高三数学函数的奇偶性与周期性

教案5：函数的奇偶性与周期性

一、课前检测

1. 下列函数中，在其定义域内即是奇函数又是减函数的是（ ）

A ．()3 f x x x R =-∈

B ．()sin f x x x R =∈

C ．() f x x x R

=∈ D ．()1 2x f x x R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭

答案：A

2. （08辽宁）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2 答案：C

3. 已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 ( )

A.2-

B.2

C.-98

D.98

答案：A

二、知识梳理

1．函数的奇偶性：

（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．

： 如果______________________________________，那么函数)(x f 为奇函数；

如果______________________________________，那么函数)(x f 为偶函数.

（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.

（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .

（4）若奇函数)(x f 在0x =处有定义，则必有．．．(0)0f =

2．函数的周期性

对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域

内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期.

3．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m

x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期

为 ；

②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图

象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期

三、典型例题分析

例1．判断下列函数的奇偶性：

（1）()(

1f x x =- （定义域不关于原点对称，非奇非偶） （2）()(2lg 122x f x x -=--

解：定义域为：()()2101,00,1220

x x ⎧->⎪⇒-⋃⎨--≠⎪⎩ 所以()()()22lg 1lg 122x x f x x x

--==--- ，是奇函数。 （3）()()()

2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ 解法一：当0x <，0x ->，()()()()2

2f x x x x x f x -=---=+= 当0x >，0x -<，()()()()22f x x x x x f x -=-+-=-= 所以，对()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞，都有()()f x f x -=， 所以()f x 是偶函数

解法二：画出函数图象

解法三：()f x 还可写成()2f x x x =-，故为偶函数。

（4）(

)f x = 解：定义域

为{x ∈，

对{x ∀∈，都有()()()f x f x f x -==-， 所以既奇又偶

变式训练：判断函数()22f x x x a =--+的奇偶性。

解：当0a =时，()f x 是偶函数

当0a ≠时，

()()222,22f a a f a a a =+-=-+，即

()()f a f a ≠-，

且()()()2

217222022f a f a a a a ⎛⎫+-=-+=-+≠ ⎪⎝⎭， 所以非奇非偶

小结与拓展：几个常见的奇函数：

（1）2121x x y +=- （2）11212x y =+- （3）1lg 1x y x

+=- （4）)

lg y x = 小结与拓展：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 例2．已知定义在(),-∞+∞上的函数()y f x =，当()0,x ∈+∞时，()()12x f x x =+

（1）若函数()y f x =是奇函数，当(),0x ∈-∞时，求函数()y f x =的解析式；

（2）若函数()y f x =是偶函数，当(),0x ∈-∞时，求函数()y f x =的解析式；

解：（1）()112x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()112x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

变式训练：已知奇函数()f x ，当0x >时，()()51f x x x =-+，求函数()f x 在R 上的解析式；

解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，

()()()00,f f x f x ∴=-=-，

当0x <时，0x ->，()()51f x x x ∴-=-++

()()()()510f x f x x x x ∴=--=+-<，

()()()()()()

51000510x x x f x x x x x -+>⎧⎪∴==⎨⎪+-<⎩

小结与拓展：奇偶性在求函数解析式上的应用

例3．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，对于,x R ∀∈都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

成立。 （1）证明)(x f 是周期函数，并指出周期；

（2）若(1)2f =，求()(2)3f f +的值。

证明：（1）()()33

,22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()3333(3)2222

f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤

⎛⎫⎛⎫∴+=++=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 所以，)(x f 是周期函数，且3T =

（2）()00,(1)2,3f f T ===，()(1)12f f ∴-=-=- ()()()(2)3102f f f f ∴+=-+=-

变式训练1：设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，

则)5.47(f 等于 ( ) A . 0.5 B. 5.0- C. 1.5 D. 5.1- 答案：B

变式训练2：（06安徽）函数()f x 对于任意实数x 满足条件

()()

12f x f x +=，若()15,f =- 则()()5f f =__________。

解：由()()12f x f x +=得()()

14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，