高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案
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因为 平面 ，所以点 为三棱锥 的外接球的球心，
则 ，即外接球半径 ，
则三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
20．函数 的最小正周期是 ，则其图象向左平移 个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）
A． B． C． D．
【高中数学】高考数学《三角函数与解三角形》练习题(1)
一、选择题
1．函数 的最大值为（）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
由题意，得
；故选A.
2．已知在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.
8．若函数 同时满足下列三个性质：①最小正周期为 ；②图象关于直线 对称；③在区间 上单调递增，则 的解析式可以是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用性质①可排除 ,利用性质②可排除 ,利用性质③可排除 ,通过验证选项 同时满足三个性质.
【详解】
逐一验证，由函数 的最小正周期为 ，而 中函数最小正周期为 ,故排除B；
A． B．2C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ⊥ 可得tanθ，而sin2θ+6cos2θ ，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】
因为向量 (1，cosθ)， (sinθ，﹣2)，
所以
因为 ⊥ ，
所以 ，即tanθ=2，
所以sin2θ+6cos2θ 2.
故选：B.
【点睛】
详解：当 ， ，
又∵ ，则 ，即 ， ，
由 得 ， ，
∴ ，解得 ，
综上 .
故选C.
点睛：余弦函数的单调减区间： ，增区间： ，零点： ，对称轴： ，对称中心： ， .
13．在 中， ， 是 的平分线交 于 ， ， ，则 （）
A．2B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 ，再利用正弦定理求AD.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数的周期可得 ，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为 ，再求其对称轴方程即可.
【详解】
解：函数 的最小正周期是 ，则函数 ，经过平移后得到函数解析式为 ，由 ，
得 ，当 时， .
故选D.
【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
A．4B．1C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得出 的一个最大值为 ，一个最小值为 ，于此得出 的最小值为函数 的半个周期，于此得出答案．
【详解】
对任意的 ， 成立.
所以 ， ，所以 ，故选D．
【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
10．已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得 ，再由余弦二倍角，即可求解．
【详解】
由 ，得 ，又由 ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题目所给已知条件求得 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项.
【详解】
由于函数 的最小正周期为 ，故 ，即 ， .所以 .由 ，解得 ，故函数的递增区间是 ，令 ，则递增区间为 ，故B选项正确.所以本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
5．在 中， 是边 上的一点， 的面积为 ，
则 的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,选C
6．函数 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简函数 ，求导数，利用导数求函数的最小值即可.
【详解】
，
则 ，
.
令 ， 为减函数，且 ，
所以当 时， ，从而 ；
【详解】
设 ，则 ，
， ，
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
15．已知函数 ，其中 .若函数 的最小正周期为 ，且当 时， 取最大值，是（）
A． 在区间 上是减函数B． 在区间 上是增函数
C． 在区间 上是减函数D． 在区间 上是增函数
16．已知函数 （ ， ）的最小正周期为 ，且其图象向左平移 个单位后，得到函数 的图象，则函数 的图象（）
A．关于直线 对称B．关于直线 对称
C．关于点 对称D．关于点 对称
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意 ，平移后为 ， ，关于 对称.
考点：三角函数图象与性质.
17．已知向量 (1,cosθ)， ，且 ⊥ ，则sin2θ+6cos2θ的值为（）
B． 的最小正周期为 ，且在 上为增函数
C． 的最小正周期为 ，且在 上为减函数
D． 的最小正周期为 ，且在 上为减函数
【答案】C
【解析】
试题分析： ，∵函数图像关于直线 对称，
∴函数 为偶函数，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴函数 在 上为减函数.
考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.
【详解】
∵ ，∴ ，
∴ .又 ，
∴ ，
∴ .
又∵在锐角 中, ,∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，故选A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
3．在△ 中， ， ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得 ，代入计算即可得到所求的值.
11．直线 与函数 的图象的相邻两个交点的距离为 ，若 在 上是增函数，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线 与函数 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到 ，则 ，然后求得其单调增区间，再根据 在 上是增函数，由 是增区间的子集求解.
【详解】
因为直线 与函数 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，
19．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 的外接圆的半径，然后取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，由于 平面 ，故点 为三棱锥 的外接球的球心， 为外接球半径，求解即可.
【详解】
在 中， ， ，可得 ，
则 的外接圆的半径 ，取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，
所以 在 上是增函数，
由 ，
解得 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题
12．函数 在区间 单调递减，在区间 上有零点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解பைடு நூலகம்】
分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式
【详解】
因为 ，由余弦定理可得 ，
即 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），故选D.
【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
4．设函数 ，且其图像关于直线 对称，则（）
A． 的最小正周期为 ，且在 上为增函数
又 ，所以 的图象不关于直线 对称，故排除C；
若 ，则 ，故函数 在 上单调递减，故排除D；
令 ，得 ，所以函数 在 上单调递增．由周期公式可得 ,当 时, ,所以函数 同时满足三个性质.
故选A．
【点睛】
本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.
9．已知函数 ，若对于任意的 ，都有 成立，则 的最小值为（）
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
18．化简 =（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】
依题意，原式 ，故选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
当 时， ，从而 .
故 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
7．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由正弦定理得 ，所以“ ”是“ ”的充要条件，选C.
【详解】
∵ ，
∴ .在 中， ，
∴ .
【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．如图，在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点（ 靠近点 ），过 作 的垂线，垂足为 ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设出等腰直角三角形 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得 ，由此得到 ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将 表示为以 为基底来表示的形式.
则 ，即外接球半径 ，
则三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
20．函数 的最小正周期是 ，则其图象向左平移 个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）
A． B． C． D．
【高中数学】高考数学《三角函数与解三角形》练习题(1)
一、选择题
1．函数 的最大值为（）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
由题意，得
；故选A.
2．已知在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.
8．若函数 同时满足下列三个性质：①最小正周期为 ；②图象关于直线 对称；③在区间 上单调递增，则 的解析式可以是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用性质①可排除 ,利用性质②可排除 ,利用性质③可排除 ,通过验证选项 同时满足三个性质.
【详解】
逐一验证，由函数 的最小正周期为 ，而 中函数最小正周期为 ,故排除B；
A． B．2C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ⊥ 可得tanθ，而sin2θ+6cos2θ ，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】
因为向量 (1，cosθ)， (sinθ，﹣2)，
所以
因为 ⊥ ，
所以 ，即tanθ=2，
所以sin2θ+6cos2θ 2.
故选：B.
【点睛】
详解：当 ， ，
又∵ ，则 ，即 ， ，
由 得 ， ，
∴ ，解得 ，
综上 .
故选C.
点睛：余弦函数的单调减区间： ，增区间： ，零点： ，对称轴： ，对称中心： ， .
13．在 中， ， 是 的平分线交 于 ， ， ，则 （）
A．2B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 ，再利用正弦定理求AD.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数的周期可得 ，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为 ，再求其对称轴方程即可.
【详解】
解：函数 的最小正周期是 ，则函数 ，经过平移后得到函数解析式为 ，由 ，
得 ，当 时， .
故选D.
【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
A．4B．1C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得出 的一个最大值为 ，一个最小值为 ，于此得出 的最小值为函数 的半个周期，于此得出答案．
【详解】
对任意的 ， 成立.
所以 ， ，所以 ，故选D．
【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
10．已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得 ，再由余弦二倍角，即可求解．
【详解】
由 ，得 ，又由 ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题目所给已知条件求得 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项.
【详解】
由于函数 的最小正周期为 ，故 ，即 ， .所以 .由 ，解得 ，故函数的递增区间是 ，令 ，则递增区间为 ，故B选项正确.所以本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
5．在 中， 是边 上的一点， 的面积为 ，
则 的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,选C
6．函数 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简函数 ，求导数，利用导数求函数的最小值即可.
【详解】
，
则 ，
.
令 ， 为减函数，且 ，
所以当 时， ，从而 ；
【详解】
设 ，则 ，
， ，
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
15．已知函数 ，其中 .若函数 的最小正周期为 ，且当 时， 取最大值，是（）
A． 在区间 上是减函数B． 在区间 上是增函数
C． 在区间 上是减函数D． 在区间 上是增函数
16．已知函数 （ ， ）的最小正周期为 ，且其图象向左平移 个单位后，得到函数 的图象，则函数 的图象（）
A．关于直线 对称B．关于直线 对称
C．关于点 对称D．关于点 对称
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意 ，平移后为 ， ，关于 对称.
考点：三角函数图象与性质.
17．已知向量 (1,cosθ)， ，且 ⊥ ，则sin2θ+6cos2θ的值为（）
B． 的最小正周期为 ，且在 上为增函数
C． 的最小正周期为 ，且在 上为减函数
D． 的最小正周期为 ，且在 上为减函数
【答案】C
【解析】
试题分析： ，∵函数图像关于直线 对称，
∴函数 为偶函数，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴函数 在 上为减函数.
考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.
【详解】
∵ ，∴ ，
∴ .又 ，
∴ ，
∴ .
又∵在锐角 中, ,∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，故选A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
3．在△ 中， ， ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得 ，代入计算即可得到所求的值.
11．直线 与函数 的图象的相邻两个交点的距离为 ，若 在 上是增函数，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线 与函数 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到 ，则 ，然后求得其单调增区间，再根据 在 上是增函数，由 是增区间的子集求解.
【详解】
因为直线 与函数 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，
19．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 的外接圆的半径，然后取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，由于 平面 ，故点 为三棱锥 的外接球的球心， 为外接球半径，求解即可.
【详解】
在 中， ， ，可得 ，
则 的外接圆的半径 ，取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，
所以 在 上是增函数，
由 ，
解得 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题
12．函数 在区间 单调递减，在区间 上有零点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解பைடு நூலகம்】
分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式
【详解】
因为 ，由余弦定理可得 ，
即 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），故选D.
【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
4．设函数 ，且其图像关于直线 对称，则（）
A． 的最小正周期为 ，且在 上为增函数
又 ，所以 的图象不关于直线 对称，故排除C；
若 ，则 ，故函数 在 上单调递减，故排除D；
令 ，得 ，所以函数 在 上单调递增．由周期公式可得 ,当 时, ,所以函数 同时满足三个性质.
故选A．
【点睛】
本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.
9．已知函数 ，若对于任意的 ，都有 成立，则 的最小值为（）
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
18．化简 =（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】
依题意，原式 ，故选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
当 时， ，从而 .
故 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
7．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由正弦定理得 ，所以“ ”是“ ”的充要条件，选C.
【详解】
∵ ，
∴ .在 中， ，
∴ .
【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．如图，在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点（ 靠近点 ），过 作 的垂线，垂足为 ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设出等腰直角三角形 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得 ，由此得到 ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将 表示为以 为基底来表示的形式.