．和+5．若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x)在单调递减C．f（x）在单调递增D．f(x）在单调递减6．若x,y满足约束条件，且向量=（3，2）,=（x，y)，则•的取值范围（）A．[，5］B．［，5]C．[，4]D．[,4］7．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是(）A．B．C．D．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣)=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．在等比数列{a n｝中，若，，则=（）A．B．C． D．10．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，9）D．11．设等差数列{a n｝的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N＊，且m≥2），则必定有(）A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0,且S m+1＜012．已知数列｛a n}满足：a n=log(n+2)定义使a1•a2•…•a k为整数的数k（k∈N＊）叫做希（n+1)望数，则区间[1，2012]内所有希望数的和M=（)A．2026 B．2036 C．2046 D．2048二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知向量=（1，）,=(3，y），若向量，的夹角为,则在方向上的投影是______．14．（几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，，BC=3,BE⊥AC，垂足为E，则ED=______．15．函数y=log a（x+3)﹣1（a＞0,a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为______．16．设数列｛a n}，（n≥1,n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n)=2，若[x］表示不超过x的最大整数,则［++…+］=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．设函数f（α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．（1）若P点的坐标为（,1),求f（α）的值;（2）若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围,并求函数f(α）的最小值和最大值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ)求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n｝的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求｛}的前n项和S n．19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．20．数列{a n｝前n项和为S n，a1=4，a n+1=2S n﹣2n+4．（1)求证：数列｛a n﹣1｝为等比数列；（2）设,数列｛b n｝前n项和为T n，求证：8T n＜1．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC,∠C=90°，AB=2百米,BC=1百米，现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图，使得EF∥AB，EF ⊥ED，在△DEF喂食,求S△DEF的最大值．22．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为(cosωx,sinωx)，其中ω＞0．设f（x）=•．(1)记函数y=f(x）的正的零点从小到大构成数列｛a n}（n∈N＊），当a=，b=1，ω=2时,求{a n}的通项公式与前n项和S n；（2）令ω=1，a=t2,b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈［0，1］恒成立，求θ的取值范围．2015—2016学年江西省宜春市高安二中高一(下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的）1．已知，则等于（）A．B．7 C． D．﹣7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．【解答】解：已知,则,∴=,故选A．2．在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2),则该四边形的面积为（) A．B． C．5 D．10【考点】向量在几何中的应用；三角形的面积公式;数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状,然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0,所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又,，该四边形的面积：==5．故选C．3．等比数列{a n｝的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=()A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：设等比数列｛a n}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得,解得:．∴．故选：A．4．设•不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（)A． +与﹣B．3﹣2与4﹣6C． +2与+2D．和+【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由共线的向量不能作为平面向量的一组基底,能求出结果．【解答】解：在A中，∵，不共线是两不共线的向量，∴+与﹣不共线，∴+与﹣能作为平面向量的一组基底．在B中．，∵，不是两不共线的向量,∴3﹣2=（4﹣6）共线，∴3﹣2与4﹣6不能作为平面向量的一组基底在C中,∵，不是两不共线的向量,∴+2与2+不共线，∴+2与2+能作为平面向量的一组基底，在D中,∵,是两不共线的向量，∴和+不共线,∴和+能作为平面向量的一组基底．故选B．5．若f（x）=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π,f（0)=，则（）A．f(x）在单调递增 B．f（x）在单调递减C．f(x）在单调递增D．f(x）在单调递减【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由f(0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x)=sin(ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）(ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+)=1，ϕ+=2kπ+,k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，）,函数f（x）=cos2x 没有单调性,故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x)=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．6．若x，y满足约束条件，且向量=(3,2)，=(x，y),则•的取值范围（）A．[，5]B．[，5]C．[，4］D．[，4]【考点】简单线性规划．【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y,设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解:∵向量=（3，2），=(x,y),∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y,则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大,由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5,经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小,由，解得，即A(，），此时z min=3×+2×=,则≤z≤5故选：A．7．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为,令,则．故选：A．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=,cos(﹣）=，则cos（α+）=(）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin(+α)和sin（﹣)的值，进而利用cos(α+)=cos［（+α）﹣（﹣)］通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜,＜﹣＜∴sin(+α）==,sin（﹣）==∴cos（α+)=cos［（+α）﹣(﹣）］=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣)=故选C9．在等比数列{a n}中，若，，则=()A．B．C． D．【考点】等比数列．【分析】先用首项和公比表示，再用等比数列｛｝与等比数列｛a n}的联系系求解．【解答】解：∵∴∴故选C10．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，9）D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合抛物线的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当a≤0时，不满足条件，则a＞0，抛物线y=ax2开口向上，当抛物线经过点B时，a取得最大值,当经过点C时，取得最小值，由，解得，即B（3，8），此时8=9a，解得a=．由，解得，即B（3,8)，此时8=9a，解得a min=．由，解得，即C（1,9)，此时9=a，解得a max=9．∴≤a≤9，故选：D．11．设等差数列｛a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1(m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0 B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0 D．S m＜0，且S m+1＜0【考点】等差数列的性质．【分析】由﹣a m＜a1＜﹣a m+1，可得a1+a m＞0，a1+a m+1＜0,结合等差数列的求和公式即可求解【解答】解：∵﹣a m＜a1＜﹣a m+1，∴a1+a m＞0，a1+a m+1＜0∴＞0，＜0故选A12．已知数列{a n}满足：a n=log（n+2)定义使a1•a2•…•a k为整数的数k(k∈N＊)叫做希望（n+1）数，则区间［1，2012］内所有希望数的和M=（）A．2026 B．2036 C．2046 D．2048【考点】数列的求和．【分析】利用a n=log n+1（n+2），化简a1•a2•a3…a k，得k=2m﹣2,给m依次取值，可得区间[1,2012］内所有希望数，然后求和．【解答】解：a n=log n+1（n+2），∴由a1•a2•a3…a k为整数得，log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2)为整数，设log2（k+2）=m,则k+2=2m，∴k=2m﹣2;因为211=2048＞2012,∴区间[1，2012］内所有希望数为22﹣2，23﹣2，24﹣2，210﹣2，其和M=22﹣2+23﹣2+24﹣2+…+210﹣2=2026．故选:A二、填空题（本题共4个小题，每小题5分,共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知向量=（1，)，=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义求出y的值,然后根据投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵向量=（1,），=(3，y）,若向量,的夹角为，∴cos=，即=，平方得y=,即=（3,）∴在方向上的投影是｜｜•cos＜，＞===3．故答案为:3．14．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中,，BC=3,BE⊥AC,垂足为E，则ED=．【考点】余弦定理．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形,由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°,且利用射影定理求出EC的长,在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解:∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中,AB=，BC=3,根据勾股定理得：AC=2,∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°,在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得:ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1,把要求的式子化为4++，利用基本不等式求得结果．【解答】解：由题意可得定点A（﹣2,﹣1）,又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8,当且仅当时，等号成立，故答案为：8．16．设数列｛a n},（n≥1,n∈N）满足a1=2,a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣(a n+1﹣a n）=2,若［x]表示不超过x的最大整数，则[++…+］=2015．【考点】等差数列的通项公式．【分析】构造b n=a n+1﹣a n,可判数列｛b n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a n=n （n+1）,裂项相消法可得答案．【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2,故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2(n﹣1）=2n+2，=2n,故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=，解得a n=n（n+1），故++…+=2016（++…+）=2016（1﹣+﹣+…+﹣)=2016﹣，∴[++…+］=2015，故答案为：2015．三、解答题(本大题共6小题，共70分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．设函数f(α）=sinα+cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．（1）若P点的坐标为（，1）,求f（α）的值；（2）若点P(x，y）为平面区域上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f(α）的最小值和最大值．【考点】任意角的三角函数的定义;简单线性规划．【分析】（1）由三角函数的定义，算出sinα=，cosα=,代入即可得到求f（α）的值; （2）作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，运动点P 并加以观察，可得α∈[，］．利用辅助角公式化简得f（α）=2sin（α+），由α+∈［，］结合正弦函数的图象与性质加以计算，可得函数f(α)的最小值和最大值．【解答】解：（1）∵P点的坐标为（，1），可得r=|OP｜==2,∴由三角函数的定义，得sinα=，cosα=，故f(α）=sinα+cosα=+×=2．（2）作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部区域，其中A（0，1）、B（0。

2014-2015年江西省宜春市高安中学高一下学期数学期末试卷及参考答案(文科)

2014-2015学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式x（x+2）≥0的解集为（）A．{x|x≥0或x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x≤0}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0或x≥2}2．（5分）数列{a n}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n+1（n∈N+）B．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）C．a n=（﹣1）n+1（n∈N+）D．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）3．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）在等差数列{a n}中，a2，a10是方程2x2﹣x﹣7=0的两根，则a6等于（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5分）sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．6．（5分）在等比数列中，，则项数n为（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）已知不等式＞0的解集为（﹣1，3），那么=（）A．3 B．﹣ C．﹣1 D．18．（5分）若=，则tan2α=（）A．﹣ B．C．﹣ D．9．（5分）在△ABC中，角A、B的对边分别为a、b且A=2B，sinB=，则的值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=（n∈N+），设{a n}的前n项积为s n，则使s n＜成立的自然数n（）A．有最大值62 B．有最小值63 C．有最大值62 D．有最小值3111．（5分）已知c osα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，则β=（）A．B．C．D．12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式＞0的解集为．14．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1=20，公差d=﹣2，则前n项和S n的最大值为．15．（5分）函数f（x）=sin22x﹣cos22x的最小正周期是．16．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）当a为何值时，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且=1，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（I）求a n及S n；（II）求数列{}的前n项和为T n．20．（12分）已知b2+c2=a2+bc．（1）求角A的大小；（2）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．21．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．22．（12分）设各项均为正数的等比数列{a n}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设b n=log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1=1，c n+1=c n+，求证：c n＜3．（3）是否存在正整数k，使得++…+＞对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．2014-2015学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式x（x+2）≥0的解集为（）A．{x|x≥0或x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x≤0}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0或x≥2}【分析】解方程x（x+2）=0，得x1=0，x2=﹣2，由此能求出不等式的解集．【解答】解：解方程x（x+2）=0，得x1=0，x2=﹣2，所以不等式x（x+2）≥0的解集为{x|x≥0或x≤﹣2}；故选：A．2．（5分）数列{a n}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n+1（n∈N+）B．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）C．a n=（﹣1）n+1（n∈N+）D．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）【分析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，即可得出结论．【解答】解：观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，故选：D．3．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．4．（5分）在等差数列{a n}中，a2，a10是方程2x2﹣x﹣7=0的两根，则a6等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】根据等差数列的性质，利用根与系数的关系，即可求出a6的值．【解答】解：等差数列{a n}中，a2，a10是方程2x2﹣x﹣7=0的两根，∴a2+a10=，∴a6=（a2+a10）=×=．故选：B．5．（5分）sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵sinα+cosα=，则1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．6．（5分）在等比数列中，，则项数n为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用等比数列的通项公式，可求项数n．【解答】解：∵等比数列中，，∴，∴n=4．故选：C．7．（5分）已知不等式＞0的解集为（﹣1，3），那么=（）A．3 B．﹣ C．﹣1 D．1【分析】由题意可得ax+b=0的解为x=﹣1，求得a=b，从而求得的值．【解答】解：不等式＞0的解集为（﹣1，3），可得ax+b=0的解为x=﹣1，即﹣a+b=0，即a=b，∴==﹣，故选：B．8．（5分）若=，则tan2α=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【分析】将已知等式左边的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵==，∴tanα=﹣3，则tan2α===．故选：B．9．（5分）在△ABC中，角A、B的对边分别为a、b且A=2B，sinB=，则的值是（）A．B．C．D．【分析】由已知可求cosB，由正弦定理可得，从而得解．【解答】解：∵A=2B，sinB=，∴B为锐角，cosB==，∴由正弦定理可得：=2×=．故选：B．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=（n∈N+），设{a n}的前n项积为s n，则使s n＜成立的自然数n（）A．有最大值62 B．有最小值63 C．有最大值62 D．有最小值31【分析】利用数列的通项公式，求出乘积，结合不等式求出n的最小值即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式a n=（n∈N+），设{a n}的前n项积为s n，s n==，使s n＜成立，可得，解得n＞62，则使s n＜成立的自然数n为63．故选：B．11．（5分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，则β=（）A．B．C．D．【分析】由cos（a﹣β）=，可得cosαcosβ+sinαsinβ=，因为cosa=，0＜β＜a＜，所以sinα==，即cosβ+sinβ=，即2cosβ+8sinβ=13，又根据sinβ2+cosβ2=1，即可求解．【解答】解：∵cos（a﹣β）=，∴cosαcosβ+sinαsinβ=，∵cosa=，0＜β＜a＜，∴sinα==，∴cosβ+s inβ=，即2cosβ+8sinβ=13，又∵sinβ2+cosβ2=1，解得sinβ=，∴β=，故选：C．12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，+1a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} ．【分析】用穿根法求得所给的分式不等式的解法．【解答】解：用穿根法求得不等式＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1，或x ＞3}，故答案为：{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}．14．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1=20，公差d=﹣2，则前n项和S n的最大值为110．【分析】求出等差数列的前n项和，结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项a1=20，公差d=﹣2，∴前n项和S n=20n+×（﹣2）=﹣n2+21n=﹣（n﹣）2+（）2，则对称轴为n=，∴当n=10或11时，S n取得最大值，最大值为S10=﹣102+21×10=210﹣100=110，故答案为：11015．（5分）函数f（x）=sin22x﹣cos22x的最小正周期是．【分析】先将函数f（x）=sin22x﹣cos22x化简为：y═﹣cos4x，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x∴T==故答案为：16．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）当a为何值时，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R．【分析】讨论a2﹣1=0时和a2﹣1≠0时，不等式解集的情况，从而求出满足题意的a的取值范围【解答】解：当a2﹣1=0时，a=±1，若a=1，不等式化为﹣1＜0，满足题意，若a=﹣1，不等式化为2x﹣1＜0，不满足题意；当1﹣a2≠0时，即a≠±1，∴，即；解得﹣＜a＜1；综上，a的取值范围（﹣，1]．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且=1，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．【分析】（1）由题意和基本不等式可得xy=2x+8y≥2，解关于xy的不等式可得；（2）由题意可得x+y=（x+y）•（+）=10++，由基本不等式可得．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，=1，∴xy=2x+8y≥2即xy≥8，∴≥8，平方可得xy≥64，当且仅当2x=8y即x=16，y=4时，“=”成立，∴xy的最小值为64；（2）∵x＞0，y＞0，且+=1．∴x+y=（x+y）•（+）=10++≥10+2=18，当且仅当=，即x=2y=12时“=”成立．∴x+y的最小值为1819．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（I）求a n及S n；（II）求数列{}的前n项和为T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S n=n2+2n，可得S n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S n=n2+2n，∴S n==，∴T n=+…+=．=﹣．20．（12分）已知b2+c2=a2+bc．（1）求角A的大小；（2）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的余弦值求出A；（2）由题意和平方关系求出sinB的值，由正弦定理求出a的值，代入b2+c2=a2+bc 化简求出c，代入三角形的面积公式求值即可．【解答】解：（1）因为b2+c2=a2+bc，所以由余弦定理得，cosA==，…（3分）又0＜A＜π，则A=…（5分）（2）因为0＜A＜π，且cosB=，所以sinB==，…（6分）由正弦定理得，则a===3…（7分）因为b2+c2=a2+bc，所以c2﹣2c﹣5=0…（8分）解得c=，因为c＞0，所以c=…（10分）所以△ABC的面积S===…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．【解答】解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣sin（x﹣）∈[﹣1，]，故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为．（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．22．（12分）设各项均为正数的等比数列{a n}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设b n=log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1=1，c n+1=c n+，求证：c n＜3．（3）是否存在正整数k，使得++…+＞对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出等比数列的公比q，运用等比数列的通项公式，解得首项和公比，再由对数的运算性质可得通项公式；（2）运用累加法求得c n，再由错位相减法求和，即可得证；（3）假设存在正整数k，令S n=++…=++…+，判断单调性，进而得到最小值，解不等式可得k的范围．【解答】解：（1）设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，则a1+a1q2=10，a1q2+a1q4=40，解得a1=2，q=2，即有a n=2n，b n=log22n=n；（2）证明：c1=1，c n+1=c n+=c n+，则c n=c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（c n﹣c n﹣1）=1+++…+，即有c n=+++…+，两式相减可得c n=1+（++…+）﹣=1+﹣=﹣，即有c n=3﹣＜3，（3）假设存在正整数k，使得++…＞对任意正整数n均成立．令S n=++…=++…+，S n+1=++…+++，即有S n﹣S n=+﹣=﹣＞0，+1＞S n，即为S n+1数列{S n}递增，S1最小，且为，则有＜，解得k＜5，故存在正整数k，且k的最大值为4．。

2014-2015学年江西省宜春市高安中学重点班高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2014-2015学年江西省宜春市高安中学重点班高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．（5分）若a＜b＜0，则（）A．B．C．ab＞b2D．2．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=n2﹣2n﹣8（n∈N*），则a4等于（）A．1 B．2 C．0 D．33．（5分）不等式≤0的解集为（）A．{x|x≥3或﹣1≤x≤1}B．{x|x≥3或﹣1＜x≤1}C．{x|x≤﹣3或﹣1≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}4．（5分）已知sinx+cosx=2a﹣3，则a的取值范围是（）A．≤a≤B．a≤C．a＞D．﹣≤a≤﹣5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．6．（5分）等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）A．3 B．C．±D．以上皆非7．（5分）在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：28．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．569．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若⊥，则角A的大小为（）A．B．C．D．10．（5分）实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．211．（5分）已知sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，则α+β的值为（）A．B． C．或D．12．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞1，函数f（x）=x+的最小值是．14．（5分）已知A船在灯塔C的正东方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B 船在灯塔C北偏西30°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为km．15．（5分）sin40°•的值为_．16．（5分）数列{a n}的前n项和是S n，若数列{a n}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：①a23=；②S11=；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；④数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和T n=；在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号．三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量=（2cosωx，1），=（sinωx﹣cosωx，a），其中（x∈R，ω＞0），函数f（x）=•的最小正周期为π，最大值为3．（1）求ω和常数a的值；（2）求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（）x+1，a＞0（1）当a=时，解不等式f（x）≤0；（2）比较a与的大小；（3）解关于x的不等式f（x）≤0．20．（12分）设函数f（x）=x2+4x﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）+（m﹣1）x2﹣（4+m）x＜0恒成立，求m的取值范围；（2）若对于任意x∈[﹣1，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．21．（12分）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且sin（2C﹣）=．（1）求角C的大小；（2）求的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．2014-2015学年江西省宜春市高安中学重点班高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．（5分）若a＜b＜0，则（）A．B．C．ab＞b2D．【分析】用不等式的性质和特殊值法可依次验证每个选项【解答】解：对于A：当a=﹣2，b=﹣1时，显然不成立，∴A错误对于B：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|＞0∴，∴B错误对于C：由已知条件知a＜b，b＜0根据不等式的性质得：a•b＞b•b即ab＞b2∴C正确对于D：由已知条件知：∴D错误故选：C．2．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=n2﹣2n﹣8（n∈N*），则a4等于（）A．1 B．2 C．0 D．3【分析】根据数列的通项公式直接令n=4即可．【解答】解：∵a n=n2﹣2n﹣8（n∈N*），∴a4=42﹣2×4﹣8=16﹣8﹣8=0，故选：C．3．（5分）不等式≤0的解集为（）A．{x|x≥3或﹣1≤x≤1}B．{x|x≥3或﹣1＜x≤1}C．{x|x≤﹣3或﹣1≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}【分析】不等式即≤0，再用穿根法求得它的解集．【解答】解：不等式≤0，即≤0，用穿根法求得它的解集为{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}，故选：D．4．（5分）已知sinx+cosx=2a﹣3，则a的取值范围是（）A．≤a≤B．a≤C．a＞D．﹣≤a≤﹣【分析】由条件利用两角和的正弦公式可得sin（x+）=a﹣，再由﹣1≤sin （x+）≤1，可得﹣1≤a﹣≤1，解不等式求得a的取值范围．【解答】解：∵已知sinx+cosx=2a﹣3，∴sinx+cosx=a﹣，即sin（x+）=a﹣．再由﹣1≤sin（x+）≤1，可得﹣1≤a﹣≤1，解得≤a≤，故选：A．5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选：A．6．（5分）等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）A．3 B．C．±D．以上皆非【分析】由a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，利用韦达定理求出两根之积，即得到a3a9的值，再根据数列为等比数列，利用等比数列的性质即可得到a62=a3a9，把a3a9的值代入，开方即可求出a6的值．【解答】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=3，又数列{a n}是等比数列，则a62=a3a9=3，即a6=±．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2【分析】根据三角形内角和定理，结合A：B：C=1：2：3，算出A=，B=且C=，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=，即可得到a：b：c的值．【解答】解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，∴设A=x，则B=2x，C=3x，由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=∴A=，B=且C=，可得△ABC是直角三角形∵sinA==，∴c=2a，得b==因此，a：b：c=1：：2故选：D．8．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56【分析】利用等差数列的性质a5+a6=a1+a10，代入等差数列前n项和公式进行运算．【解答】解：由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10，∴其前10项之和为：==140．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若⊥，则角A的大小为（）A．B．C．D．【分析】利用⊥，可得=0，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=b（b﹣c）+（c+a）（c﹣a）=0，化为b2﹣bc+c2﹣a2=，即b2+c2﹣a2=bc．∴==．∵A∈（0，π），∴．故选：B．10．（5分）实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．2【分析】先判断3a与3b的符号，利用基本不等式建立关系，结合a+b=2，可求出3a+3b的最小值【解答】解：由于3a＞0，3b＞0，所以3a+3b===6．当且仅当3a=3b，a=b，即a=1，b=1时取得最小值．故选：B．11．（5分）已知sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，则α+β的值为（）A．B． C．或D．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos （α+β）的值，可得α+β的值．【解答】解：∵sinα=，sinβ=，且α，β均为锐角，∴cosα==，cosβ==，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=，结合α+β∈（0，π），求得α+β=，故选：A．12．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】利用cos2=可得，再利用两角和差的余弦可求．【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C ﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞1，函数f（x）=x+的最小值是3．【分析】由x＞1 可得x﹣1＞0，由基本不等式可得，可求答案．【解答】解：∵x＞1∴x﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”故答案为：314．（5分）已知A船在灯塔C的正东方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B 船在灯塔C北偏西30°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为﹣1km．【分析】先确定|AC|、|BC|和∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|AB|的值【解答】解：解：由题意可知|AC|=2，|AB|=3，∠ACB=90°+30°=120°在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB=4+x2﹣2•2x•（﹣）=9，整理得x2+2x ﹣5=0，解得x=，（﹣1＜0舍去）∴|BC|=﹣1（km）．故答案为：．15．（5分）sin40°•的值为_﹣1．【分析】首先化简分子部分为一个角的三角函数形式，然后利用诱导公式，倍角公式化简．【解答】解：原式=sin40°=﹣2sin40°===﹣1；故答案为：﹣1．16．（5分）数列{a n}的前n项和是S n，若数列{a n}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：①a23=；②S11=；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；④数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和T n=；在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号②④．【分析】将数列的项进行重新分组，结合等差数列的性质分别进行判断即可．【解答】解：由题意可得，分母为2的有一个，分母为3的有2个，分母为4的有3个，分母为5的有4个，分母为6的有5个，…由于1+2+3+4+5+6=21，故a23是分母为8的第二个，即a23=．故①错误，把原数列分组，分母相同的为一组：（）；（，）；（，，）；（，，，）；…；发现他们的个数是1，2，3，4，5…，构建新数列{b n}表示数列中每一组的和，则b n===是个等差数列，记b n的前n项和为T n，则S11=T4+a11=+=；故②正确，由②知{b n}为等差数列，故③错误，由②知{b n}为等差数列，且故b n===，则前n项和T n==，故④正确，故正确的是②④故答案为：②④三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）利用a1+2d=﹣6、a1+5d=0，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知b1=a2=﹣8，b2=a1+a2+a3=﹣24，进而可得公比，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=﹣6，a6=0，∴a1+2d=﹣6，a1+5d=0，解得：a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+2（n﹣1）=2n﹣12；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，∵a2=2×2﹣12=﹣8，a1=﹣10，a3=﹣6，∴b1=a2=﹣8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===3，∴S n===4（1﹣3n）．18．（12分）已知向量=（2cosωx，1），=（sinωx﹣cosωx，a），其中（x∈R，ω＞0），函数f（x）=•的最小正周期为π，最大值为3．（1）求ω和常数a的值；（2）求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．【分析】（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x），利用其周期性与最大值即可得出．（2）利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）f（x）=•=2cosωx+a=+a=﹣cos2ωx﹣1+a=+a﹣1．由T==π，得ω=1．又当=1时，y max=2+a﹣1=3，解得a=2．（2）由（1）知：f（x）=2+1，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]∴f（x）∈[0，3]，∴所求的值域为[0，3]．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（）x+1，a＞0（1）当a=时，解不等式f（x）≤0；（2）比较a与的大小；（3）解关于x的不等式f（x）≤0．【分析】（1）当a=时，不等式即x2﹣3x+1≤0，由此求得x的范围，可得不等式f（x）≤0的解集．（2）由于a＞0，分0＜a＜1、a＞1、a=1三种情况，分别比较a与的大小．（3）关于x的不等式f（x）≤0，即（x﹣a）（x﹣）≤0，分类讨论，求得它的解集．【解答】解：（1）当a=时，不等式f（x）≤0，即x2﹣3x+1≤0，求得≤x≤，即不等式f（x）≤0的解集为{x|≤x≤}．（2）由于a＞0，故当0＜a＜1时，a＜；当a＞1时，a＞；当a=1时，a=．（3）关于x的不等式f（x）≤0，即（x﹣a）（x﹣）≤0，当0＜a＜1时，a＜，不等式的解集为{x|a＜x＜}；当a＞1时，a＞，不等式的解集为{x|a＞x＞}；当a=1时，a=，不等式的解集为{x|x=1}．20．（12分）设函数f（x）=x2+4x﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）+（m﹣1）x2﹣（4+m）x＜0恒成立，求m的取值范围；（2）若对于任意x ∈[﹣1，2]，f （x ）＜﹣m +5恒成立，求m 的取值范围．【分析】（1）问题转化为mx 2﹣mx ﹣1＜0恒成立，通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质，求出即可；（2）问题转化为m ＜（﹣x 2﹣4x +6）min ，x ∈[﹣1，2]，根据二次函数的性质，求出其最小值即可．【解答】解：（1）f （x ）+（m ﹣1）x 2﹣（4+m ）x ＜0，即mx 2﹣mx ﹣1＜0恒成立，当m=0时，﹣1＜0，显然成立；当m ≠0时，应有m ＜0，△=m 2+4m ＜0，解得﹣4＜m ＜0．综上，m 的取值范围是（﹣4，0]．（2）由已知：任意x ∈[﹣1，2]，f （x ）＜﹣m +5，得x 2+4x ﹣1＜﹣m +5，x ∈[﹣1，2]恒成立，即m ＜﹣x 2﹣4x +6，x ∈[﹣1，2]恒成立，即m ＜（﹣x 2﹣4x +6）min ，x ∈[﹣1，2] 所以m ＜﹣6．21．（12分）已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin（2C ﹣）=．（1）求角C 的大小；（2）求的取值范围．【分析】（1）由sin （2C ﹣）=，利用诱导公式可得cos2C=﹣，结合△ABC为锐角三角形，即可求得角C 的大小；（2）由正弦定理可得==，由C=，且三角形是锐角三角形可得，结合正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由sin（2C﹣）=，得cos2C=﹣，又∵△ABC为锐角三角形，∴2C=，即C=；（2）====，由C=，且三角形是锐角三角形可得，即，∴＜≤1，∴2•＜≤2，即＜≤2．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．【分析】（I）依题意可求得=3（n≥2），再由2S1=2a1=a2﹣1，a1=1即可求得{a n}是以1为首项3为公比的等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（II）依题意可求得b n=（﹣），利用累加法可求得T n，从而通过分类讨论即可比较T n与﹣的大小．【解答】解：（I）∵﹣1，S n，a n成等差数列，+1∴2S n=a n+1﹣1①当n≥2时，2S n=a n﹣1②．﹣1①﹣②得：2a n=a n+1﹣a n，∴=3．当n=1时，由①得2S1=2a1=a2﹣1，又a1=1，∴a2=3，故=3．∴{a n}是以1为首项3为公比的等比数列，∴a n=3n﹣1…（7分）（II）∵f（x）=log3x，∴f（a n）=log3a n==n﹣1，b n===（﹣），∴T n=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（+﹣﹣）=﹣…（9分）比较T n与﹣的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）2（n+2）（n+3）﹣312=2（n2+5n+6﹣156）=2（n2+5n﹣150）=2（n+15）（n﹣10），∵n∈N*，∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T n＜﹣；当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T n=﹣；当n＞10且n∈N*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T n＞﹣．…（14分）。

2015-2016年江西省宜春市高安中学高一下学期数学期末试卷及参考答案(文科)

2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin315°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣2．（5分）函数f（x）=tan（ax+），（a∈R且a≠0）的周期是（）A．B． C． D．3．（5分）设向量=（1，0），=（，），则下列结论中正确的是（）A．B．C．与垂直D．4．（5分）若不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，那么a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．26．（5分）已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（）A．8 B．6 C．D．7．（5分）下列命题中，错误的是（）A．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形8．（5分）已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为（）A．B．C．D．9．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）11．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对应的边，∠C=90°，则的取值范围是（）A．（1，2） B．C．D．12．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=．14．（5分）若S n是数列[a n}的前n项的和，且S n=﹣n2+6n+7，则数列{a n}的最大项的值为．15．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1=3，a4=81，若数列{b n}满足b n=（n+1）log3a n，则{}的前n项和S n=．16．（5分）①若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④若关于x的方程在区间内的两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2=π其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B 满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．18．（12分）已知：f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，当x∈（﹣3，2）时，f（x）＞0；x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0（1）求y=f（x）的解析式；（2）c为何值时，ax2+bx+c≤0的解集为R．19．（12分）已知等差数列{a n}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求通项公式a n（2）设，求数列b n的前n项和S n．20．（12分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•+m，（m∈R），且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式．21．（12分）东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g（n）与科技成本的投入次数n的关系是g（n）=．若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．（1）求出f（n）的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？22．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a3=8，a5+a7=160，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n；（2）若数列{b n}的通项公式为b n=（﹣1）n•n（n∈N+），求数列{a n•b n}的前n 项和T n．2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin315°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：sin315°=sin（360°﹣45°）=﹣sin45°=﹣．故选：D．2．（5分）函数f（x）=tan（ax+），（a∈R且a≠0）的周期是（）A．B． C． D．【分析】利用函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=tan（ax+），（a∈R且a≠0）的周期是T=||，故选：B．3．（5分）设向量=（1，0），=（，），则下列结论中正确的是（）A．B．C．与垂直D．【分析】本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵，∴=1，=，故不正确，即A错误∵•=≠，故B错误；∵﹣=（，﹣），∴（﹣）•=0，∴与垂直，故C正确；∵，易得不成立，故D错误．故选：C．4．（5分）若不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，那么a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，即有﹣7，﹣1是ax2+8ax+21=0（a＞0）的两根，由韦达定理即可得到a．【解答】解：不等式ax2+8ax+21＜0的解集是{x|﹣7＜x＜﹣1}，即有﹣7，﹣1是ax2+8ax+21=0（a＞0）的两根，即有﹣7﹣1=﹣，﹣7×（﹣1）=，解得a=3，成立．故选：C．5．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．2【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，=bcsinA==．∴S△ABC故选：C．6．（5分）已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（）A．8 B．6 C．D．【分析】利用基本不等式得2x+4y=21﹣2y+22y≥2，求得最小值．【解答】解：∵x+2y=1，则2x+4y=21﹣2y+22y≥2，当且仅当21﹣2y=22y时，等号成立，故选：C．7．（5分）下列命题中，错误的是（）A．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形【分析】A．在△ABC中，由正弦定理可得，可得sinA＞sinB⇔a＞b ⇔A＞B，即可判断出正误；B．在锐角△ABC中，由＞＞0，可得=cosB，即可判断出正误；C．在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，得到2A=2B 或2A=2π﹣2B即可判断出正误；D．在△ABC中，利用余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入已知可得a=c，又B=60°，即可得到△ABC的形状，即可判断出正误．【解答】解：A．在△ABC中，由正弦定理可得，∴sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，正确；B．在锐角△ABC中，，∵，∴＞＞0，∴=cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正确；C．在△ABC中，∵acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A=2π﹣2B，∴A=B或，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题；D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴ac=a2+c2﹣ac，即（a﹣c）2=0，解得a=c，又B=60°，∴△ABC必是等边三角形，正确．综上可得：C是假命题．故选：C．8．（5分）已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得=a2a12，再由已知条件求得a2a12=，再利用诱导公式求出tan（a2a12）的值．【解答】解：∵数列﹛a n﹜为等比数列，∴=a2a12 ．再由可得a2a12=．∴tan（a2a12）=tan=tan=，故选：A．9．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】利用等差数列的性质求得，然后代入=即可求得结果．【解答】解：∵=∴==故选：B．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x ﹣），故选：D．11．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对应的边，∠C=90°，则的取值范围是（）A．（1，2） B．C．D．【分析】通过∠C=90°，得到sinC=1，然后利用正弦定理表示出a与b，代入，表示出，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，从而根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，得到的范围．【解答】解：由正弦定理得：，又sinC=1，∴a=csinA，b=csinB，所以=，由A+B=90°，得到sinB=cosA，则=sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），∵∠C=∴A∈（0，），∴sin（A+）∈（，1]，∴∈（1，]．故选：C．12．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=2．【分析】由cosα的值及α的范围，求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α∈（π，），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==2，故答案为：214．（5分）若S n是数列[a n}的前n项的和，且S n=﹣n2+6n+7，则数列{a n}的最大项的值为12．【分析】将数列{a n}的前n项和进行配方，根据二次函数的特性可求出相应的n．然后求解数列的最大值．【解答】解：=﹣（n﹣3）2+16∴当n=3时，S n取最大值16．a1=S1=﹣1+6+7=12，a2=S2﹣S1=﹣4+12+7﹣12=3．此时a3=S3﹣S2=﹣9+18+7+4﹣12﹣7=1．数列{a n}的最大值的值为：12．故答案为：12．15．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1=3，a4=81，若数列{b n}满足b n=（n+1）log3a n，则{}的前n项和S n=．【分析】利用等比数列的通项公式可得q，a n．再利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，a1=3，a4=81，∴81=3×q3，解得q=3．∴a n=3n．数列{b n}满足b n=（n+1）log3a n=n（n+1），∴==．则{}的前n项和S n=++…+=1﹣=．故答案为：．16．（5分）①若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④若关于x的方程在区间内的两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2=π其中正确的结论有②④（写出所有正确结论的序号）【分析】根据诱导公式和三角函数的性质分析判断．【解答】解：对于①，若α=370°，β=20°，则sinα=sin10°，sinβ=sin20°，∴sinα＜sinβ，故①错误．对于②，y=sin（）=﹣sin（）=﹣cosπx，∴函数是偶函数，故②正确．对于③，当x=时，y=sin=，∴（，0）不是函数的对称中心，故③错误．对于④，令f（x）=sin（2x﹣），令2x﹣=，解得x=+，∴f（x）在（，）上的对称轴为x=和x=．且f（）=1，f（）=﹣1．∵0＜a＜1，∴x1，x2关于对称轴x=对称，∴x1+x2=π，故④正确．故答案为：②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B 满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．【分析】由2sin（A+B）﹣=0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出c2，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab 的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．【解答】解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，C=60°．（4分）又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，（6分）∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，∴c=，（10分）S△ABC=absinC=×2×=．（12分）18．（12分）已知：f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，当x∈（﹣3，2）时，f（x）＞0；x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0（1）求y=f（x）的解析式；（2）c为何值时，ax2+bx+c≤0的解集为R．【分析】（1）由题意得﹣3，2是方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两根，利用根与系数的关系得到关于a，b的方程组，解出系数；（2）由（1）知道a＜0，可知只需△≤0，即25﹣12c≤0，由此求得c的值．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集为x∈（﹣3，2），∴﹣3，2是方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两根，∴，且a＜0，可得，∴f（x）=﹣3x2﹣3x+18．（2）由a＜0，知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，要使不等式﹣3x2+5x+c ≤0的解集为R，只需△≤0，即25+12c≤0，故c≤﹣．∴当c≤﹣时，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R．19．（12分）已知等差数列{a n}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（1）求通项公式a n（2）设，求数列b n的前n项和S n．【分析】（1）利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a2，a3，a7等比数列关系组成方程组求得a 1和d，最后根据等差数列的通项公式求得a n．（2）把（1）中求得的a n代入中，可知数列{b n}为等比数列，进而根据等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：（1）由题意知所以（2）当a n=3n﹣5时，数列{b n}是首项为、公比为8的等比数列所以当时，所以S n=n•综上，所以或S n=n•20．（12分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•+m，（m∈R），且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式．【分析】（1）利用数量积的坐标运算得答f（x），然后利用降幂公式和辅助角公式化简，再由复合函数的单调性求得函数的单调增区间；（2）由已知x的范围求得函数的最小值，得到m值，再由函数图象的平移得答案．【解答】解：（1）∵（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），∴f（x）=•+m===．由，得．∴f（x）的单调递增区间[]（k∈Z）；（2）当x∈[0，]时，[]，∴2sin（2x）∈[﹣1，2]，则f（x）min=m=2，∴f（x）=，将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，所得函数解析式为y=2sin（4x+）+3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=2sin[4（x﹣）+]+3=2sin（4x﹣）+3．21．（12分）东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g（n）与科技成本的投入次数n的关系是g（n）=．若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．（1）求出f（n）的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【分析】（1）先根据题意可得：第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n，进而可求年利润为f（n）（2）将函数整理成，进而可以利用基本不等式，求出最高利润．【解答】解：（1）第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n，…（2分）所以，年利润为…（6分）（2）．由（1）=（万元）…（9分）当且仅当时即n=8 时，利润最高，最高利润为520万元．…（11分）答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．…（12分）22．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a3=8，a5+a7=160，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n；（2）若数列{b n}的通项公式为b n=（﹣1）n•n（n∈N+），求数列{a n•b n}的前n 项和T n．【分析】（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由等比数列的通项公式列出方程组解得a1=2，q=2．所以．（2）由（1）求出结合数列的特点利用错位相减法，可求前n 项和T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由a3=8，a5+a7=160，解得a1=2，q=2．所有．…（6分）（2）∵，∴∴相减可得=∴…（12分）。

2015-2016年江西省宜春市上高二中高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年江西省宜春市上高二中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在△ABC中，若点D满足，则＝（）A．B．C．D．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4+a6＝﹣6，则S9＝（）A．﹣27B．27C．﹣54D．543．（5分）平行线3x+4y﹣9＝0和6x+8y+2＝0的距离是（）A．B．2C．D．4．（5分）函数y＝log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）5．（5分）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga+lgb），R＝lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 6．（5分）设实数x，y满足约束条件，已知z＝2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6B．﹣6C．﹣1D．17．（5分）若是一组基底，向量＝x•+y•（x，y∈R），则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底＝（1，﹣1），＝（2，1）下的坐标为（﹣2，2），则在另一组基底＝（﹣1，1），＝（1，2）下的坐标为（）A．（2，0）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（0，2）8．（5分）三角函数f（x）＝a sin x﹣b cos x，若f（﹣x）＝f（+x），则直线ax﹣by+c ＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．9．（5分）数列{a n}满足a n+2a n＝2a n+1（n∈N*），且a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的前2011项的乘积为（）A．22009B．22010C．22011D．2201210．（5分）在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．D．11．（5分）已知数列{a n}满足a n+a n﹣1＝n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017＝﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3C．2D．312．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．D．以上均不正确二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知平面直角坐标系中，＝（3，4），•＝﹣3，则向量在向量的方向上的投影是．14．（5分）已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9＝2a52，则q＝．15．（5分）已知在△ABC中，∠B的平分线交AC于点K，若BC＝2，CK＝1，BK＝，则△ABC的面积为．16．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B＝，BC边上中线AM＝，求△ABC的面积．18．（12分）已知点P（2，﹣1）．（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等．求直线m的方程：（2）直线n经过点P．且坐标原点到该直线的距离为2．求直线n的方程．19．（12分）如图，已知AB＝AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB＝CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．20．（12分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z＝x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且点（S n，a n）在直线z n＝x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．21．（12分）已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．（Ⅰ）若•＝1，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）记f（x）＝•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求函数f（A）的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，且a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n．①求T n；②对于任意的n∈N*及x∈R，不等式kx2﹣6kx+k+7+3T n＞0恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市上高二中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在△ABC中，若点D满足，则＝（）A．B．C．D．【考点】9E：向量数乘和线性运算．【解答】解：如图所示，△ABC中，，∴＝＝（﹣），∴＝+＝+（﹣）＝+．故选：D．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4+a6＝﹣6，则S9＝（）A．﹣27B．27C．﹣54D．54【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a4+a6＝﹣6＝a1+a9，则S9＝＝9×（﹣3）＝﹣27．故选：A．3．（5分）平行线3x+4y﹣9＝0和6x+8y+2＝0的距离是（）A．B．2C．D．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【解答】解：两平行直线的距离d＝＝＝2．故选：B．4．（5分）函数y＝log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【考点】3G：复合函数的单调性．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，设t＝x2﹣3x+2，则y═log2t为增函数，则根据复合函数单调性之间的关系知要求函数y＝log2（x2﹣3x+2）的递减区间，即求函数t＝x2﹣3x+2的递减区间，∵t＝x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），∴函数y＝log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（﹣∞，1），故选：A．5．（5分）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga+lgb），R＝lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：由平均不等式知．同理．故选：B．6．（5分）设实数x，y满足约束条件，已知z＝2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6B．﹣6C．﹣1D．1【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：先作出对应的平面区域如图∵z＝2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，∴作出2x+y＝7和2x+y＝﹣26的图象，由图象知2x+y＝7与x+y﹣4＝0相交于C，2x+y＝﹣26与3x﹣2y+4＝0相交于B，由得，即C（3，1），由得，即B（﹣8，﹣10），∵B，C同时在直线x﹣ay﹣2＝0上，∴得，得a＝1，故选：D．7．（5分）若是一组基底，向量＝x•+y•（x，y∈R），则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底＝（1，﹣1），＝（2，1）下的坐标为（﹣2，2），则在另一组基底＝（﹣1，1），＝（1，2）下的坐标为（）A．（2，0）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（0，2）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【解答】解：由已知＝﹣2+2＝（﹣2，2）+（4，2）＝（2，4），设＝λ+μ＝λ（﹣1，1）+μ（1，2）＝（﹣λ+μ，λ+2μ），则由，∴＝0+2，∴在基底下的坐标为（0，2）．故选：D．8．（5分）三角函数f（x）＝a sin x﹣b cos x，若f（﹣x）＝f（+x），则直线ax﹣by+c ＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象；I2：直线的倾斜角．【解答】解：由f（﹣x）＝f（+x），知三角函数f（x）的图象关于x＝对称，∴f（0）＝f（），∴a sin0﹣b cos0＝a sin﹣b cos，即a＝﹣b，∴直线ax﹣by+c＝的斜率，其倾斜角为．故选：D．9．（5分）数列{a n}满足a n+2a n＝2a n+1（n∈N*），且a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的前2011项的乘积为（）A．22009B．22010C．22011D．22012【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵a n+2a n＝2a n+1，①∴a n+1•a n﹣1＝2a n（n≥2）②①•②得：a n+2•a n﹣1＝4（n≥2），∴a1•a4＝4，a2•a5＝4，a3•a6＝4，…∴a1•a2…a6＝43＝26，a7•a8•…a12＝26，…∴a1•a2…a2011＝（26）335•a1＝（26）335•1＝22010．故选：B．10．（5分）在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．D．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：＝＝2∴a＝2sin AA+C＝180°﹣45°＝135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A＝90，这样补角也是90°，一解所以＜sin A＜1a＝2sin A所以2＜a＜2故选：C．11．（5分）已知数列{a n}满足a n+a n﹣1＝n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017＝﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3C．2D．3【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：由已知得：a3+a2＝3，a5+a4＝﹣5，…a2017+a2016＝﹣2017，把以上各式相加得：S2017﹣a1＝﹣1008，即：a1﹣1008＝﹣1007﹣b，∴a1+b＝1，∴+＝+＝3++2≥3+2，故选：D．12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．D．以上均不正确【考点】7C：简单线性规划；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥＝，c＝x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知平面直角坐标系中，＝（3，4），•＝﹣3，则向量在向量的方向上的投影是．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：向量在向量方向上的投影为：＝．故答案为：．14．（5分）已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9＝2a52，则q＝．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的首项为a1，由，得：，即，∵a1≠0，q＞0，∴q＝．故答案为．15．（5分）已知在△ABC中，∠B的平分线交AC于点K，若BC＝2，CK＝1，BK＝，则△ABC的面积为．【考点】%H：三角形的面积公式．【解答】解：∵BK平分∠B，∴＝，设AK为x，则AB＝2x．在△BCK中，由余弦定理可得：22+12﹣2×2×1cos C＝，解得cos C＝．∴sin∠C＝．在△ABC中，由余弦定理可得：4+（x+1）2﹣4（x+1）cos C＝4x2化为2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝．∴S△ABC＝＝＝．16．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为1，2，4．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：∵3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），∴3n a n﹣3n﹣1a n﹣1＝6﹣2×3n﹣1．∴3n a n＝（3n a n﹣3n﹣1a n﹣1）++…+（32a2﹣3a1）+3a1＝（6﹣2×3n﹣1）+（6﹣2×3n﹣2）+…+（6﹣2×3）+3＝6（n﹣1）﹣2×+3＝6n﹣3n，∴a n＝（n＝1时也成立）．∴＝．∴数列{}的前n项和S n＝＝．不等式（m∈N*）化为：＜1（*），m＝1时，化为：2•3n﹣1＜3，n＝1时成立．此时mn＝1．m＝2时，化为：3n＜21，n＝1，2时成立．此时mn＝2，或4．m≥3时，3m+1＞3m，＝＞1，∴＞1，因此上式（*）不成立．综上可得：m•n的所有可能取值为1，2，4．故答案为：1，2，4．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B＝，BC边上中线AM＝，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cos A＝，∴A＝；（2）∵∠B＝，∴C＝π﹣A﹣B＝，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2＝AC2+MC2﹣2AC•MC cos120°，即7＝，解得b＝2，∴△ABC的面积S＝b2sin C＝＝．18．（12分）已知点P（2，﹣1）．（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等．求直线m的方程：（2）直线n经过点P．且坐标原点到该直线的距离为2．求直线n的方程．【考点】IE：直线的截距式方程；IT：点到直线的距离公式．【解答】解：（1）当横截距a＝0时，纵截距b＝0，此时直线过点（0，0），P（2，﹣1），∴直线方程为y＝﹣x；当横截距a≠0时，纵截距b＝a，此时直线方程设为x+y＝a，把P（2，﹣1）代入，得a＝1，∴所求的直线方程为：x+y﹣1＝0．综上：过点P（2，﹣1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y＝﹣x或x+y﹣1＝0．（2）直线n的方程为x＝2时，满足题意；直线的斜率存在时，设直线方程为y+1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1＝0，坐标原点到该直线的距离为＝2，∴k＝，∴方程为3x﹣4y﹣10＝0，综上，直线n的方程为x＝2或3x﹣4y﹣10＝0．19．（12分）如图，已知AB＝AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB＝CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE＝90°，又CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠CBD＝∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…（2分）∴，∴AC•CB＝CD•CE又AB＝AC，∴AB•CB＝CD•CE．…（5分）（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF＝∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴F A＝2AB＝2AC，∴AC＝CF…（7分）设AC＝x，则根据切割线定理有F A•FC＝FB2∴x•2x＝8，∴x＝2，∴．…（10分）20．（12分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z＝x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且点（S n，a n）在直线z n＝x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】7C：简单线性规划；87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【解答】解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z＝x+y，区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y＝2n为三边的三角形，∴当x＝2n，y＝0时，z的最大值z n＝2n∵（S n，a n）在直线z n＝x+y上∴z n＝S n+a n，可得S n＝2n﹣a n，当n≥2时，可得a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n﹣a n）﹣[2（n﹣1）﹣a n﹣1]化简整理，得2a n＝a n﹣1+2因此，a n﹣2＝（a n﹣1+2）﹣2＝（a n﹣1﹣2）当n＝1时，a n﹣2＝a1﹣2＝﹣1∴数列{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q＝的等比数列；（Ⅱ）由（I）得a n﹣2＝﹣（）n﹣1，∴a n＝2﹣（）n﹣1，可得S n＝2n﹣a n＝2n﹣2+（）n﹣1，∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n}的前n项和T n＝，（n∈N*）．21．（12分）已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．（Ⅰ）若•＝1，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）记f（x）＝•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求函数f（A）的取值范围．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【解答】解：（1）∵∴∵（2）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A∵sin A＞0∴cos B＝∵B∈（0，π），∴∴∵∴∵∴∴22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，且a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n．①求T n；②对于任意的n∈N*及x∈R，不等式kx2﹣6kx+k+7+3T n＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）∵4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，∴4S n﹣1＝（2n﹣3）a n+1，n≥2∴4a n＝（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，整理得（2n+1）a n＝（2n﹣1）a n+1，即＝，∴＝3，＝，…，＝以上各式相乘得＝2n﹣1，又a1＝1，所以a n＝2n﹣1，（2）①∵c n＝＝＝（﹣），∴T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，②由①可知T n＝，∴≥，∵kx2﹣6kx+k+7+3T n＞0恒成立，∴kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，当k＝0时，8＞0恒成立，当k≠0时，则得，解得0＜k＜1，综上所述实数k的取值范围为[0，1）．。

2015-2016年江西省宜春市上高二中高一下学期数学期末试卷及参考答案(文科)

2015-2016学年江西省宜春市上高二中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B 的一个三等分点，则=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4+a6=﹣6，则S9=（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．543．（5分）以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）4．（5分）函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，） D．（，+∞）5．（5分）数列1，，，…，的前n项和为（）A． B． C．D．6．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．107．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．18．（5分）三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（+x），则直线ax ﹣by+c=0的倾斜角为（）A．B．C． D．9．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．10．（5分）在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（）A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣112．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量的夹角为60°，||=1，||=3，则|5﹣|=．14．（5分）已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9=2a52，则q=．15．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．16．（5分）给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．20．（12分）若关于x的实系数方程x2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．（1）设z=2a﹣b，求z的取值范围；（2）过点（﹣5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．21．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．（Ⅰ）若•=1，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）记f（x）=•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a ﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2．函数f（x）=x2+x，数列{b n}的首项b1=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令求证：{c n}是等比数列并求{c n}通项公式；（Ⅲ）令d n=a n•c n，（n为正整数），求数列{d n}的前n项和T n．2015-2016学年江西省宜春市上高二中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B 的一个三等分点，则=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由题意利用两个向量的加减法的法则及其几何意义可得=+=+=﹣，由此得出结论．【解答】解：在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，故=+=+=﹣，故选：D．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4+a6=﹣6，则S9=（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54【分析】由等差数列{a n}的性质可得：a4+a6=﹣6=a1+a9，再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a4+a6=﹣6=a1+a9，则S9==9×（﹣3）=﹣27．故选：A．3．（5分）以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）【分析】根据基本不等式求最值的形式，逐个选项验证“一正，二定，三相等”即可．【解答】解：A中不满足x＞0；B中，y=3x+3﹣x≥2，当且仅当3x=3﹣x即x=0时取等号；C中，因为0＜x＜1，故lgx＜0，不满足条件；D中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；故选：B．4．（5分）函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，） D．（，+∞）【分析】设t=x2﹣3x+2，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，设t=x2﹣3x+2，则y═log2t为增函数，则根据复合函数单调性之间的关系知要求函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间，即求函数t=x2﹣3x+2的递减区间，∵t=x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），∴函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（﹣∞，1），故选：A．5．（5分）数列1，，，…，的前n项和为（）A． B． C．D．【分析】利用的等差数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求出数列的前n项和．【解答】解：∵所以数列的前n项和为==故选：B．6．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故选：D．7．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图的几何意义是区域内的点到点D（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，3），此时的最大值为，故选：A．8．（5分）三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（+x），则直线ax ﹣by+c=0的倾斜角为（）A．B．C． D．【分析】由f（x）=asinx﹣bcosx，且f（﹣x）=f（+x）得到a=﹣b，再由直线ax﹣by+c=0求得直线的斜率，根据倾斜角的正切值等于斜率得答案．【解答】解：由f（﹣x）=f（+x），知三角函数f（x）的图象关于x=对称，∴f（0）=f（），∴asin0﹣bcos0=asin﹣bcos，即a=﹣b，∴直线ax﹣by+c=的斜率，其倾斜角为．故选：D．9．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选：C．10．（5分）在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】利用向量的模的平方是向量的平方，再用向量的运算法则得到•2=0，据向量的数量积为0两向量垂直得三角形为直角三角形．【解答】解：∵，∴（﹣﹣）=0，∴•2=0，∴⊥，∴∠A=90°．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（）A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1【分析】由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，﹣log2（1﹣x3）=﹣a，x4+x5=6，即可得出关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x≥1，f（x）=，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对称轴为x=﹣3∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，∴x3=1﹣2a，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，故选：C．12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确【分析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数p的取值范围．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量的夹角为60°，||=1，||=3，则|5﹣|=．【分析】先计算，再计算2，开方即可．【解答】解：∵向量的夹角为60°，，∴=||•||•cos60°=1×3×=，∴2=25||2﹣10+||2=25﹣10×+9=19，∴=，故答案为：14．（5分）已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9=2a52，则q=．【分析】设出等比数列的首项，由等比数列的通项公式写出a3，a9，a5，代入后可直接求得q的值．【解答】解：设等比数列的首项为a1，由，得：，即，∵a1≠0，q＞0，∴q=．故答案为．15．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a 的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）16．（5分）给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是（3）（4）．【分析】（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sinA=cosB=，A，B∈（0，π），可得A=﹣B，或A+﹣B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC ＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，利用余弦函数的值域，可得A ﹣B=B﹣C=C﹣A=0，即可判断出正误．【解答】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sinA=cosB=，∵A，B∈（0，π），∴A=﹣B，或A+﹣B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B﹣C）＞0，∴cosA[﹣cos（B+C）﹣cos（B﹣C）]＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a 的值．【解答】解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，解得a=．∴a=．（2）∵a=1时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔，解得a=﹣1．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【分析】（1）通过a2=1+d、a5=1+4d，利用a1，a2，a5成等比数列计算可知公差d=2，进而可得结论；（2）分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算，相加即可．【解答】解：（1）依题意可知，a2=1+d，a5=1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，解得：d=2或d=0（舍），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）可知等差数列{a n}的前n项和P n==n2，∵b n=2n，∴数列{b n}的前n项和Q n==2n+1﹣2，∴S n=n2+2n+1﹣2．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．20．（12分）若关于x的实系数方程x2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．（1）设z=2a﹣b，求z的取值范围；（2）过点（﹣5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．【分析】（1）令f（x）=x2+ax+b，根据题意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，进而求得b＞0，a+b+1＜0，a+b+9＞0，画出可行域，进而分别求得z的最大和最小值，答案可得．（2）过点（﹣5，1）的光线经x轴反射后的光线必过点（﹣5，﹣1），由图可知，找出可能满足条件的整点，再结合不等式知点（﹣3，1）符合条件，得到此时直线方程即可．【解答】解：方程x2+ax+b=0的两根在区间（0，1）和（1，3）上的几何意义是：函数y=f（x）=x2+ax+b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，3）内，由此可得不等式组，即，则在坐标平面aOb内，点（a，b）对应的区域S如图阴影部分所示，易得图中A，B，C三点的坐标分别为（﹣4，3），（﹣3，0），（﹣1，0），（4分）（1）令z=2a﹣b，则直线b=2a﹣z经过点A时z取到下边界﹣11，经过点C时z 取到上边界﹣2，又A，B，C三点的值没有取到，所以﹣11＜z＜﹣2；（8分）（2）过点（﹣5，1）的光线经x轴反射后的光线必过点（﹣5，﹣1），由图可知可能满足条件的整点为（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣2，2），（﹣2，1），再结合不等式知点（﹣3，1）符合条件，所以此时直线方程为：y+1=﹣（x+5），即y=x+4 （12分）21．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．（Ⅰ）若•=1，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）记f（x）=•，在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a ﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．【分析】（1）利用向量的数量积公式列出方程求出，利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值．（2）利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值，利用三角形的内角和为180°化简等式，求出角B，求出角A的范围，求出三角函数值的范围．【解答】解：（1）∵∴∵（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA∵sinA＞0∴cosB=∵B∈（0，π），∴∴∵∴∵∴∴22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2．函数f（x）=x2+x，数列{b n}的首项b1=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令求证：{c n}是等比数列并求{c n}通项公式；（Ⅲ）令d n=a n•c n，（n为正整数），求数列{d n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=2．推出a n+1，a n的关系式，说明数列是等差数列，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用，以及，推出{c n}是等比数列，即可求{c n}通项公式；（Ⅲ）通过d n=a n•c n，（n为正整数），求出d n的表达式，利用错位相减法法直接求解前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由2S n=①=②得2S n+1=，由②﹣①，得2a n+1即：（2分）∴由于数列{a n}各项均为正数，∴即∴数列{a n}是首项为1，公差为的等差数列，∴数列{a n}的通项公式是=（4分）（Ⅱ）由知，所以，=2C n（6分）有=，即c n+1而=，故{c n}是以c1=1为首项，公比为2的等比数列．所以c n=2n﹣1（8分）（Ⅲ）d n=a n•c n==（n+1）2n﹣2，所以数列{d n}的前n项和T n=2•2﹣1+3•20+…+n•2n﹣3+（n+1）•2n﹣2…①．2T n=2•2+3•21+…+n•2n﹣2+（n+1）•2n﹣1…②．①﹣②得﹣T n=1+2+22+…+2n﹣2﹣（n+1）•2n﹣1=1+﹣（n+1）•2n﹣1=﹣n•2n ﹣1，解得T n=n•2n﹣1（12分）。

江西省宜春市上高二中2015-2016学年高一上学期期末数学试卷含解析

2015—2016学年江西省宜春市上高二中高一（上）期末数学试卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=｛1，16,4x｝，B={1，x2}，若B⊆A,则x=（）A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或±42．下列命题正确的是（)A．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件B．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x﹣1≥0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2"的否命题为“若x2﹣3x+2=0,则x≠2"3．已知向量,若∥，则=（）A．（2，1）B．（﹣2,﹣1）C．（3,﹣1) D．（﹣3，1)4．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减,并且是偶函数的是(）A．y=x2B．y=﹣x3C．y=﹣lg｜x｜D．y=2x5．已知向量（+2）=0，||=2,｜|=2,则向量，的夹角为（）A．B．C．D．6．等比数列｛a n｝中，a3=6,前三项和S3=18，则公比q的值为（）A．1 B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣7．已知函数f（x)=，则f（1+log23）的值为（）A．6 B．12 C．24 D．368．设等差数列{a n｝的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6,当S n取最小值时，n=(）A．5 B．6 C．7 D．89．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为（)A．B．C．D．10．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是(）A．2 B．2C．4 D．211．已知函数f(x）=2cosx（sinx+cosx），则下列说法正确的是(）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x)的图象关于点对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x)的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象12．已知函数,若存在x1＜x2，使得f(x1）=f（x2），则x1f（x2)的取值范围为(）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知幂函数y=f(x）的图象过点，则该幂函数的定义域是．14．已知函数f（x）=，若f（x0）≥1，则x0的取值范围为．15．设实数x，y满足则的取值范围是．16．函数y=sin（ωx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示,设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点,若，则ω的值为．三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=(cosθ，sinθ）,θ∈[0，π]，向量=（，﹣1）（1）若，求θ的值；（2）若恒成立,求实数m的取值范围．18．设集合A为函数y=ln(﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C 为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．已知数列｛a n}为等差数列,a5=14，a7=20；数列{b n}的前n项和为S n，且b n=2﹣2S n．(Ⅰ）求数列｛a n｝、｛b n}的通项公式；(Ⅱ)求证:a1b1+a2b2+…+a n b n＜．20．已知函数，x∈R．(1）求f(x）的单调增区间；（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=3,，若向量与共线，求a、b的值．21．某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：月份1月份2月份3月份4月份收购价格（元/斤) 6 7 6 5养殖成本(元/斤) 3 4 4。

江西省宜春市高安中学2015-2016学年高一下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷(理科）一、选择题:（本大题共12小题,每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上)1．若＜＜0，则下列结论正确的是(）A．a2＞b2B．ab＞b2C．a﹣b＜0 D．|a｜+｜b｜=｜a+b|2．已知角θ的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．B． C．D．3．已知向量=(3，1），=（1,3),=（k，7），若(﹣）∥，则k=(）A．1 B．3 C．5 D．74．在△ABC中,若B、C的对边边长分别为b、c，B=45°，c=2，b=,则C等于（)A．30°B．60°C．120°D．60°或120°5．数列｛a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n(n≥1），则a5等于（）A．3•43B．3•44C．44D．456．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．已知函数f（x)=Asin(ωx+φ）(x∈R，A＞0，ω＞0，｜φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（)A．B．C．D．8．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定9．已知S n是等差数列｛a n}的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列五个说法：①S6为S n的最大值，②S11＞0，③S12＜0,④S13＜0，⑤S8﹣S5＞0，其中说法正确的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．410．若0＜α＜，＜β＜π，cos（α+）=，sin（+）=，则cos（α﹣)=（）A．﹣B．C．﹣D．11．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为,则等于（）A．3B．C．D．12．设数列{a n}的前n项和为S n，令，称T n为数列a1，a2，…,a n的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2012，那么数列3，a1，a2，…,a502的“理想数"为（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．当x＞0时，函数y=的最小值为______．14．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3：4，则cosC的值为______．15．在等腰直角△ABC中，AB=AC=，D、E是线段BC上的点，且DE=BC,则•的取值范围是______．16．已知数列{a n}的首项为2，数列{b n}为等比数列且b n=,若b11•b12=2,则a23=______．三．解答题：(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知tan（π+α）=2，求下列各式的值：（1)；(2）．18．已知等差数列{a n｝满足a2=0，a6+a8=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2)求数列｛}的前n项和．19．已知向量=（cos,sin)，=（cos，﹣sin），且x∈[0，］;(Ⅰ)求及｜｜；（Ⅱ）若f（x）=﹣｜+｜sinx，求f（x）的最大值与最小值．20．已知f(x)=x2﹣abx+2a2．(Ⅰ)当b=3时，(ⅰ）若不等式f（x)≤0的解集为[1,2]时，求实数a的值;（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集;（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈［1，2]上恒成立,求实数b的取值范围．21．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，△ABC的面积S=且sinA=．（1）求sinB;（2)若边c=5,求△ABC的面积S．22．已知数列a n｝的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且点（S n，S n+1）在直线y=tx+1上．（1)求S n及a n；（2）若数列{b n}满足b n=（n≥2），b1=1，数列｛b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，T n＜2．2015—2016学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题纸上)1．若＜＜0，则下列结论正确的是（）A．a2＞b2B．ab＞b2C．a﹣b＜0 D．|a|+｜b｜=|a+b|【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质得到b＜a＜0，然后分别进行判断即可．【解答】解:由＜＜0，得b＜a＜0,则a2＜b2，故A错误，ab＜b2，故B错误，a﹣b＞0,故C错误，|a|+|b|=｜a+b|=﹣a﹣b，故D正确故选:D．2．已知角θ的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．B． C．D．【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后,把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意得：tanθ=2，∴cos2θ==，则cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣．故选B3．已知向量=（3，1），=(1,3)，=（k，7），若（﹣）∥，则k=（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】平面向量共线(平行）的坐标表示．【分析】根据题意，求出﹣，再由（﹣）∥，求出k的值．【解答】解：∵向量=（3,1），=（1，3)，=（k，7）,∴﹣=（3﹣k，1﹣7）=（3﹣k，﹣6）；又∵（﹣）∥，∴3(3﹣k)﹣（﹣6）×1=0，解得k=5．故选：C ．4．在△ABC 中，若B 、C 的对边边长分别为b 、c ，B=45°,c=2，b=,则C 等于（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．60°或120° 【考点】正弦定理．【分析】由B 的度数求出sinB 的值，再由b 及c 的值，利用正弦定理求出sinC 的值,根据C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C 的度数．【解答】解:由B=45°，c=2，b=，根据正弦定理=得：sinC===，又C 为三角形的内角，且c ＞b ，可得C ＞B=45°，即45°＜C ＜180°，则C=60°或120°．故选D5．数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=3S n （n ≥1)，则a 5等于（） A ．3•43 B ．3•44 C ．44 D ．45 【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解:∵a 1=1,a n+1=3S n （n ≥1），∴a 2=3,n ≥2时,a n =3S n ﹣1，可得a n+1﹣a n =3（S n ﹣S n ﹣1）=3a n ，∴a n+1=4a n ， ∴数列｛a n }从第二项是等比数列，公比为4， ∴a 5=3×43．故选：A ．6．设a ＞0,b ＞0．若是3a 与3b 的等比中项,则的最小值为（）A ．8B ．4C ．1D ．【考点】基本不等式;等比数列的性质．【分析】由题设条件中的等比关系得出a +b=1，代入中,将其变为2+,利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a •3b =3，所以a +b=1，，当且仅当即时“=”成立,故选择B ．7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是(）A．B．C．D．【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式．【分析】观察图象的长度是四分之一个周期,由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．【解答】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2,所以ω=函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin(φ）∵，∴φ=f（x）的解析式是故选A．8．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C9．已知S n是等差数列｛a n｝的前n项和，且S6＞S7＞S5,有下列五个说法：①S6为S n的最大值，②S11＞0，③S12＜0,④S13＜0，⑤S8﹣S5＞0，其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用；等差数列的前n项和．【分析】S6＞S7＞S5，利用前n项和公式可得:a7＜0,a6+a7＞0，可得a6＞0＞a7,|a6｜＞｜a7｜．d ＜0．S6最大．S11==11a6＞0．即可判断出正确命题的个数．【解答】解：∵S6＞S7＞S5，∴6a1+d＞7a1+d＞5a1+d，化为:a7＜0，a6+a7＞0，∴a6＞0＞a7，|a6|＞｜a7|．∴d＜0．S6最大．①S6为S n的最大值，正确；S11==11a6＞0．②S11＞0，正确;③S12=6（a6+a7)＞0，所以S12＜0不正确；④S13=13a12＜0,S13＜0正确；⑤S8﹣S5=a6+a7+a8=3a7＜0，所以S8﹣S5＞0，不正确;综上可得：①②④正确．故选：C．10．若0＜α＜，＜β＜π，cos(α+）=,sin（+）=，则cos(α﹣）=（) A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）和cos（+）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos(α﹣）的值．【解答】解:∵0＜α＜，＜β＜π，cos（α+)=,sin（+）=,∴sin(α+）==，cos（+）=﹣=﹣，则cos（α﹣）=cos［（α+)﹣（+）]=cos(α+）cos(+）+sin(α+）sin （+）=•（﹣）+•=,故选：B．11．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（）A．3B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值,根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．【解答】解：∵A=60°，b=1,其面积为，∴S=bcsinA=c=，即c=4,∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，∴a=，由正弦定理得：===2R==,则=2R=．故选B12．设数列{a n｝的前n项和为S n，令,称T n为数列a1,a2，…，a n的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2012，那么数列3,a1,a2，…，a502的“理想数”为（)A．2011 B．2012 C．2013 D．2014【考点】数列的求和．【分析】依题意知，=2012，可求得S1+S2+…+S502=2012×52，利用“理想数”的概念知，3，a1，a2,…，a502的“理想数"为，从而可求得答案．【解答】解:∵=2012，∴S1+S2+…+S502=2012×52，又数列3,a1，a2，…，a502的“理想数”为:===3+=2011．故选：A．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．当x＞0时,函数y=的最小值为6．【考点】基本不等式．【分析】变形可得y==x++2，由基本不等式可得答案．【解答】解：当x＞0时，函数y==x++2≥2+2=6当且仅当x=即x=2时取到最小值，故答案为:614．在△ABC中,sinA：sinB：sinC=2:3：4，则cosC的值为．【考点】正弦定理;余弦定理．【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k,3k,4k,再由余弦定理求得cosC的值．【解答】解:在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3:4,由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k,由余弦定理可得16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC,解方程可得cosC=，故答案为：．15．在等腰直角△ABC中,AB=AC=，D、E是线段BC上的点，且DE=BC，则•的取值范围是[］．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形,分别以AC,AB为x轴,y轴,建立平面直角坐标系，根据条件即可设，并且可求得，从而进行数量积的坐标运算便可求出，配方，根据x的范围即可求出的最大值和最小值,即得出的取值范围．【解答】解：如图，分别以AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系；∵，设，，则；∴===；∴时，取最小值,x=0或时，取最大值；∴的取值范围是．故答案为：．16．已知数列{a n｝的首项为2，数列{b n｝为等比数列且b n=，若b11•b12=2，则a23=4096．【考点】数列递推式．【分析】由于数列{b n}为等比数列且b n=,可得b1b2…•b22=•…•=,化简代入即可得出．【解答】解：∵数列｛b n}为等比数列且b n=，∴b1b2…b22=•…•===211，∴a23=212=4096．故答案为：4096．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知tan（π+α)=2,求下列各式的值：(1);(2)．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．（2)利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：（1）由已知得tanα=2．∴．(2）=18．已知等差数列{a n｝满足a2=0,a6+a8=10．（1）求数列｛a n}的通项公式；（2）求数列｛｝的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）设等差数列{a n｝的公差为d，由于a2=0，a6+a8=10．利用等差数列的通项公式即可得出．（2）=．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n｝的公差为d，∵a2=0，a6+a8=10．∴,解得,∴a n﹣1+（n﹣1)=n﹣2．(2）=．∴数列{｝的前n项和S n=﹣1+0+++…+，=+0++…++，∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，∴S n=．19．已知向量=(cos，sin），=（cos，﹣sin），且x∈［0，]；（Ⅰ)求及||；（Ⅱ）若f（x)=﹣｜+｜sinx,求f（x)的最大值与最小值．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）由向量=（cos，sin）,=（cos，﹣sin）代入向量数量积公式，再利用两角和的余弦公式可得，再利用平方法求出||2，结合x∈[0，]，可得|｜；（II）由（I）求出函数的解析式，并利用和差角公式进行化简，结合x∈［0，]求出相位角2x+的范围，进而由正弦函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值与最小值【解答】解：（I)∵向量=(cos，sin),=（cos，﹣sin)，∴=(cos，sin）•（cos,﹣sin)=cos•cos﹣sin sin=cos（+）=cos2x，｜｜=|｜=1∴｜|2=+=2+2cos2x=4cos2x又∵x∈[0,]∴|｜=2cosx（II)∵f(x)=﹣｜+｜sinx=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x=2sin（2x+) ∵x∈[0，］，∴2x+∈［，］∴当2x+=,即x=0时，函数取最大值1，当2x+=，即x=时，函数取最小值﹣220．已知f（x）=x2﹣abx+2a2．（Ⅰ）当b=3时，（ⅰ)若不等式f（x）≤0的解集为［1，2]时，求实数a的值;（ⅱ)求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1,2］上恒成立,求实数b的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法即可得到结论．（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当b=3时，f（x)=x2﹣abx+2a2=x2﹣3ax+2a2,(ⅰ）∵不等式f(x）≤0的解集为［1,2］时，∴1，2是方程x2﹣3ax+2a2=0的两根．∴，解得a=1．(ⅱ)∵x2﹣3ax+2a2＜0，∴(x﹣a）（x﹣2a）＜0，∴若a＞0时,此不等式解集为(a，2a)，若a=0时，此不等式解集为空集,若a＜0时，此不等式解集为（2a，a)．（Ⅲ）f(2)=4﹣2ab+2a2＞0在a∈［1，2］上恒成立即b＜a+在a∈[1，2]上恒成立;又∵a+，当且仅当a=，即a=时上式取等号．∴b，实数b的取值范围是（﹣∞，)21．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b,c，△ABC的面积S=且sinA=．(1）求sinB；（2)若边c=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】(1）利用余弦定理、三角形面积计算公式可得C,再利用同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理、和差公式即可得出．(2）利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解:（1）由余弦定理有c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+b2﹣c2=2abcosC,则，又,∴cosC=sinC，tanC=1,在△ABC中，∵，在△ABC中或，但A+B+C=π，∴，∴，sinB==×=．(2)由正弦定理有，又c=5,∴，得b=7，∴S=bcsinA==．22．已知数列a n｝的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且点（S n，S n+1）在直线y=tx+1上．（1）求S n及a n;（2）若数列{b n}满足b n=（n≥2)，b1=1,数列｛b n}的前n项和为T n,求证：当n≥2时，T n＜2．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）把点(S n,S n+1)代入直线y=tx+1，结合a1=1，a2=2求得t，可得数列递推式，进一步可得{a n｝为公比为2的等比数列．再由等比数列的通项公式和前n项和公式求得S n及a n；（2）把a n代入b n=,放缩可得（n≥2），代入T n=b1+b2+…+b n，由等比数列的前n项和证得当n≥2时，T n＜2．【解答】(1）解：由题意，得S n+1=tS n+1，令n=1有,S2=t•S1+1，∴a1+a2=t•a1+1．代入a1=1，a2=2有t=2．+1（n≥2）．∴S n+1=2S n+1，则S n=2S n﹣1两式相减有，a n+1=2a n，即，且符合．∴｛a n｝为公比为2的等比数列．则，;（2)证明：b n==＜．∴当n≥2时，T n=b1+b2+…+b n=．2016年9月26日。

江西省宜春市高一上学期期末数学试卷

江西省宜春市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015高二上·孟津期末) 如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1 ．其中正确的结论的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）下列变量是线性相关的是（）A . 人的身高与视力B . 角的大小与弧长C . 收入水平与消费水平D . 人的年龄与身高3. （2分）(2014·湖南理) 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1 ， P2 ， P3 ，则（）A . P1=P2＜P3B . P2=P3＜P1C . P1=P3＜P2D . P1=P2=P34. （2分）(2013·重庆理) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A . 2，5B . 5，5C . 5，8D . 8，85. （2分）甲、乙、丙位教师安排在周一至周五中的天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·兰州模拟) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入的的值为，则输出的（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·齐齐哈尔模拟) 某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，， .根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A . 68B . 72C . 76D . 808. （2分）一个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，作有放回抽样，连摸2次，每次任意摸出1球，则2次摸出的球为一白一黑的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·海淀模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入a=﹣7，d=3，则输出的S为（）A . S=﹣12B . S=﹣11C . S=﹣10D . S=﹣610. （2分）在区间[0,6]上随机取一个数x ，的值介于0到2之间的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2017高二上·孝感期末) 历年气象统计表明：某地区一天下雨的概率是，连续两天下雨的概率是．已知该地区某天下雨，则随后一天也下雨的概率是________．12. （1分）________(用二进制数表示).13. （1分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=________14. （1分） 5位顾客将各自的帽子放在衣架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则没有一个人拿到自己帽子的概率为________．15. （1分）用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值时，其中v1的值为________16. （1分） (2019高一上·太原月考) 一个总体容量为60，其中的个体编号为00，01，02，…，59．现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11～12列的18开始，依次向下，到最后一行后向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 9538 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 8082 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 5024 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 4996 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 6017. （1分） (2019高一下·郑州期末) 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是________．18. （1分） (2018高一上·海安月考) 函数的最小值为________．三、解答题 (共5题；共50分)19. （5分）已知函数，对每输入的一个值，都得到相应的函数值，画出程序框图并写出程序.20. （15分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的5倍记分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的分布列．（3）记分介于18分到28分之间的概率．21. （5分） (2017高一上·肇庆期末) 某研究机构对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3﹡﹡﹡68由于某些原因，识图能力的一个数据丢失，但已知识图能力样本平均值是5.5．（Ⅰ）求丢失的数据；（Ⅱ）经过分析，知道记忆能力x和识图能力y之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（III）若某一学生记忆能力值为12，请你预测他的识图能力值．22. （15分） (2016高一下·福州期中) 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b 至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．23. （10分）(2020·湖南模拟) 某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜（以下简称蔬菜），购入价为200元/袋，并以300元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的蔬菜没有售完，则批发商将没售完的蔬菜以150元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把蔬菜低价处理完，且当天不再购进）.该蔬菜批发商根据往年的销量，统计了100天蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图.（1）若某天该蔬菜批发商共购入6袋蔬菜，有4袋蔬菜在前8小时内分别被4名顾客购买，剩下2袋在8小时后被另2名顾客购买.现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率是多少？（2）以上述样本数据作为决策的依据.（i）若今年蔬菜上市的100天内，该蔬菜批发商坚持每天购进6袋蔬菜，试估计该蔬菜批发商经销蔬菜的总盈利值；（ii）若明年该蔬菜批发商每天购进蔬菜的袋数相同，试帮其设计明年的蔬菜的进货方案，使其所获取的平均利润最大.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、。

江西省宜春市丰城中学2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁U A等于（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2} 2．cos600°的值是（）A．B．C．D．3．由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，可将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位4．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数f（x）=1﹣cos2x的周期是（）A．B．πC．2πD．4π6．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．7．函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）8．已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈时，f（x）=3x+，则f（lo5）的值等于（）A．﹣1 B．C．D．19．在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC 的面积之比是（）A．B．C．D．10．已知f（x）=|2﹣x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2] C．（0，4]D．11．已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．（0，）12．定义域为R的函数f（x）满足条件：①；②f（x）+f（﹣x）=0（x∈R）；③f（﹣3）=0．则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0≤x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．计算：0.25×（﹣）﹣4+log318﹣log32= ．14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f （π）的值为．15．若=（2，8），=（﹣7，2），则= ．16．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），（1）求的值；（2）求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A、B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．19．已知是函数f（x）=sin（2x+ϕ）图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（﹣x）的单调增区间；（3）作出函数f（x）在x∈上的图象简图（列表，画图）．20．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．21．已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈），函数g（x）=f（x﹣2）+3．（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域；（2）设h（x）=2+g（x2），试求函数y=h（x）的最值．22．已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁U A等于（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合A 中不等式的解集，然后求出集合A 在R 上的补集即可．【解答】解：∵x 2﹣2x ＞0，∴x（x ﹣2）＞0， ∴x＞2或x ＜0，∴A={x|x＞2或x ＜0}， ∁U A={x|0≤x≤2}．故选A【点评】本题考查学生理解补集的定义，会进行补集的运算，是一道基础题．2．cos600°的值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．【解答】解：cos600°=cos（360°+180°+60°）=﹣cos60°=﹣．故选：C ．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．3．由函数f （x ）=sin2x 的图象得到g （x ）=cos （2x ﹣）的图象，可将f （x ）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位D ．向左平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=g（x）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．5．函数f（x）=1﹣cos2x的周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】哟条件利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论．【解答】解：函数f（x）=1﹣cos2x的周期是=π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．6．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y ＜0，故排除BCD，问题得以解决．【解答】解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排除BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排除D故选：A．【点评】本题主要考查了图象的识别和画法，关键是掌握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．7．函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）在（0，2）上为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，得出函数f（x）在（2，4）上的单调性，并画出草图，根据草图可得到结论．【解答】解：函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，∴函数y=f（x+2）在（﹣2，0）上是增函数；又函数y=f（x+2）为偶函数，∴函数y=f（x+2）在（0，2）上是减函数，即函数y=f（x）在（2，4）上为减函数；则函数y=f（x）的图象如图所示，由图知：f（2）＞f（）＞f（1）＞f（）成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，解题时应注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，是基础题．8．已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈时，f（x）=3x+，则f（lo5）的值等于（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】通过已知条件判断求出函数的周期，判断对数值的范围，利用偶函数与周期转化自变量的值满足已知函数表达式，求出函数值即可．【解答】解：∵偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），周期为：2，∵当x∈时，f（x）=3x+，∴lo5=﹣∈（﹣2，﹣1），2﹣∈（0，1）f （lo 5）=f （2﹣）=f （﹣2）===1．故选D ．【点评】本题考查函数的周期奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力．9．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足，则△PBC 与△ABC的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求△PBC 与△ABC 的面积之比．【解答】解：由得=，即=2，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ：S △ABC =2：3．故选C ．【点评】本题考查向量知识的运用，考查三角形面积，解题的关键是根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点．10．已知f （x ）=|2﹣x 2|，若0＜m ＜n 时满足f （m ）=f （n ），则mn 的取值范围为（）A ．（0，2）B ．（0，2]C ．（0，4]D ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意易得0＜m ＜，n ＞，可得m 2+n 2=4，由基本不等式可得4=m 2+n 2≥2mn，即mn≤2，结合题意可得范围．【解答】解：∵f（x ）=|x 2﹣2|，且0＜m ＜n ，f （m ）=f （n ），∴0＜m＜，n＞，∴2﹣m2=n2﹣2，即m2+n2=4，由基本不等式可得4=m2+n2≥2mn，解得mn≤2，但0＜m＜n，∴0＜mn＜2故选：A【点评】本题考查基本不等式，涉及二次函数的性质，属基础题．11．已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．（0，）【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=是R 上的减函数，∴，解得．∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．12．定义域为R的函数f（x）满足条件：①；②f（x）+f（﹣x）=0（x∈R）；③f（﹣3）=0．则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0≤x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由条件①可得函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，由②可得函数为奇函数，再由③可得函数的图象过点（﹣3，0）、（3，0），数形结合可得不等式的解集【解答】解：由条件①可得函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，由②可得函数为奇函数，再由③可得函数的图象过点（﹣3，0）、（3，0），故由不等式xf（x）＜0可得，当x＞0时，f（x）＜0；当x＜0时，f（x）＞0．结合函数f（x）的简图可得不等式的解集为 {x|0＜x＜3，或﹣3＜x＜0}，故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，其它不等式的解法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．计算：0.25×（﹣）﹣4+log318﹣log32= 6 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质和指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：0.25×（﹣）﹣4+log318﹣log32=0.25×16+log39=4+2=6，故答案为：6．【点评】本题考查了对数的运算性质和指数幂的运算，属于基础题．14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为﹣．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解析：由图可知，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．∵，∴．再根据，∴，∴，∴，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．15．若=（2，8），=（﹣7，2），则= （﹣3，﹣2）．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】用向量减法的法则表示出，再用坐标运算求出其坐标．【解答】解：∴=（﹣3，﹣2）故答案为（﹣3，﹣2）【点评】本题考查向量的减法运算．16．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪∪∪（2，+∞），B=（﹣∞，a]∪上的图象简图（列表，画图）．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【专题】计算题；图表型；数形结合；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用正弦函数的对称性可得2×+ϕ=kπ+，k∈Z，又0＜ϕ＜，可求ϕ，即可解得函数解析式；（2）先求函数解析式f（﹣x）=﹣sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得函数f（x）的增区间．（3）用五点法即可作图得解．【解答】解：（1）∵是函数f（x）=sin（2x+ϕ）图象的一条对称轴．∴2×+ϕ=kπ+，k∈Z．∴ϕ=kπ+，k∈Z．又0＜ϕ＜，∴ϕ=，∴可得：；（2）∵f（﹣x）=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣），∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得函数f（x）的增区间为．（3）列表x 0 ππ2πf（x） 1 0 ﹣1 0f（x）在x∈上的图象简图如下图所示：【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性和对称性，考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于基本知识的考查．20．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f （x ）的解析式为2sin （2ωx+），由此求得f （）的值．（2）由2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈z ，求出函数f （x ）的单调递增区间．由2x+=k π+求得 x 的值，从而得到f （x ）图象的对称轴方程．【解答】解：（1）函数f （x ）=2cos 2ωx+2sin ωxcos ωx ﹣1=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），因为f （x ）最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，所以f （x ）=2sin （2x+），f （）=2sin=1．（2）由2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈z ，可得 k π﹣≤x≤k π+，k ∈z ，所以，函数f （x ）的单调递增区间为，k ∈z ．由 2x+=k π+可得 x=k π+，k ∈z ．所以，f （x ）图象的对称轴方程为x=k π+，k ∈z ．…【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．21．已知函数f （3x ﹣2）=x ﹣1（x ∈），函数g （x ）=f （x ﹣2）+3．（1）求函数y=f （x ）与y=g （x ）的解析式，并求出f （x ），g （x ）的定义域；（2）设h （x ）=2+g （x 2），试求函数y=h （x ）的最值．【考点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）设t=3x ﹣2，于是有f （t ）=log 3（t+2）﹣1，求出t 的范围，把t 换为x ，可得f （x ）的解析式，进一步可求g （x ）的解析式，再根据解析式求函数f （x ）与g （x ）的定义域；（2）设t=log3x，则h（x）=t2+6t+6，这样就把原来的函数变成关于t的二次函数，用二次函数求最值．【解答】解：（1）设t=3x﹣2，∵0≤x≤2，∴﹣1≤3x﹣2≤7，∴t∈，则x=log3（t+2），于是有f（t）=log3（t+2）﹣1，t∈∴f（x）=log3（x+2）﹣1（x∈），根据题意得g（x）=f（x﹣2）+3=log3x+2又由﹣1≤x﹣2≤7得1≤x≤9∴g（x）=log3x+2（x∈）…（2）∵g（x）=log3x+2，x∈∴要使函数h（x）=2+g（x2）有意义，必须∴1≤x≤3，∴（1≤x≤3）设t=log3x，则h（x）=t2+6t+6=（t+3）2﹣3（0≤t≤1）是上增函数，∴t=0时h（x）min=6，t=1时h（x）max=13∴函数y=h（x）的最大值为13，最小值为6．【点评】本题主要考查求函数的定义域，同时考查求函数的解析式，换元法是解题的关键．22．已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；偶函数．【专题】计算题．【分析】（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数∴f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）﹣2x﹣kx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=﹣1（2）∵a＞0∴函数的定义域为（，+∞）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，∴方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1∴方程（*）在无解当a＞1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立∴此时a的范围为a＞1综上所述，所求a的取值范围为a＞1．【点评】本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k 值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．。

江西省宜春市四校联考2015届高三第一次联考数学(理)试题及答案

2015年江西省高三上学期期末联合考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合1{|21,},{|0}3xA x x k k ZB x x+==+∈=≥-，则A B =( ) A ．[]1,3- B ．{}1,13-， C ．[]1,1- D ．{}1,1-2=( ) A．14 B．14 C．12 D．12 3．为了研究高中学生对玩游戏的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算2，则认为“喜欢玩游戏与性别有关系”的把握性约为( )0.050 0.0．4．直线：l nx n m y 1-=的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是( ) A ．0mn > B ．0<mn C ．0m <且0n > D ．0m >且0<n5．下列命题中,正确命题的个数为( )① “若0xy =,则0x =或0y =”的逆否命题为“若0x ≠且0y ≠,则0xy ≠”；②若随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()60.72P X ≤=，则()00.28P X ≤=；③函数()x f 的导函数满足()00='x f ，则函数()x f 在0x x =处有极值. A ．0 B ．1 C ．2 D. 3 6．二项式6(6ax +的展开式的第二项的系数为则22ax dx -⎰的值为( )A.73B. 103C.3或73D. 3或1037．阅读程序框图,若m 、n 分别是双曲线221364x y -=的虚轴长和实半轴长，则输出,a i 分别是( ) A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i == D ．8,4a i ==宜春中学丰城中学樟树中学高安二中8．已知数列}{},{n n b a 满足n n a b 2log =，*N n ∈，其中}{n b 是等差数列，且51612a a ⋅=，则=++++20321b b b b ( )A ．10-B ．2log 10C ．5-D ．5log 29．函数()32f x x bx cx d =+++(,,b c d 均为常数),若()f x 在1x x =时取得极大值且()10,1x ∈，在2x x =时取得极小值且()21,2x ∈，则221()(3)2b c ++-的取值范围是( )A ．()5,25B ．)C ．37(,25)4D ．210．已知数列}{n a 中满足151=a ，12n n a a n +=+，则na n的最小值为( ) A. 9 B. 7 C.427D. 1152- 11．一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此内切球与外接球表面积之比为( ) A.1:3 B. 1:5 C. 1:7 D. 1:912．已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．3 B ．334 C ．2 D ．332 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．记直线310x y --=的倾斜角为α，曲线ln y x =在()6,ln6处切线的倾斜角为β，则()tan αβ+= .14．已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V = .15．将函数x x f lg )(=的图象向左平移1个单位，再将位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折得到函数()x g 的图象，若实数()n m n m <,满足),21()(++-=n n g m g 2lg 4)21610(=++n m g ，则m n -= . 16．某市今年发行宣传卡片2015张，每张卡片上印有一个四位数字的号码，从0001到2015，如果卡片上的四位数字之和等于8，则称这张卡片为“幸运卡片”．那么该地发行的2015张卡片中“幸运卡片”有张.(用数字做答)三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知()()sin ,cos ,q 3cos ,cos p A A A A==-()0q ≠其中.（1）若02A π<<，方程1=()2p q t t R ⋅-∈有且仅有一解，求t 的取值范围；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别是,,a b c ，且2a =，若//p q ，求b c +的取值范围.18．（本小题满分12分）有,G,Y,Z F 四所学校组织高三教师经验交流，各校参加教师人数具体如下表：（单位：人）为了进一步搞好高三复习，采用分层抽样的方法从上述四所学校参加经验交流的教师中随机抽取50名教师做经验介绍．（1）从做经验介绍的50名教师中随机抽取两名，求这两名教师来自同一所学校的概率；（2）在做经验介绍的50名教师中，从来自G 、Y 两所学校的教师中随机抽取两名，用X 表示抽得G 校教师的人数，求X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，//AF DE ，AF FE ⊥，22AF AD DE ===，M 为线段AD 的中点．（1）求直线MF 与直线BD 所成角的余弦值；（2）若平面ABF 与平面DBF 所成角为θ，且tan θ=AB 的长．20．（本小题满分12分）已知()10,1F ，()20,1F -分别为椭圆()2212210y x C a b a b+=>>：的上、下焦点，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为1F ，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点, 且153MF =. （1）求抛物线2C 及椭圆1C 的方程；（2）与圆()2211x y ++=相切的直线():,0l y k x t kt =+≠交椭圆1C 于,A B 两点,若椭圆1C 上存在点P 满足OA OB OP λ+=,求实数λ的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()()201xe f x a x ax =≥-+．( 2.71828e =⋅⋅⋅ 是自然对数的底数)（1）试讨论函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()f x x ≥对于任意的[]0,1x a ∈+恒成立，求a 的取值范围．请考生从第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22．（本小题满分10分）如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =．（1）求证：2BE AD =；（2）当3,6AC EC ==时，求AD 的长．23．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 过点(2,4)P --，倾斜角为4π．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为()2sin2cos 0a a ρθθ=>．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,M N 两点，且40PM PN ⋅=，求实数a 的值． 24．（本小题满分10分）已知关于x 的不等式：()122m x m Z -≤∈，2是其解集中唯一的整数解．（1）求m 的值；（2）已知正实数,,a b c 满足222416a b c m ++=，求24a b c ++的最大值．2015年江西省四校高三上学期期末联合考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5 D B C B C 6-10 A A A A C 11-12 B B 二、填空题13.917 14. 16 15. 115- 16. 83 三、解答题17.（1）依题意可得sin 26t A π⎛⎫=-⎪⎝⎭................................3分 ∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52666x πππ-<-<，1122t t ∴-<≤或=1 ...........6分（2）由//p q ()0q ≠其中得23A π=................................8分 sin sin sin 033b c B C B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭................10分故12b c <+≤ ..................12分18.（1）从四所学校中抽取做经验介绍的教师的人数分别为20,15,10,5.......2分从做经验介绍的50名教师中随机抽取两名的取法共有2501225C =种，这两名教师来自同一学校的取法共有220C +215C +210C +25C =350种.......5分∴3502P 12257==................................ 6分（2）由（1）知，在做经验介绍的50名教师中，来自G 、Y 两校的人数分别为15,10．X 的可能取值为0,1,2，................................ 7分==)0(X P 203225210=C C ， 21)1(225110115===C C C X P ， 207)2(225215===C C X P ． X3012202205EX =⨯+⨯+⨯=................................12分19.（1）由已知得ADF ∆为正三角形，所以MF AD ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF AD =，MF ⊂平面ADEF ，所以MF BD ⊥，所以所成角的余弦值为0...............5分（2）设AB x =，以F 为原点，,AF FE 所在直线分别为x 轴和y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0F ，()2,0,0A -，()D -，()2,0,B x -，所以()DF =-，()2,0,BF x =-．EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取()10,1,0n =．设()2,,n a b c =为平面DBF的法向量，则20a cx a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩可取23,1,n x ⎛=⎭.由tan θ=1cos 3θ=，所以121213n n nn ⋅=⋅得x =AB =分20.（1）抛物线2C 的方程为24x y = ................................2分由题意得221a b -=,又由抛物线定义可知1513M MF y =+=,得23M y =, 所以2()3M ,从而273MF =, 由椭圆定义知1224a MF MF =+=,得2a =,故23b =,从而椭圆的方程为22143y x += ................................5分（2）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则由OA OB OP λ+=知,120120,x x x y y y λλ+=+=,且2200143y x +=, ① 又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=相切,所以有1=,由0k ≠,可得22(1,0)1tk t t t =≠±≠- ② 又联立22(),4312,y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-= 且0∆>恒成立,且2221212226312,4343k t k t x x x x k k -+=-=++,所以121228()243kty y k x x kt k +=++=+,所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++.........8分代入①式得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++,所以2222443k t k λ=+又将②式代入得,22224,0,11()1t t t tλ=≠≠±1++, ..................10分易知2222221111()11,()13t t t t ++>++≠且,所以244(0,)(,4)3λ∈,所以λ的取值范围为{|22,0,λλλλ-<<≠≠且且 ..................12分()1,3x ∈0x ∴∃使得g 此时()g x22.（1）连接DE ,因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆,即有,CADEBA BE = 又因为AC AB 2=，可得,2DE BE =因为CD 是ACB ∠的平分线，所以DE AD =, 从而AD BE 2=...............5分（2）由条件知62==AC AB ，设tAD =，则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅,即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t即018922=-+t t ，解得23=t 或6-（舍去），则32AD =...............10分23.（1）直线l 的参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.........................2分曲线C 的普通方程为：22y ax =.........................4分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程22y ax =得到0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有128(4)t t a =+，因为||||40PM PN =，所以128(4)40t t a =+=，解得1a=................10分24.（1）由122m x -≤得2121+≤≤-mx m .........................2分 ∴21221+≤≤-m m 53≤≤⇒m ，m 为整数，经检验4=m ...............5分（2）2224164a b c ++=，可由柯西不等式或平方再用不等式推得当且仅当a b c ===时取得最大值为分。

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁U A等于（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2} 2．cos600°的值是（）A．B．C．D．3．由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，可将f（x）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位4．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数f（x）=1﹣cos2x的周期是（）A．B．πC．2πD．4π6．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．7．函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）8．已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+，则f（lo5）的值等于（）A．﹣1 B．C．D．19．在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．10．已知f（x）=|2﹣x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（0，4]D．11．已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．（0，）12．定义域为R的函数f（x）满足条件：①；②f（x）+f（﹣x）=0（x∈R）；③f（﹣3）=0．则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0≤x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．计算：0.25×（﹣）﹣4+log318﹣log32=．14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为．15．若=（2，8），=（﹣7，2），则=．16．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），（1）求的值；（2）求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A、B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．19．已知是函数f（x）=sin（2x+ϕ）图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（﹣x）的单调增区间；（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．20．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．21．已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x﹣2）+3．（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域；（2）设h（x）=[g（x）]2+g（x2），试求函数y=h（x）的最值．22．已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁U A等于（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2} 【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合A中不等式的解集，然后求出集合A在R上的补集即可．【解答】解：∵x2﹣2x＞0，∴x（x﹣2）＞0，∴x＞2或x＜0，∴A={x|x＞2或x＜0}，∁U A={x|0≤x≤2}．故选A【点评】本题考查学生理解补集的定义，会进行补集的运算，是一道基础题．2．cos600°的值是（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．【解答】解：cos600°=cos（360°+180°+60°）=﹣cos60°=﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．3．由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，可将f（x）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=g（x）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．5．函数f（x）=1﹣cos2x的周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】哟条件利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．【解答】解：函数f（x）=1﹣cos2x的周期是=π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．6．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y＜0，故排除BCD，问题得以解决．【解答】解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排除BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排除D故选：A．【点评】本题主要考查了图象的识别和画法，关键是掌握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．7．函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）在（0，2）上为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，得出函数f （x）在（2，4）上的单调性，并画出草图，根据草图可得到结论．【解答】解：函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，∴函数y=f（x+2）在（﹣2，0）上是增函数；又函数y=f（x+2）为偶函数，∴函数y=f（x+2）在（0，2）上是减函数，即函数y=f（x）在（2，4）上为减函数；则函数y=f（x）的图象如图所示，由图知：f（2）＞f（）＞f（1）＞f（）成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，解题时应注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，是基础题．8．已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+，则f（lo5）的值等于（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】通过已知条件判断求出函数的周期，判断对数值的范围，利用偶函数与周期转化自变量的值满足已知函数表达式，求出函数值即可．【解答】解：∵偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），周期为：2，∵当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+，∴lo5=﹣∈（﹣2，﹣1），2﹣∈（0，1）f（lo5）=f（2﹣）=f（﹣2）===1．故选D．【点评】本题考查函数的周期奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力．9．在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据向量条件，确定点P是CA边上的三等分点，从而可求△PBC与△ABC的面积之比．【解答】解：由得=，即=2，所以点P是CA边上的三等分点，故S△PBC：S△ABC=2：3．故选C．【点评】本题考查向量知识的运用，考查三角形面积，解题的关键是根据向量条件，确定点P是CA边上的三等分点．10．已知f（x）=|2﹣x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（0，4]D．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意易得0＜m＜，n＞，可得m2+n2=4，由基本不等式可得4=m2+n2≥2mn，即mn≤2，结合题意可得范围．【解答】解：∵f（x）=|x2﹣2|，且0＜m＜n，f（m）=f（n），∴0＜m＜，n＞，∴2﹣m2=n2﹣2，即m2+n2=4，由基本不等式可得4=m2+n2≥2mn，解得mn≤2，但0＜m＜n，∴0＜mn＜2故选：A【点评】本题考查基本不等式，涉及二次函数的性质，属基础题．11．已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．（0，）【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=是R上的减函数，∴，解得．∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．12．定义域为R的函数f（x）满足条件：①；②f（x）+f（﹣x）=0（x∈R）；③f（﹣3）=0．则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0≤x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由条件①可得函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，由②可得函数为奇函数，再由③可得函数的图象过点（﹣3，0）、（3，0），数形结合可得不等式的解集【解答】解：由条件①可得函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，由②可得函数为奇函数，再由③可得函数的图象过点（﹣3，0）、（3，0），故由不等式xf（x）＜0可得，当x＞0时，f（x）＜0；当x＜0时，f（x）＞0．结合函数f（x）的简图可得不等式的解集为{x|0＜x＜3，或﹣3＜x＜0}，故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，其它不等式的解法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．计算：0.25×（﹣）﹣4+log318﹣log32=6．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质和指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：0.25×（﹣）﹣4+log318﹣log32=0.25×16+log39=4+2=6，故答案为：6．【点评】本题考查了对数的运算性质和指数幂的运算，属于基础题．14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为﹣．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解析：由图可知，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．∵，∴．再根据，∴，∴，∴，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．15．若=（2，8），=（﹣7，2），则=（﹣3，﹣2）．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】用向量减法的法则表示出，再用坐标运算求出其坐标．【解答】解：∴=（﹣3，﹣2）故答案为（﹣3，﹣2）【点评】本题考查向量的减法运算．16．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪[8，+∞）．【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意结合函数图象可将问题转化为关于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有实数解，解△≥0可得．【解答】解：∵f（x）=）=，∴当x=0时，f（x）=k（1﹣a2），∵对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．∴函数必须为连续函数，∴（3﹣a）2=k（1﹣a2），问题转化为（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有实数解，∴△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．故答案为：（﹣∞，0]∪[8，+∞）．【点评】本题考查分段函数的运用，涉及二次函数的性质和二次不等式的解法，属中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），（1）求的值；（2）求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、cosα的值，再利用诱导公式求得所给式子的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（﹣4，3）∴r=5，sinα=，cosα=，∴===．（2）sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1=sinα cosα+2cos2α=2××（﹣）+2×=．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A、B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；数形结合；集合．【分析】（1）分别解得集合A，B即可；（2）根据A∩B=A，得出A⊆B，借助数轴解得即可．【解答】解：（1），x2﹣（2a+1）x+a2+a≥0⇒x≥a+1或x≤a∴A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B=（﹣∞，a]∪[a+1，+∞）…（2）…【点评】本题主要考查集合的自交并的运算，属于基础题．19．已知是函数f（x）=sin（2x+ϕ）图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（﹣x）的单调增区间；（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【专题】计算题；图表型；数形结合；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用正弦函数的对称性可得2×+ϕ=kπ+，k∈Z，又0＜ϕ＜，可求ϕ，即可解得函数解析式；（2）先求函数解析式f（﹣x）=﹣sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得函数f（x）的增区间．（3）用五点法即可作图得解．【解答】解：（1）∵是函数f（x）=sin（2x+ϕ）图象的一条对称轴．∴2×+ϕ=kπ+，k∈Z．∴ϕ=kπ+，k∈Z．又0＜ϕ＜，∴ϕ=，∴可得：；（2）∵f（﹣x）=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣），∴由2k π+≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，即可解得函数f （x ）的增区间为．（3）列表xππ2πf （x ）1﹣1f （x ）在x ∈[0，π]上的图象简图如下图所示：【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性和对称性，考查了五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象，属于基本知识的考查．20．已知函数f （x ）=2cos 2ωx+2sin ωxcos ωx ﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f （）的值；（2）求函数f （x ）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f （x ）的解析式为2sin （2ωx+），由此求得f （）的值．（2）由2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈z ，求出函数f （x ）的单调递增区间．由 2x+=k π+求得 x 的值，从而得到f （x ）图象的对称轴方程．【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），因为f（x）最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，所以f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin=1．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．由2x+=kπ+可得x=kπ+，k∈z．所以，f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈z．…【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．21．已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x﹣2）+3．（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域；（2）设h（x）=[g（x）]2+g（x2），试求函数y=h（x）的最值．【考点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）设t=3x﹣2，于是有f（t）=log3（t+2）﹣1，求出t的范围，把t换为x，可得f（x）的解析式，进一步可求g（x）的解析式，再根据解析式求函数f（x）与g（x）的定义域；（2）设t=log3x，则h（x）=t2+6t+6，这样就把原来的函数变成关于t的二次函数，用二次函数求最值．【解答】解：（1）设t=3x﹣2，∵0≤x≤2，∴﹣1≤3x﹣2≤7，∴t∈[﹣1，7]，则x=log3（t+2），于是有f（t）=log3（t+2）﹣1，t∈[﹣1，7]∴f（x）=log3（x+2）﹣1（x∈[﹣1，7]），根据题意得g（x）=f（x﹣2）+3=log3x+2又由﹣1≤x﹣2≤7得1≤x≤9∴g（x）=log3x+2（x∈[1，9]）…（2）∵g（x）=log3x+2，x∈[1，9]∴要使函数h（x）=[g（x）]2+g（x2）有意义，必须∴1≤x≤3，∴（1≤x≤3）设t=log3x，则h（x）=t2+6t+6=（t+3）2﹣3（0≤t≤1）是[0，1]上增函数，∴t=0时h（x）min=6，t=1时h（x）max=13∴函数y=h（x）的最大值为13，最小值为6．【点评】本题主要考查求函数的定义域，同时考查求函数的解析式，换元法是解题的关键．22．已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；偶函数．【专题】计算题．【分析】（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数∴f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）﹣2x﹣kx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=﹣1（2）∵a＞0∴函数的定义域为（，+∞）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，∴方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1∴方程（*）在无解当a＞1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立∴此时a的范围为a＞1综上所述，所求a的取值范围为a＞1．【点评】本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．。