极值的第二充分条件
高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
16第十六讲 函数极值的第一和第二充分条件
即 x0 是 f ( x)的一个极小值点 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
定理6.12（极值的第二充分条件）
设 f (x) 在点 x0 的某领域 U ( x0;δ )内可导，f ′′( x0 )
存在. 若 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 ,
0
0
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0 − δ , x0 ) .
同理可证 f ( x) 在 [ x0, x0 + δ ) 上递增,故
于是
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0, x0 + δ ) . f ( x0 ) ≤ f ( x) , x ∈U ( x0; δ ) ,
极值判别
最大值与最小值
定理6.11（极值的第一充分条件）
设函数 f (x) 在 x0 连续，在某邻域U ( x0;δ )上可导. (i) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时,f ′( x) ≤ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≥ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极小值 .
(ii) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) ≥ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≤ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极大值 .
证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以
知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i)
从而当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) < 0 ;
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
高等数学李伟版课后习题答案第三章
⾼等数学李伟版课后习题答案第三章习题3—1（A ）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值⼀定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处⼀定存在着⽔平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以⽤来判断函数是否存在零点，⼆者没有差别；（4）虽然拉格朗⽇中值公式是⼀个等式，但将()f ξ'进⾏放⼤或缩⼩就可以⽤拉格朗⽇中值公式证明不等式，不过这类不等式中⼀定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不⼀定是极值；⽽极值未必是最值这是显然的．（2）不正确．例如32x y =在0=x 点处取极值，但是曲线在点)00(，却没有⽔平切线．（3）不正确．前者是判断)(x f 是否有零点的，后者是判断)(x f '是否有零点的．（4）正确．⼀类是明显含有)()(a f b f -的；另⼀类是暗含着)()(0x f x f -的． 2．验证函数2)1(e x y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理，并求出定理中的ξ．解：显然2)1(e x y -=在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且e )2()0(==y y ，于是函数2)1(ex y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理的条件，2)1(e )1(2)(x x x y ---='，由0)(='ξy ，有0e )1(22)1(=---ξξ，得1=ξ，∈ξ)20(，，所以定理的结论也成⽴．3．验证函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理，并求出公式中的ξ．解：显然1232-+=x x y 在闭区间]11[，-连续，在开区间)11(，-内可导，于是函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理的条件，26)(+='x x y ，2)1(1)1()1(=----y y ，由)()1(1)1()1(ξy y y '=----，有226=+ξ，得0=ξ，∈ξ)11(，-，所以定理的结论也成⽴．4．对函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的ξ．解：显然函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在闭区间]20[π，上连续，在开区间)20(π，内可导，且x x f sin 1)(-='，x x g sin )(-='，在区间)20(π，内0)(≠'x g ，于是函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上满⾜柯西定理的条件，⼜21)0()2/()0()2/(πππ-=--g g f f ，由)()()0()2/()0()2/(ξξππg f g g f f ''=--，有ξξπsin sin 121--=-，即πξ2sin =，由于∈ξ)20(π，，得πξ2arcsin=，所以定理的结论也成⽴．5．在)(∞+-∞，内证明x x cot arc arctan +恒为常数，并验证2cot arc arctan π≡+x x ．证明：设x x x f cot arc arctan )(+=，显然)(x f 在)(∞+-∞，内可导，且-+='211)(x x f 0112≡+x，由拉格朗⽇定理的推论，得在)(∞+-∞，内x x cot arc arctan +恒为常数，设C x f ≡)(，⽤0=x 代⼊，得2π=C ，所以2cot arc arctan π≡+x x ．6．不求出函数2()(4)f x x x =-的导数，说明0)(='x f 有⼏个实根，并指出所在区间．解：显然2()(4)f x x x =-有三个零点20±==x x ，，⽤这三点作两个区间]20[]02[，、，-，在闭区间]02[，-上)(x f 连续，在开区间)02(，-内)(x f 可导，⼜0)0()2(==-f f 于是)(x f 在]02[，-满⾜罗尔定理，所以⾄少有∈1ξ)02(，-，使得0)(1='ξf ，同理⾄少有∈2ξ)20(，，使得0)(2='ξf ，所以0)(='x f ⾄少有两个实根．⼜因为)(x f 是三次多项式，有)(x f '时⼆次多项式，于是0)(='x f 是⼆次代数⽅程，由代数基本定理，得0)(='x f ⾄多有两个实根．综上，0)(='x f 恰有两个实根，且分别位于区间)02(，-与)20(，内．7．证明下列不等式：（1）对任何实数b a ，，证明cos cos a b a b -≤-；（2）当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1．证明：（1）当b a =时，cos cos a b a b -≤-显然成⽴．当b a <时，取函数x x f cos )(=，显然)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开间)(b a ，内可导，由拉格朗⽇定理，有∈ξ)(b a ，，使得))(()()(b a f b f a f -'=-ξ，即)(sin cos cos b a b a -?-=-ξ，所以)()(sin cos cos b a b a b a -≤-?-=-ξ．当b a >时，只要将上⾯的区间][b a ，换为][a b ，，不等式依然成⽴．所以，对任何实数b a ，，都有cos cos a b a b -≤-．（2）取函数)1ln()(t t f +=，当0>x 时，函数)1ln()(t t f +=在闭区间]0[x ，上连续，在开区间)0(x ，内可导，根据拉格朗⽇定理，有∈ξ)0(x ，，使得ξξ+='1)(xf ．因为x <<ξ0，则x xx x x =+<+<+0111ξ，所以x x x x <+<+)1ln(1． 8．若函数)(x f 在区间),(b a 具有⼆阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中21x x a <<b x <<3，证明在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：根据已知，函数)(x f 在区间][21x x ，及][32x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈1ξ)(21x x ，，∈2ξ)(32x x ，（其中21ξξ<），所得0)(1='ξf ，0)(2='ξf ．再根据已知及)()(21ξξf f '='，函数)(x f '在区间][21ξξ，上满⾜罗尔定理，所以有∈ξ)(21ξξ，?)(3,1x x ，所得0)(=''ξf ，即在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．习题3—1（B ）1．在2004年北京国际马拉松⽐赛中，我国运动员以2⼩时19分26秒的成绩夺得了⼥⼦组冠军．试⽤微分中值定理说明她在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h （马拉松⽐赛距离全长为42.195km ）．解：设该运动员在时刻t 时跑了)(t s s =（km ），此刻才速度为)()(t s t v v '==（km/h ），为解决问题的需要，假定)(t s 有连续导数．设起跑时0=t ，到达终点时0t t =，则3238888889.20≈t ，对函数)(t s 在区间]0[0t ，上⽤拉格朗⽇定理，有00t <<ξ，所得)()(0)0()(00ξξv s t s t s ='=--，⽽15706.183238888889.2195.420)0()(00≈=--t s t s km/h ，所以157.1815706.18)(>≈ξv ．对)(t v 在区间]0[ξ，及][0t ，ξ上分别使⽤连续函数的介值定理（注意，0)0(=v0)(0=t v ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有)0(1ξξ，∈，)0(2，ξξ∈，使得157.18)(1=ξv ，157.18)(2=ξv，这表明该运动员在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h ．2．若函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且0)(>'x f ，证明⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．证明：采⽤反证法，若⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 有两个（或两个以上）不同的实根21x x <，即0)()(21==x f x f ，根据已知函数)(x f 在][21x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈ξ)()(21b a x x ，，?，使得0)(='ξf ，与在开区间），（b a 内0)(>'x f ⽭盾，所以⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．（注：本题结论也适⽤于⽆穷区间） 3．证明⽅程015=-+x x 只有⼀个正根．证明：设1)(4-+=x x x f （)(∞+-∞∈，x ），则014)(4>+='x x f ，根据上题结果，⽅程015=-+x x 在)(∞+-∞，内⾄多有⼀个实根．取闭区间]10[，，函数1)(4-+=x x x f 在]10[，上连续，且01)0(<-=f ，01)1(>=f ，由零点定理，有)10(，∈ξ，使得0)(=ξf ，从⽽⽅程015=-+x x 在)0(∞+，内⾄少有⼀个实根．综上，⽅程015=-+x x 只有⼀个正根，且位于区间)10(，内． 4．若在),(+∞-∞内恒有k x f =')(，证明b kx x f +=)(．证明：（⽅法1）设函数kx x f x F -=)()(，则0)()(≡-'='k x f x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C kx x f x F ≡-=)()(，⽤0=x 代⼊，得)0(f C =，记b f =)0(，则b C kx x f x F ==-=)()(，所以b kx x f +=)(．（⽅法2）记b f =)0(，∈?x ),(+∞-∞，若0=x ，则满⾜b kx x f +=)(；若0≠x ，对函数)(t f 以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即kx b x f =-)(，所以b kx x f +=)(．5．若函数)(x f 在区间)0(∞+，可导，且满⾜0)()(2≡-'x f x f x ，1)1(=f ，证明x x f =)(.证明：设函数xx f x F )()(=（∈x )0(∞+，），则xx x f x f x x x x f x x f x F 2)()(22/)()()(-'=-'='，由0)()(2≡-'x f x f x ，得0)(≡'x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C xx f x F ==)()(，⽤1=x 代⼊，且由1)1(=f ，得1=C ，所以1)()(==xx f x F ，即x x f =)(．6．证明下列不等式（1）当0>x 时，证明x x+>1e ；（2）对任何实数x ，证明x x arctan ≥．证明：（1）取函数t t f e )(=（]0[x t ，∈）显然函数)(t f 在区间]0[x ，上满⾜拉格朗⽇定理，则有∈ξ)0(x ，，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即x xξe 1e =-，所以 x x x+>+=1e 1e ξ．（2）当0=x 时，显然x x arctan ≥．当0≠x 时，取函数t t f arctan )(=，对)(t f 在以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即21arct an ξ+=xx ，所以x x x <+=21arctan ξ．综上，对任何实数x ，都有x x arctan ≥．7．若函数)(x f 在闭区间[1-，1]上连续，在开区间（1-，1）内可导，M f =)0(（其中0>M ），且M x f <')(．在闭区间[1-，1]上证明M x f 2)(<．证明：对∈?x [1-，1]，当0=x 时，M M f 2)0(<=，．不等式成⽴．当0≠x 时，根据已知，函数)(t f 在以x t t ==，0为端点的区间上满⾜拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f fx f ξ，即x f M x f )()(ξ'=-，所以，M x f x f +'=)()(ξ，从⽽M M f M x f M x f x f 2)()()()(<+'≤+'≤+'=ξξξ．综上，在闭区间[1-，1]上恒有M x f 2)(<．8．若函数)(x f 在闭区间]0[a ，上连续，在开区间)0(a ，内可导，且0)(=a f ，证明在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．证明：设函数)()(x xf x F =（∈x ]0[a ，），则0)(0)0(==a F F ，，再根据已知，函数)(x F 在区间],0[a 满⾜罗尔定理，则有∈ξ)0(a ，，使得0)(='ξf ．⽽)()()(ξξξξf f f '+='，于是0)()(='+ξξξf f ．所以，在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．习题3—2（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利⽤函数的柯西中值定理得到的，因此不能利⽤洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“00”，“∞∞”型不定式，都可以⽤洛必达法则来求其的极限值；（3）型如””，“”，“”，“”，““0100∞∞-∞∞?∞型的不定式，要想⽤洛必达法则，需先通过变形．⽐如“0?∞”型要变型成为“00”，“∞∞”型，”，”，““00∞-∞””，““01∞∞型要先通过变型，转化为“0?∞”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使⽤洛必达法则，⾸先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使⽤洛必达法则．（2）不正确．如0sin 1sinlim 20=→xx x x （00型）、1cos sin lim -=-+∞→x x x x x （∞∞型）、11lim 2=++∞→x x x （∞∞型）都不能⽤洛⽐达法则求得极限值．（3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“∞-∞”型通常是直接化为“00”，“∞∞”型． 2．⽤洛必达法则求下列极限：（1）x x x --→e 1ln lim e ；（2）11lim 1--→n m x x x （0≠mn ）；（3）x x x 5tan 3sin limπ→；（4）2e e cos 1lim 0-+--→x x x x；（5）1sec tan 2lim0-→x x x x ；（6）xxx 3tan tan lim 2/π→；（7）x x x 2cot lim 0→；（8）x x x cot arc lim +∞→；（9）)sin 11(lim 0x x x -→；（10）111lim()ln 1x x x →--；（11）xx x tan 0lim +→；（12）)1ln(1)(lim x x x ++∞→；（13）21)(cos lim x x x →；（14）nn n ln lim∞→；解：（1）e11/1lim e 1ln lime e -=-=--→→x x x x x ．（2）==----→→1111lim 11lim n m x nm x nx mx x x nm．（3）=-?-==→→22)1(535sec 53cos 3lim 5tan 3sin limx x x x x x ππ53-．（4）=+=-=-+--→-→-→x x x x x x x x x x x x e e cos lim e e sin lim 2e e cos 1lim00021．（5）===-=-→→→→xxx x x x x x x x x x x x tan 4lim tan sec 4lim 1sec 2lim 1sec tan 2lim002004． (6) =---=-=?=→→→→x xx x xx x x x x x x x x sin 3sin 3lim cos 3cos lim )cos 3cos 3sin sin (lim 3tan tan lim2/2/2/2/ππππ3．（7）===→→→x x x x x x x x 2sec 21lim 2tan lim 2cot lim 200021．（8）=+=-+-==+∞→+∞→+∞→+∞→22221lim /1)1/(1lim 1/cot arc lim cot arc lim xx x x x x x x x x x x 1．（9）=-=-=-=-=-→→→→→2sin lim 21cos lim sin lim sin sin lim )sin 11( lim 002000xx x x x x x x x x x x x x x x x 0．（10）xx x x x x x x x x x x x /)1(ln /11lim ln )1(ln 1lim )11ln 1(lim 111-+-=---=--→→→=+=-+-=→→2ln 1lim 1ln 1lim11x x x x x x x 21．（11）设xxy tan =，则x x y ln tan ln =，因为0lim /1/1lim /1ln lim ln lim ln tan lim ln lim 0200=-=-====++++++→→→→→→x xxx x x x x x y x x x x x x ，所以， ==+→0tan 0e lim xx x 1．（12）设)1ln(1)(x x y +=，则)1ln(ln 21)1ln(ln ln x xx x y +=+=，因为 21)11(lim 21)1/(1/1lim 21)1ln(ln lim 21ln lim =+=+=+= +∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x y x x x x ，所以 ==++∞→21)1ln(1e )(lim x x x e ．（13）设21)(cos x x y =，则2cos ln ln x xy =，因为 21cos 2sin lim cos ln lim ln lim 0200-=-==→→→x x x x x y x x x ，所以==-→2 110e )(cos lim 2x x x e1．（14）根据海涅定理，====+∞→+∞→+∞→∞→xxx xx nn x x x n 2lim2/1/1limln limln lim0．3．验证极限xx xx x cos 2sin 2lim -+∞→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=-+=-+=-+∞→∞→0102/)cos 2(1/)(sin 2lim cos 2sin 2limx x x x x x x x x x 2．因为极限xxx x x x x x sin 21cos 2lim )cos 2()sin 2(lim++='-'+∞→∞→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．4．验证极限x x x x sin )/1sin(lim 20→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=?=?=→→→011sin lim sin lim sin )/1sin(lim0020xx x x x x x x x x 0．因为极限xx x x x x x x x cos )/1sin()/1sin(2lim)(sin ])/1sin([lim 020-=''→→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．习题3—2（B ）1．⽤洛必达法则求下列极限：（1）311lnarctan 2limx x xx x -+-→；（2）xx x x 30sin arcsin lim -→（3）)tan 11(lim 220xx x -→；（4）]e )11[(lim -+∞→xx x x ； (5) 260)sin (lim x x xx →；（6）n n nn b a )2(lim +∞→（00>>b a ，）．解：（1）原式30)1ln()1ln(arctan 2limx x x x x -++-=→=--=--+-+=→→)1(34lim 3111112lim 40220x x x x x x x 34-．（2）原式2220220301311lim 31/11lim arcsin lim xx x x x x x x x x x ---=--=-=→→→=-=--=→→22022032/lim 311lim xx x x x x 61-．（3）原式30022220tan lim tan lim tan tan lim xxx x x x x x x x x x x -?+=-=→→→ ==-=-=→→→22022030tan lim 3231sec lim 2tan lim 2x x xx x x x x x x 32．（4）令t x 1=，则原式21010)1ln()1()1(lim e )1(lim tt t t t t t t t tt ++-+=-+→→ =+-=-+-=++-=→→→t t t t t t t t t t t )1ln(lim 2e 21)1ln(1lim e )1ln()1(lim e 002 02 e -．（5）令6)sin (x x x y =，则2sin ln 6ln x x xy =，因为 30200sin cos lim 3)sin cos 2sin /6(lim ln lim xxx x x x x x x x x y x x x -=-?=→→→ 13sin lim 320-=-=→x x x x ，所以==-→160e )sin (lim x x xx e 1．（6）令=n x nn nb a )2(+，则]2ln )[ln(ln -+=n n n b a n x ，再令x t 1=，因为 tb a b a x x t t t xx x n n 2ln )ln(lim ]2ln )[ln(lim ln lim 011-+=-+=→+∞→∞→ ab b a ba b b a a t t t t t ln 2ln ln ln ln lim 0=+=++=→，所以==+∞→abnn nn b a ln e )2(lim ab ．2．当0→x 时，若)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩，求常数c b a 、、．解：根据已知，有0)(e lim220=++-→x c bx ax x x ，由分母极限为零，则有分⼦极限也为零，于是01)]([e lim 2x =-=++-→c c bx ax x ，得1=c ，此时02)2(e lim )(e lim 0220=+-=++-→→x b ax x c bx ax x x x x ，再由分⼦极限为零，同样得1=b ，进⽽022122e lim 2)12(e lim )(e lim 00220=-=-=+-=++-→→→a a x ax x c bx ax x x x x x x ，得21=a ，所以1121===c b a ，，时，当0→x 时，)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩．3.若函数)(x f 有⼆阶导数，且2)0(,1)0(,0)0(=''='=f f f ，求极限2)(limxxx f x -→．解：1)0(210)0()(lim 2121)(lim )(lim002=''=-'-'=-'=-→→→f x f x f x x f x x x f x x x ．（注：根据题⽬所给条件，不能保证)(x f ''连续，所以只能⽤⼀次洛⽐达法则，再⽤⼆阶导数的分析定义）习题3—3（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）只要函数在点0x 有n 阶导数，就⼀定能写出该函数的泰勒多项式．⼀个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，⼆者相差⼀个不恒为零的余项；（2）⼀个函数在某点附近展开带有拉格朗⽇余项的n 阶泰勒公式是它的n 次泰勒多项式加上与该函数的n 阶导数有关的所谓拉格朗⽇型的余项；（3）在应⽤泰勒公式时，⼀般⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式⽐较⽅便．答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确．当)(x f 本⾝是⼀个n 次多项式时，有0)(≡x R n ，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数．（2）不正确．拉格朗⽇型的余项与函数)(x f 的1+n 阶导数有关．（3）不正确．利⽤泰勒公式求极限时就要⽤带有⽪亚诺余项的泰勒公式，⼀般在对余项进⾏定量分析时使⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式，在对余项进⾏定性分析时使⽤带⽪亚诺型余项的泰勒公式．2．写出函数x x f arctan )(=的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式．解：因为211)(x x f +='，)1(2)(2x x x f +-=''，322)1(62)(x x x f ++-='''，于是 2)0(0)0(1)0(0)0(-='''=''='=f f f f ，，，，代⼊到)(!3)0(!2)0()0()0()(332x o x f x f x f f x f +'''+'+'+=中，得 )(3arctan 33x o x x x +-=． 3．按1-x 的乘幂形式改写多项式1)(234++++=x x x x x f ．解：因为1234)(23+++='x x x x f ，2612)(2++=''x x x f ，624)(+='''x x f ，24)()4(=x f ，更⾼阶导数都为零，于是，，，20)1(10)1(5)1(=''='=f f f 30)1(='''f ，24)0()4(=f ，将其带⼊到)()1(!4)1()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(44)4(32x R x f x f x f x f f x f +-+-'''+-'+-'+=中，得 432)1()1(5)1(10)1(105)(-+-+-+-+=x x x x x f（其中5)5(4)1(!5)()(-=x f x R ξ恒为零）． 4．将函数1)(+=x xx f 在1x =点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式．解：因为111)(+-=x x f ，则2)1(1)(+='x x f ，3)1(2)(+-=''x x f ，4)1(6)(+='''x x f ，于是83)1(41)0(41)1(21)1(='''-=''='=f f f f ，，，，将其带⼊到 ))1(()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(332-+-'''+-'+-'+=x o x f x f x f f x f 中，得))1((16)1(8)1(41211332-+-+---+=+x o x x x x x ． 5．写出函数xx x f e )(=的带有拉格朗⽇型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(e )()(k x x f x k +=（1321+=n n k ，，，，，）（参见习题2.5（B ）3），于是，k fk =)0()(（n k ，，，，210=），=+=++1)1()!1()()(n n n x n x f x R θ1)!1(e )1(++++n x x n x n θθ，将其带⼊到)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++'+'+= ，得 132)!1(e )1()!1(!2e +++++-++++=n x n xx n x n n x x x x x θθ )10(<<θ．6．将函数xx f 1)(=按(1)x +的乘幂展开为带有拉格朗⽇型余项的n 阶泰勒公式．解：因为1)(!)1()(+-=k k k xk x f，于是!)1()(k f k -=-（13210+=n n k ，，，，，，）， 1211211)1()1()1()1()!1()!1()1()1()!1()()(+++++++++-=+++-=++=n n n n n n n n n x x n n x n f x R ξξξ，将其代⼊到中)()1(!)1()1(!2)1()1)(1()1()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++-+++-'++-'+-= ，得2112)1()1()1()1()1(11++++-++--+-+--=n n n nx x x x x ξ（ξ介于1-与x 之间）．习题3—3（B ）1．为了修建跨越沙漠的⾼速公路，测量员测量海拔⾼度差时，必须考虑地球是⼀个球体⽽表⾯不是⽔平，从⽽对测量的结果加以修正．（1）如果R 表⽰地球的半径，L 是⾼速公路的长度．证明修正量为R RLR C -=sec ． (2)利⽤泰勒公式证明3422452R L R L C +≈．（3）当⾼速公路长100公⾥时，⽐较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公⾥）．证明：（1）由αR L =，有R L =α，⼜在直⾓三⾓形ODB 中，CR R+=αcos ，于是R C R L+==1s e cs e c α，由此得R RLR C -=sec ．（2）先将x x f sec )(=展开为4阶麦克劳林公式，为此求得x x x f tan sec )(='，x x x x f 32s e c t a n s e c )(+=''，x x x x x f tan sec 5tan sec )(33+='''，x x x x x x f5234)4(s e c 5t a n s e c 18tan sec )(++=，，，，，，5)0(0)0(1)0(0)0(1)0()4(=='''=''='=f f f f f 于是 )(245211sec 442x R x x x +++=；当1<2245211sec x x x ++≈，取R L x =，得442224521sec RL R L R L ++≈，于是≈-=R R L R C sec 3422452R L R L +．（3）按公式R RLR C -=sec计算，得修正量为785010135.0)1(≈C ，按公式3422452RL R L C +≈计算，得修正量为785009957.0)2(≈C ，它们相差⼤约为000000178.0)2()1(≈-C C ．2．写出函数212e)(x x f -=的带佩亚诺型余项的n 2阶麦克劳林公式．解：由)(!!3!21e 32nn tt o n t t t t ++++++= ，令22x t -=，得 )]2(!2)1(!62!42!221[e eee223624222122n n n nn x x x o n x x x x +?-++?-?+?-==--)(]!)!2()1(!!6!!4!!21[e 22642n n n x o n x x x x +-++-+-= ，按规律，由于nx2项的后⼀项为22+n x，所以余项也可以⽤)(12+n xo ．3．写出函数x x f 2sin )(=的带⽪亚诺型余项的m 2阶麦克劳林公式．解：x x 2cos 2121sin 2-=)2()!2()2()1(!6)2(!4)2(!2)2(1[2121222642m m mn x o m x x x x +-++-+--=)()!2(2)1(4523122121642m m m m x o x m x x x +-+-+-=-- ，同上⼀题，余项也可以⽤)(12+m x o ．（注意：像2、3题⽤变量代换写泰勒公式的⽅法只使⽤于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适⽤带有拉格朗⽇型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗⽇型余项） 4．应⽤三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：（1）330；（2）18sin ．解：（1）取函数31)(x x f +=，展开为三阶麦克劳林公式，有31154323)1(3108159311)(x xx x x x x f θ+?-+-+=+=，3339/11332730+?=+=，现取9/1=x ，)59049572912711(3303+-+≈，误差为54431089.19310-?R ， 10725.3)000085.0001372.0037037.01(3)59049572912711(3303=+-+≈+-+≈；（2）⽤x sin 的麦克劳林公式，取1018π==x ，得53)10(!5)cos()10(!311018sin πθππx +-=，则3)10(!311018sin ππ-≈，误差为5531055.2)10(!51-?≈<≤πR3090.030899.000517.031416.018sin ≈=-≈．5．利⽤泰勒公式求下列极限：（1）642/012/e cos lim 2x x x x x +--→；（2）x x x x x x x sin )1(sin e lim 20+-→．解：（1）原式64636426 642012/)](!32821[)](!62421[lim xx x o x x x x o x x x x ++?-+--+-+-=→ 3607)(360/7lim 6660=+=→x x o x x ．（2）原式3233220)](6/)][(2/1[lim x x x x o x x x o x x x --+-+++=→ 31)(3/lim3330=+=→x x o x x ．6．设函数)(x f 在区间][b a ，上有⼆阶连续导数，证明：有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+．证明：将函数)(x f y =在20ba x +=点展开为⼀阶泰勒公式，有 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=η.（η介于x 与0x 之间）分别⽤b x a x ==、代⼊上式，得 201000)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(21b a f b a b a f b a f -''+-+'++=η（21b a a +<<η），202000)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(22a b f a b b a f b a f -''+-+'++=η（b b a <<+22η），上两式相加，得]2)()([4)()2(2)()(212ηηf f a b b a f b f a f ''+''-++=+，由)(x f ''连续，根据习题1-7（B ）4，得)(2)()(21ξηηf f f ''=''+''（)(b a ，∈ξ），于是，)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-++=+，所以，有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+． 7．若函数)(x f 有⼆阶导数，0)(>''x f ，且1)(lim=→xx f x ，⽤泰勒公式证明x x f ≥)(. 证明：由函数)(x f 可导，及1)(lim=→xx f x ，得1)0(0)0(='=f f ，，将)(x f 展开为⼀阶麦克劳林公式，有22)()(x f x x f ξ''+=（ξ介于0与x 之间），由0)(>''x f ，得x x f x x f ≥''+=22)()(ξ．8．设函数)(x f 在区间]20[，上⼆次可微，)2()0(f f =，且M x f ≤'')(，对任何]20[，∈x ，证明M x f ≤')(．证明：对任何∈x ]20[，，将函数)(t f y =在x t =点展开为⼀阶泰勒公式，有 2)(!2)())(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ.（ξ介于x 与t 之间）分别⽤20==t t 、代⼊上式，得 21!2)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=，（x <<10ξ）（1） 22)2(!2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，（22<<ξx ）（2）（2）-（1），并由条件)2()0(f f =，有 ])()2)(([21)(202122x f x f x f ξξ''--''+'=，即])()2)(([41)(2122x f x f x f ξξ''--''-='，所以M x x M x x M x f =+-?≤+-≤'222])2[(4])2[(4)(．习题3—4（A ）1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么()f x 在区间[,]a b 上单调增加（减少）的充分必要条件是对任意的(,)x a b ∈，0)(>'x f （0)(<'x f ）；（2）函数的极⼤值点与极⼩值点都可能不是唯⼀的，并且在其驻点与不可导点处均取得极值；（3）判定极值存在的第⼀充分条件是根据驻点两侧导数的符号来确定该驻点是否为极值点，第⼆充分条件是根据函数在其驻点处⼆阶导数的符号来判定该驻点是否为极值点；（4）在区间I 上连续的函数，其最⼤值点或最⼩值点⼀定是它的极值点.答：（1）不正确．如3x y =在]11[，-上单调增加，⽽032≥='x y ．（2）前者正确，后者不正确．驻点与不可导点是取得极值必要条件不是充分条件，如函数3x y =有驻点0=x ，⽽3x y =在0=x 点不取极值；⼜如函数3x y =有不可导点0=x ，⽽3x y =在0=x 点也不取极值．（3）前者不正确，后者正确．第⼀充分条件对连续函数的不可导点也适⽤．（4）不正确．函数的最⼤（⼩）值点可以是闭区间端点，这时的最值点就不是极值点． 2．证明函数x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少．解：在开区间)11(，-内，0111)(2≤--='xx f ，且等号只在0=x 点成⽴，所以)(x f 在开区间)11(，-内单调减少，⼜因为函数x x x f arcsin )(-=在区间]11[，-的左、右端点处分别右连续、左连续，所以x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少． 3．求下列函数的单调区间和极值：（1）323y x x =-；（2）xx y 12+=；（3）3232x x y +?=；（4）2exy x =；（5）x x y -+=)1ln(；（6）)1ln(2-=x y ．解：（1）定义域为)(∞+-∞，，)2(3632-=-='x x x x y ，由0='y ，得驻点0=x ，2=x ，函数没有不可导点．单增区间为：)2[]0(∞+-∞，、，，单减区间为：]20[，，极⼤值为：0)0(=y ，极⼩值为：4)2(-=y ．（2）定义域为)0()0(∞+-∞，，，221xx y -='，由0='y ，得驻点1±=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：)1[]1(∞+--∞，、，，单减区间为：]10()01[，、，-，极⼤值为：2)1(-=-y ，极⼩值为：2)1(=y ．（3）定义域为)(∞+-∞，，2233)1(2xx y ?+='，由0='y ，得驻点1-=x ，不可导点0=x ．单增区间为：)1[∞+-，，单减区间为：]1(--∞，，⽆极⼤值，极⼩值为：1)1(-=-y ．（4）定义域为)0()0(∞+-∞，，，3)2(e xx y x -='，由0='y ，得驻点2=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：、，)0(-∞)2[∞+，，单减区间为：]20(，，⽆极⼤值，极⼩值为：4/e )2(2=y ．（5）定义域为)1(∞+-，，xxy +-='1，由0='y ，得驻点0=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：]01(，-，单减区间为：)0[∞+，，极⼤值为：0)0(=y ，⽆极⼩值．（6）定义域为)1()1(∞+--∞，，，122-='x xy ，在定义域内0≠'y ，且没有不可导点．单增区间为：)1(∞+，，单减区间为：)1(--∞，，既⽆极⼤值，也⽆极⼩值．4．求下列函数在指定区间的最⼤值M 和最⼩值m ：（1）163)(24+-=x x x f ，]20[，∈x ；（2）11)(+-=x x x f ，]40[，∈x ．解：（1）)1(121212)(23-=-='x x x x x f ，由0)(='x f ，得1=x （10-==x x ，都不在)20(，内），⽐较数值25)2(2)1(1)0(=-==f f f ，，，得163)(24+-=x x x f 在。
高中数学 第十四章《极限与极值》数学竞赛讲义 苏教版
第十四章 极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m,当n>m 且n ∈N 时,恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数）,则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限,记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→,另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A,称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b,那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义,且0lim x x →f(x)存在,并且0lim x x →f(x)=f(x 0),则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小）,因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在,则称f(x)在x 0处可导,此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率）,记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ,即00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。
2012考研数学二真题答案(完整版)
2012数二参考答案9、21xx e +； 10、4π； 11、0； 12、2x y =； 13、()1,0-； 14、27- 三、解答题15、解：（I ）()00011sin lim limlim 011sin sin sin x x x x x x xa f x x x x x x→→→+-==-=+=+=（II ）()00011sin sin lim lim 1lim sin sin sin x x x x x x x x f x a x x x xx →→→+--⎛⎫⎛⎫-=--=+⎡⎤⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ ()()3001sin 16lim lim sin sin x x x x x x x x x x →→-+⎛⎫== ⎪⎝⎭()300161sin lim lim 6x x x f x a x x x x →→-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以k=1 16、解：()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y fx y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P -()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x yf x y xe y y++--+-+-⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P -为极小值点，极小值为()121,0f e --=-把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e-=（17）解：1y x '=，设切点坐标(),ln o o x x ，切线方程为()1ln o o oy x x x x -=- 又切线过点(0,1)，所以2o x e =，故切线方程为211y x e =+ 切线与x 轴交点为B ()2,0e -所围面积()222011y A e e y dy e ⎡⎤=--=-⎣⎦⎰ 旋转体体积()()2222221122ln 333e V e e xdx e πππ⎡⎤=---=+⎣⎦⎰ （18）解：()()1cos 014401d cos sin 1116cos sin 1cos 14415Dxy d d d t t dt πθπσθρθρθρρθθθθ+-= =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（19）解：（I ）'''()()2()0f x f x f x +-=对应的特征方程为220r r +-=，r=-2，r=1所以()212xx f x C e C e -=+把()212xx f x C e C e -=+代入''()()2x f x f x e +=，得到()x f x e =（II ）同理，当x<0时，0y ''<可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。
专升本高数高数300题(二)
考点19 .利用拉格朗日中值定理证明连体不等式102、 试证：当 a>b >Q , 77〉1 时，nb nl (a-b)<a n -b n < na nl (a-b).证明：构造函数/(X )=X M(Z ?>I ).,显然函数在竹,用上连续且可导，满足拉格朗日中值定 理的条件，从而存在》vg v 。
使得/理/的^条a 件即 a n -b n =喚'0-b\b v g v °),又因为nb n l (a-b)< 喚'(a-b)< na n l 0-幻， 故nb n l (a-b)<a n -b n <na n l (a-幻103. 当x 〉0时，证明：不等式%<e x -l<xe x证明：构造函数f (x) = e x ,则/'(%) = e x ,当x 〉0时，函数/(x)在区间[0,x] ±连续且 可导，即满足拉格朗日中值定理的条件， 所以，/(x)-/(0) =(0 vg v x),即 e x -l = e^x,(0<^<x).而 x<e^x<xe x ,故当当x 〉0 时，x <e x -1< xe xa x1 1证明：构造函数/(%) = ——，它在区间 ——L 内连续且可导，由拉格朗日中值定理知,(77 + 1) In (2 n x105. ------------------------------------ 证明：当 x 〉0 时， < ln(x + l) < xx + 1证明：构造函数/(x) = ln(x + l),它在区间[0, x](x>0)内连续且可导，由拉格朗日中值 定理知，至少存在g&(0,x),使得/(x)-/(0) =即有106. 试证：当 a>b>0,n> 1 时，nb nl (a-b) <a n -b n < na nl (a-b).104.证明：——*<% (^>1,/7>1)至少存在g e (1丄) 顶+ 1' n j(77 + 1)2 “("I) 772 1+x 1+g证明：构造函数f (x) = x" (n > 1)，显然函数在［b,a］上连续且可导，满足拉格朗日定理的条件，从而存在 b < X < a使得 f (a) - f (b) = "X "T (a - b)即a" - b" = "X "-1 (a - b) (b < X < a)又因为"b "-1(a—b ) < "X "-1(a—b ) < "a"-1(a—b ),故nb "-1(a - b) < a" - b" < na "-1 (a - b). 考点20.求函数的单调增区间或减区间107.函数丿=寸X2的单调减区间为2 -1解：y = 3 x3 < 0 A x < 0 n (-¥, 0).x2108.函数f (x)= ------- 的单调递增区间为1 + x答案：(-¥, -2)和(0, +¥)解：函数的定义域为(-¥, -1) O (-1, +¥),又f'(x) = 2x(1 + x)- xx =矣= x(2 +x) ,令f'(x) > 0 n x > 0或x <-2 .故单调增(1 + x)2(1 + x)2 (1 + x)2加区间为(-¥, -2)和(0, +¥)109.求曲线y = x3 -3x + 2单调区间和极值。
成考(专升本)-高等数学二(专升本)-第1章 函数、极限和连续
成考（专升本）-高等数学二（专升本）-第1章函数、极限和连续[单选题]1.当x→0时，x2是x-ln（1+x）的()。
A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价的无穷小量D.较低阶的无穷小（江南博哥）量正确答案：C参考解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较。
由于可知当x→0时，x2与x-ln（1+x）为同阶但不等价无穷小，故应选C。
[单选题]3.()。
A.0B.1C.2D.不存在正确答案：D[单选题]4.()。
A.减少B.有增有减C.不增不减D.增加正确答案：B[单选题]5.设函数f（x）=，在x=2处连续，则a=()。
A.B.C.D.正确答案：B参考解析：[单选题]6.当x→1时，下列变量中不是无穷小量的是()。
A.x2-1B.sin（x2-1）C.lnxD.e x-1正确答案：D参考解析：[单选题]7.设z=f（x，y）在点（1，1）处有f x’（1，1）=f y’（1，1）=0，且f xx”（1，1）=2，fxy”（1，1）=0，fyy”（1，1）=1，则fy（1，1）=()。
A.是极大值B.是极小值C.不是极大值D.不是极小值正确答案：B参考解析：根据极值的充分条件：B2－AC＝－2，A＝2＞0所以f（1，1）为极小值，选B。
[单选题]8.当x→0时，若sin2x与x k是等价无穷小量，则k=()。
A.1/2B.1C.2D.3正确答案：C参考解析：当k=2时，有选C。
[单选题]9.()。
A.（1，1）B.（e，e）C.（1，e＋1）D.（e，e＋2）正确答案：A参考解析：本题将四个选项代入等式，只有选项A的坐标使等式成立。
[单选题]10.下列命题正确的是()。
A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量正确答案：C参考解析：根据无穷小量的定义可知选项C正确。
[单选题]11.()。
A.－3B.0C.1D.3正确答案：D参考解析：[单选题]12.()。
函数的最值
令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
400 x 又
y 5 ) ( 3) , k 为某一常数 k 2
400
2 32 x )
(400 所以 x 15 为唯一的
小
1.函数极值的确定方法
结
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过 由正变负 由负变正 为极大值
在给定条件的情况下， 要求效益最佳的问题， 就是最大值问题； 而在效益一定的情况下， 要求消耗资源最少的问题， 是最小值问题； 在解决实际问题时，首先要把问题的要求作为目标， 建立目标函数，并确定函数的定义域； 其次，应用极值知识求目标函数的最大值或最小值； 最后应按问题的要求给出结论。
例5 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截取一个大小相同的小正方形， 然后将四边折起做一个无盖的方盒。问截掉的小正方形边长为多大时， 所得方盒的容积最大？ 而方盒的最大容积为多少？
a x 0, 2
a-2x a-2x
因为
dV dV a a a 当x 0, 时， 当x , 时， 0, 0, 6 6 2 dx dx
所以
a x 是极大值点。 6
由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点， 这也就是取得最大值的点。
求函数最值时，常遇到下述情况：
(1)若函数f(x)在连续区间I内有一个极值，是极大(小)值时， 它就是函数f(x)在该区间上的最大(小)值， 解极值应用问题时，此种情况较多。 x x y=f(x) y=f(x)
o
a
x0
b x
o
a
x0
b x
(2)若函数f(x)在连续区间[a,b]上是单调增加(减少)的， 则最值在区间端点取得。
经济数学7.函数的极值判定定理(第二充分条件)
解： 因为函数 f (x)的定义域为 (,)， 且 f (x) 3x2 6x 9， 令 f (x) 0 ，得驻点 x1 1 , x2 3 ,
又 f (x) 6x 6。
经济数学
例题
求函数 f (x) x3 3x2 9x 2 的极值。
经济数学
f (x) 6x 6
解： 因为 f (1) 12 0，
所以函数 f (x) 在 x1 1处取得极大值， 且极大值为 f (1) 7 ；
因为 f (3) 12 0 ，
所以函数 f (x) 在 x2 3处取得极小值， 且极小值为 f (3) 25。
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函数极值判定定理 （第二充分条件）
授课教师：陈笑缘教授
经济数学
1
定理
2
例题
经济数学
1
定理
经济数学
经济数学
定理
定理4.6 （极值的第二充分条件）
设 x0是函数 f ( x) 的驻点，且 f (x0 ) 存在， 则
（1） 当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在 x0处取得极大值。 （2）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在 x0 处取得极小值。 （3）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在 x0处有无极值需另外判断。
经济数学
思考
1.为什么当 f (x0 ) 0 ，则 f (x0 ) 是否为函数 f ( x)的极值还
需要进一步判断？ 2.什么情况下用极值判断的第一充分条件？什么情况下用第二充 分条件？其利弊是什么?
经济数学在线开放课程经济源自学谢谢!经济数学二次函数 f (x) ax2 bx c , f (x) 2ax b , f (x) 2a ,
极值的方法与技巧(1)
求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。
第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数2222()()xy z x y e -+=+的极值。
解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e xz y x y e y -+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点(0,0)及22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂22222222()2[2(13)4(1)]x y zx y y x y e y-+∂=-----∂22(0,0)2,z A x∂==∂ 2(0,0)0,zB x y∂==∂∂ 22(0,0)2zC y∂==∂240,0B AC A ∆=-=-<> 故(0,0)0f =为极小值。
第四章 二阶条件
F F yy r yy 0 F F y y yyr
由（4.7）
求解特征方程的特征根 r1 和 q的负定性 r 0 ,r 0 1 2
r2 。
F ( t,y ,y )是严格凹的 F ( t,y ,y )是严格凸的 F ( t,y ,y ) 是凹的 F ( t,y ,y ) 是凸的
* V [y ]V [y ]
三、检验凹性/凸性
( t,y ,y ) 函数 F 是凹（凸）的，当且仅当二次型 q ( t,y ,y ) 在任何地方都是负（正）半定的；函数 F 是严格凹（凸）的，当（但不是仅当）q在任何 地方都是负（正）定的。
任何地方是指在 y y 的空间中的所有点和所有时 刻都成立。 二次型符号的定性和半定性可以用行列式检验和 特征根检验来检查。
如果函数F关于 ( y, y) 是严格凹的，那么（4.4）和 （4.5）中的弱不等式 变为强不等式 ，结果 * V [y ]V [y ] 表明 V [ y * ] 是唯一的V的最大值。 同样，一个严格凸函数F也将使 V [ y * ] 成为唯一的 最小值。
二、可变终结点的充分性定理
~ 通称为 D 2
q的负半定性 q的正半定性
~ ~ D 0 ,D 0 1 2 ~ ~ D 0 ,D 0 1 2
F ( t,y ,y ) 是凹的 F ( t,y ,y ) 是凸的
二次型符号定性的特征根检验
2 2 d y 2 F dyd y F dy 二次型 F 的特征方程: y y y y yy
0
因此，可以得到二阶充分条件： T 2 2 F p ( t ) 2 F p ( t ) p ( t ) F p ( t ) 负定是V (y ) F ( t ,y ,y ) dt yy y y y y 0 取极大值的充分条件。
高数定理定义总结
任一子数列也收敛于a.假如数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}高数定理定义总结高数定理定义总结高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；假如有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)假如数列{xn}收敛，那么数列{xn}肯定有界。
假如数列{xn}无界，那么数列{xn}肯定发散；但假如数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}肯定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)假如数列{xn}收敛于a，那么它的收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，假如lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
假如lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
2016考研数二真题及答案解析
x0 的某个邻域内，有
（A） f1 ( x) f 2 ( x) g ( x) （C） f1 ( x) g ( x) f 2 ( x) 解析： 因 y f1 ( x ) 与 y f 2 ( x ) 在 ( x0 , y0 ) 有公切线， 则 f1 ( x0 ) f 2 ( x0 ), f1( x0 ) f 2( x0 ). 又 y f1 ( x ) 与 y f 2 ( x) 在（ x0 , y0 ）处的曲率关系为 k1 k2 . 因 k1 （B） f 2 ( x) f1 ( x) g ( x) （D） f 2 ( x) g ( x) f1 ( x)
3
综合上述，应选（A）. （6）已知函数 f ( x, y ) （A） f x f y 0.
' '
ex ，则 x y
（B） f x f y 0.
' '
（C） f x f y f .
' '
（ D） f x f y f .
' '
解析： f ( x, y )
ex x y
x sin xdx sin 1 cos1
0
1
（11）以 y x e 和 y x 为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.
2 x 2
5
解析： x 2 x 2 e x 为对应齐次方程的解，即 e x 是 y ' y 0 的解; 设非齐次方程为 y ' y f ( x ) ，将 y x 代入得 f ( x) 2 x x ,
当x a时, f ( x) 0 a 为极大值点 当x a时, f ( x) 0
利用极值第二充分条件判断题
利用极值第二充分条件判断题极值的第二充分条件(非必要)，是高数非常重要的一个定理。
定理：(极值第二充分条件)设f在点x0的某邻域U0(x0,δ)内一阶可导, 在x=x0处二阶可导，且f’(x0)=0, f”(x0)≠0.1、若f”(x0)<0，则f在点x0取得极大值；2、若f”(x0)>0，则f在点x0取得极小值.这个定理的证明，就没有第一充分条件那么简单了。
由于f在x0二阶可导，所以在x=x0的泰勒展开式有二阶形式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f”(x0)(x-x0)^2/2+o((x-x0)^2). 就算有高阶导函数，也可以取二阶泰勒展开式的形式的。
而在它的二阶泰勒展开式中的f'(x0)=0，所以移项后可以得到f(x)-f(x0)=f”(x0)(x-x0)^2/2+o((x-x0)^2).接下来是最关键的一步。
等式右边可以提取公因式(x-x0)^2, 得到：f(x)-f(x0)=[f”(x0)/2+o(1)](x-x0)2. 其中o((x-x0)^2除以(x-x0)^2得到o(1)，可以理解为比1阶无穷小还要高阶的无穷小.而f"(x0)不等于0，由极限的保不等式性，就可以知道, 存在正数δ’≤δ，使得，当x∈U(x0,δ’)时，f”(x0)/2与f”(x0)/2+o(1)同号. 很多学过这个定理的小伙伴，都不知道这一步是怎么来的。
因为教材并没有告诉我们，它依据的是极限的保不等式性。
因为o(1)的本质是一个极限，它对应着一个连续的函数g(x), 表示的是当x->x0时，limg(x)=0，那么不管f"(x0)是正数，或是负数，都能找到一个区间U(x0,δ’)，使得在这个区间上都有f”(x0)/2>g(x)，从而保证两者的和与f”(x0)/2同号. 这是有理数的加法运算法则。
同号两数相加，取相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号。
极值的第二充分条件
极值的第二充分条件
不定积分的极值第二充分条件是：函数的总和为零。
不定积分是指变量函数从有界的一段
中定义的积分，它不包括任何穷尽的情况。
因此，我们需要为函数的总和是零来证明不定积分的极值，从而确定特定课程的极值。
在这种情况下，因为极值是在某个有界段内定义的，所以考虑将空间分成一系列小空间，
然后再归结为各自的函数和，证明它是零。
为实现这一目标，引入了另一种典型的数学工
具“柯西不等式”，也被称为Cauchy-Schwartz不等式，它是概率论中最常用的不等式之一。
该不等式可用来比较两个向量，以便对它们中的变量集中进行统计分析和约简。
因此，柯西不等式的用法可以帮助我们在有界的空间内证明不定积分的极值总和等于零。
例如，在计算极值的过程中，计算小空间中每个点处函数的值，并计算它们的平均值，然
后将每个小空间中的总和函数值与平均值进行比较，最后得出总和函数值等于零的结论。
这样就可以证明极值的第二充分条件，即函数的总和是零。
因此，可以看出，柯西不等式是一种有效的数学工具，可以帮助我们在不定积分的极值的
第二充分条件的情况下证明函数的总和是零。
从而证明极值的第二充分条件。
高数定理定义总结
高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果l im(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
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极值存在的第二充分条件是bai当一阶du导数等于0，而二阶导数大于0时，zhi为极小值点。
当一阶导数等于dao0，而二阶导数小于0时，为极大值点。
具体证明过程如下。
证明：
因为对于函数y=f(x)。
设f(x)一阶可导，且y'=f'(x)，二阶可导，且y''=f''(x)。
且当x=x0时，f'(x0)=0。
那么当f''(x0)＞0时，
而f''(x0)=lim(x→x0⁺)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)=f''(x0)=lim(x→x0⁻)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)＞0。
当x→x0⁺时，x-x0＜0，那么f'(x)-f'(x0)＜0，即f'(x)＜0。
当x→x0⁻时，x-x0＞0，那么f'(x)-f'(x0)＞0，即f'(x)＞0。
那么可得x＞x0时，f'(x)＜0，则函数f(x)为减函数，x＜x0时，f'(x)＞0，则函数f(x)为增函数，所以可得f(x)在x=x0处取得极小值。
同理可证明函数y=f(x)，当x=x0时，f'(x0)=0，f''(x0)＜0时，f(x)在x=x0处取得极大值。
扩展资料：
1、二阶导数的性质
（1）判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。
当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。
（2）函数凹凸性。
设f(x)在[ab]上连续，在（ab)内具有一阶和二阶导数，那么，
若在（ab)内f''(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的。
若在（ab)内f’‘(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的。
2、二阶导数的几何意义
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。