精选高等数学总习题及答案.ppt

分段函数连续性的讨论；判别间断点的类型
4. 其他
无穷小的比较；方程的根的分析等。
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4
上下
4.习题1－6，p56，4 (3) 数列 2, 2 2 , 2 2 2 , 的极限存在。
证明：xn1 2 xn ,(n 1,2,), x1 2. (Ⅰ) 数列xn有界。用数学归纳法，xn 2
xa x a
解：
2sin x a cos x a
原式 lim
2
2
xa
xa
lim
sin
x
2
a
lim cos
x
a
xa x a xa
2
2
cos a
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15
上下
6.利用第二重要极限求极限
x 1
(5)
lim
x
3 6
x x
2
习题1－9，p69，4
3 ( x1 )
2 ( 6 x )
解：
2
2
cos cos 2cos cos
2
2
cos
cos
2 sin
sin
2
2
sin2 2sin cos
cos 2 2cos2 1 1 2sin2 cos2 sin2
ctg2 ctg2 1 2ctg
sin3 3sin 4sin3 cos 3 4cos3 3cos
xm2 xn2
x 1) x 1)
m n
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13
上下
利用消去零因子求极限
(10)
3
lim
x 1
x1 x 1
解一： 3
lim
x1
x x
1 1
1
lim
x1
(
x
3 1
(x2
2
1)(x 3
2
1)(x 3
1
x3
1
x3
1
1)(x 2
1
1)(x 2
1) 1)
1
1
lim x1
( x 1)(x 2 1)
＝lim
tan x(1 cos x)
x0 x 1 sin2 x 1 1 tan x 1 sin x
＝lim
tan x
lim
x0 x 1 tan x 1 sin x x0
＝1 2
lim
x 0
1 x2 2 1 sin2
x
1 2
2
1 cos x
1 sin2 x 1
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tg2
1
2tg tg2
tg3
3tg tg3 1 3tg2
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1
上下
第一章 函数与极限
第一章 习题课
本章内容小结 本章题型小结 作业问题 总复习题一 课堂练习
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2
本章内容小结
函数 极限 连续
（函数基本初等函数初等函数）
概念 性质 计算法
连续性 法则、准则 无穷小的性质 重要极限 等价代换
上下
4.习题1－6，p56，4 (4) lim n 1 x 1
x0
证明：
讨论： 当 x 0 时，1 n 1 x 1 x 当 1 x 0 时，1 x n 1 x 1 对于上述两种不同的情况，分别应用夹逼准则，即 可得出结论。
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11
上下
5.习题1－6，p56，4
(5)
概念 性质
定义、左右极限
基本结论 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
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3
上下
题型小结
1. 有关函数概念的命题
求定义域；有界性、奇偶性、单调性分析、复合函数等。
2. 极限的计算
用定义证明极限； 不定式的极限；分段函数的极限 等。 " 0 "," "," ","1","0 "
3. 0连续性的讨论
解：
2 x 3x 2
lim
x0
x
lim 2x 1 lim 3x 1
x0 x
x0 x
ln2 ln3
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18
上下
5.设
0,
f
(
x)
x.
x0 ,
x0
0, x 0 g( x) x2 . x 0
求f [ f ( x)], g[g( x)], f [g( x)], g[ f ( x)].
lim
x
3 6
x x
x 1
2
lim
x
1
1 6 x
3
6 x
3
3
e 2
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16
上下
7. 利用无穷小代换求极限
习题1－9，p69，4
(6) lim 1 tan x 1 sin x
x0 x 1 sin2 x x
解： lim 1 tan x 1 sin x
x0 x 1 sin2 x x
17
上下
总习题一 3.选择以下题中给出的四个结论中有一个正确的结论：
设 f ( x) 2x 3x 2 ，则当x 0 时，有（B）
(A) f (x) 与x 是等价无穷小
(B) f (x) 与x 同阶但非等价无穷小 (C) f (x) 是比x 高阶的无穷小
(D) f (x) 是比x 低阶的无穷小
lim
x0
x
1 x
1
lim
x 0
x
1 x
1
lim
x0
x
1 x
1
证明：函数
1 x
表示不超过
1 x
的最大整数。
1 x
-1<
1 x
1 x
x 0 ,
1
x<x
1 x
1
利用夹逼准则，得
lim
x 0
x
1 x
lim (1
x 0
x)
lim
x 0
1
1
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12
上下
利用消去零因子求极限
和差角公式
和差化积
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tg(
)
tg 1 tg
tg tg
ctg( ) ctg ctg 1 ctg ctg
倍角公式
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2cos sin
2
1
( x 1)(x 3 x 3 1)
lim ( x 2 1)
x1 2
1
( x 3 x 3 1)
2 3
解二：
令x t 6(t 0),当x 1时, t 1,故
原
式
lim
t 1
t t
3 2
1 1
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上下
利用第一重要极限求极限 习题1－9，p69，3
(6) lim sin x sina
(9)
lim
x 1
xm xn
1 1
(m,
n是
自
然
数)
分析 : 此极限为0 型,须消去分子分母中的零因子( x 1), 0
将分子分母分解因式.
解：
lim
x 1
xm xn
1 1
lim
x 1
( x 1)( x m1 ( x 1)( x n1
xm2 xn2
x 1) x 1)
lim
x 1
( x m1 ( x n1
(Ⅱ) 数列xn单调递增。
xn1 xn
2 xn xn
2 xn xn2 ( xn 2)(xn 1) ,
2 xn xn
2 xn xn
xn 2, xn1 xn 0, 即xn1 xn。
由极限存在准则2知：lnim xn A. =2
你能求出A 的值吗？
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10