不定积分例题与答案解析

第4章不定积分
容概要
课后习题全解
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★
(1)⎰
思路: 被积函数
5
2
x-
=，由积分表中的公式（2）可解。

解：
53
22
2
3
x dx x C
--
==-+
⎰
★(2)dx
-
⎰
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰
（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）
★(4)3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311
x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2
2
1x dx x +⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x
+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：22
21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34
134（-+-）2 思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x
x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423
x x x x C --=--++ ★
(8)23(1dx x -+⎰ 思路:分项积分。

解
：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★
(9)
思路
=？
11172488x
x ++==，直接积分。

解
：715888.15
x dx x C ==+⎰⎰ ★★(10)
221(1)dx x x +⎰ 思路:裂项分项积分。

解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)211
x x e dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11
x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x
e dx ⎰ 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。

显然33x x x
e e =（）。

解：333.ln(3)x x x x
e e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（）
★★(13)2cot xdx ⎰
思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”。

解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰
★★(14)23523
x x
x dx ⋅-⋅⎰ 思路:被积函数 235222533
x x x x ⋅-⋅=-（），积分没困难。

解：2()2352232525.33ln 2ln 3
x x x
x x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：2
1cos 11cos sin .2222
x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)11cos 2dx x +⎰ 思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：
221111sec tan .1cos 222
2cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ ★(17)cos 2cos sin x dx x x -⎰ 思路:不难，关键知道“22
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。

解：
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰
★(18)22cos 2cos sin x dx x x ⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“22
cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。

解：22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x
-==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰
★★
(19)dx +⎰
思路:注意到被积函数
==，应用公式(5)即可。

解：
22arcsin .dx x C ==+⎰ ★★(20)21cos 1cos 2x dx x
++⎰ 思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x
++==++，则积分易得。

解：221cos 11tan sec .1cos 2222
x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰
，求()f x 。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。

思路分析：直接利用不定积分的性质1：
[()]()d f x dx f x dx =⎰
即可。

解：等式两边对x 求导数得：
()()xf x f x =∴=
★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。

知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。

思路分析：连续两次求不定积分即可。

解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰
所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰
（）。

★4、证明函数21,2
x x e e shx 和x e chx 都是s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：只需验证即可。

解：2x x e e chx shx =-，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx
===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此
曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。

解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：
1[()]d f x dx x =，()ln ||f x x C ∴=+； 又点2(,3)e 在曲线上，适合方程，有23ln(),1e C C =+∴=，
所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+
★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是2
3(/)t m s ，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？
（2） 物体走完360米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。

解：设物体的位移方程为：()y f t =，
则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d dt
， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。

(1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3
(3)327f ==米；
(2)令3360t t =⇒=
秒。

习题4-2 ★1、填空是下列等式成立。