高中数学函数的零点
人教A版高中数学必修一课件 《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
课堂篇 探究学习
解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-
2<0,f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+43=log312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程 log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).
(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解. 由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.394>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点 所在的区间为(1,2).所以k=1.
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
变式训练本例已知条件不变,求a为何值时: (1)方程有唯一实数解; (2)方程的一个解大于1,一个解小于1.
解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
例3 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 ( )
A.(0,2)
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在
的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为
.
分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所 在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的 符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.
分析高中数学中的函数的零点与极限的重要性质
分析高中数学中的函数的零点与极限的重要性质函数是高中数学中的重要概念之一，它包含了数学研究中的许多重要性质。
函数的零点和极限是函数研究的两个关键概念，它们在数学理论和实际问题求解中都具有重要意义。
首先，我们来讨论函数的零点。
函数的零点是指使函数取值为零的输入值。
零点的概念在数学中是非常重要的，因为零点可以帮助我们解决方程和不等式等问题。
通过求得函数的零点，我们可以找到方程的根或者不等式的解，这在解决实际问题时具有重要作用。
零点的概念也与函数图像的特征密切相关。
函数的零点可以揭示函数图像与x轴的交点，通过分析零点的性质，我们可以得到函数图像的有关信息。
例如，函数在零点处取得极值，或者函数图像在零点处存在断点等情况。
其次，我们来讨论函数的极限。
极限是用来描述函数在某一点“无限接近于某个值”的概念。
函数的极限与函数的连续性和稳定性相关。
通过研究函数的极限，我们可以了解函数在某一点附近的行为，判断函数的连续性和研究函数的性质。
函数的极限还可以帮助我们解决一些求解问题的困难。
例如，在求导数的过程中，我们经常会使用极限的性质来进行推导。
通过对函数极限的理解，我们可以更好地理解导数的概念，从而更加深入地研究函数的性质。
此外，函数的极限还与数学分析中的许多重要概念密切相关。
例如，利用函数的极限可以定义函数的导数、积分和级数等。
这些概念在数学分析中起着重要的作用，并且在实际问题求解中也有广泛的应用。
函数的零点和极限在高中数学中的学习和理解中是不可或缺的。
通过研究函数的零点和极限，我们可以深入了解函数的性质，从而在实际问题求解中更加准确地把握函数的特点。
同时，对于将来进一步学习数学的同学来说，函数的零点和极限也是他们深入研究数学分析所必备的基础。
总结起来，函数的零点和极限是高中数学中的重要概念。
它们不仅是数学理论中的关键概念，而且在实际问题求解中具有重要意义。
函数的零点和极限能够帮助我们解决方程和不等式等问题，同时也能揭示函数图像和函数性质的重要信息。
高一函数零点题型归纳
高一函数零点题型归纳函数零点是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的值、图像、单调性等多个方面。
以下是高一函数零点的一些常见题型及其解题方法：一、判断零点个数例题：函数f(x) = x^{2} - 2xf(x)=x2−2x在区间( - 3,3)(−3,3)内的零点个数为( )A.0 B.11 C.22 D.33解析：首先确定函数的对称轴为x = 1x=1，然后判断函数的开口方向为向上。
接下来，根据对称轴和区间端点的距离，可以确定函数在区间内的零点个数。
二、求函数的零点例题：函数f(x) = \log_{2}(x - 3)f(x)=log2(x−3)的零点是( )A.22 B.33 C.44 D.55解析：对数函数的零点即为使对数内部表达式等于1的x值。
因此，令x - 3 = 1x−3=1，解得x = 4x=4。
三、判断零点所在区间例题：函数f(x) = x^{3} - x^{2} - xf(x)=x3−x2−x在区间( - 1,2)(−1,2)内的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)(0,1) B.(1,2)(1,2) C.( - 1,0)(−1,0) D.(0,2)(0,2)解析：先确定函数在给定区间端点的函数值，然后判断其正负性。
如果端点函数值异号，则该区间内必存在零点。
四、应用题中的零点问题例题：某商品的成本价为每件30元，售价不超过50元时，售价y(元)与售价的整数部分x 满足关系式：y = x + 20y=x+20，当成本价与售价相等时，每月最多可售出该商品____件。
解析：根据题意，当成本价与售价相等时，即30 = x + 2030=x+20，解得x = 10x=10。
由于售价的整数部分为10，则售价为30元。
再根据一次函数的性质，当斜率大于0时，函数单调递增，因此每月最多可售出该商品33件。
五、判断函数是否为同一函数（根据零点个数）例题：下列四个函数中与函数f(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1表示同一函数的是( )A.y = \frac{x^{2}}{x}y=xx2B.y = \frac{1}{\sqrt{x}}y=x1C.y = \frac{1}{\log_{a}x}y=logax1D.y = \frac{e^{x}}{x}y=xex解析：根据函数的三要素（定义域、值域、对应关系），分别判断各选项是否与给定函数定义域相同、值域相同以及对应关系相同。
人教版高中数学必修1《函数的零点与方程的解》PPT课件
•题型二 判断零点所在的区间
• [探究发现]
• (1)什么是函数的零点？ • 提示：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标．
• (2)f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的 什么条件？f(a)f(b)＞0时函数在区间上一定没有零点吗？ • 提示：f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在(a，b)上存在零点的 充分不必要条件．f(a)f(b)＞0时函数在区间(a，b)上不一定 没有零点．
• (2)函数零点存在定理是不可逆的．因为由f(a)·f(b)<0可 以
•推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，但是，已知函 数y
•＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0. 如图，
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)函数的零点是一个点．
()
•(2)任何函数都有零点．
• [方法技巧] 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是 解方程法
否落在给定区间上 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看 函数零点 是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必 存在定理 有零点 数形 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 结合法
()
•(3)函数y＝x的零点是O(0,0)．
()
•(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少
有一个零点．
()
•(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点 的横坐标，是方程f(x)＝0的根．
•2．函数f(x)＝log2x的零点是 (
数学高中必修知识点必备
数学高中必修知识点必备人教版数学必修一知识点1、函数零点的定义(1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。
(2)方程0)(xf有实根Û函数()yfx的图像与x轴有交点Û函数()yfx有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。
②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。
③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(2、函数零点的判定(1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。
(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法①代数法：函数)(xfy的零点Û0)(xf的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定0)(xfy有2个零点Û0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点Û0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点Û0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.3、二分法(1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度e;②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc;(ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点;(ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb);④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.高一数学下册必修知识点整理一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高中数学必修一课件：第四章函数的零点与方程的解
要点3 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条____连__续_不__断_____的曲线，且有 ___f_(a_)_f(_b)_<_0 ___，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得___f(_c)_＝_0____，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
解析 令f(x)＝0，得－x2＋5x－6＝0，即x2－5x＋6＝0，(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3.故选B.
3．方程ex－x＝2在实数范围内的解有( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析 由题意令y1＝ex，y2＝x＋2，在同一坐标系下作出两个函数的图象， 如图，由图可知两图象有两个交点，即方程ex－x＝2有两个解．故选C.
3．如何正确理解函数零点存在定理？ 答：(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝1x就没有零点． (2)函数y＝f(x)若满足：①函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲 线；②f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． (3)对于有些函数，即使它的图象是一条连续不断的曲线，当它通过零点 时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变 号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号． (4)函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单 调，若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点．
4．若二次函数y＝x2＋2x＋k＋3有两个不同的零点，则k的取值范围是( B )
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞)
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
高中数学：函数零点
函数零点一、函数的零点1.零点的定义：对于函数()y f x ，使()0f x 的实数x 叫做函数()yf x 的零点．2.函数零点的等价关系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标．即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．3.零点存在性判定定理定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函()y f x =在区间()a b ，内有零点，即存在()c a b ∈，，使得()0f c =，这个c 就是方程()0f x =的根．4.对函数零点存在的判断中，必须强调：1）()f x 在[]a b ，上连续； 2）()()0f a f b <； 3）在()a b ，内存在零点． 这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件． 注意：函数()yf x 的零点就是方程()0f x 的实数根，也就是函数()yf x 的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．5. 二次函数零点的判定0）的图像2ax bx c 0a ）的根2a2ax bxc0）的零点2ba2ax bxc0）的解集2ax bxc0）的解集1x 或2xx }2a6.一元二次方程20axbx c根的分布（下面对0a 进行讨论）20bk a △20bk a △1212()x x k k ，，1122k x k x )k ，内有且只有一根yyyky y1220b k a△23()0()0f k f k △且(2b k a一．选择题（共12小题）1．（2018•重庆模拟）函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（2018•商洛模拟）函数f（x）=ln（x+1）﹣2x的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）3．（2017秋•镇原县校级期末）函数f（x）=2x+7的零点为（）A．7B．7 2C．﹣7D．−7 24．（2017秋•平罗县校级期末）方程2x=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）5．（2018春•番禺区校级月考）方程x3﹣3x﹣m=0在[0，1]上有实数根，则m的最大值是（）A．0B．﹣2C．﹣118D．16．（2017•奉贤区二模）若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1C．y=f（x）e x﹣1D．y=f（﹣x）e x+17．（2016秋•仙桃期末）函数f（x）=2x2﹣3x+1的零点个数是（）A．0B．1C．2D．38．（2016秋•库尔勒市校级期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的函数是（）A．y=sinx B．y=cosxC．y=lnx D．y=x3+19．（2016秋•黄山期末）函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（）A．（1，0）B．（2，0）C．1D．210．（2016秋•东莞市校级期末）函数f（x）=x2﹣4x+4的零点是（）A．（0，2）B．（2，0）C．2D．411．（2017秋•青冈县校级期中）函数f（x）=2x2﹣3x+1的零点是（）A．﹣12，﹣1B．﹣12，1C．12，﹣1D．12，112．（2017春•江津区期中）设f（x）=ax+4，若f（1）=2，则a的值（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3二．填空题（共5小题）13．（2014秋•新沂市校级月考）已知集合A={x|ax2﹣3x+2=0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a=．14．（2014秋•涟水县校级期中）方程4x2﹣12x+k﹣3=0没有实根，则k的取值范围是．15．（2012秋•浦东新区校级月考）2﹣x+x2=5的实根个数为．16．（2012秋•金山区校级月考）函数y=x3﹣2x的零点是．17．已知x 38=234，则x=．三．解答题（共1小题）18．解方程：x3+x2=1．。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
高中新教材数学必修件第章函数的零点
05
思想
对称性在函数零点中体现
函数零点的对称性
对于某些函数，其零点在坐标系上呈现出对称性，如二次函数的两个零点关于对 称轴对称。
对称性的美学价值
对称性在数学中是一种重要的美学特征，它体现了数学中的平衡和和谐，使得函 数图像更加美观。
简洁性在函数零点中体现
函数零点的简洁性
函数零点作为函数与x轴交点的横坐标，具有简洁明了的数学 表达形式，如一次函数的零点即为其斜率和截距的比值。
对于函数$y = f(x)$，若存在$x_0 in D$（D为函数定义域），使得 $f(x_0) = 0$，则称$x_0$为函数 $y = f(x)$的零点。
零点与图像的关系
函数$y = f(x)$的零点即为函数图 像与x轴交点的横坐标。
函数零点存在性定理
零点存在性定理
若函数$y = f(x)$在闭区间[a, b]上连 续，且$f(a) cdot f(b) < 0$，则函数 $y = f(x)$在区间(a, b)内至少存在一 个零点。
分段函数和复合函数零点问题
分段函数零点求解
针对每一段分别求解，注意端点处的取值情况，以及各段之间的 连续性。
复合函数零点分析
将复合函数分解为若干个基本函数，分别研究各基本函数的零点， 再综合得出复合函数的零点。
零点存在性定理的应用
在求解分段函数和复合函数零点时，可以运用零点存在性定理来判 断零点的存在性。
零点存在性定理的推论
若函数$y = f(x)$在区间(a, b)内单调 ，且$f(a) cdot f(b) < 0$，则函数$y = f(x)$在区间(a, b)内有且仅有一个零 点。
函数零点与方程根关系
01
函数零点与方程根的关系
高中数学必修一(人教版)4.5.1函数的零点与方程的解
方法归纳
1．确定函数零点个数的方法： ①结合零点存在定理和函数单调性； ②转化为两个函数图象的交点个数． 2．已知函数零点个数求参数范围的常用方法
跟踪训练 1 (1)函数 f(x)＝12x－x3－2 在区间(－1,0)内的零点个数 是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．函数 f(x)＝log2x－1 的零点为________．
解析：令 f(x)＝log2x－1＝0，得 x＝2，所以函数 f(x)的零点为 2. 答案：2
方法归纳
函数零点的求法 求函数 y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令 f(x)＝0，根据解 方程 f(x)＝0 的根求得函数的零点；其二是画出函数 y＝f(x)的图象，图 象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．
第1课时 函数的零点与方程的解
[教材要点]
要点一 函数的零点 1．零点的定义 对于函数 y＝f(x)，把_f_(x_)_＝__0_的__实__数___x__，叫做函数 y＝f(x)的零点． 2．方程的根与函数零点的关系
交点的横坐标
零点
状元随笔 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取 该值时，其函数值等于零．
又函数 f(x)＝log3x－8＋2x 的图象是连续的． ∴函数 f(x)的零点所在区间是(3,4)．
答案：C
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间 内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
状元随笔 利用数形结合讨论方程的解或图象的交点．讨论方程
第15节 函数的零点
典例分析：
例 4：已知函数 f（x）的图象是连续不断的，有如下的 x，f（x）的对应表：
则函数 f（x）存在零点的区间有（ ）
A．区间[2，3]和[3，4]
B．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]
C．区间[2，3]、[3，4]和[4，5] D．区间[1，2]、[2，3]和[3，4]
解：由已知条件可得：f（1）=﹣8＜0，f（2）=2＞0，f（3）=﹣3＜0，f（4）=5
高中数学 必修一
第二章 函数 第15节 函数的零点
第二章 函数
第十五节 函数的零点
必备新知
1．函数的零点
如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值等于零，即 f(α)＝0，则 α 叫做这个函数的零点．在坐标系
中表示图象与 x 轴的公共点是(α，0)．
典例分析：
例 1：求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1.
3.已知函数
则方程 f（x）+1=0 的实根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：画出函数
和 y=﹣1 的图象，
方程 f（x）+1=0 即 f（x）=﹣1， 结合图象易知这两个函数的图象有 2 交点， 则方程 f（x）+1=0 的实根个数为 2． 故选 C．
4.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调，f（2） ＞0＞f（1），则函数 f（x）的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
典例分析：
例 6：（1）函数 f（x）=x2﹣2x+a 在区间（1，3）内有一个零点，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A．（﹣3，0）
B．（解：﹣∵3令，f1（）x）=Cx2．﹣（2x﹣+a1，，它3的）对称D轴．为（x﹣=1，1，1）
函数的零点
函数的零点零点这一块内容知识点比较少，但我相信本文引用的例题对于高一新生来说有较大的参考价值。
【零点】设有一函数f(x)，我们把能够使f(x)=0的实数x_0称为函数f(x)的一个“零点”。
显然，函数的零点和它的图像与x轴交点横坐标对应（零点并非几何意义上的点，而是数字，但在不关心数值，只关心零点个数的时候，我们不必强调“横坐标”这件事，因为这并不影响“对应”一词的正确性）。
零点可以通过解方程f(x)=0得到，但零点个数不一定与对应方程的实根个数相同。
例如f(x)=(x-1)^2(x-2)(x^2+1)，我们说对应方程有三个实根：x_1=x_2=1，x_3=2，但说函数的零点只有1，2两个。
不难理解，对于函数F(x)=f(x)-g(x)，它的零点对应函数f(x)与g(x)图像的交点。
特别地，如果g(x)=c，从而是一个常数函数，那么F(x)的零点就对应函数f(x)的图像与直线y=c的交点。
【例】【2020-2021学年嘉兴市高一上期末统考】（多选）若定义在\bold{R} 上的函数 f(x) 满足 f(-x)+f(x)=0 ，当 x<0 时，f(x)=x^2+2ax+\dfrac 32a （ a \in \bold{R} ），则下列说法正确的是：A. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 a<0 或4<a<8 ；B. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 4<a<8 ；C. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>8 ；D. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>4 。
解：首先，由题意， f(x) 是奇函数，这样就可以根据已知的 x<0时的解析式写出函数在 \bold{R} 上的解析式：f(x)=\begin{cases} -x^2+2ax-\dfrac 32a& (x>0)\\ 0& (x=0)\\x^2+2ax+\dfrac 32a& (x<0) \end{cases}根据选项，设 g(x)=ax+\dfrac a2 。
高中数学人教A版必修1《函数的零点》 教学课件
方法规律技巧总结 4．应用函数零点的存在情况求参数 的值或取值范围的常用方法
数形结合法：先对函数解析式变形， 在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象，然后数形结合求解．
谢 谢！
象是一条连续不断的曲线，并且有 f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内 有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0.
误区警示：①满足条件的零点可能不唯一；②不 满足条件时，也可能有零点．
经典例题精析 考点1 函数零点所在区间与零点个数
的判断
考点1【新题变式探究】
考点2 函数零点（方程根）的应用
2. 函数有零点的含义： 函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实根
函数y=f((x)－g(x)有零点
方程f(x)=g(x)有实根 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象有交点
3.函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图
考点2【新题变式探究】
方法规律技巧总结
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用 方法
利用函数零点的存在性定理：首先看 函数f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续 不断，再看是否有f(a)f(b)<0 ．若有， 则函数f(x)在区间(a,b)内有零点．
方法规律技巧总结
2．确定函数零点个数的常用方法
高三第一轮总复习之函数的零点
思考
1．函数的零点是如何定义的? 2．函数有零点意味着什么？ 3．如何判断函数f(x)在区间(a,b)内有零点？
基础知识必备 1.函数零点的定义：
对于函数y=f(x)(x D),使f(x)=0的实数 x叫做函数y=f(x)(x D)的零点.
函数的零点与方程的解(高中数学)
指数函数与对数函数
2
学习目标
核心素养
1.理解函数零点的概念以及函数零 1.借助零点的求法培养数学运算和
点与方程根的关系．(易混点) 逻辑推理的素养．
2．会求函数的零点．(重点) 2．借助函数的零点同方程根的关系，
3．掌握函数零点存在定理并会判断 培养直观想象的数学素养.
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2．若函数g(x)＝f(x知方程 f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解． 故a的范围为y＝f(x)的值域． 法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有 交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即 可．
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【例 3】 已知 0<a<1，则函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[思路点拨]
构造函数fx＝a|x|0<a<1 与gx＝|logax|0<a<1
→
画出fx与 gx的图象
→
观察图象得 零点的个数
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B [函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个 数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是 函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象 的交点的个数．
(4)若 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则
f(a)·f(b)<0.( )
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2．函数 f(x)＝2x－3 的零点所在
B [∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)
的区间是( )
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
【③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根； {0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定.1、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ;…(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.【经典例题】1．函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3】2．函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A 、(－2，－1)B 、(－1,0)C 、(0,1)D 、(1,2)3．若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .4．设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 5．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、76．函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 （ ）)A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32B 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34C 、⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞D 、⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .9．求下列函数的零点：（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x=-.>10．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度．/【课堂练习】1、在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )?4、函数f ()x =2x+3x 的零点所在的一个区间是 （ ）A ．（-2,-1）B 、（-1，0）C 、（0，1）D 、（1，2）5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ） A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4]6、函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ）A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点 7、若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过，则()f x 可以是（ ）A 、()41f x x =-B 、2()(1)f x x =-C 、()1xf x e =- D 、1()ln()2f x x =- #8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、3()8f x x =-B 、()ln 3f x x =+C 、2()2f x x =++D 、2()41f x x x =-++9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B 、⎪⎭⎫⎝⎛21,41C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21D 、(1,2)10、01lg =-xx 有解的区域是 （ ） A 、(0,1] B 、(1,10]C 、(10,100]D 、(100,)+∞11、在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、 1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)24!12、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）A 、1[0,]8B 、11[,]84C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩， 零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、016、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到）为 （ ）A 、B 、1.3C 、D 、 ^17、方程223xx -+=的实数解的个数为 .18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。
高中数学人教版必修1——第八讲：函数的零点与二分法(解析版)
函数的零点与二分法1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72 D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－9且a ≠0B ．a >－9C ．a <－9D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解． 答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点 答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：就是所求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1:试用计算器求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．答案：－0.7.练习2:(2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,1.75) D．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0,f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案：7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.。
高中数学讲义：函数零点的个数问题
函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
高中数学零点的概念
高中数学中，零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数的解或根。
具体来说，对于函数f(x)，如果存在实数c，使得f(c) = 0，那么我们就称c是函数f(x)的零点。
这个概念可以用于解决各种问题，比如方程的求解、函数的性质分析等。
例如，如果要求解方程f(x) = 0，我们就可以通过找到f(x)的零点来得到方程的解。
对于二次函数、三角函数等复杂的函数，它们也有自己的零点。
例如，二次函数y = ax^2 + bx + c的零点可以通过一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解来找到。
如果△> 0，方程有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；如果△=0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；如果△<0，方程无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。
总之，零点是高中数学中的一个重要概念，理解并掌握零点的概念和求解方法对于数学学习和应用都非常重要。
高中数学基础之函数零点
高中数学基础之函数零点函数零点的考查往往以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，特别是有关导数的解答题中也经常考查零点问题．根据高考试题的考查特点，建议掌握好函数零点的求法、含参数问题的解决办法以及常用的二次函数零点问题的求法．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条□01连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、函数零点及其所在区间的判断例1 函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析解法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在定理可知，函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．故选B.解法二(图象法)：将函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝log 3x 和h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数的图象如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2).故选B.例2 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝ ． 答案 5解析 因为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5. 总结：判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程． (2)利用零点存在定理求解．(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．二、函数零点个数的判断例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.例4 若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．又x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，所以作出函数f (x )的图象如图所示．因为x ＝±10时，y ＝lg |±10|＝1，所以由数形结合可得函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为8.例5 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 当x ＞1时，令f (x )＝ln (x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1，故f (x )的零点个数为2.例6 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个答案 B解析 分别作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图可知y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．总结：函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．令f (x )＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理．要求函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，且f (a )f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数判断．作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 三、函数零点的应用例7 已知方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4D ．(－5，－2) 答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （2）>0，f （3）<0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2（m －2）＋5－m >0，9＋3（m －2）＋5－m <0，16＋4（m －2）＋5－m >0，解不等式组可得－133<m <－4，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4.故选C. 例8 设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]答案 D解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得－2＜x ≤0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1.故选D.例9 若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，令2x＝t ，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，0≤t －12≤32，0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122≤94，－14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14≤2，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.总结：已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．。
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在罗马帝国时期，罗马帝国皇帝是个数学 迷。有一次，他举办了一场宫廷数学竞赛， 其中一道竞赛题是求三次方程
x 2x 10 x - 20 0
的实数根。来自比萨的大数学家斐波那契成 功地获得了它的近似解，并精确到了小数点 之后的６ 位数字（1.368808）。 斐波那契赢得了比赛，深受皇帝的赞赏。
求证：函数至少有一个零点在区间（0,2）内。
3
2
请同学们思考如下问题： (1)什么是函数 y =f(x)的零点? (2)你能结合你熟悉的函数,说出 函数y = f(x) 的零点和方程 f(x)=0 的根、 函数y = f(x) 的零点和函数y = f(x) 的图象与x轴的交点之间的关系吗？ y y x
2
1O 1
2
2x 1
3 x
2
4
6
x
思考：什么时候零点就是唯一的？
勇于提出问题比解决问题更重要
问题2:函数 y f x 在区间 a , b上的图象是不间 断的,且 y f x 在区间 a , b 上存在零点 ,则一定有 f a f b 0 吗?
yБайду номын сангаас
O
a
b
x
尝试应用
1.求证：函数 f x x 3 x 2 1 在区间 2,1 上存在零点．
O
y
a
b
x
问题1:若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不 间断的曲线,且f(a) · f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b) 上仅有一个零点吗?
y
a
b
x
提对 出 零 哪 点 些 定 新 理 的 思你 考能 ？
“ ”
y
a
b x
y
7 5 3 1O 1
y f ( x)
b
a
你初步能得到什么一般性的结论？
对函数y=f(x),x∈[a,b],若f(a) ·f(b) <0， 则函数y=f(x),在（a,b）上一定存在零点
零点定理：
若函数y=f(x)在区 间[a,b]上的图象是 一条不间断的曲线, 且 f(a ) · f(b)<0,则函 数y=f(x)在区间(a,b) 上存在零点.
2 ２．判断函数 f ( x) ln x x
是否存在零点。
你能想出方法使得函数f(x)的零点更精确一点吗？
现在你能给出一种斐 波那契求
方程
x 2x 10 x - 20 0
3
2
近似解1.368808 的可能方法吗？
1、知识点： 一个概念、两个关系、一个定理
2、能力： 探求“零点存在性问题”策略： 解方程思想：函数 y =f (x) 的零点就是方程 f(x)=0 的实 数根； 零点存在性定理：若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一 条不间断的曲线，且f(a).f(b)<0，则函数y=f(x)在区间 (a,b)上有零点； 数形结合思想：函数y =f (x) 的零点就是函数y=f(x)的图象 与x轴的交点的横坐标。
1、零点:使函数y =f (x)的值为0的 实数x，称为函数 y =f (x)的零点 2、关系:
y y x 2 2x 1
2
1O 1
3 x
函数 y =f (x) 的零点就是方程 f(x)=0 的实数根;
函数y =f (x) 的零点就是函数 f(x) 的图象与x 轴的交点的 横坐标; 零点不是交点!
3、两种方法：数形结合；转化与化归。
1.求函数 f ( x ) log 2 ( x x ) 1的零点。
2
2.已知函数
f ( x) x 2 x b
2
在区间（2,4）内有唯一零点，求b的取值范围。
3.已知函数 f ( x) ax bx c(a 0)
2
a 且 f (1) 2