《必修一》1.1.1集合的含义与表示导学案
人教课标A版数学必修一1.1.1集合的含义与表示教案
1.1.1《集合的含义与表示》导学案班级组名：姓名【学习目标】A级目标：通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.B级目标：了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.【重点难点】重点：集合的基本概念与表示方法.难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.【学习过程】一、课题引入问题1.军训前学校通知:8月30日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？问题2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?二、自主探究得出结论阅读课本第2~3页，完成下列探究任务[问题一]①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(1)班全体学生组成的集合,用a表示高一(1)班的一位同学,b是高一(2)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？[问题二]阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.[问题三]①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法?三、合作交流，解决问题例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是什么？例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 小于10的所有自然数组成的集合;(2) 方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合.四．突破疑难例4.若集合A={}23,21,4a a a ---且3A -∈，求实数a 的值组成的集合.例5.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R},若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.【当堂检测】1. (1) A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示.(2) 所有素质好的人能否表示为集合?(3) A={2,2,4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?2.方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______.3.已知A={x ∈R |x=abcabc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ||||||||||||||++++++,abc ≠0},用列举法表示集合A.4.用列举法表示下列集合:(1) 所有绝对值等于8的数的集合A;(2) 所有绝对值小于8的整数的集合B.5.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 方程x 2-2=0的所有实数根组成的集合;(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.【课后反思】1.今天你的收获是什么？2.你有哪些方面需要努力？【课后巩固提高】1.说出下面集合中的元素:(1) {大于3小于11的偶数};(2) {平方等于1的数};(3) {15的正约数}.2.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N *. ( )(2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )(3)所有不属于N *的数都不属于Z . ( )(4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( )(5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )3.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x-36∈Z ,x ∈Z }. (6){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y-2x=0};(7){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.4.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x 2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.(4)方程ax+by=0(ab ≠0)的解;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)能被3整除的整数.5.定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A.0B.6C.12D.186.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.7. 已知集合A 有三个元素2+a ，2)1(+a ，332++a a（1）若1A ∈，则集合A 中还有哪些元素？（2）若1A ∉，则a 应满足什么条件?拓展提升1.集合A={x|x=a+2b,a ∈Z ,b ∈Z },判断下列元素x=0、121-、231-与集合A 之间的关系.2.已知集合C={x|x=a+b,a ∈A,b ∈B}.(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C 中所有元素之和S;(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C 中所有元素之和S;(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.本题(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.。
高中数学《1.1.1集合的含义与表示》导学案 新人教A版必修
高中数学《1.1.1集合的含义与表示》导学案新人教A版必修1、1、1集合的含义与表示》导学案新人教A版必修1【学习目标】1、知道集合的含义，掌握元素与集合的属于关系。
2、掌握集合的特点和集合的表示方法，以及常用数集的记法。
3、提高学生分析问题和解决问题的能力。
【学习重难点】学习重点：集合的含义与表示方法。
学习难点：表示法的恰当选择。
【知识链接】【预习案】1、集合的含义(1)一般地，我们把研究的_____统称为元素，把一些元素组成的总体叫做_____、（简称为集）(2)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是_____的、2、集合的特征集合元素具有____、____、_____。
3、常见的数集及其记法自然数集（非负整数集）记为____；正整数集记为____；整数集记为____；有理数集记为____；实数集记为____。
4、元素与集合的关系如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作_____；如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作_______。
5、集合的表示方法(1)图示法(2)自然语言(3)字母表示(4)列举法:______________________________________、教学反思注意：在花括号内不多，不漏，元素之间用“,”隔开、(5) 描述法:______________________________________、(6)注意：表示元素的符号及取值范围，共同特征、6、集合的分类（1）_____：含有有限个元素的集合、例如，A＝｛1，2｝、（2）_____：含有无限个元素的集合、例如，N、（3）_____：不含任何元素的集合，记作、例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝、（注：对于无限集，不宜采用列举法、）【预习反馈】例1：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流； (3)中国的直辖市； (4)身材较高的人、例2：用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1~20以内的所有质数组成的集合、例3：用描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合、【探究案】1、求方程组的解集【检测案】。
湖北省武汉为明学校人教版高中数学必修一：1.1.1(1)导学案
课题：1.1.1 集合的含义与表示（1）第1课时集合的含义班级: 姓名: 小组: 评价:【学习目标】（1）学生通过观察８个例子，能准确说出集合的含义；（2）学生通过阅读“集合元素与集合的关系”，能准确判断一个元素是否属于某个集合；（3）学生通过实例，能用教师要求的方法：自然语言、图形语言、列举法表示集合，并能说出集合的三个特征与记住常用数集。
【重点难点】重点：集合的含义.难点：元素的三个特性的应用.【导学流程】一、导入由一个实际问题入手，导入课题二、深入学习1.阅读教材第2页8个例子，思考：（1）例（3）到例（8）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？（学生口答）2.学生归纳总结出集合的概念和集合元素的三个特性：（1）一般地，我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做，简称集。
集合通常用的拉丁字母表示，集合的元素用的拉丁字母表示.（2）一般地，元素的三个特性是指，，。
3.判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流.（分组讨论，小组派代表口答）4.学生阅读教材第3页，明确元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a集合A，记作：a A；如果a不是集合A的元素，就说a集合A，记作：a A. 问题记录典例分析：类型一集合的概念例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2014年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体.类型二元素的三个特性的应用例2 已知集合A有三个元素： a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.类型三元素与集合的关系例3数集A满足条件：若a∈A，a≠－1，则1∈A.1＋a(1)若2∈A，写出A中的其他两个元素；(2)若A为单元素集合，求a.三、堂测堂练A 组：1.下列给出的对象中，能组成集合的是( )A.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程x2－1＝0的实数根2.下面说法正确的是( )A.所有在N 中的元素都在*N 中B.所有不在*N 中的数都在Z 中C.所有不在Q 中的实数都在R 中D.方程84-=x 的解既在N 中又在Z 中3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A.1B.2C.3D.44.下列结论不正确的是( )A.0∈NB.2∉QC.0∉QD.－1∈Z5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可B 组：6. 已知集合M 中含有三个元素b a ,,2，集合N 中含有三个元素2,2,2b a ，且N M =，求b a ,的值.。
人教版高中数学必修一《集合》导学案(含答案)
第一章 集合与函数概念§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义 课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．45.符号____ ________ ____ 一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是( )A ．著名的科学家B ．留长发的女生C ．2010年广州亚运会比赛项目D ．视力差的男生2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可6．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A 中含有三个元素0,1，x ，且x 2∈A ，则实数x 的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z .三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a ，b ，c 与由元素b ，a ，c 组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章 集合与函数概念§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义知识梳理1．(1)研究对象 小写拉丁字母a ，b ，c ，… (2)一些元素组成的总体 大写拉丁字母A ，B ，C ，… 2.确定性 互异性 无序性3．一样 4.a 是集合A a 不是集合A 5.N N *或N ＋ Z Q R作业设计1．C [选项A 、B 、D 都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C [由题意知A 中只有一个元素a ，∴0∉A ，a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不应用“＝”，故选C.]3．D [集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C [因A 中含有3个元素，即a 2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B [由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾； 若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．]6．A [方法一 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．方法二 令x ＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析 当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3．将集合表示成列举法，正确的是()A．{2,3} B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6．方程组的解集不可表示为()A．B．C．{1,2} D．{(1,2)}6二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号) ①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法{x|x<10}{x∈Z|x＝2k，k∈Z}作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y)|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y)，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3. 所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，∴x1＝x2＝1，故方程x2－2x ＋1＝0的解集为{1}．]5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集．9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x(x2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；②{x|x ＝2n ＋1，且x<1 000，n ∈N}；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x2＋3中y 的取值范围是y≥3，所以B ＝{y|y≥3}． 集合C 中代表的元素是(x ，y)，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x2＋3上，所以C ＝{P|P 是抛物线y ＝x2＋3上的点}．12．C [由集合的含义知{x|x ＝1}＝{y|(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C.]13．A [M ＝{x|x ＝2k ＋14，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝k ＋24，k ∈Z}， ∵2k ＋1(k ∈Z)是一个奇数，k ＋2(k ∈Z)是一个整数，∴x0∈M 时，一定有x0∈N ，故选A.]。
高中数学人教版必修1导学案：1.1.1集合(共3节)
2. 例（ 1）到例（ 8）都能组成集合吗，元素分别是什么？ 3. “好心的人”与“ 1,2,1”是否构成集合？ 4.集合中的元素有哪些特征？
练习 1.分析下列对象，能否构成集合，并指出其元素：
（1） 不等式 x 3 0 的解； （3） 方程 x 2 2 x 1 0 的解； （5） 最小的整数；
（ 2） 3 的倍数； （ 4） a， b， c， x， y， z； （ 6）周长为 10 cm 的三角形；
,读作用符号， 须牢记 ）非负整数集（或自然数集）
整数集
，有理数集
，有理数集
，正整数集 ，实数集
， 。
探究一：集合的概念及元素的特征
【探究案】
阅读教材第 2 页开始至第 3 页思考部分，回答以下问题：
1. 例（ 1）到例（ 8）中的各组对象分别是一些什么？有多少个对象？
3． 找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。
【学习目标】
1．初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法 ., 初步了解“ ∈”关系的意义；
2. 通过实例 ,初步体会元素与集合的 ”属于 ”关系 ,从观察分析集合的元素入手 ,正确地理 解集合；
3. 观察关于集合的几组实例 ,并通过自己动手举出各种集合的例子 在描述客观现实和数学对象中的意义。
B，0.5
B， 0
B，
－1
B.
探究三：常用数集及其记法
阅读教材第 3 页，熟记常用的数集及其记号并填写下表：
数集名称 非负整数集 ( 自然数集 )
正整数集 整数集
有理数集 实数集
含义
记法
练习 3：用∈、与 填空． ① Q； ② 3 Z； ③ 3
R； ④ 0 N； ⑤ 0 N+；
2019-2020学年高中数学 1.1.1 集合的含义与表示导学案 新人教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 1.1.1 集合的含义与表示导学案新人教版必修1一、三维目标：知识与技能:了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；掌握常用数集及其记法、集合中元素的三个特征。
过程与方法:通过实例了解,体会元素与集合的属于关系。
情感态度与价值观:培养学生的应用意识。
二、学习重、难点：重点：掌握集合的基本概念。
难点：元素与集合的关系。
三、学法指导：认真阅读教材P1-P3，对照学习目标，完成导学案，适当总结。
四、知识链接：军训前学校通知：8月13日8点，高一年级在操场集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？初中时你听说过“集合”这一词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合”这一词？（试举几例）五、学习过程：1、阅读教材P2页8个例子问题1：总结出集合与元素的概念：问题2：集合中元素的三个特征：问题3：集合相等：问题4：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子。
2、集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。
问题5：元素与集合之间的关系？A例1：设A表示“1----20以内的所有质数”组成的集合，则3、4与A的关系？问题6：常用数集及其记法：B 例2：若+∈N x ，则N x ∈，对吗？A 2.用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A ；B 3.下面有四个语句:①集合N 中最小的数是1;②若N a ∉-，则N a ∈;③若N a ∈，N b ∈，则b a +的最小值是2;④x x 442=+的解集中含有2个元素；其中正确语句的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 B 4.已知集合S 中的三个元素a,b,c 是∆ABC 的三边长，那么∆ABC 一定不是 （ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形B 5. 已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当A a ∈，有6-a ∈A ，那么a 为 （ ）A ．2 B.2或4 C.4 D.0B 6. 设双元素集合A 是方程x 2-4x+m=0的解集,求实数m 的取值范围。
1.1.1集合的含义与表示导学案
自主复习：
回顾一下我们在初中接触的集合。 1、有理数：整数和分数统称为有理数。 2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 3、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
例 2：用描述法表示下列集合：
（1）小于 10 的所有有理数组成的集合； （2）所有偶数组成的集合
课前预习导读：
1、阅读课本第 2 页，并结合我们初中接触的集合回答本页的思考题。请用自己的话来描述 一下你对集合的理解。 2、阅读第三页前四段，回答下列问题： （1） “身材较高的人”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。为什么说组成它的元 素是不确定的？ （2）根据“只要构成这两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 ”回答由 1，2 组成的集合和由 2，1 组成的集合是否相等？由此你能得到什么结论？ （3）回答本页的思考题。 3、你能举出几个集合的例子吗？ 4、阅读课本第 3 ~ 5 页，回答下列问题：
知识总结：
1、集合的含义 2、元素与集合的关系
课堂自主导学： 例 1：用列举法表示下列集合：
（1）由大于 3 小于 10 的整数组成的集合； （2）方程 x 9 0 的解的集合。
2
1． 通过对具体实例， 了解集合的概念， 能用符号表示出元素与集合之间的关系。 2、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述具体的数学 问题，感受集合语言的意义和作用。 集合的概念和表示方法 运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
课后自主导学：
1、若{x 2 ，―1，2} = {2，―1，1}，则 x = 。 2、已知集合 M = { x N | 8―x N},则 M 中元素的个数是（ A、10 B、9 C、8 D、无数个 3、用适当的方法表示下列集合： （1）一年中四个季节组成的集合； （2）满足不等式 1 < 1 + 2x <19 的有理数组成的集合； （3）直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的点的集合。 ）
2019人教A版数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》导学案
2019人教A版数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》导学案一. 教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三. 学法学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.四. 学习流程(一）知识连线：1、一般地，我们把____________统称为元素，把________________________叫做集合。
2、集合中元素的特性：________、________、________。
3、只要________________________________，我们就称这两个集合是相等的。
4、元素与集合的关系有两种：________、________。
如果a是集合A的元素，就说________________，记作________。
.如果a不是集合A的元素，就说________________，记作___________。
5、集合的表示方法有：________、________、________。
7、下面两个集合中表示同一集合的是：（）A、P={1,-5,3};Q={3,1,-5};B、P={1,3};Q={（1，3）};C、P={π};Q={3.14}; D 、P={2，3，5，7};Q={2，3，5，9};8、用符号“∈”或“ ”填空：（1）2__{2，3，5}；（2）4__{x︱2x=9}(3) 若A={x∈N︱1≤x≤10},则5__A, 7.2__A,（4）若A={x︱1≤x≤10},则5__A, 7.2__A,9、选择适当方法表示下列集合：（1）二次函数y = 32-x 的函数值组成的集合； （2）大于1且小于8的整数（3）不等式230x ->的解集 （4）由方程082=-x 的所有实数根组成的集合（5）直线y=x+3与抛物线y=2x 的交点组成的集合（6）方程0)2(12=-+-y x 的解集（三）、知识提升：10已知集合A={x ∈R ︱a x ax ,0122=++∈R} 只有一个元素，则a 的值为______11、设集合A={2，3，322-+a a }，已知5∈A ，求a 的值12、设集合A={a +2，2a ，332++a a }，若1∈A ，求a 的值（四）、知识总结：1、本节课我们学习哪些知识?2、选择集合的表示法时应注意些什么?(五)、作业布置1．课本第12页习题1.1（A 组）第2、4题。
数学苏教版高中一年级必修1 《1.1.1集合的含义与表示》导学案
第1课时集合的含义与表示1.通过实例了解集合的含义和集合元素的确定性、互异性、无序性,体会元素与集合间的“属于”关系.2.能选择不同的集合语言形式描述具体问题,提高语言转换能力和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.3.掌握常用数集及其表示,并能用之解决有关问题,提高分析问题和解决问题的能力,培养数学的应用意识.在电影《唐伯虎点秋香》中,有下面一段场景:华太夫人带着婢女四香及丫环上山进香,江南四大才子唐伯虎、祝枝山、文征明、徐祯卿久闻秋香貌若天仙,想一睹芳容,在道旁等候,唐伯虎看过秋香后觉得很普通,文征明提议一起喊美女,于是众人齐喊美女,结果华府的婢女四香及丫环全部转过头来,都以为叫她,也让四大才子从众丫环的美貌中发现了秋香的不凡.问题1:影片中①美女,②江南四大才子,③华府的所有丫环,不能构成集合;能构成集合,元素是四人;能构成集合,元素是华府的每一个丫环.问题2:集合的三个重要的特性分别是、、.问题3:集合通常用表示,如A,B,C,…;元素用表示,如a,b,c,…;表示元素和集合之间的关系的符号是;常用数集有自然数集(或非负整数集)N、正整数集N*(或N+)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.问题4:集合的表示法有:①列举法,把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法.②描述法,用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,具体的做法是在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.③图形法,用Venn图或数轴表示集合,如:1.下列集合中表示方法正确的是().A.{1,2,2}B.{π的近似值}C.{有理数}D.不等式x-5>0的解集{x-5>0}2.设集合A中只含有一个元素a,则下列各式正确的是().A.0∈AB.a∉AC.a∈AD.a=A3.若a∈且-a∉N,则a=.4.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)由方程x2=1的所有根组成的集合;(2)由小于5的所有自然数组成的集合.集合的概念关于集合有下列说法:①大于6的所有整数构成一个集合;②参加2013年全运会的著名运动员组成一个集合;③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合;④集合{x,x2}中的x∈R;⑤若x=,则x∉Q.其中正确说法的序号是.集合的表示方法用适当的方法表示下列集合:(1)由方程=的解构成的集合;(2)由二次函数y=x2-2x+1图象上的点构成的集合.根据已知条件求集合中的参数已知集合A={x|ax2-2x-1=0,x∈R},若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.下面各组对象能构成集合的是.①高一(1)班个子很高的同学;②很小的数;③不超过30的非负数.分别用列举法和描述法表示方程组的解集.已知集合A=,若1∈A,2∉A,求a的值.1.下列结论中,不正确的是().A.若a∈N,则-a∉NB.若a∈Z,则a2∈ZC.若a∈Q,则|a|∈QD.若a∈R,则∈R2.已知集合A={2,4,x2-x},若6∈A,则x等于().A.-2B.3C.6D.-2或33.已知集合M={m|m=2k,k∈Z},P={x|x=2k+1,k∈Z},Q=,若x∈P,y∈Q,则x+y M.4.已知A={a-2,a2+4a,10},若-3∈A,求a.(2013年·山东卷)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是().A.1B.3C.5D.9考题变式(我来改编):答案第一章集合与函数的概念第1课时集合的含义与表示知识体系梳理问题1:①②唐伯虎、祝枝山、文征明、徐祯卿③问题2:确定性无序性互异性问题3:大写字母小写字母∈(属于)或∉(不属于)基础学习交流1.C A不满足集合中元素的互异性;B中π的近似值不确定;D不符合描述法的表示方法,表示的是一个元素为不等式的单元素集合;C正确.2.C由元素与集合的关系可知,a∈A.3.1因为=,所以a=0或a=1,又-1∉N,所以a=1.4.解:(1)列举法:{-1,1};描述法:{x|x2-1=0}.(2)列举法:{0,1,2,3,4};描述法:{x|x<5且x∈N}.重点难点探究探究一:【解析】大于6的整数、平面上到原点O的距离等于1的点都是确定的,所以①③所指对象能构成集合;而著名运动员具有不确定性,故②不能构成集合;集合{x,x2}中的元素x≠x2,即x≠0,x≠1,所以④不正确;因为是无理数,所以⑤正确,因此正确的说法是①③⑤.【答案】①③⑤【小结】正确理解集合的概念的关键是理解集合的三要素.探究二:【解析】(1)(法一)用描述法表示为.(法二)由=解得x=0或x=1,故用列举法表示为.(2)用描述法表示为.【小结】一般比较容易求出具体元素的集合用列举法表示,不易求出具体元素的集合用描述法表示,注意点集中的元素是用坐标表示.探究三:【解析】由于集合A中至多有一个元素,则一元二次方程ax2-2x-1=0有两个相等的实数根或没有实数根,所以Δ=4+4a≤0,解得a≤-1,所以实数a的取值范围是{a|a≤-1}.[问题]能否直接利用Δ≤0来求a的取值范围?[结论]不能,因为方程ax2-2x-1=0不一定是一元二次方程,若方程不是一元二次方程,则不能利用判别式Δ判断其实根的个数,故正确解答如下:当a=0时,方程只有一个根-,则a=0符合题意;当a≠0时,关于x的方程ax2-2x-1=0是一元二次方程,则该方程有两个相等的实数根或没有实数根,所以Δ=4+4a≤0,解得a≤-1,所以实数a的取值范围是{a|a≤-1}.综上,实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-1}.【小结】将集合语言具体化为自然语言,使它们描述的语言形象化、直观化,这是解决集合问题的常用技巧.将本题的问题转化为关于x的方程ax2-2x-1=0的实数根的个数问题,这样就容易解决了.同时,要注意若方程的二次项系数含有字母,需对其是否为零进行讨论.思维拓展应用应用一:③由集合元素的确定性可知,③中的对象能构成集合.应用二:由得用列举法表示该集合为{(3,-7)}.用描述法表示该集合为{(x,y)|}.应用三:因为1∈A,所以a-3+2a2=0,解得a=1,a=-.当a=1时,A={x∈R|x2-3x+2=0}={1,2},不满足2∉A,舍去.当a=-时,A={x∈R|-x2-3x+=0}={1,-3},符合题意.综上,a=-.基础智能检测1.A A中a=0时显然不成立.2.D若6∈A,则有x2-x=6,即x2-x-6=0,解得x=-2或x=3.3.∈由题意知M是偶数集,P是奇数集,Q中的元素一定为奇数,则x+y一定是偶数,故x+y∈M.4.解:由题意知a-2=-3或a2+4a=-3.若a-2=-3,则a=-1,此时a2+4a=1-4=-3,集合A={-3,-3,10},违背了集合中元素的互异性,所以a=-1应舍去;若a2+4a=-3,则a=-3或a=-1(舍去).当a=-3时,a-2=-5,此时集合A={-5,-3,10}符合要求,所以a=-3.全新视角拓展C∵x∈A,y∈A,∴x-y可为0,-1,-2,1,2,故集合B中有5个元素.。
1高中数学必修1精品教案：1.1.1集合的含义与表示 导学案
第一章 集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示【学习目标】(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；【预习指导】对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.阅读教材,并思考下列问题：(1)有哪些概念？(2)有哪些符号？(3)集合中元素的特性是什么？(4)如何给集合分类?【课堂探究】一、问题1：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.观察上面的例子,指出这些实例的共同特征是什么？(分组讨论,得出集合的概念)问题2：你还能给出一些集合的例子吗？(学生自己举例子,得出集合元素的特性)二、1、任意给定一个对象和一个集合,它们之间有什么关系？用符合如何表示？2、常用的数集(自然数集、整数集、正整数集、有理数集、实数集)的专用符号你记住了吗？3、要表示一个集合共有几种方式?4、试比较自然语言、列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么?5、如何根据问题选择适当的集合表示法?【课堂练习】1． 下列说法正确的是 ( )A.{}1,2,{}2,1是两个集合B.{}(0,2)中有两个元素Ｃ.6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集 Ｄ.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集 ２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( )Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2--Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3３.{},0.3,0,00R Q N +∉∈∈其中正确的个数是( ) Ａ.１个 Ｂ.２个 Ｃ.３个 Ｄ.４个４.方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ５.已知集合Ａ＝{}20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.６.(创新题)已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是( )Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形【尝试总结】1.本节课我们学习过哪些知识内容?2.选择集合的表示法时应注意些什么?【达标检测】一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈21 B.2∈{x ∈R|x ≥3} C.|-3|∉N* D.-3.2∉Q2.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合； (3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素； (4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B. M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x ,y )|x +y =1},N={y |x +y =1}D.M={1,2},N={2,1}4.已知x ∈N ,则方程220x x +-=的解集为( )A.{x |x =-2}B. {x |x =1或x =-2}C. {x |x =1}D.∅ 5.已知集合M={m ∈N|8-m ∈N},则集合M 中元素个数是( )A.6B.7C.8D.9二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空：0_______N ,5______N ,16______N .7.用列举法表示A={y |y =x 2+1,-2≤x ≤2,x ∈Z}为_______________.8.用描述法表示集合“方程x 2-2x +3=0的解集”为_____________.9.集合{x |x >3}与集合{t|t >3}是否表示同一集合？________10.已知集合P={x |2<x <a ,x ∈N},已知集合P 中恰有3个元素,则整数a =_________.三、解答题11.已知集合A={0,1,2},集合B={x |x =ab ,a ∈A ,b ∈A}.(1)用列举法写出集合B ；(2)判断集合B 的元素和集合A 的关系.12.已知集合{1,a ,b }与{-1,-b ,1}是同一集合,求实数a 、b 的值.13.(探究题)下面三个集合：①{}2|2x y x =-,②{}2|2y y x =-,③{}2(,)|2x y y x =-(1)它们是不是相同的集合？(2)试用文字语言叙述各集合的含义.附： 集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘,但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因,在数学发展的历程中,数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷,并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学,从而进入了一片未开垦的处女地,开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集,用字母N来表示.”学过集合那一章后,同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说,就是“……我反对将无穷量作为一个实体,这在数学中是从来不允许的.所谓无穷,只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西,这样他就肯定了作为完成整体的无穷,这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利,康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步,他以完全前所未有的方式,继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论,创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同,用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势,即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上,自然数集与正偶数集具有了相同的个数,他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势,因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时,一个很自然的想法是无穷集是清一色的,都是可数集.但出乎意料的是,他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数,而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟,如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时,人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而,事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上,盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别,有着不同的数量级,可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功,并且根据无穷性有无穷种的学说,对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列,他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵,最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系,它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论,描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲,康托尔的关于无穷的这些理论,引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”,有人嘲讽超限数是“雾中之雾”,称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新,由于他开创了一片全新的领域,提出又回答了前人不曾想到的问题,他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时,或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始,曾遭到许多数学家的激烈反对,康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中,他得了精神分裂症,几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年,最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论的概念,便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上,著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天,我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久,集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R .现在问R 是否属于R ？如果R 属于R ,则R 满足R 的定义,因此R 不应属于自身,即R 不属于R ；另一方面,如果R 不属于R ,则R 不满足R 的定义,因此R 应属于自身,即R 属于R .这样,不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后,众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF 公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上,从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应,在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论,因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立,标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利,他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今,时间已经过去了一百多年,在这一段时间里,数学又发生了极其巨大的变化,包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时,我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察,它是数学天才的最优秀作品,是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一. 注：整系数一元n 次方程的根,叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x 2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下,超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.1.1.1集合的含义与表示【课堂练习】1．D 2. C 3.B 4. 73,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 5. x ≠ 6.D 【达标检测】选择题 1－5 BADCC填空题 6. ∈ ∉ ∈ 7. {}2,4,5 8. {}2|230x x x -+= 9.是 10. 6解答题11.}4,2,1,0{=B 集合A 中的元素都在集合B 中。
高一数学1.1.1集合的含义与表示教案新人教版必修1
1.1.1 集合的含义与表示教学设计教学过程：一、创设情境，新课引入（1）请第一组的全体同学站起来？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是第一组的同学）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
二、师生互动，新课讲解1、集合的有关概念集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
课本P2：例子(1)—(8),都构成一个集合。
2、集合的表示方法：（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A，B，C，P，Q，X，Y，等；集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c, 等。
（2）如果a是集合A的元素，就说 a 属于集合A，记作a A;如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A(或a A)。
3、常用的数集及其记法：全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作：N；（注意：0．是自然．．．数．）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N+或N*。
全体整数的集合通常简称整数集，记作：Z；全体有理数的集合通常简称有理数集，记作：Q；全体实数的集合通常简称实数集，记作：R。
学生练习：用符号或填空：1 N ，0 N, -3 N, 0.5 N,2 N1 Z , 0 Z, -3 Z, 0.5 Z,2 Z,1 Q , 0 Q, -3 Q, 0.5 Q,2 Q,1 R , 0 R, -3 R, 0.5 R,2 R.4、集合的表示方法：先介绍记号：大括号“{ }”，在集合里表示总体，而后提出集合的两种表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写出大括内表示集合的方法。
例如：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。
高中数学必修一导学案集合的含义与表示导学案
学生班级 姓名 小组号 评价数学必修一 1.1.1集合的含义与表示【学习目标】1.通过实例了解集合的含义,理解元素和集合的“属于”关系；2.理解集合中元素的三个特征;3.能用自然语言、集合语言（列举法或描述法）来描述不同的集合问题；【重点和难点】教学重点：集合的含义与表示方法。
教学难点：1.集合中元素的确定性和互异性。
2.表示方法的恰当选择。
【使用说明及学法指导】1． 先预习课本P 2-P 5内容，然后开始做导学案。
2. 带“*”的C 层可以不做。
3. 本小节的新概念、新符号较多，要在阅读与交流中理解概念并熟悉符号的使用。
预习案一．知识梳理1.集合的概念（1）集合： 元素：2.集合通常用 的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……;元素通常用 的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …3.常用数集及记法（1）自然数集（全体非负整数的集合）记作 ，正整数集（非负整数集内排除0的集）记作 或 ； 全体整数的集合记作 ；全体有理数的集合记作 ；全体实数的集合记作 .4.元素对于集合的隶属关系:（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作5.集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素 ，并用 括起来表示集合的方法叫列举法(2)描述法：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在内写上表示这个集合元素的 及取值（或变化）范围，再画 ，在 后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
二．问题导学1.如何判断所给对象是否组成集合？2.集合中元素的特征性质有哪些？如何判断两个集合是相等的？3.试着总结集合的表示方法有哪些？并试比较各自的特点和适用的对象。
三.预习自测1．下面给出的四类对象中，能组成集合的是（ ）A.高一某班个子较高的同学B.比较著名的科学家C.无限接近于4的实数D.到一个定点的距离等于定长的点的全体2.用符号∈或∉填空：（1）0 *N ;（2;(3)23 Q ;(4)π Q(5) 012=-x 的根 R ； 3.请用适当的方法表示下列集合： （1）方程x x =2的所有实数根组成的集合；（2）由1~10以内的所有素数组成的集合；（3）不等式012<-x 的解组成的集合；（4）所有奇数组成的集合；四.我的疑问：探究案一．合作探究探究1.由下列对象组成的全体能构成集合的是 。
《1.1.1集合的含义与表示》导学案
学生分组进行讨论、探究、总结。
反思
小结
利用补充的例题发散学生思维，培养学生知识迁移能力和总结能力
归纳整理
进行总结，达到条理化
作业
延伸
完成优化设计相关练习，并预习下节课：集合的表示方法
针对不同水平的学生，设置必做题和选做题，同时课后加强检测的力度，促进知识的巩固和提高
2bookshop的所有字母构成了一个含有8个元素的集合。
3由1、6、7、8构成的集合与由8、1、7、6构成的集合不相等
3.下列各组对象不能构成集合的是（）
A.大于6的所有整数B.爱好足球的人
C．中国的富翁D.某公司的全体员工
4.下列结论中不正确的是（）
A.若a∈N,则-a∈N B.若a∈Z，则(3a-1)∈Z
C.若a∈Q,则｜a｜∈Q D.若a是实数，则根号a是实数
学生阅读教科书中的相关内容，自己概括集合中元素的特点，并能举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由，发表自己的意见
当堂
训练
教材练习1和补充拓展题
1.在集合{3，x,x2-2x}中，写出x应满足的条件
2.含有三个实数的集合可表示为{a,a/b,1},也可表示为{a2,a+b,0}。求a2010+b2011的值
（三）集合中元素的性质
提问：你能说说集合中元素的特点吗？
引导学生明确集合元素的，______、______、______、培养抽象概括能力。
1.思考下列问题
2我们班的全体女生能构成集合吗？
3我们班的高个子男生能构成集合吗？
高中数学《1.1.1 集合的含义及表示》导学案新人教版必修1
1.1.1 集合的含义及表示【学习目标】1.理解集合的含义，了解属于关系的意义；2.能概括出集合中元素的三个特征，并能正确应用；3. 知道常用数集及其记法；4.掌握集合的两种表示法：列举法、描述法。
【学法指导】结合具体例子观察比较进行理解，用心去识记；表示集合时不限于一种方法，一种形式，活学活用；善于比较区分。
【自主预习问题】问题1.组成集合的元素只能是数吗？集合中元素个数的多少有限制吗？举例说明问题2.如果a是集合A的元素，怎样表示？不是呢？问题3.思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？思考3: 99班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？问题4.常用数集有哪些？怎样表示的？问题5.什么样的集合用列举法表示？什么样的集合用描述法表示？【拓展延伸问题】问题1.集合｛1,2｝与｛（1,2）｝相同吗？集合A=｛x2-4=0｝与集合B=｛x| x2-4=0｝相同吗？集合E=｛x|x<2｝与集合F=｛y|y<2｝有什么关系？问题2.说出下列集合是以什么为元素组成的？A=｛x︱y=x2+2x+1｝B=｛y︱y=x2+2x+1｝C=｛(x,y)︱y=x2+2x+1｝D=｛x︱x=x2+2x+1｝【我的疑惑】【自构思维导图】【自测反馈】1.已知集合A=｛a2,2-a,4｝,则实数a的取值可以是（）A．1 B．2 C．6 D．-22.已知集合｛m|65m∈N*,且m∈Z｝,则该集合用列举法可表示为；3.你能用描述法表示下列集合吗？（1）奇数集；（2）偶数集；（3）被3整除余数是1的数集。
【课后作业】课本习题1.1作业1至4题，新课程问题导学案板块五的5题至12题。
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高一数学A 1.1集合导学案（一）
1.1.1集合的含义与表示
编者：刘玉明审核人：王建美使用时间：2014. 10.13
学习目标：
（1）学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法。
（2）学生初步了解元素与集合间“属于”、“不属于”关系的意义。
学习重点：集合的基本概念
学习过程
（一）新知预习（阅读课本2
1、集合的概念
（1）一般地，我们把统称为元素，把一些叫做集合。
练习1 下列各组对象能否构成一个集合并说明理由
（1）著名的数学家；
（2）某校高一（2）班所有高个子的同学；
（3）不超过10的非负数
（4） 5 的近似值的全体
练习2集合中元素的特征
（1）；（2）；（3）。
2、集合的表示
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
3、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素,就说，记作。
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说，记作。
要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
练习3
（1）给出下面四个关系:
2∈R, 0.7∉Q, 0 ∈{0}, 0∉N,其中正确的个数有( )个A．4 B．3 C．2 D．1
（2）下面有四个命题:
①若-a ∈Ν,则a ∉Ν
②若a∈Ν,b ∈Ν,则a+b的最小值是2
③集合N中最小元素是1
④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}.
其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．
4、常用数集及其表示方法
（1）非负整数集（自然数集）：记作；（2）正整数集：记作；（3）整数集：记作；（4）有理数集：记作；（5）实数集：记作；（二）课堂小结
本节课学习了以下内容：
1．集合的有关概念；
2．集合元素的性质；
3．集合的表示
4集合与元素的关系及记法
5常用数集的定义及记法；。