24.1.2垂径定理 (二)
垂径定理(2)
1、已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。
2、如图，弦 ，直径 于 ，且 ，求⊙ 的半径。
三、练习
1、如图，已知在⊙O中，
（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径
（2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离
情感态度价值观
学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教具
教学过程
(一)复习
1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
（3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长
2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点， ，求AC的长？
3.如图， 是⊙ 的直径， 是弦， ， 于 .求证： .
4、P82练习第2题
四、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
2．应用垂径定理及其推论计算
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r = h+d ; r2= d2+ (a/2)2
3．常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形
4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
24.1.2垂直于弦的直径(第2课时)
24.1.2垂径定理第2课
自主建网 请你谈谈:垂径定理可以解决一些 怎样的问题?
最小作业量： 课本90页8、9、12
1.课本83页1、2题 2.若⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8，CD=6，则AB、CD 1cm 或7cm . 间的距离是___ 3.某市居民区一处圆形下水管道破裂，修 理人员准备更换一段新管道．如图，污水 水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离 为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 4.知者加速：已知，P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为 5cm，则经过P点的最长弦长为 10m ；最短弦长为 8m ．
县三中数学备课组
ห้องสมุดไป่ตู้ 复习引入
定理
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ AD=BD.
⌒
D
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
C
A
M└
●
① 经过圆心 B ② 垂直于弦
O
③ ④ ⑤
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
D
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
“知二得三”
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
自学提示
自学课本第82页例2，完成下列问题： 问题：此题构造什么图形，用到什么定理？ 求赵州桥主桥拱的半径？
自学方法：认真思考，先独立思考，然后组 内进行交流代表发言。（5分钟）
自学要求：1.独立完成后组内交流解题方法
24.1.2垂径定理(2)
并修改为真命题为“ ” （2 ） “将平分弦（不是直径）的直径垂直于于弦，并且平分弦所对的两条 弧”
1Hale Waihona Puke 写成符号语言为： A O C N M
∵AC= ∴
,MN 为⊙O 的直径 ， ， ，
B （3）将“弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧”写成成符 号语言为： （用上图）
（ 4 ）将“平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的 ” 写成成符号语言为： （用上图）
课后 反思 学生 纠错
图 ∴CE=DE, BC= ,AC= 1 2.已知在⊙O 中， 弦 AB 的长为 16， 圆心 O 到 AB 的距离为 6， 求⊙O 的半径。
目标二：掌握垂径定理的推论 题组二、 1. 如果一条直线具有：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优 弧 ⑤平分弦所对的劣弧中的任意两个条件，都，可以得出其他的三个 结论，这样“由二得三” （五选二推三）可以得出 个结论，但有 一个命题是错误的， 其他的 9 个都是真命题， 可作为垂径定理的推论一： （1）如果已知①③可得出②④⑤文字叙述为“平分弦的直径垂直于于弦， 并且 平分弦所对的两条弧” ，这个命题正确吗？答： （ ） 画出反例图，
C
O B
4.如图所示，是以 O 为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C,D (1)线段 AC 与 BD 的关系是 ， （2）如果 AB=8 cm, CD=4cm,那么圆环面积是 多少？
O A C D B
4
目标三、会应用垂径定理的推论解决实际问题。 题组三、 A 1：垂径定理的推论二 求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等 C 已知：在⊙O 中，AB,CD 是弦，AB∥CD 求证：AC= BD
B ·O D
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第一节的一部分，主要介绍了圆中垂径定理的内容。
垂径定理是指：圆中，如果一条直径的两端点分别连接圆上两点，那么这条直径垂直于连接这两点的弦。
这一定理是九年级学生学习圆的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。
但是，对于垂径定理的理解和运用还需要进一步引导。
此外，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，因此需要通过实例讲解和动手操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生的观察和分析能力，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解并掌握垂径定理的内容。
2.难点：如何运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的图形和实例，讲解垂径定理的内容和运用。
2.动手操作：让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。
3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
4.问题解决：引导学生运用垂径定理解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示垂径定理的图形和实例。
2.教学素材：准备一些相关的几何图形和题目，用于讲解和练习。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示垂径定理的图形和实例，引导学生观察和分析，然后讲解垂径定理的内容和证明过程。
3.操练（10分钟）教师给出一些相关的题目，让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。
24.1.2 垂径定理(第2课时)
24.1.2 垂径定理（第2课时）班级 ___ 学号 __ 姓名 ______学习目标：掌握圆的对称性及垂径定理。
重难点：垂径定理的应用。
一.学习过程:预习：P80-81页完成下列问题:1. 圆是一个 对称图形，它的对称轴是_____________________。
也是 对称图形，对称中心即为 ，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。
2．如图线段 AB 是⊙O 中任意一条弦，过点O 作线段 AB 的垂线段O C ，则O C 叫做弦心距（即圆心到弦的距离），并且弦心距O C 平分弦AB ，即AC=BC=AB 21.(理由：______________________) 3．试一试如图，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？你的结论是：AP PB ，AC CB 即：（垂径定理：）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
进一步，我们还可得到；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 思考：如何利用尺规找出圆O 的圆心？请在右图试试看： 二、新课学习例1：如图在⊙O 中，弦AB 的长为8 cm,圆心O 到AB 的距离为3 cm,求⊙O 的半径。
解：巩固练习:你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。
它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2米,你能求出赵州桥拱的半径吗?三、对应练习：1.下列语句中正确的是（ ）（1） 相等的圆心角所对的弧相等（2）平分弦的直径垂直与弦（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A 1个B 2个C 3个D 4个一、选择题2. （2009年娄底）如图3，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是 ( ) A ．AD=BD B ．∠ACB=∠AOE C ． AE BE= D ．OD=DE3.（2009恩施市）16．如图6，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ， 且P 是半径OB 的中点，6cm CD =，则直径AB 的长是（ ） A． B． C． D． 4．（2009年甘肃白银）如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．（2009年甘肃庆阳）如图5，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直于直径CD 与点P,若半径OA=2cm,OP=1cm, 则AB= cm, =∠AOB °, =∠ADC °,等于 °，ADC ∆的周长是 cm 。
24.1.2垂径定理(2)
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， 直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、 弓形高h中，任意知道两个量，可根据 垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
垂径定理1-3课时
BB24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）一、知识探究1、圆既是 图形，又是 图形。
对称轴是 ，对称中心是 。
2、按要求作图（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。
观察并回答：问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧： 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。
求证：AE=BE结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。
几何语言的写法：∵ ∴强调：（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） 二、例题解析例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。
三、课堂练习：1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。
求证：AC=BD 。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。
24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）一、知识回顾垂径定理： 的直径 ，并且 。
按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系： 问题2：该图中有没有相等的弧 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。
结论：垂径定理的推论： 的直径 ，并且 三、例题解析例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为典型练习：1、下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 四、课堂练习1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（1） （2） （3）2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。
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D
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理及推论思考
对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
C
A
B
E
●O
D
①平分弧的直径平分弧所对的弦
两个量，如图有：
a
h
2
⑴d + h = r
d
⑵ r2 d 2 (a)2
O
2
即
18.72+（R－7.2）2 = R2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
A
60D0
B
O ø 650
C
挑战自我
圆的两条平行弦所夹的弧相等
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
测试
1.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，DC＝2㎝， 直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。
A
E
B
C
·
Hale Waihona Puke E ·OOA
D
B
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？
如图：AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于E，
C
AE=BE
A
E
B 你能得出哪些结论？为什么？
●O
CD⊥AB A⌒C =B⌒C A⌒D =B⌒D.
E E
O
O
D
A
B
D
A
B
C C
2:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用 方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外
垂径定理（二）
洛阳市东升第三中学 冯燕利
学习目标
1.了解并掌握垂径定理的推论 2.能利用垂径定理及其推论解决实际问题
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
∵ CD是直径,
A M└
B
CD⊥AB,
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
AB 作弦 AB
的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒ＢAB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
C
在图中
AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
A
2
2
R
D
B
OD=OC－CD=R－7.2
O
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
如图，用 Ａ⌒Ｂ 表示主桥拱，设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O
②弦的垂直平分线经过圆心
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必定垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
赵州桥主桥拱的半径是多少？