微积分试卷内含答案

微积分试卷内含答案11-12微积分A 卷湖北汽车工业学院微积分(一)(下)考试卷（ 2011-2012-2）一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='⎰]sin [2x tdt 2sin 2x x ．2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x . 3．设yx z =，则=dz xdyx dx yx y y ln 1+- .4．⎰⎰+-=Ddxdy y x I )432(，其中D }4),{(22≤+=y x y x ，则=I π16 .5．微分方程)1)(1(22y x y --='的通解为Cx y +-=2)1(arcsin .6．平面曲线2x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为15/2π .7．设数项级数∑∞=1n n u 收敛且和为s ，则级数∑∞=++11)(n n n u u 的和为12u s - ．二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）： 【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则dx c x f b a⎰+)(等于)(A )()(c a F c b F ---. )(B )()(c a F c b F +-+. )(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+.【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=b ，则b a ⨯ 等于)(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(.)(D )7,1,5(-.【A 】3．下列级数中条件收敛的是)(A ∑∞=+-111)1(n nn . )(B ∑∞=+-1211)1(n nn .)(C ∑∞=--11)107()1(n n n . )(D∑∞=-151)1(n nn .【A 】4. 下列微分方程中是齐次方程的是)(A dx y x ydx xdy 22-+=. )(B x y y x y sin 2=+'.)(C y y x y ln sin ='. )(D x x y y sec tan =-'．【D 】5. 设)(x f 在]1,0[上连续且满足1)()(1-=⎰dt t f x x f ，则⎰1)(dxx f 等于)(A 1 . )(B 2. )(C 1-. )(D 2-． 【C 】6. 设xy y xD ≤≤≤+≤0,41:22，则二重积分=⎰⎰σd xyDarctan)(A 2163π . )(B 2323π. )(C 2643π. )(D 21283π．【C 】7. 函数x x f /1)(=的在1=x 点处的幂级数展开式为 )(A ∑∞=--0)1()1()(n nnx x f ＝, 11<<-x ． )(B ∑∞=-0)1()(n nx x f ＝, 20<<x ．)(C ∑∞=--0)1()1()(n nnx x f ＝，20<<x ． )(D ∑∞=--1)1()1()(n nnx x f ＝，20<<x ．三、计算下列各题（共3284=⨯分） 1． 设函数),(y x z z =由方程zy x z y x++=++222确定，证明：y x yzx z x z z y -=∂∂-+∂∂-)()(．[证] 方程zy x z y x++=++222两边对x 求导得 xz x z zx ∂∂+=∂∂+122，解得z x x z 2112--=∂∂，由字符轮换性知z y y z 2112--=∂∂，于是 y x zy x z z x z y y z x z x z z y -=---+---=∂∂-+∂∂-2112)(2112)()()(.2 ．计算 dx xx ⎰--11241．[解] 原式dxxx ⎰-=102412.dtttt t x ⎰⋅=204cos cos sin 2sin πdt t ⎰=24sin 2π83221432ππ=⋅⋅⋅=3．判别正项级数nxnn n21sin 2∑∞=的敛散性 ．[解] nn n n nx n u 2sin 22≤=，设nn nv 2=，121221lim lim 11<=⋅+=+∞→+∞→n n v v n n n nn n ，于是级数∑∞=12n n n 收敛.从而原级数∑∞=12sin2n nnxn 收敛.4．某工厂生产甲种产品x 件乙种产品y 件的总利润函数为22222040),(y xy x y x y x L ---+=设备的最大产出力为15=+y x ，求x 与y 为何值时利润最大？解：作 )15(222040),(22-++---+=y x y xy x y x y x F λ …令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+--==+--=015),,(02220),,(02440),,(y x y x F y x y x F y x y x F x x λλλλλλ得10=x ，5=y ．于是当这两种产品分别生产10件与5件的时候利润最大 ．四．（8分）交换二次积分⎰⎰=101yxydxe dy I 的次序并计算．【解】dxe dx I x xy ⎰⎰=2010dxxex y y xy ⎰===1002| ⎰=-=10.21)(dx x xex五、（8分）求微分方程2212)1(xxxy y x -=+'+的通解.解：方程变形为：2221)1(12x x xx xy y -+=++'通解为：])([)()(C dx e x Q e y dxx p dx x p +⎰⎰=⎰-]1)1([12221222C dx e xx x edxx xdxx x+⎰⋅-+⎰=++-⎰]1)1([1)1(221)1(2222C dx e xx xex x d x x d +⎰⋅-+⎰=++++-⎰]1[11]1)1([22)1ln(22)1ln(22C dx x xx C dx exx x ex x +-+=+⋅-+=⎰⎰++-11]12)1([1122222+--=+---+=⎰x x C C xx d x法二：221])1[(xx y x-='+ 通解为Cx y x +--=+221)1(六、（10分）求幂级数nn x n)11(1-∑∞=的收敛域与和函数，并求级数nn n n 211⋅-∑∞=的和．解：收敛域为)1,1(-)(1)1-(1)(1111x S x x n x x x n x S n n nn n n --=-==∑∑∑∞=∞=∞=nx x S n n ∑∞==11)(， x x n x x S n n n n -=='='-∞=∞=∑∑11)()(1111)1ln()(1x x S --=，于是)1ln(1)(x xxx S -+-=．2ln 1)21(-=S ，2ln 1)21(211-==⋅-∑∞=S n n nn ．2013-2014-2 A 卷湖北汽车工业学院 微积分A2考试试卷（2013~2014~2 A 卷）一、（本题满分21分，每小题3分）单项选择题（请将所选答案填入答题卡的指定位置）：【 B 】1. 设)4,1,1(-=，),0,2(λ=，且b a ⊥，则=λ)(A 2-．)(B 21． )(C 2．)(D 21-． 【 B 】2．极限=+-→→2211lim yx xy y x )(A 0． )(B 1． )(C 1-．)(D 21． 【 C 】3．设⎰⎰+=xy x dxe dt tf y x F 112)(),(,则xF∂∂为)(A )(xy f ． )(B 22)(x xe xy yf +． )(C )(xy yf ． )(D22)(xxe xy f +．【 D 】4．二次积分dy y x f dx x x ⎰⎰-21),(=)(A ρρθρθρθπd f d ⎰⎰120)sin ,cos (．)(B ρρθρθρθθπd f d ⎰⎰cos 020)sin ,cos (．)(C ρρθρθρθπd f d ⎰⎰120)sin ,cos (．)(Dρρθρθρθθπd f d ⎰⎰cos 020)sin ,cos (．【 B 】5．已知2)(,3)2(20==⎰dx x f f ，则⎰'20)(dxx f x =)(A10．)(B 4．)(C6． )(D 1．【 C 】6．若级数)0(1≠∑∞=n n nu u收敛，则级数∑∞=11n nu)(A 绝对收敛． )(B 条件收敛． )(C 发散． )(D无法确定．【 D 】7．函数xx f -=31)(，则)(x f 的麦克劳林展开式为： )(A∑∞==03)(n nnx x f ，(1<x )．)(B∑∞==13)(n nnx x f ，(3<x )．)(C∑∞=+=013)(n n nx x f ，(1<x )． )(D∑∞=+=013)(n n nx x f ，(3<x )．二、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．过点)3,2,1(M 且与平面05532=++-z y x 平行的平面方程为11532=+-z y x ．)3(5)2(3)1(2=-+---z y x2．设}42),{(22≤+≤=y xy x D ，则⎰⎰Ddxdy =π2．3．交换二重积分⎰⎰=201),(x dyy x f dx I 的次序，则I=⎰⎰110),(ydxy x f dy ． 4．⎰∞+141dx x =3/1．5．已知yx e z +=2，则dz =)2(2dy dx e y x ++．6．=+⎰-223)sin 1(dx x 4． 7．微分方程yx dx dy 232=的通解是Cx y +=32．三、（本题满分8分）设函数),(y x z z =由方程0e=-xyz z所确定，求xz ∂∂与y z ∂∂． [解] 令xyzz y x F z-=e),,(，则yz F x-='， xz F y-='， xyF zz-='e．从而有xyyzF F x z z z x -=''-=∂∂e ，xyxzF F y z z z y -=''-=∂∂e ．四、（本题满分8分）曲线2x y =与直线0,3==y x 围成一个平面图形，①求此平面图形的面积；②求图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． [解]90331)1(332===⎰x dx x A）（2dxx dV 22)(π=，于是πππ524351035304===⎰x dx x V ．五、(本题满分8分) 判定级数∑∞=-13)1(n nnn是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛． [解] 令nn nnn n u 33)1(=-=，由于131331lim lim11<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n u u ，所以正项级数∑∞=13n n n 收敛，从而∑∞=-13)1(n nnn 绝对收敛．六、（本题满分8分）求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件0==πx y 的特解．[解] 此方程为一阶线性微分方程，其中 xx P 1)(=，xxx Q sin )(= 其通解为])([)()(C dx e x Q e x dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-]sin [11C dx e xx edxx dxx +⎰⎰=⎰-)sin (1C xdx x x x +⋅=⎰)sin (1⎰+=C xdx x)cos (1C x x +-=由初值条件==πx y 可得1-=C ，故特解为)1(cos 1)1cos (1+-=--=x xx x y ．七、（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰-Dydxdye，其中D 为直线xy y x =1=0=,,所围的区域．[解]（X 型） ⎰⎰⎰⎰--=1102xy Dy dye dx dxdy e⎰⎰----=-=1111)()(dxe e dy e x xy110121----=--=e e ex．（Y 型） ⎰⎰⎰⎰--=yyDy dx dy e dxdy e12)(111⎰⎰-----==dy e yedy ye y yy111)(--=+-=ee y．八、（本题满分8分）求函数324),(223+-+-=y xy x x y x f 的极值．［解］ 令⎩⎨⎧=-='=+-=',022,02832y x f y x x f yx 得唯一)2,2(,)0,0(，又86-=''x f xx，2=''xyf ，2-=''yyf ，于是 在点)0,0(处，2,2,8-==-=C B A ，则122)2)(8(22>=---=-B AC 且08<-=A ，所以函数),(y x f 在)0,0(处有极大值3)0,0(=f ． 在点)2,2(处，2,2,4-===C B A ，则122)2(422<-=--⋅=-B AC ，所以)2,2(不是函数),(y x f 的极值点．九、（本题满分10分）求级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域与和函数．[解] 易求得1=R ，且当1=x 时级数∑∞=--111)1(n n n收敛，当1-=x 时级数∑∞=-11n n 发散.因此∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域是]1,1(-.在区间)1,1(-内，设=)(x S ∑∞=--11)1(n n n nx ，则x x x n x n x x S n n n n n n n n n n n +=-=-='-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='∑∑∑∑∞=-∞=--∞=-∞=-11)()1()()1()1()(111111111所以)1ln(11)(0x dx xx S x+=+=⎰，11≤<-x .2014-2015-2 A 卷湖北汽车工业学院 微积分考试试卷（ 2014—2015—2）一、（本题满分21分，每小题3分）单项选择题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：[ A ] 1．⎰=xdt t x f 0cos )(，则=')0(f（A ）1． （B ）0． （C ）1-．（D ）2π．[ D ] 2．设y x z 2=，则=∂∂22xz（A ）xy 2． （B ）x ． （C ）x 2．（D ）y2．[ B ] 3．已知平面区域D 为222≤+y x，则=+⎰⎰Dd y x σ)2(2（A ）π． （B ）π4． （C ）π3．（D ）0．[ C ] 4．由曲线xe y =与直线1=x 及直线2=x 所围图形的面积为（A ）e ． （B ）1-e ．（C ）e e -2． （D ）2e ．[ D ] 5．下列级数中收敛的是 （A ）∑∞=+1131n n ． （B ）∑∞=+121n nn ． （C ）∑∞=11cos n n n ． （D ）∑∞=+12n nn n．[ A ] 6．设),(y x z z =由方程022=--+z z xy y所确定，则=∂∂yz（A ）122++z x y ． （B ）12+z y． （C ）122++-z x y ． （D ）12+-z y． [ C ] 7．微分方程0=-'y y 的通解为（A ）c x y +=． （B ）．xce y 2=（C ）xce y =． （D ）xe y =．二、（本题满分21分，每小题3分）填空题（请将正确答案填入题后相应横线上）1．=-+→→12lim1xy xy y x 0 ．2．设向量}1,3,2{-=→a 与向量},1,0{k a -=→垂直，则=m-3 ．3．设xy y z sin =，则=dzdyxy xy xy dx xy y )cos (sin cos 2++．4．设220(,)x I dx f x y dy=⎰⎰，则交换积分次序后=I 422(,)y I dy f x y dx=⎰⎰ ．5．=+⎰-dx xx 1121 0 ．6．过点)2,1,3(-且与平面052=+-+z y x 平行的平面方程为012=+-+z y x ．7．幂级数∑∞=⋅-12)1(n nn n n x 的收敛域为(2,2]-．【温馨提示】请将下面解题过程直接写在各题相应空白处三、（本题满分8分）设)ln 1ln(y x z ++=，求),1(e xz ∂∂，),1(e yz∂∂．解 由y x x z ln 11++=∂∂，yy x y z 1ln 11⋅++=∂∂所以31ln 111),1(=++=∂∂e xze故(1,)11111ln 3e z ye e e∂=⋅=∂++四、（本题满分8分）计算定积分dxx x ⎰+4012解 令12+=x t ，则212-=t x ，tdt dx =原式=tdt t t ⋅⋅-⎰312121dt t )1(21312⎰-==103五、（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I )(，其中积分区域D 是由直线x y =及 曲线2x y =所围成的区域．解 积分区域D 为：10≤≤x ，x y x ≤≤2 画图 故⎰⎰+=x x dy y x dx I 2)(10⎰+=1022]21[(dxy xy xx ⎰--=10432)2123(dx x x x10543]1014121[x x x --==203六、（本题满分8分）求函数364),(22+-++=y x y x y x f 的极值．解 由⎩⎨⎧=-==+=062042y f x f yx 得点)3,2(-， 又2==xx f A ，0==xy f B ，2==yy f C ，故在点)3,2(-处,2=A ,0=B ,2=C42<-=-AC B ，且0>A所以)3,2(-为极小值点，极小值为10)3,2(-=-f七、（本题满分8分）求幂级数∑∞=++01)2(n n x n 的收敛域及和函数．解 由ρ123lim ||lim 1==++=∞→+∞→n n a a n nn n ，故1ρ1==r ， 且幂级数在1±=x 处均发散，故收敛域为)1,1(-设=)(x s ∑∞=++01)2(n n x n =∑∞=+'02)(n n x)(02'=∑∞=+n n x)1(2'-=x x =22)1(2x x x --，1||<x八、（本题满分8分）判断级数∑∞=-1241n nn 的敛散性．解 由=+∞→nn n u u1lim1441)1(lim 212-⋅-++∞→n n n n n 141<=故由正项级数的达朗贝尔判别法知级数收敛-九、（本题满分10分）求微分方程xxx y y cos =+'的通解． 解 次微分方程为一阶线性微分方程且x x p 1)(=，xxx Q cos )(=则])([)()(C dx e x Q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰- ]cos [11C dx ex x e dxxdx x +=⎰⎰⎰-]cos [ln ln C dx e xx e xx +=⎰-]cos [1C xdx x x x +⋅=⎰)(sin 1C x x += -2014-2015-2 B 卷湖北汽车工业学院微 积 分 (一)（下） 考 试 卷（ 2014-2015-2 ）一、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）： 【B 】1. 平面曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积为)(A 21. )(B 31. )(C 32. )(D 43. 【C 】2．设)1,2,4(=a ，),2,2(k b -=，若a 与b 相互垂直，则k 等于 )(A 0. )(B 2-. )(C 3. )(D4.【A 】3．设0≠a 为常数，则级数∑∞=-02)1(n nn)(A 绝对收敛． )(B 条件收敛．)(C 发散． )(D 敛散性无法判断． 【A 】4. 积分⎰-=222sin ππxdx I 等于)(A 2π. )(B 4π. )(C 8π. )(D 16π.【B 】5. 设函数)1(),(-+=y x xy y x f 在点)31,31(处)(A 取极大值 . )(B 取极小值. )(C 不取极值. )(D 在该点不可微． 【D 】6. 设yx z =，则dz 等于)(A dy x xdx x dz yy+=ln . )(B ydy x xdx x dz yyln ln +=.)(C dy x dx yx dz yy +=-1. )(D xdy x dx yx dz yy ln 1+=-．【B 】7. 函数xx f -=21)(的马克劳林展开式的第三项为 )(A222x .)(B322x .)(C222x -. )(D322x -．二、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．=+⎰-112)sin (dx x e x x32 ． 2．过点)1,2,3(且与平面0132=++-z y x 平行的平面方程为0232=-+-z y x .3．设),(y x z z =是由方程ze z y x+=+22所确定的隐函数，则=dz )(12ydy xdx ez++ . 4．设⎰⎰+=Ddxdyy x f I )(22，其中D 是由曲线122=+y x，直线x y =及y轴所围成的第一象限的平面图形，则I 的极坐标系下的二次积分为:=I rdr r f d ⎰⎰124)(ππθ．5．微分方程dxy dy x 221)1(-=+的满足条件1)0(=y 的特解为2arctan arcsin π+=x y .6．设数项级数∑∞=1n n u 的前n 项的和为1+=n n sn，则级数的通项=n u )1(1+n n ．7. 计算=⎰→2arctan lim xtdt x x 21 .三、 （8分）计算 dxxx ⎰---11221．解： 22arcsin22212110112112112π==---=--⎰⎰⎰---x dx xx dx xdx xx ． 四、（8分） 设函数)ln 1ln(y x z ++=，求),1(e xz∂∂，),1(e yz ∂∂．解：y x x z ln 11++=∂∂，)ln 1(1y x y x z ++=∂∂， 31),1(=∂∂e xz ，eyz e 31),1(=∂∂．五、（8分）求微分方程xe x x y y )1(1+=+-'的通解. 解：方程变形为：xe x y x y =+-+'2)1(1即xe x y='+)1(，Ce x y x+=+1，通解为：))(1(C ex y x++=．．六、（8分）判别级数∑∞=-+++-131322)1()1(n n n n n 的敛散性，并指出是绝对收敛还是条件收敛．解：332)1()1(31+++-=-n n n u n n ，取21n v n =，∑∞=121n n 收敛，．+∞<=+++=∞→∞→21332)1(lim lim 32n n n n v u n nn n ，．于是原级数收敛，且为绝对收敛。