微积分试卷内含答案

微积分试卷内含答案

11-12微积分A 卷

湖北汽车工业学院

微积分(一)(下)考试卷

（ 2011-2012-2）

一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='⎰]sin [2

x tdt 2

sin 2x x ．

2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x . 3．设y

x z =，则

=dz xdy

x dx yx y y ln 1+- .

4．⎰⎰+-=D

dxdy y x I )432(，其中D }

4)

,{(22≤+=y x y x ，则=I π16 .

5．微分方程)

1)(

1(22y x y --='的通解为C

x y +-=2

)

1(arcsin .

6．平面曲线2

x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为15/2π .

7．设数项级数∑∞

=1n n u 收敛且和为s ，则级数∑∞

=++1

1

)(n n n u u 的和为

1

2u s - ．

二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将

所选答案填入题号前的方括号内）： 【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则

dx c x f b a

⎰+)(等于

)(A )()(c a F c b F ---. )(B )()(c a F c b F +-+. )(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+.

【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=b ，则b a ⨯ 等于

)(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(.

)

(D )7,1,5(-.

【A 】3．下列级数中条件收敛的是

)(A ∑∞

=+-11

1

)

1(n n

n . )(B ∑∞

=+-1

211)1(n n

n .

)

(C ∑∞

=--1

1

)10

7(

)

1(n n n . )(D

∑∞

=-1

51)1(n n

n .

【A 】4. 下列微分方程中是齐次方程的是

)(A dx y x ydx xdy 2

2

-+=. )(B x y y x y sin 2

=+'.

)(C y y x y ln sin ='. )(D x x y y sec tan =-'．

【D 】5. 设)(x f 在]1,0[上连续且满足1)()(1

-=⎰dt t f x x f ，则⎰1

)(dx

x f 等于

)(A 1 . )(B 2. )(C 1-. )(D 2-． 【C 】6. 设x

y y x

D ≤≤≤+≤0,41:22

，则二重积分=⎰⎰σd x

y

D

arctan

)

(A 2

163π . )(B 2

32

3

π. )(C 264

3π. )(D 2

1283

π．

【C 】7. 函数x x f /1)(=的在1=x 点处的幂级数展开式为 )(A ∑∞

=--0

)1()1()(n n

n

x x f ＝, 11<<-x ． )(B ∑∞

=-0

)1()(n n

x x f ＝, 20<

)

(C ∑∞=--0

)1()1()(n n

n

x x f ＝，20<

=--1

)1()1()(n n

n

x x f ＝，

2

0<

三、计算下列各题（共3284=⨯分） 1． 设函数),(y x z z =由方程z

y x z y x

++=++222

确定，证明：

y x y

z

x z x z z y -=∂∂-+∂∂-)()

(．

[证] 方程z

y x z y x

++=++222

两边对x 求导得 x

z x z z

x ∂∂+=∂∂+122，

解得z x x z 211

2--=

∂∂，由字符轮换性知z y y z 2112--=∂∂，于是 y x z

y x z z x z y y z x z x z z y -=---+---=∂∂-+∂∂-211

2)(2112)()()

(.

2 ．计算 dx x

x ⎰

--11

2

41．

[解] 原式dx

x

x ⎰

-=10

2

4

12.

dt

t

t

t t x ⎰

⋅=20

4cos cos sin 2sin π

dt t ⎰

=2

4sin 2π8

3221432π

π=

⋅⋅⋅=

3．判别正项级数nx

n

n n

21

sin 2∑∞

=的敛散性 ．

[解] n

n n n nx n u 2sin 22

≤=

，

设

n

n n

v 2

=，

121221lim lim 11<=⋅+=+∞→+∞→n n v v n n n n

n n ，于是级数∑∞

=1

2n n n 收敛.

从而原级数∑∞

=1

2

sin

2n n

nx

n 收敛.

4．某工厂生产甲种产品x 件乙种产品y 件的总利润函数

为

2

2222040),(y xy x y x y x L ---+=

设备的最大产出力为15=+y x ，求x 与y 为何值时利润最大？

解：作 )

15(222040),(22

-++---+=y x y xy x y x y x F λ …

令

⎪⎩⎪

⎨⎧=-+==+--==+--=015),,(02220),,(02440),,(y x y x F y x y x F y x y x F x x λλλλλλ

得

10

=x ，5=y ．