24.1.2垂径定理 (二)
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垂径定理（二）
洛阳市东升第三中学 冯燕利
学习目标
1.了解并掌握垂径定理的推论 2.能利用垂径定理及其推论解决实际问题
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
∵ CD是直径,
A M└
B
CD⊥AB,
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
即
18.72+（R－7.2）2 = R2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
A
E
B
C
·
E ·O
O
A
D
B
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？
如图：AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于E，
C
AE=BE
A
E
B 你能得出哪些结论？为什么？
●O
CD⊥AB A⌒C =B⌒C A⌒D =B⌒D.
E E
O
O
D
A
B
D
A
B
C C
2:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
Fra Baidu bibliotek
挑战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用 方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理及推论思考
对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
C
A
B
E
●O
D
①平分弧的直径平分弧所对的弦
AB 作弦 AB
的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒ＢAB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
C
在图中
AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
A
2
2
R
D
B
OD=OC－CD=R－7.2
O
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
两个量，如图有：
a
h
2
⑴d + h = r
d
⑵ r2 d 2 (a)2
O
2
A
60D0
B
O ø 650
C
挑战自我
圆的两条平行弦所夹的弧相等
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
测试
1.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，DC＝2㎝， 直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。
②弦的垂直平分线经过圆心
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必定垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
如图，用 Ａ⌒Ｂ 表示主桥拱，设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O
洛阳市东升第三中学 冯燕利
学习目标
1.了解并掌握垂径定理的推论 2.能利用垂径定理及其推论解决实际问题
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
∵ CD是直径,
A M└
B
CD⊥AB,
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
即
18.72+（R－7.2）2 = R2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
A
E
B
C
·
E ·O
O
A
D
B
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？
如图：AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于E，
C
AE=BE
A
E
B 你能得出哪些结论？为什么？
●O
CD⊥AB A⌒C =B⌒C A⌒D =B⌒D.
E E
O
O
D
A
B
D
A
B
C C
2:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
Fra Baidu bibliotek
挑战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用 方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理及推论思考
对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
C
A
B
E
●O
D
①平分弧的直径平分弧所对的弦
AB 作弦 AB
的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒ＢAB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
C
在图中
AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
A
2
2
R
D
B
OD=OC－CD=R－7.2
O
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
两个量，如图有：
a
h
2
⑴d + h = r
d
⑵ r2 d 2 (a)2
O
2
A
60D0
B
O ø 650
C
挑战自我
圆的两条平行弦所夹的弧相等
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
测试
1.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，DC＝2㎝， 直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。
②弦的垂直平分线经过圆心
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必定垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
如图，用 Ａ⌒Ｂ 表示主桥拱，设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O