专题突破练27 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

专题突破练27 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

1.(2020山东德州二模,20)已知椭圆C :x 2

a

2

+

y 2b

2=1(a>b>0)与圆x 2+y 2=43

b 2

相交于M ,N ,P ,Q 四点,四边形

MNPQ 为正方形,△PF 1F 2的周长为2(√2+1). (1)求椭圆C 的方程;

(2)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,D (0,-1),若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16

,证明:直线恒过定点.

2.(2020河南、广东等五省联考,19)已知点P 在圆O :x 2+y 2=9上,点P 在x 轴上的投影为Q ,动点M 满足4PQ

⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求动点M 的轨迹E 的方程;

(2)设G (-3,0),H (3,0),过点F (1,0)的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点,问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.

3.(2020山东德州一模,20)已知抛物线E :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,圆M 的方程为:x 2+y 2-py=0,若直线x=4与x 轴交于点R ,与抛物线交于点Q ,且|QF|=5

4

|RQ|. (1)求出抛物线E 和圆M 的方程;

(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点,与圆M 交于C ,D 两点(A ,C 在y 轴同侧),求证:|AC|·|DB|是定值. 4.

(2020河北衡水中学高三下学期十调,理19)已知圆C 1:x 2+y 2=2,圆C 2:x 2+y 2=4,如图,C 1,C 2分别交x 轴正半轴于点E ,A.射线OD 分别交C 1,C 2于点B ,D ,动点P 满足直线BP 与y 轴垂直,直线DP 与x 轴垂直.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程;

(2)过点E 作直线l 交曲线C 于点M ,N ,射线OH ⊥l 于点H ,且交曲线C 于点Q.问:1|MN |+1

|OQ |2

的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由. 5.(2020北京丰台一模,20)已知椭圆C :y 2

a 2+x 2b

2=1(a>b>0)的离心率为

√2

2

,点P (1,0)在椭圆C 上,直线

y=y 0与椭圆C 交于不同的两点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;

(2)直线PA ,PB 分别交y 轴于M ,N 两点,问:x 轴上是否存在点Q ,使得∠OQN+∠OQM=π2

?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 6.(2020山东烟台一模,22)已知椭圆C :x 2a 2

+

y 2b

2=1(a>b>0)过点

M (2,√2),且焦距为4.

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)设P 为直线l :y=2√2上一点,Q 为椭圆C 上一点,以PQ 为直径的圆恒过坐标原点O. (ⅰ)求|OP|2+4|OQ|2的取值范围;

(ⅱ)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ 相切?若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.

专题突破练27 圆锥曲线中的定点、

定值与存在性问题

1.解 (1)因为四边形MNPQ 是正方形,由正方形与椭圆的对称性可设M (x ,x ),x>0,则由2x

2

=43b 2,即x 2=23b 2,代入椭圆方程,得2b 2

3a 2

+23=1,即b 2

a 2

=1

2.①

又2a+2c=2(√2+1)②,由①②解得a 2=2,b 2=1. 所以椭圆C 的方程为x 2

2+y 2=1.

(2)①当直线l 斜率不存在时,设l :x=m ,A (m ,y A ),B (m ,-y A ),k AD ·k BD =y A +1m

·

-y A +1

m

=

1-y A 2m

2=m 22

m 2=12≠1

6不满足题意.

②当直线l 斜率存在时,设l :y=kx+n (n ≠-1), A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{

y =kx +n ,

x 2+2y 2-2=0,

消去y ,整理得(1+2k 2)x 2+4knx+2n 2-2=0, x 1+x 2=

-4kn 1+2k

2,x 1·

x 2=2n 2-2

1+2k

2.

则k AD ·k BD =y 1+1x 1·y 2

+1

x 2

=

(kx 1+n )(kx 2+n )+[k (x 2+x 1)+2n ]+1

x 1x 2

=k 2

x 1x 2+(kn+k )(x 1+x 2)+n 2+2n+1x 1x 2

=(n+1)2

2(n+1)(n -1)

=1

6.

即n 2+3n+2=0,

又n ≠-1,解得n=-2,所以直线l 恒过定点(0,-2).

2.解 (1)设M (x ,y ),P (x 0,y 0),

由4P Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{x 0=x ,

y 0=3√24y ,

又点P (x 0,y 0)在圆O :x 2+y 2=9上,

∴x 2+9

8y 2=9, ∴动点M 的轨迹

E 的方程为:x 2

9

+y 2

8=1.

(2)设l :x=my+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

联立{x 29+y 2

8

=1,x =my +1,

消去x ,得(8m 2+9)y 2+16my-64=0,

则y 1+y 2=-16m

8m 2+9,y 1y 2=-64

8m 2+9,

∴my 1y 2=4(y 1+y 2).

设直线AG 与直线BH 的斜率分别为k 1,k 2,

则k 1k 2=y 1x 1+3·x 2-3y 2=y 1(my 2-2)(my 1+4)y 2

=my 1y 2-2y 1my 1y 2+4y 2=4(y 1+y 2)-2y 14(y 1+y 2)+4y 2=2y 1+4y 2

4y 1+8y 2=1

2,

∴直线AG 与直线BH 的斜率之比是定值1

2. 3.(1)解 设Q (4,y 0),由|QF|=5

4|RQ|得

y 0+p

2=5

4y 0,所以y 0=2p.

将点(4,2p )代入抛物线方程得p=2,

所以抛物线E :x 2=4y ,圆M :x 2+y 2-2y=0. (2)证明 抛物线E :x 2=4y 的焦点F (0,1),

设直线l 的方程是y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

由{x 2=4y ,y =kx +1,

得x 2-4kx-4=0,

则Δ=16(k 2+1)>0,且x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.

由条件可知圆x 2+(y-1)2=1的圆心为M (0,1),半径为1,圆心就是抛物线E 的焦点, 由抛物线的定义有|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1, 则|AC|=|AF|-1=y 1,|BD|=|BF|-1=y 2,|AC|·|BD|=y 1y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=-4k 2+4k 2+1=1.

即|AC|·|BD|为定值,定值为1.

4.解 (1)当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y=kx ,