24.1.2垂径定理 (二)

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垂径定理(2)

二、应用举例
1、已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。
2、如图，弦，直径于，且，求⊙ 的半径。
三、练习
1、如图，已知在⊙O中，
（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径
（2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离
情感态度价值观
学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教具
教学过程
(一)复习
1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
（3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长
2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，，求AC的长？
3.如图，是⊙ 的直径，是弦，，于 .求证： .
4、P82练习第2题
四、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
2．应用垂径定理及其推论计算
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r = h+d ; r2= d2+ (a/2)2
3．常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形
4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
24.1.2垂直于弦的直径(第2课时)

24.1.2垂径定理第2课

自学要求：1.独立完成后组内交流解题方法 2.时间8分钟
自主建网请你谈谈:垂径定理可以解决一些怎样的问题?
最小作业量：课本90页8、9、12
1.课本83页1、2题 2.若⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8，CD=6，则AB、CD 1cm 或7cm . 间的距离是___ 3.某市居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 4.知者加速：已知，P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为 5cm，则经过P点的最长弦长为 10m ；最短弦长为 8m ．
县三中数学备课组
ห้องสมุดไป่ตู้ 复习引入
定理
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ AD=BD.
⌒
D
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
C
A
M└
●
① 经过圆心 B ② 垂直于弦
O
③ ④ ⑤
平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧
D
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
“知二得三”
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
自学提示
自学课本第82页例2，完成下列问题：问题：此题构造什么图形，用到什么定理？求赵州桥主桥拱的半径？
自学方法：认真思考，先独立思考，然后组内进行交流代表发言。（5分钟）
自学要求：1.独立完成后组内交流解题方法

24.1.2垂径定理(2)

并修改为真命题为“ ” （2 ） “将平分弦（不是直径）的直径垂直于于弦，并且平分弦所对的两条弧”
1Hale Waihona Puke 写成符号语言为： A O C N M
∵AC= ∴
,MN 为⊙O 的直径，，，
B （3）将“弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧”写成成符号语言为：（用上图）
（ 4 ）将“平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的 ” 写成成符号语言为：（用上图）
课后反思学生纠错
图 ∴CE=DE, BC= ,AC= 1 2.已知在⊙O 中，弦 AB 的长为 16，圆心 O 到 AB 的距离为 6，求⊙O 的半径。
目标二：掌握垂径定理的推论题组二、 1. 如果一条直线具有：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧中的任意两个条件，都，可以得出其他的三个结论，这样“由二得三” （五选二推三）可以得出个结论，但有一个命题是错误的，其他的 9 个都是真命题，可作为垂径定理的推论一：（1）如果已知①③可得出②④⑤文字叙述为“平分弦的直径垂直于于弦，并且平分弦所对的两条弧” ，这个命题正确吗？答：（）画出反例图，
C
O B
4.如图所示，是以 O 为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C,D (1)线段 AC 与 BD 的关系是，（2）如果 AB=8 cm, CD=4cm,那么圆环面积是多少？
O A C D B
4
目标三、会应用垂径定理的推论解决实际问题。题组三、 A 1：垂径定理的推论二求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等 C 已知：在⊙O 中，AB,CD 是弦，AB∥CD 求证：AC= BD
B ·O D

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。

垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。

教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。

同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。

但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。

2.教学难点：垂径定理的证明和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。

2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。

3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。

4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。

2.教学素材：教材、课件、练习题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。

让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。

同时，引导学生思考如何证明这个定理。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第一节的一部分，主要介绍了圆中垂径定理的内容。

垂径定理是指：圆中，如果一条直径的两端点分别连接圆上两点，那么这条直径垂直于连接这两点的弦。

这一定理是九年级学生学习圆的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。

但是，对于垂径定理的理解和运用还需要进一步引导。

此外，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，因此需要通过实例讲解和动手操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.提高学生的观察和分析能力，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解并掌握垂径定理的内容。

2.难点：如何运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的图形和实例，讲解垂径定理的内容和运用。

2.动手操作：让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。

3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

4.问题解决：引导学生运用垂径定理解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示垂径定理的图形和实例。

2.教学素材：准备一些相关的几何图形和题目，用于讲解和练习。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示垂径定理的图形和实例，引导学生观察和分析，然后讲解垂径定理的内容和证明过程。

3.操练（10分钟）教师给出一些相关的题目，让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。

24.1.2 垂径定理(第2课时)

24.1.2 垂径定理（第2课时）班级 ___ 学号 __ 姓名 ______学习目标：掌握圆的对称性及垂径定理。

重难点：垂径定理的应用。

一.学习过程:预习：P80-81页完成下列问题:1. 圆是一个对称图形，它的对称轴是_____________________。

也是对称图形，对称中心即为，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。

2．如图线段 AB 是⊙O 中任意一条弦，过点O 作线段 AB 的垂线段O C ，则O C 叫做弦心距（即圆心到弦的距离），并且弦心距O C 平分弦AB ，即AC=BC=AB 21.(理由：______________________) 3．试一试如图，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？你的结论是：AP PB ，AC CB 即：（垂径定理：）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

进一步，我们还可得到；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且思考：如何利用尺规找出圆O 的圆心？请在右图试试看：二、新课学习例1：如图在⊙O 中，弦AB 的长为8 cm,圆心O 到AB 的距离为3 cm,求⊙O 的半径。

解：巩固练习:你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。

它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2米,你能求出赵州桥拱的半径吗?三、对应练习：1.下列语句中正确的是（）（1）相等的圆心角所对的弧相等（2）平分弦的直径垂直与弦（3）长度相等的两条弧是等弧（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A 1个B 2个C 3个D 4个一、选择题2. （2009年娄底）如图3，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是 ( ) A ．AD=BD B ．∠ACB=∠AOE C ． AE BE= D ．OD=DE3.（2009恩施市）16．如图6，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD =，则直径AB 的长是（） A． B． C． D． 4．（2009年甘肃白银）如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．（2009年甘肃庆阳）如图5，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直于直径CD 与点P,若半径OA=2cm,OP=1cm, 则AB= cm, =∠AOB °, =∠ADC °,等于 °，ADC ∆的周长是 cm 。

24.1.2垂径定理(2)

（3）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝，直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝，求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、弓形高h中，任意知道两个量，可根据垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2

这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性

想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′

垂径定理1-3课时

BB24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）一、知识探究1、圆既是图形，又是图形。

对称轴是，对称中心是。

2、按要求作图（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。

观察并回答：问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧：证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。

求证：AE=BE结论：垂径定理：的直径，并且。

几何语言的写法：∵ ∴强调：（1）；（2）；（3）（4）；（5）二、例题解析例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。

三、课堂练习：1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。

求证：AC=BD 。

5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。

24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）一、知识回顾垂径定理：的直径，并且。

按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系：问题2：该图中有没有相等的弧证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。

结论：垂径定理的推论：的直径，并且三、例题解析例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为典型练习：1、下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ．四、课堂练习1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（1）（2）（3）2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。

24.1.2-《垂径定理》习题课

O
A EF B
C
D
3、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、 D是直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
O
E
CA
BD
垂径定理小结：
M
①直径MN
②MN⊥AB ③ AC=BC
O
④⌒ ⌒
⑤A⌒M=
MB
⌒
AN= NB
C A
B
N
在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
学习目标：
1. 掌握垂径定理， 2.能应用定理解决有关弦的计算和证明问题。
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论（1）直径来自｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
C A
N
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
B
③ ④
A⌒C=B⌒C
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
1.如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是
⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、
PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则 EF= —5 —。
O A
E
B F
P
2.如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交 AB于点E、F，AE=BF，请找出线段OE与OF 的数量关系，并给予证明。
2.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.

人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例

3.教学反馈：根据学生的课堂表现、作业完成情况及评价结果，教师应及时给予反馈，针对性地指导学生改进学习方法，提高学习效率。
4.成长记录：鼓励学生建立数学学习成长记录，记录学习过程中的点滴进步，培养他们的自主学习能力和反思能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示一幅圆形花园的图片，提问：“同学们，你们知道圆形花园中隐藏的数学秘密吗？”激发学生的好奇心。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解垂径定理，我们将从生活实际出发，创设富有启发性的教学情境。通过展示实际生活中含有垂径定理元素的场景，如古建筑中的拱桥、圆形花园的布局等，引导学生感受数学与生活的紧密联系。同时，利用多媒体手段，如动画、图片等，形象地呈现垂径定理的基本原理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
1.教学反思：在教学过程中，教师需密切关注学生的学习状态，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。课后，教师应认真反思教学设计、教学方法和教学效果，不断调整教学策略，以提高教学质量和效果。
2.学生评价：采用多元化的评价方式，包括自评、互评、小组评价和教师评价。评价内容涵盖知识掌握、技能运用、合作态度等方面。通过评价，激发学生的学习积极性，培养他们的自信心和自我认知能力。
3.小组交流：各小组分享自己的探究过程和结果，互相学习、借鉴，提高解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.教师总结：对本节课的重点知识进行梳理，强调垂径定理的原理、证明方法及其应用。
2.学生总结：鼓励学生发表自己对垂径定理的理解和感悟，提高他们的概括和表达能力。
3.知识体系：将垂径定理与圆的其他性质相结合，构建完整的知识体系，为后续学习打下基础。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例

24.1.2 垂直于弦的直径(2)

O · E D B
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。
C A O · B D
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C A E└
●
B
O
① ②
③ ④ ⑤
D
CD是直径 CD⊥AB
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C
A E
●
B
O
④ ⑤
① ② ③
D
AC=BC AD=BD
CD是直径 CD⊥AB AE=BE
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
点C是AB的中点，则OC的长为
。
A
C · O
B
2、下列命题错误的是（
）
A、平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B、平分弦的弦垂直于这条弦 C、垂直于弦的直径平分这条弦 D、弦的中垂线过圆心
3、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E M D
C
A E
●
B
O
① ④
② ③ E AD= BD
D
AC=BC
① ⑤
② ③ ④
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C
A E
●
B
O
② ③
① ④ ⑤

24.1.2垂直于弦的直径(2)

2 2 2 2
O
M
B
O
M
B C
N
D
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。
O D A
C
B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据垂径定理和勾股定理求出第三个量.
B
E
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝，求圆O的半径。
D
E O
C
B
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD, AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,
驶向胜利的彼岸
交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
B M
E A O
.
D
图中相等的劣弧有:
.
C
F
N
小结
1、垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
2、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 3、垂径定理及其推论：如果一条直线，满足下列五个条件：①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧中的任意两个，就能推出另外的三个结论. 4、重要结论：圆中两条平行弦所夹的弧相等.
∵ OE⊥AD =π(OA2－OB2) ∴由勾股定理得 =π(AE2－BE2 ) OA2=AE2+OE2,OB2=BE2+OE2 = π(32－22 )=5π ∴OA2－OB2=AE2－BE2 答:圆环面积为5πcm2.
已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AD交小圆于B，C两点. ⑴求证：AB＝CD ⑵如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.

垂径定理（2）

教学方法
(学习方法)
教学过程
合作交流、引导法
一、复习巩固：根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条
直线来说，如果具备：①Fra bibliotek经过圆心② 垂直于弦
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
由五个条件中的任何两个条件能否推出其他三个结论
二、新知探究：1、推论二：圆的两条平行弦所夹的弧相等
如图，CD 为⊙O 的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结
教案
课题授课人
教学目标 (学习目标)
教学重点教学难点教学用具
24.1.2 垂直于弦的直径(2)
课时及授课时间
1 课时
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日
知识与技能探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。过程与方法在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．情感态度与价值观培养学生独立探索，相互合作交流的精神。探索并证明垂径定理。利用垂径定理解决实际问题。多媒体
论？
EA
2、试一试三、判断：
C O F BD
⑴垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.
（
）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）
3、练习：（1）．已知⊙O 的半径为 10，弦 AB∥CD，AB=12，CD=16，
则 AB 和 CD 的距离为

垂径定理(2).解析

1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
解：用弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， AB
O
A
┌E
D
B
D
600
C
通过这节课的学习，你有哪些收获？能与大家一起分享吗？
·Ｏ
E
Ｄ
（4）ＯＢ平分∠ＣＢＤ
Ｂ
（５） B⌒C=B⌒D 正确的有——————
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中，（1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm
C
5 3 OO
A
4 PP B
D
⊙O的两条平行弦的长分别是ＡＢ＝８㎝，CD＝6㎝，半径为5㎝. 求弦AB与CD之间的距离。
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.
小华画圆时忘了点圆心，现在找不到圆心在哪？你能帮他找出圆心吗
练习
如图，点A是⊙O上的点，OB是⊙O的半径，
与弦CD相交于CD的中点E，连结BC、BD、
AC、AD。
Ａ
下列结论：（1）OB⊥CD （2）BC=BD（3）AC=ADＣ
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点， C是弧AB的中点，CD 就是拱高．

人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理教学设计

2.自主探究，合作交流：教师提供丰富的学习资源，引导学生自主探究垂径定理的证明过程。在此基础上，组织学生进行小组合作、讨论交流，共同解决问题。
3.分层教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的练习题，使每位学生都能在原有基础上得到提高。对基础薄弱的学生，进行个别辅导，帮助他们克服学习难点；对优秀生，提供拓展题，培养他们的创新思维。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课的教学内容，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.学生独立完成：要求学生在规定时间内独立完成练习题，检验自己的学习效果。
3.解答与评价：教师对学生的练习情况进行解答和评价，指出学生的优点和不足，激发学生的学习积极性。
（五）总结归纳
1.学生自评：让学生回顾本节课的学习过程，总结自己在理解垂径定理、解决问题的方法等方面的收获和不足。
3.方法总结：总结证明垂径定理的方法，强调观察、分析、推理等几何证明的基本技能。
（三）学生小组讨论
1.划分学习小组：将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在能力、性格等方面的互补性。
2.布置讨论任务：给出几个与垂径定理相关的实际问题，让学生分组讨论如何运用垂径定理解决问题。
3.指导与反馈：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导学生深入思考。
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解垂径定理的概念，知道圆的直径垂直于弦，并且平分弦。
2.学会通过画图、观察、推理等方法，证明垂径定理。
3.能够运用垂径定理解决与圆相关的几何问题，如求弦长、半径等。
4.掌握垂径定理在实际问题中的应用，如园林设计、建筑设计等。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学素ห้องสมุดไป่ตู้，为学生的终身发展奠定基础。

24.1.2垂径定理2

C M H A E D F N
O
船宽EF=3m，在正中间行驶，当MN=3m时，比较 B HD与船高2m的大小，若 HD＞2m时，船能通过。
C
M N
H
A E D F O B
解： ∵ OC ⊥ AB 于D
过E作EM⊥AB交弧于M，过F作FN⊥AB交弧于N，连接MN交OC于H，由圆的对称性可知
则OD=R-CD=R-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2
欢迎提出宝贵意见！
课件制作：艾强
在Rt△OAD中,由勾股定理,得即 R2=42+(R－2)2 解得：R＝5（cm） ∴拱形的半径为5cm.
练习
C
2.在拱形中，弦AB的长为8cm， O 拱高为8cm，求拱形的半径． A B D ⌒ 解：设 AB所在圆的圆心为O，半径为R， ⌒ 过点O 作OC ⊥弦AB于D，交AB于C，连接OA， ⌒ 由垂径定理可知， C是AB的中点，CD 就是拱高
即 R2=3.62+(R－2.4)2 解得：R=3.9 2=NH2+OH2 ON 在Rt△OHN中，由勾股定理，得即 3.92=1.52+OH2 解得：OH=3.6
连接OA、ON,设OA=R
∴ HD=3.6-1.5=2.1>2
∴ 船能安全通过
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.
C
·
E
A D
O
B
1、圆是轴对称图形,都它的对称轴是什么？
直径所在的直线都是圆的对称轴。
2、说出垂径定理及其推论？
①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。