2014年高考文科数学试题(辽宁卷)及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

文 科 数 学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A

B = A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤

C ．{|01}x x ≤≤

D ．{|01}x x <<

2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =

A ．23i +

B ．23i -

C ．32i +

D ．32i -

3.已知1

32a -=，21211log ,log 33

b c ==，则 A ．a b c >> B ．a c b >>

C ．c b a >>

D ．c a b >>

4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是

A ．若//,//,m n αα则//m n

B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥

C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α

D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥

5.设c b a ,,是非零向量，已知命题p ：若0=⋅b a ，0=⋅c b ，则0=⋅c a ；命题q ：若b a //，//，则//，则下列命题中真命题是

A ．p q ∨

B ．p q ∧

C ．()()p q ⌝∧⌝

D ．()p q ∨⌝

6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是

A ．

2π B ．4π C ．6π D ．8π

7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

A ．84π-

B ．82

π- C ．8π- D ．82π- 8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：2

2y px =的准线上，记C 的

焦点为F ，则直线AF 的斜率为 A ．43

-

B ．1-

C ．34-

D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列}2{1n a a 为递减数列，则

A ．0d <

B ．0d >

C ．10a d <

D ．10a d >

10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2

x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为

A ．1247[,][,]4334

B ．3112[,][,]4343

-

- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334

-- 11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2

π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212

ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是

A ．[5,3]--

B ．9

[6,]8

-- C ．[6,

2]-- D ．[4,3]--

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .

14.已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩

，则目标函数34z x y =+的最大

值为 .

15. 已知椭圆C ：22

194

x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .

16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足02422=-+-c b ab a ，且使|2|

a b +最大时，

c b a 521++的最小值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2=⋅，1cos 3

B =，3b =，求：

（1）a 和c 的值；

（2）cos()B C -的值.

某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

19. （本小题满分12分）

如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，

0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.

（1）求证：EF ⊥平面BCG ；

（2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13

V Sh =

，其中S 为底面面积，h 为高.

20. （本小题满分12分）

圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.

（1）求点P 的坐标；

（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =交于A ，B

两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.