数学建模-第八章装箱问题PPT课件
数学建模之锁具装箱问题
P181 锁具装箱1.某厂生产一种弹子锁具，每个锁具有n个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4}这4个数（单位略）中任取一个，限制至少有一个相邻的槽高之差等于3，且至少有3个不同的槽高，每个槽的高度取遍这4个数且满足上面这两个限制时生产出一批锁（例如，当n等于3时，3个槽高为1，4，2的锁符合要求，而3个槽高为1，4，4的锁不满足要求）。
求一批锁的把数。
解：取不同的n的值，通过matlab编程，求出对应的锁的把数（1）当n=3时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;amax=max([a1,a2,a3]');amin=min([a1,a2,a3]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendends输出结果：s =8所以当每个锁具有3个槽时，满足要求的这批锁的把数为8把。
（2）当n=4时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1for j4=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;a4=j4;amax=max([a1,a2,a3,a4]');amin=min([a1,a2,a3,a4]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin)+( amax-a4)*(a4-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3),abs(a3-a4)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendendends输出结果：s =64所以当每个锁具有4个槽时，满足要求的这批锁的把数为64把。
[课件]数学建模 第八章PPT
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美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡江 河、海峡方 案的抉择
投 入 资 金 C1
过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
操 作 维 护 C2
冲 击 渡 船 业 C3
冲 击 生 活 方 式 C4
交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
汽 车 排 放 物 C7
n 2
w1 wn w2 wn wn wn
一致阵 性质
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
n 2
w1 w 1 w2 成对比较完全一致的情况 w A 1 a a ,i , j , k 1 , 2 , , n 满足 a ij jk ik wn 的正互反阵A称一致阵，如 w1
成对比较阵和权向量
w1 w2 w w w w
2 2
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
二. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
• 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
• 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。 • 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。
n
n 1
(新插图)人教版五年级下册数学 第8招 包装中的数学问题 期末复习课件
第8招 包装中的数学问题
把几个小长方体包装成一个大长方体， 要想最节省包装纸，就必须把最大的面进行重叠，当所包 装的长方体的长、宽、高相等或最接近时，表面积最小， 最节省包装纸。装物体到包装箱时，不仅要考虑物体和包 装箱的体积，还要考虑物体与包装箱对应的尺寸，尽量把 空间占满。当箱子有剩余但不够再摆放一盒时，要根据实 际情况，用“去尾法”取近似值。
5．有一个长方体盒子，从里面量长40 cm，宽12 cm， 高7 cm，在这个盒子里放长5 cm，宽4 cm，高3 cm 的长方体木块，最多可以放多少个？ 分上、下两层放。上层高3 cm，下层高4 cm
分上、下两层放。 上层高3 cm，可放(40÷5)×(12÷4)＝24(个) 下层高4 cm，可放(40÷5)×(12÷3)＝32(个) 24＋32＝56(个) 答：最多可以放56个。
题型 1 把小长方体包装成大长方体
1．用8个棱长为1 cm的小正方体木块拼成长方体(含 正方体)，其中表面积最小的是哪种？最小的表面 积是多少平方厘米？ 当长方体的长、宽、高最接近时，表面积最小， 所以用8个小正方体拼成正方体时表面积最小。
2×2×6＝24(cm2) 答：表面积最小的是拼成棱长为2 cm的正方 体，最小的表面积是24 cm2。
6．把棱长为2 cm的正方体冰块放进冰箱抽屉里。已 知抽屉长40 cm，宽14 cm，高18 cm，若要塞满抽 屉，需要多少个冰块？
(40÷2)×(14÷2)×(18÷2)＝1260(个) 答：需要1260个冰块。
经典例题
要把6个长17 cm，宽7 cm，高3 cm的长方体物体拼 装成一个大的长方体包装物，怎样包装最省包装纸？ 表面积最小时的包装纸的面积是多少平方厘米？(重 叠处忽略不计)
箱子的摆放问题数学建模
箱子的摆放策略摘要本文针对箱子的摆放的优化铺设问题，采用了循环嵌套式算法，建立了利用率最优化的整数规划模型，使用LINGO、MATLAB求解，并用Excel进行画图，实现了箱子最优摆放与评价。
对于问题一，建立在不允许箱子超出底边的情况下，所能摆放最多箱子的数学模型。
借助于循环嵌套式算法，采用改进后的由外至内逐步优化的模型：首先对各边的外层进行摆放，使其边界利用率最高，再对内层剩余矩形空间进行摆放，一直循环，至内部剩余空间无法放入箱子为止。
用MATLAB编程、求解分析：以此模型摆放，第一种箱子个数为16、第二种箱子个数为4、第三种箱子个数为20。
对于问题二，建立在允许箱子超出上、左、右边的情况下，所能摆放最多箱子的数学模型。
建立由下至上逐步优化模型：以底边为基，将其两边各向外扩充半个长边的长度，先对底边进行摆放，使其边界利用率最高，再向上堆叠，使箱子间无空隙，使面积利用率最大，至上侧最多超出半个箱子边长为止。
用lingo编程、求解分析：以此模型摆放，第一种箱子个数为23、第二种箱子个数为8、第三种箱子个数为28。
对于问题三，我们采用左右对称，箱子横放，向上堆叠，左、右、上边各超出少许的方案。
引入箱子个数、稳定性两个指标，通过线性加权评价的方式，对此方案与模型一进行评价分析。
得出了在在实际情况中，当考虑不同权重的综合指数时，模型一与模型三的摆放方式各有优劣性的结论。
关键词：利用率最高循环嵌套式算法线性加权评价一、问题重述叉车是指对成件货物进行装卸、堆垛和作业的各种轮式搬运车辆。
如何摆放箱子，使得叉车能将最多的货物从生产车间运输至仓库是众多企业关心的问题。
现将箱子的底面统一简化为形状、尺寸相同的长方形，叉车底板设定为一个边长为1.1米的正方形。
要求建立一个通用的优化模型，在给定长方形箱子的长和宽之后，就能利用这个模型算出使得箱子数量最多的摆放方法。
本题需要解决的问题有：问题一：在不允许箱子超出叉车底板，也不允许箱子相互重叠的情况下，构建一个优化模型，并根据题目中提供的三种型号箱子的数据，确定可以摆放的个数及摆放示意图。
装箱问题和排序问题(课堂PPT)
数的上界是 M ： 1 。因此，所有不同 是 R C M M K .这是一个固定的常数。 的装箱数目地上界为 P C R n R .这是关于 n 多项式时间通过枚举找 出最优解。
限制装箱问题
.
12
引理 2。给定 0.考虑每个物件大小至少 是的限制装箱问题，则存 在该限制装箱 问题的（1 ）- 近似算法。
通俗地说，把 a 1 , a 2 ,..., a n ( 0分,1 ] 成最少的组数， 使得每组数的和不超过1。
在工业中有许多应用，譬如在下料问题中，箱子 代表标准木料的长度，而 a i 表示实际问题中需要 裁截成的木料长度。当然，需要的标准料越少越 好。
Bin Packing
.
3
First FitAlgorithm: 1.将物件按任意顺序， 排譬 列如
装箱问题和排序问题
.
1
装箱问题（Bin Packing）
最小完工时间安排（排序问题）（Minimum Makespan Scheduling)
本讲主要内容
.
2
装箱问题：给定n个物件，大小为 a 1 , a 2 ,..., a n ( 0 ,1 ] 用单位体积的箱子来装这些物件，找一个装箱方 案使得所用的箱子数目最少？
a1, a2,...,an 2.在算法第 i步，假定 a1, a2,...,ai1已经装箱
B1, B2,...,Bk.现考虑ai ,若其不能装入任Bj一 (1 j k) 则打开一个新的箱 Bk子 1,将ai装入其中。 3.直到所有物件装完。
一个2倍近似算法
.
4
假定算法中用了 m个箱子，则至少有 m 1个箱子
(Asym PopltyT ontiA o im cm pep iiaro lS onx ch im em a
数学建模例题：锁具装箱
2. 排序
将待装箱的锁具按照体积从小到大或数量 从少到多进行排序。
4. 优化
根据所采用的算法（贪心算法、遗传算法 或模拟退火算法），对装箱的结果进行优 化，以提高空间利用率或寻找最优解。
3. 装箱
按照排序后的顺序，逐个将锁具放入箱子 中，如果箱子的剩余容量不足以放入当前 锁具，则将该锁具放入下一个箱子。
问题的目标
• 锁具装箱问题的目标是寻找一种 最优的装箱方案，使得在满足每 个箱子装载数量限制的前提下， 所有箱子的装载总重量最小化。 具体来说，我们需要确定每个箱 子中锁具的数量和种类，以便在 满足总重量限制的条件下最小化 装箱成本。同时，还需要考虑到 锁具的体积和形状，以确保箱子 能够充分利用空间，避免浪费。
和相应的箱子尺寸。
优缺点分析
优点：
混合整数规划方法能够综合考虑锁具 的固定需求和装箱体积最大化两个目
标，得到最优解。
该方法具有通用性，可以应用于其他 类似的装箱问题，只需根据实际情况 调整模型参数即可。
缺点：
由于锁具的形状和尺寸差异较大，对 于某些特殊形状的锁具，可能难以找 到合适的装箱方案。
在实际操作中，还需要考虑装箱成本、 运输便利性等因素，这些在本例中未 作考虑。
算法复杂度分析
时间复杂度
贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待装箱的锁具数量；遗传算法的时间复杂 度为O(t*n*m)，其中t为迭代次数，n为锁具数量，m为种群规模；模拟退火算法的时
间复杂度为O(t*n)，其中t为迭代次数，n为锁具数量。
空间复杂度
贪心算法的空间复杂度为O(n)，需要存储待装箱的锁具列表；遗传算法和模拟退火算 法的空间复杂度分别为O(m)和O(1)，其中m为种群规模。
第06讲 装箱问题
渐进性能比
RA inf{r 1| 存在N Z , 对于所有满足OPT ( I ) N的实例，RA ( A) r}
1 RA RA
NF算法的绝对性能比
定理：RNF 2
FF算法
2
解的一个下界。
NF算法
把物品按照给定的顺序装箱：把 w1 放入第一个箱子； 设 wi 是当前要装入的物品， B j 是具有最大下标的使 用过的箱子，若 wi 的长度不大于 B j 的剩余长度，则 把 wi 装入 B j ，否则把 wi 放入一个新的箱子 Bj 1 ， 且 B j在以后不再使用。 通俗的说：将物品按顺序装箱，当第一个箱子不能再装 的情况下，将箱子打包运走，下面使用第二个箱子…… 下次适应(Next Fit)算法j 1
j ij
Cyi
i 1, 2...., n j 1, 2...., n
x
i 1
n
ij
1,
yi 0 或者1 i 1, 2...., n xij 0 或者1 i, j 1, 2...., n
背包问题的松弛问题
min
n
z yi
i 1
n
s.t
练习
箱子长为1，设有30个物品，物品长度为
1 i 6 1/ 4 1/ 4 6 i 12 wi 12 i 18 1/ 4 2 1/ 2 18 i 30
分别用NF算法，FF算法，FFD算法，CF算法给出近似 解，并与最优解进行比较。
绝对性能比
对于一个极小（大）化问题π，I为任意实例。设A是π的 近似算法，用A解I得到的解值为A(I)，而I得最优解为 OPT( I ),记
长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题
长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题随着电子商务的迅速发展，快递行业成为中国物流行业中的重要组成部分。
快递包裹的及时送达和安全运输是快递企业必须面对的重要挑战之一。
针对如何在有限的空间中最大化地装载包裹，优化装箱方案已成为快递企业的一项重要课题。
本文将重点讨论长三角高校数学建模竞赛中的快递包裹装箱优化问题。
快递包裹装箱问题涉及到如何在有限的空间中合理地摆放不同尺寸和重量的包裹，以便最大化地利用空间并保证包裹的安全运输。
在实际应用中，我们可以将快递箱视为一个三维的容器，而包裹则是不同形状和大小的物体。
装箱优化问题可以归结为如何在给定的容器和包裹条件下，找到最优的摆放方案，使得总体积最小化或者总重量最小化。
对于快递包裹装箱优化问题，我们可以采用数学建模的方法来解决。
首先，我们需要确定一个合适的目标函数，它可以衡量不同装箱方案的优劣。
对于总体积最小化的问题，我们可以将目标函数定义为所有包裹体积的和。
对于总重量最小化的问题，我们可以将目标函数定义为所有包裹重量的和。
在确定目标函数之后，我们可以建立一个数学模型来描述这个优化问题。
在数学模型中，我们需要定义相关的变量和约束条件。
变量可以表示每个包裹的位置和方向，而约束条件则可以限制包裹之间的相互位置以及与容器的边界的关系。
例如，我们可以定义一个二维数组来表示容器的布局，其中每个元素表示一个位置，0表示空位置，1表示有包裹。
我们还可以引入一些约束条件来控制包裹的位置和方向，例如，每个包裹的底部必须在一个平面上，不能旋转等。
在实际应用中，我们可以采用启发式算法来求解这个优化问题。
启发式算法是一种基于经验和直觉的求解方法，它可以在合理的时间内找到一个较好的解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
这些算法都可以通过不断地调整包裹的位置和方向来搜索最优解。
快递包裹装箱优化问题是一个复杂而实际的问题，它涉及到多个变量和约束条件。
通过数学建模和启发式算法，我们可以找到一个较好的装箱方案，以最大化地利用空间并保证包裹的安全运输。
装箱问题与背包问题
例：“超市大赢家”提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择,车的容量为1000dm3 , 奖品i占用的空间为widm3 ,价值为vi 元, 具体的数据如下: vi = { 220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, 122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1} wi = {80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32, 22, 60, 30, 32, 40, 38, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1}。
见lingo程序
例1 已知30个物品,其中6个长0.51m，6个长0.27m，6个长0.26m，余下12个长0.23m，箱子长为1m，问最少需多少个箱子才能把30个物品全部装进箱子。
装箱问题的LINGO软件求解
NF（Next Fit－下次适应）算法：按照物体给定的顺序装箱：把物品wi放到它第一个能放进去的箱子中。Bj是具有最大下标的使用过的箱子，若wi的长度不大于Bj的剩余长度，则把wi放入Bj，否则把wi放入一个新的箱子Bj+1，且Bj在以后的装箱中不再使用。
算法流程
(1)输入物品个数n, 背包的容量limitW, 每个物品的重量wj 和价值cj。 (2)对物品按单位价值从大到小排序。
数学建模之锁具装箱
锁具装箱摘要（第06组）本文针对锁具如何装箱问题，建立了模型，并对其进行了分析和评价。
首先根据排列组合知识，用Matlab编程列举出所有符合条件的锁具，得到一批锁具的个数为5880，可装58箱。
就如何装箱及销售问题，本文根据如何对每一批锁具进行装箱和标记才能是消费者的满意度最高的模型，再具体分析实际销售情况，建立了按槽高进行序贯销售的模型。
即先把槽高和为偶数的锁具按字典序列排序装箱，之后装槽高和为奇数的锁具，并对每一个锁具进行编号，计算锁具“安全”距离的极小值为2562，即42.7箱，得到序贯销售时团体顾客最大购买量为42箱时不会出现互开现象。
顾客抱怨互开程度可用所购的一箱或二箱锁具中平均有多少对可能互开来衡量。
本文运用计算机模拟，得到平均一箱中可以互开的个数为2.33，平均两箱中可以互开的个数为9.41。
关键词：排列组合，数学模型，互开，奇偶，概率一、问题重述某厂生产一种弹子锁具，该锁具的锁匙共有5个槽，每个槽可取6种不同的高度,分别以1-6的整数表示。
在生产中要求每把锁匙的5个槽至少具有3种不同的高度且相邻两槽的高差不能是5。
满足上述条件的互不相同的锁具称为一批。
由于工艺条件的限制，当两把锁匙对应的5个槽的高度有4个相同，另一个槽的高差为1时,两锁具可能互开,否则不能互开。
在锁具出厂时，工厂对锁具按批进行随意装箱，每60付装1箱。
当遇到购买量较大时团体顾客时(买几箱到几十箱)，由于装箱的随意性，容易引起他们对锁具互开现象的抱怨，现要求解决以下几个问题：（1）每批锁具有多少个,可装多少箱；（2）为售销部门提供一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标记，出售时如何利用这些标记，从而使团体顾客不再或减少抱怨；（3）当团体顾客的购买量不超过多少箱时，可以保证一定不会出现互开的情形；（4）按原来的随意装箱方法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度，并对购买一、二箱者给出具体结果。
二、问题假设（1）随机装箱对锁具来说是等可能概率。
【全版】五年级数学下册包装的学问8课件北师大版推荐PPT
设计一个装饰方案。 要求:设计一种最省的包装方法.
有什么方法能肯定你的想法是对的？
选择3个 搭档模型盒子。
小A 明想亲手将这B要套书求用彩:纸设装C饰计起来一，请种你为最他设省计一的个装包饰方装案。方法.并想一想除了节省之 外，我们还需要考虑到哪些因素呢? (1)把2盒完全相同的 搭档模型包装在一起,有几种包装方式?
包装方法？ 选择3个 搭档模型盒子。
(2)猜猜老师选择了哪种方式包装? 小明想亲手将这套书用彩纸装饰起来，请你为他设计一个装饰方案。
3.不用计算，你能知道哪一种方 有什么方法能肯定你的想法是对的？
思考：可以怎样包装？有几种包装方法？ 要求:设计一种最省的包装方法.
案最节约包装纸？为什么 (2)猜猜老师选择了哪种方式包装?
母亲节快到了,小明为妈妈挑选了一套分为上、中、下集的书，每本书长 、宽、高分别为 20厘米、15厘米、8厘米。 选择3个 搭档模型盒子。
A
B
C
小明想亲手将这套书用彩纸装饰起来，请你为他设计一个装饰方案。
A
B
C
有什么方法能肯定你的想法是对的？
A
B
C
母亲节快到了,小明为妈妈挑选了一套分为上、中、下集的书，每本书长 、宽、高分别为 20厘米、15厘米、8厘米。
10cm
5cm 40cm
小组合作要求:
(1)把2盒完全相同的 搭档模型包装 在一起,有几种包装方式?
(2)猜猜老师选择了哪种方式包装?
有什么方法能肯定你的想法是对的？
5cm
40cm
选择3个 搭档模型盒子。
10cm
选择3个 搭档模型盒子。
小明想亲手将这套书用彩纸装饰起来，请你为他设计一个装饰方案。
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J1，J2，…，Jn
全部装入箱内. CHENLI
3
§1 装箱问题的描述
由于 wi < C，所以 BP 的最优解的箱子数不超过 n .
设约的束物条品y件i总（负 1 01荷）箱不否表子超则示B过：i 被一C使；旦用箱i子1Bni ;被使用，放入 Bi
约束条xi件j （ 1 0 2）物否表品 则示J：j 放每入个箱物子品Bi 恰中好放i,入j 一1个n 箱. 子中 .
I3物 品 jC 2w ja,
则
L(a)I1I2m ax 0, (j I3w j(I2Cj I2w j))C
是最优解的一个下界 . CHENLI
8
第八章 装箱问题
C
Proof : 仅考虑对 I1,I2,I3中物品No的te:装w 箱可能. 小C-于a 零
I1 I2 中物品的长度大于C/2 ,
CHENLI
7
§2 装箱问题的最优解值下界
n
w
i
Theorem 3.1
BP 最优值的一个下界为 L 1
i1
C
.
a 表示不小于 a 的最小整数.
Theorem 3.2
设 a 是任意满足 0 a C 2的整数,对 BP 的任一实例 I ,
记 I1物 品 jw jC a, I2物 品 jC a w j C 2,
Corollary 3.1 记 L 2 m a x L ( a )0 a C 2 ,a 为 整 数
则 L2 是装箱问题的最优解的一个下界，且 L2 L1 .
Proof : L2 为最优解的下界是显然的 .
(若证明 L(0) L1 ，则可得 L2 L1 )
L(0)0I2
max0,(jn1wj
I2
C) C
当L I(2 a aL ) 2 = m I01a L x 时(0 I2 )，0 ,L m IL 1 1a 1 x I0 2 ,, (I jC 2 IH3Ew m NIjLa3 I x(是I2I所C 2 , 有L j 1I2 物w j品)L)C 1 .
2最、少二的维工作BP站，玻（璃厂按生一产定出的长紧宽前一约定束的）大沿的着平流板水玻线璃将,任
但务用 分户配所到各需工玻作璃站的上长宽. 称可为能带有附许加多优差先异约，束如的何根BP据. 用
户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货;
3、计B算P 机是的容存量贮限问制题的工如厂要选把址大问小题不的同特的例共之一10.MB 的
物品共用箱子，由于放 I2 中物品的 I 2 个箱子的剩余
总长度为 C I2 C wj jI2
在最好的情形下，C 被 I3 中的物品全部充满，故剩
下总长度
w
wj
jI3
C
将另CH外ENL至I 少与
Iw 2 C
中个的附物品加如的何？箱子
9.
§2 装箱问题的最优解值下界
Go back
问 L(a) ？ L1 未必！ 如 (w ja, j1 n)
箱子停留现场可供使用C,HEeNtLcI .
5
§1 装箱问题的描述
Go back
BP 的应用举例：
1 .4 4 7 1 0 .0 8 1 0
1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度, 而用
户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸, 如何根据用
户4、提生出产的流要水求线，的用平最衡少问的题线材给截定出流所水需节的拍定CБайду номын сангаас, 如；何设置
则装箱问题的整数线性规划模型为：
(BP )
n
min z yi
n
i1
s.t. wjxij Cyi i1 n (1)
j1
n
xij 1 j 1 n (2)
i1
y i 0 o r 1 ,x i j 0 Co Hr ENL1 I i ,j 1 n . 4
第八章 装箱问题
上述装箱问题是这类问题最最早优被目标研可究如的何，提也？是提 法上最简单的问题，称为一维装箱问题 . 但 BPNPC.
定是界它法的；一二个是最启优发mi解式n （. z近 似nz o py）ti 算i 1C法w i .
n
i1
C((BBPP)) s.t. wjxij Cyi i1 n (1)
j1
n
xij 1
j 1 n (2)
i1
y i 0 0 y i o r 1 1 , ,0 x i j x i 0 j o 1 r 1 i ,j i , j 1 1 n . n .
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第八章 装箱问题
CHENLI
1
第八章 装箱问题
§1 装箱问题的描述 §2 装箱问题的最优解值下界 §3 装箱问题的近似算法
CHENLI
2
第八章 装箱问题
装箱问题（Bin Packing）是一个经典的组合优化 问题，有着广泛的应用，在日常生活中也屡见不鲜 .
§1 装箱问题的描述
设有许多具有同样结构和负荷的箱子 B1，B2，… 其数量足够供所达到目的之用 . 每个箱子的负荷（可为 长度、重量 etc.）为 C ,今有 n 个负荷为 wj，0 < wj < C j = 1，2，…，n 的物品 J1，J2，…，Jn 需要装入箱内. 装箱问题：
是指寻找一种方法，使得能以最小数量的箱子数将
文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB ,
已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件
不能分成几部分存贮，如何CHE用NLI最少的磁盘张数完成 .6
第八章 装箱问题
§2 装箱问题的最优解值下界
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装箱问题的其他一些提法：
1、在装箱时，不仅考虑长度，同时考虑重量或面积、 体积 etc . 即二维、三维、…装箱问题；
2、对每个箱子的负荷限制不是常数 C ; 而是 Ci, i1 n.
3、物品J1，J2，…，Jn 的负荷事先并不知道，来货是 随到随装；即 在线（On-Line）装箱问题；
4、由于场地的限制，在同一时间只能允许一定数量的
C/2
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它不能与 I1 中的物品共用箱子, 但可能与 I2 中的