随机变量方差和矩
随机变量方差的概念及性质
= ( n 2 n) p 2 + np.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2
= np(1 p ) ).
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k } =
λk
k!
e λ , k = 0,1,2,
π π 2 = 3π + 24 2 4 16
4 2
2
= 20 2π 2 .
2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 2
1 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 12 12
解
D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)
= 4 D( X )
= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
推广 若 X 1 , X 2 ,
D( X1 ± X 2 ±
, X n 相互独立 , 则有 + D( X n ).
± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +
= C E {[ X E ( X )] }
2 2
= C 2 D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ).
证明
D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )]2 } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
《概率论》第4章矩、协方差矩阵
为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
随机变量乘积的方差
随机变量乘积的方差随机变量乘积的方差随机变量是统计学和概率论中的重要概念之一，它描述了实验或事件的不确定性。
在现实生活中，我们经常会遇到多个随机变量相乘的情况，如投掷骰子的结果相乘、抛硬币的正反面相乘等。
而了解这些随机变量乘积的方差对于我们理解和分析这些随机事件的不确定性至关重要。
本文将从简单的情况入手，逐渐深入探讨随机变量乘积的方差，并展示其在实际应用中的潜力和重要性。
1. 随机变量乘积的方差初探让我们考虑两个独立随机变量的乘积的方差。
设随机变量X和Y分别表示两个独立的事件或实验的结果，它们的方差分别为σX^2和σY^2。
那么，它们的乘积Z = XY的方差如何计算呢？在这种简单情况下，我们可以使用方差的性质来计算Z的方差。
根据方差的性质，如果X和Y是独立的，那么Z的方差为σZ^2 =E[(XY)^2] - (E[XY])^2。
由于X和Y是独立的，所以E[XY] =E[X]E[Y]。
Z的方差可以表示为σZ^2 = E[X^2Y^2] - (E[X]E[Y])^2。
2. 两个特殊情况的方差计算接下来，我们考虑两个特殊情况的方差计算。
首先是当X和Y相等时，即Z = X^2的方差。
在这种情况下，我们可以将Z的方差表示为σZ^2 = E[X^4] - (E[X^2])^2。
通过计算X的四阶、二阶和一阶矩，我们可以得到Z的方差的具体数值。
其次是当X和Y互为倒数时，即Z = 1/X的方差。
这种情况下，我们可以将Z的方差表示为σZ^2 = E[1/X^2] - (E[1/X])^2。
同样地，通过计算X的二阶和一阶矩，我们可以得到Z的方差的具体数值。
3. 随机变量乘积方差的实际应用随机变量乘积的方差在实际应用中有着广泛的应用。
在金融领域，投资组合的回报率往往是多个随机变量的乘积。
了解投资组合回报率的方差可以帮助我们评估投资的风险和潜在收益。
在工程领域，随机变量乘积的方差经常用于衡量系统的稳定性和可靠性。
当我们考虑多个失效率相乘来评估系统的可靠性时，了解这些随机变量乘积的方差可以帮助我们确定系统的稳定性和寿命。
随机变量方差的概念及性质
σ 0, x .
先求标准正态变量 Z x μ 的数学期望和方差. σ
Z的概率密度为 (t) 1 et2 2,
2π
于是 E(Z ) 1 tet2 2 d t 1 et2 2 0，
2π
2π
D(Z ) E(Z 2 )
1 t 2et2 2 d t
2π
1 tet2 2 1 et2 2 d t
求D( X ).
解 E( X ) 0 (1 p) 1 p p, E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p,
由(2.4)式 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p).
例3 设 X ~ π( ), 求D( X ).
解 X 的分布律为
2π
2π
1，
因 X Z,
即得 E( X ) E( Z ) μ.
D( X ) D( Z ) D(Z ) 2D(Z ) σ 2.
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ2.
若X i
~
N
(
i
,
2 i
),
i
1,2,
, n,
且它们相互独
立，则它们的线性组合：C1 X1 C2 X2 Cn Xn
D( X C ) E{[X C E( X C)]2} E{[X E( X )]2} D( X ).
3 设 X ,Y 是两个随机变量，则有 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{(X E( X ))(X E(Y ))}.
若 X ,Y 相互独立, 则有 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
第二节 方 差
一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、小结
随机变量的矩与协方差矩阵
随机变量的矩与协方差矩阵一、定义随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它表示随机试验结果的数值。
在概率论中，我们常常需要对随机变量进行描述和分析，而矩和协方差矩阵是常用的描述随机变量特征的工具。
二、矩的定义与性质1. 数学期望设X是一个随机变量，X的期望值记为E(X)，定义为E(X) =∑xP(X=x)，其中x代表X的取值，P(X=x)代表X取值为x的概率。
2. 方差方差是刻画随机变量X离散程度的一个指标，记为Var(X)，定义为Var(X) = E[(X-E(X))^2]。
可以简单理解为X与其期望E(X)的差的平方的期望。
3. k阶原点矩设X是一个随机变量，k阶原点矩表示为μk = E(X^k)，其中k为非负整数。
一阶原点矩即为数学期望。
4. k阶中心矩设X是一个随机变量，k阶中心矩表示为νk = E[(X-E(X))^k]，其中k为非负整数。
二阶中心矩即为方差。
三、协方差矩阵的定义与性质1. 协方差设X和Y是两个随机变量，协方差表示为Cov(X,Y)，定义为Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
协方差的绝对值越大，表示两个随机变量的相关程度越强。
2. 协方差矩阵设X是一个n维随机向量，协方差矩阵表示为Σ = [σij]，其中σij = Cov(Xi,Xj)，i,j=1,2,...,n。
协方差矩阵是一个对称矩阵，对角线元素为各个随机变量的方差，非对角线元素为各个随机变量之间的协方差。
3. 协方差矩阵与线性变换给定一个n维随机向量X和一个n×k的矩阵A，定义Y = AX，其中Y是一个k维随机向量。
则Y的协方差矩阵为Cov(Y) =ACov(X)A^T。
四、应用案例随机变量的矩与协方差矩阵在许多领域有广泛的应用，如金融、信号处理、机器学习等。
以机器学习为例，协方差矩阵可以用于评估不同特征之间的相关性，进而选择合适的特征进行分类或回归分析。
另外，在图像处理中，矩常常被用来描述图像的形状特征，例如图像的几何矩可以用于计算图像的中心矩、方向矩等。
随机变量的期望与方差知识点
随机变量的期望与方差知识点在概率论和统计学中，随机变量的期望和方差是两个非常重要的概念，它们帮助我们理解和描述随机现象的特征。
让我们一起来深入了解一下这两个关键的知识点。
首先，什么是随机变量？简单来说，随机变量就是对随机试验结果的数值描述。
比如抛硬币，正面记为 1，反面记为 0，那么抛硬币的结果就是一个随机变量。
期望，也被称为均值，是随机变量取值的平均水平。
它反映了随机变量在大量重复试验中的平均结果。
计算期望的公式会根据随机变量的类型有所不同。
对于离散型随机变量，假设其可能取值为＼（x_1, x_2, ＼cdots,x_n\），对应的概率分别为＼（p_1, p_2, ＼cdots, p_n\），那么期望＼（E(X)＼）就等于＼（x_1p_1 ＋ x_2p_2 ＋＼cdots ＋ x_np_n\）。
举个例子，一个骰子，掷出1 点的概率是＼（＼frac{1}｛6}＼），掷出 2 点的概率也是＼（＼frac{1}｛6}＼），以此类推。
那么这个骰子掷出点数的期望就是：＼＼begin{align}E(X)＆＝1\times\frac{1}｛6}＋2\times\frac{1}｛6}＋3\times\frac{1}｛6}＋4\times\frac{1}｛6}＋5\times\frac{1}｛6}＋6\times\frac{1}｛6}＼＼＆＝＼frac{1+2+3+4+5+6}｛6}＼＼＆＝＼frac{21}｛6}＼＼＆＝35＼end{align}＼这意味着，如果我们多次掷这个骰子，平均每次得到的点数大约是35 。
对于连续型随机变量，假设其概率密度函数为＼（f(x)＼），那么期望＼（E(X)＼）就是＼（＼int_{＼infty}＾｛＼infty} x f(x) dx\）。
期望有很多重要的性质。
比如，常数＼（c\）的期望就是＼（c\）本身；如果有两个随机变量＼（X\）和＼（Y\），那么＼（E(X ＋Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)＼）。
一随机变量方差的定义及性质
(1p)/ p2
ab ab 2 (ba)2 12
0
1/
1 / 2
μ,σ0
μ
σ2
分布
Gamma分布
参数 , 0
数学期望
/
方差
/2
三、例题讲解
例1 设随机变量X 具有概率密度
求D(X).
1 x, 1 x 0, p(x) 1 x, 0 x 1,
2(X),即 D(X) 2(X) E{[XE(X)]2}.
称 D(X)为标准差或均,记 方为 差σ(X).
2. 方差的意义
方差描述了随机变量X取值对于数学 期望的分散程度.如果D(X)值大, 表示X 取 值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.
k
则有
0p1.
EX k n 0kk npk(1p)nknp
E (X 2 ) E [X (X 1 ) X ]
E [X (X 1 ) ] E (X )
n
k(k1)Cn kpk(1p)nknp
k0
nk(k1)n!pk(1p)nknp k0k!(nk)!
xexdx
0
1/.
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2]
0 x2exdx1/2
2/21/2
1 2 指 数 分 布 的 期 望 分和 别方 1为 /差和1/2.
6. 正态分布
设X~N(μ,σ2),其概率密度为
f(x )1e (x 2 σ μ 2 )2, σ 0 , x . 2 σ
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2]
bx2 1 dxab2 a ba 2 ((bb aa)2 .
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量在概率论中具有重要地位，它描述了随机事件的变化规律，数学期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
一、数学期望数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)，其中X为随机变量。
数学期望可以理解为长期重复试验中，随机变量取值的平均结果。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X=x))其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值发生的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值分散程度的度量，记作Var(X)或σ^2，其中X为随机变量。
方差描述的是随机变量取值与其数学期望之间的偏离情况。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))^2 * P(X=x))其中x为随机变量的取值，E(X)为该随机变量的数学期望。
对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
三、应用举例为了更好理解数学期望与方差的作用和计算方法，下面以骰子为例进行说明。
假设我们有一个六面骰子，其取值范围为1到6，每个面出现的概率相等。
我们可以定义骰子的随机变量X表示投掷后骰子的结果。
1. 计算数学期望：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5所以，这个六面骰子的数学期望为3.5，即在长期重复的投掷中，平均每次的点数是3.5。
2. 计算方差：Var(X) = ((1-3.5)^2 * 1/6) + ((2-3.5)^2 * 1/6) + ((3-3.5)^2 * 1/6) + ((4-3.5)^2 * 1/6) + ((5-3.5)^2 * 1/6) + ((6-3.5)^2 * 1/6) ≈ 2.92所以，这个六面骰子的方差为2.92，即在长期重复的投掷中，每次投掷结果与平均值3.5偏离的程度。
浙大概率论与数理统计课件 第四章随机变量的数字特征
0
x
x y 1 0
EX=
xf
( x , y ) dxdy
0 0
1
dx
x 2 dy
1 3
1 x
E(-3 X+ 2Y)= dx
1
x 1
2 ( 3 x 2 y ) dy
0 0 1
1 3
1 12
EXY=
k
k 0
e
k
e
k!
( k 1)!
k 1
k 1
e
e
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果积分
xf ( x)dx
绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E( X ) x f ( x )dx
数学期望、方差、协方差和相关系数
第一节
数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
小结
一、离散型随机变量的数学期望
引例：某7人的数学成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 1 7 7 2 7 2 7 1 7 1 7
第四章、随机变量的数字特征
第一节：数学期望 第二节：方差 第三节：协方差及相关系数 第四节：矩、协方差矩阵
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
随机变量的方差、协方差与相关系数
目 录
• 随机变量的方差 • 随机变量的方差 • 随机变量的协方差 • 相关系数 • 方差、协方差与相关系数的关系 • 实例分析
01
CATALOGUE
随机变量的方差
协方差的定义
协方差是衡量两个随机变量同时偏离其各自期望值程度的量，表示两个随机变量 之间的线性相关程度。
03
当两个随机变量的尺度相差很大时，直接计算协方差可能 得出不准确的结果，此时归一化的相关系数更为适用。
方差、协方差与相关系数的应用场景
方差在统计学中广泛应用于衡量数据的离散程度，例如在计算平均值、中位数等统计量时需要考虑数 据的离散程度。
协方差在回归分析、时间序列分析等领域中有着广泛的应用，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
3
当只考虑一个随机变量时，方差即为该随机变量 与自身期望值之差的平方的期望值，因此方差是 协方差的一种特例。
协方差与相关系数的关系
01
相关系数是协方差的一种归一化形式，用于消除两个随机变量 尺度上的差异，计算公式为 $r = frac{Cov(X,Y)}{sigma_X sigma_Y}$。
02
相关系数的取值范围是 [-1,1]，其中 1 表示完全正相关，1 表示完全负相关，0 表示不相关。
详细描述
对称性是指如果随机变量X和Y的相关系数是r，那么随机变量Y和X的相关系数也是r。有界性是指相关 系数的绝对值不超过1，即|r|≤1。非负性是指相关系数的值总是非负的，即r≥0。
相关系数的计算
总结词
相关系数的计算方法有多种，包括皮尔 逊相关系数、斯皮尔曼秩相关系数等。
VS
详细描述
皮尔逊相关系数是最常用的一种，其计算 公式为r=∑[(xi-x̄)(yi-ȳ)]/[(n-1)sxy]，其 中xi和yi分别是随机变量X和Y的第i个观测 值，x̄和ȳ分别是X和Y的均值，sxy是X和 Y的协方差。斯皮尔曼秩相关系数适用于 有序分类变量，其计算方法是根据变量的 秩次进行计算。
随机变量的方差
随机变量的方差
1
4.2 方差
一. 定义与性质 方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。
如何定义？
2
1.(p121)定义 若E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2 为随机变量 X的方差，记为D(X),或Var(X).
称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
可见
2 [ x E ( X )] P{ X xk }, 离散型情形 k D( X ) k 1 2 [ x E ( X )] f ( x )dx, 连续型情形
3
2.推论
D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
例1：设随机变量X的概率密度为 1 x 1 x 0 f ( x) 1 x 0 x 1 0 其它
5. 正态分布N(, 2)：
D X 2
6
1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续 型随机变量Y，使它们的期望都是2， 方差都是1。
2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，
且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+…+Xn ，求E（Y2）
7
三.切比雪夫不等式 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意 D( X ) 0，有 P{| X E( X ) | } ; 2 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：
i 1 i 1 n n5Βιβλιοθήκη 二.几个常用随机变量的方差
1. 二项分布B(n, p)： 2. 泊松分布p()：
D X np(1 p) D X
1 2 D X b a 12 1 D X 2
概率论第四章随机变量的数字特征第4节矩和协方差矩阵
特别，若 X ~ N 0， 1 , 则
E X n
n 1!!
0
n为偶数 n为奇数 ,
n 4时， EX 4 3.
返回主目8 录
练习一下
• 已知随机变量的X和Y的联合分布为
Y X
-2
0
1
-1
0.30
0.12
0.18
1
0.10
0.18
0.12
求X和Y的协差矩阵.
0.96 0.24
0.24 1 .65
DX
所以，
E X n nE Y n
n yn fY
y dy
n
y
n
e
y2 2
dy
2
⑴．当 n为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以
E X n 0 ．
返回主目5 录
第四章 随机变量的数字特征
(2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以
EX n
2 n
y
n
e
y2 2
E X n
n
22
n
n
1
n
1
n
22
n
n
1
n
3
n
3
2 2 2 2 2
n
22
n
n
1
n
3
1
1
22
2 2
n
22
n
n 1!!
n
22
n n 1!!
返回主目7 录
第四章 随机变量的数字特征
因而，
§5 矩
E X n
n n 1!!
0
n为偶数 n为奇数
其中，
135 n n为奇数 n!! 2 4 6 n n为偶数
矩估计估计方差
矩估计估计方差全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩估计是一种常用的参数估计方法，它通过样本矩和理论矩之间的对应关系来估计参数。
在统计学中，我们通常关心的是总体的均值、方差、协方差等参数，矩估计方法可以帮助我们估计这些参数的值。
在本文中，我们将重点讨论矩估计方法用于估计方差的情况。
让我们简要回顾一下矩估计的基本原理。
设总体的分布函数为F(x;θ)，其中θ是待估参数。
我们希望估计的参数是总体的方差，记为σ^2。
总体的方差可以用总体的二阶矩来表示，即E(X^2) - [E(X)]^2。
我们需要找到样本矩和理论矩之间的对应关系来估计总体的方差。
对于方差的矩估计，我们可以利用样本的二阶矩来估计总体的二阶矩。
设我们有一个含有n个观测值的样本，记为{X1, X2, ..., Xn}。
样本的方差可以用样本的二阶矩来表示，即S^2 = Σ(Xi - X̄)^2 / (n-1)，其中X̄是样本的均值。
我们可以将样本的二阶矩与总体的二阶矩对应起来，从而得到关于总体方差的矩估计。
在进行方差的矩估计时，我们通常会假设总体是一种特定的分布，比如正态分布、均匀分布等。
在这种情况下，我们可以利用总体的分布特性来推导总体的二阶矩，并与样本的二阶矩进行对应。
以正态分布为例，总体的二阶矩可以用其均值和方差来表示，即E(X^2) = μ^2+ σ^2，其中μ是总体的均值，σ是总体的方差。
我们可以通过最大似然估计或矩估计方法来估计总体的均值和方差，进而得到总体的二阶矩。
在实际应用中，我们常常使用矩估计方法来估计总体的方差。
矩估计方法简单易用，且不需要对总体分布做过多的假设。
对于样本容量较大的情况，矩估计的效果通常比较好。
在样本容量较小或总体分布比较偏态的情况下，矩估计的精确性可能会受到影响。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的参数估计方法。
矩估计是一种常用的参数估计方法，可以帮助我们估计总体的各种参数，包括方差。
在进行参数估计时，我们需要注意选择合适的估计方法，并对估计结果进行有效的检验和评估。
概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)
实验步骤： 实验步骤： (1) 整理数据如图 所示． 整理数据如图4-5所示 所示．
图4-5 整理数据
(2) 计算边缘概率 计算边缘概率P{X = xi}和P{Y = yj} 和 在单元格G2中输入公式 ： 在单元格 中输入公式： = SUM(B2:F2)， 并将 中输入公式 ， 其复制到单元格区域G3:G6 其复制到单元格区域 在单元格B7中输入公式： 在单元格 中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其 中输入公式 ， 复制到单元格区域C7:F7 复制到单元格区域 (3) 计算期望 计算期望E(XY) 首先在单元格B9中输入公式： 首先在单元格 中输入公式： 中输入公式 =MMULT(B1:F1,B2:F6)， ，
−
π
∫ πcos zdz = 0, ∫ πsin z cos zdz = 0
−
1 E ( XY ) = 2π
π
因而Cov(X，Y) = 0，ρXY = 0． ， 因而 ， ． 不相关， 相关系数ρXY = 0，说明随机变量 与Y不相关， ，说明随机变量X与 不相关 但是， 所以X与 不独立 不独立． 但是，由于 X 2 + Y 2 = 1 ，所以 与Y不独立．
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400,
所以
ρ XY =
Cov( X , Y ) 19 / 400 133 = = = 0.87 D( X ) D(Y ) 153 / 2800 153
4.3.2 相关系数 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： (1) |ρXY | ≤ 1； ； 的充要条件是， (2) |ρXY | = 1的充要条件是，存在常数 ，b，使 的充要条件是 存在常数a， P{Y = aX + b} = 1． ． 定义4.6 若ρXY = 0，称X与Y不相关．0 < ρXY ≤ 1，称 定义 ， 与 不相关． ， 不相关 X与Y正相关，– 1 ≤ ρXY < 0，称X与Y负相关． 正相关， 负相关． 与 正相关 ， 与 负相关 事实上,相关系数 事实上 相关系数ρXY是X与Y线性关系强弱的一个 与 线性关系强弱的一个 度量,X与 的线性关系程度随着 的线性关系程度随着| 的减小而减弱, 度量 与Y的线性关系程度随着 ρXY|的减小而减弱 的减小而减弱 的线性关系最强， 时 与 的线性关系最强 当|ρXY| = 1时X与Y的线性关系最强， 的不存在线性关系， 当ρXY = 0时，意味 与Y的不存在线性关系，即X 时 意味X与 的不存在线性关系 不相关. 与Y不相关 不相关
标准正态总体的k阶原点矩与方差的计算
～
显然 ， 为奇数时 ， 式 中的被积函数为奇函数 ． 当ｋ 上 故上 式 中的 定 积 分 为零 ． 因此 ， ｋ 奇数 时 ， Ｘ ） ｏ 当 为 Ｅ（ ： ． 当ｋ 为偶 数 时 ， 式 中 的被 积 函数 为 偶 函 数 ． 上 因此
２
ｘ ｘ
ｒ
首先Ｅ ｘ ） （ ：
Ｌ＝２－ ＿ ＋ Ｔｄ ｘ
之 一 ， 此 关 于 标 准 ａ 态 总体 的Ｅ（ ） Ｄ（ 的 计 算 很 有 参 因 Ｙ － ｘｔ和 Ｘ）
考价值。 关键 词 ： 准 正 态总 体 标
利 用 第 二类 换 元 积 分 法 ， ： ／ ｕ 得 Ｅ ｘ ）— Ｊ 令ｘ 、 ， （ ＝ ’ ｕ
ｇ ￣ Ｅ（ ： Ｘ ） Ｊ ４ ２ ’ ｅ ｘ ｄ
Ｘ Ｎ（ ， ） 则 Ｘ 密 度 函 数ｆｘ ＝ Ｉ ＿ ． ： ０１， 的 （） — ＿ ｅ 、２ ／
ＥＸ）’ （） ：： — ｅ ｉ （ Ｊ ｘｄ Ｊｘ ： ： ｘ’ ： ［． ｘ
Ｖ２ 耵 。
令 ： 厂 ， （ 墅 ｕ一 、 得Ｅｘ） 一 ｕ ： ｄ
矩阵的变换21矩阵的初等变换在计算行列式时利用行列式的性质可以将给定的行列时转化为上下三角形行列式从而简化行列式的计算把行列式的某些性质引用到矩阵上
标 准 正 态 总 体 的 ｋ 原 点 矩 与 方 差 的 计 算 阶
都 超
（ 疆 阿克 苏 职 业 技 术 学 院 基 础 教 学 部 ． 疆 阿 克 苏 新 新
性 质 １ 递 推 公 式 Ｆ ｓ １ ＝ Ｆ（） 证 明 略 ） ： （＋ ） ｓ Ｓ （ 由递 推 公 式 ， Ｆ（ ： １：ｌ 得 ２） ｒ（ ） ！
ｒ（ ＝ Ｆ（ ： ３） ２ ２） ２ １
矩估计估计方差
矩估计估计方差全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩估计是参数估计的一种常用方法，它利用样本的矩来估计总体的参数。
在统计学中，我们经常需要估计总体的均值、方差等参数，而这些参数通常是未知的，只能通过样本来估计。
矩估计是一种比较直观和简单的参数估计方法，它基于总体的矩和样本的矩之间的关系来估计参数。
在实际应用中，我们经常需要估计总体的方差。
方差是描述数据离散程度的度量，反映了数据的波动程度。
了解总体的方差对于分析数据的稳定性、可靠性和准确性都至关重要。
矩估计可以被用来估计总体的方差，通过样本的一阶和二阶矩来得到总体方差的估计值。
在统计学中，我们通常用总体的二阶中心矩来描述总体的方差。
总体的二阶中心矩定义为E[(X-μ)^2]，其中X为总体随机变量，μ为总体的均值。
如果我们已经知道总体的均值μ，那么我们可以通过样本的二阶矩来估计总体的方差。
样本的二阶矩可以用样本观测值的平方差来表示，即S^2=(1/n)Σ(Xi-μ)^2，其中Xi为第i个样本观测值，n为样本容量。
利用矩估计法，我们可以得到总体方差的估计值为S^2。
S^2是一个无偏估计量，具有较好的性质。
它可以帮助我们对总体方差进行估计，从而更好地了解和分析数据的波动性，为决策提供参考。
不过需要注意的是，矩估计法有时候也存在一些问题。
当总体的分布不满足正态分布或其他特定分布时，矩估计的结果可能不准确。
此时，需要考虑其他参数估计方法来获得更准确的结果。
样本容量的大小也会影响到矩估计的准确性，如果样本容量过小，得到的估计值可能不够可靠。
矩估计是一种常用的参数估计方法，可以帮助我们估计总体的方差等参数。
通过样本的矩和总体的矩之间的关系，我们可以得到总体参数的估计值，为数据分析和决策提供支持。
需要注意样本的大小和总体分布等因素对估计结果的影响，谨慎选择合适的参数估计方法，才能获得准确可靠的结论。
【希望以上内容对您有所帮助，如有疑问欢迎追问。
】第二篇示例：矩估计是一种常用的参数估计方法，其主要思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到参数估计值。
随机信号
设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。
若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。
若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。
若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。
显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差COV(X，Y)是X和Y的二阶混合中心矩。
9.1.1随机过程和随机信号的概念我们在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量，则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。
如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。
这就是随机过程概念的简单描述。
随机信号也是随机过程。
设X(t)是一个随机信号，当t = t0时，X(t0)为一个随机变量。
下面，我们通过一个简单的例子说明随机信号的概念。
设有一个随机信号产生器，若有甲乙两个同学分别去做实验观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x1(t)，乙观察得到的的实验输出波形为x2(t),如图9.1所示。
同理，设有N个同学分别去做实验，得到实验结果就分别为x1(t)，x2(t),...,x N(t)。
也就是说，随机信号产生器产生的随机信号X(t)，在同一时刻t (例如t = t) 可能输出不同的值，若实验观察，事先是不知道X取值的，即时间t给定时X(t)是一个随机变量。
图9.1 随机信号X(t)显然，随机信号X(t)有如下两个特点：（1）在定义的观察区间内，X(t)是以时间t为参变量的随机函数；（2）给定t，它是一个随机变量，即X(t)在t时刻的取值是随机变化的。
现实生活中随机信号的例子很多，如噪声电压信号，某区域海浪高度的变化，某一区域风向的变化，某一河流的流量变化，交易市场指数的变化，等等都是随机信号。
第四章2节 方差
D( X ) D(Y ).
若X ,Y 相互独立
D(X Y) D(X ) D(Y)
推广 若 X1, X2 ,, Xn 相互独立,则有
D(a1X1 a2 X2 an Xn ) a12D( X1) a22D( X2 ) an2D( Xn ). (4) D(X) 0的充要条件是X以概率1取常数 C,即P{X C} 1.
f
(x)
ex
,
x 0,
其中 0.
0,
x 0.
则有
E( X )
xf
(x)d x
0 x ex
dx
1/ .
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
0 x2 ex d x 1 / 2
2 / 2 1 / 2
1 2
指数分布的期望和方差分别为1/ 和 1/ 2 .
6. 正态分布
n
E(
X
2 i
)
2
E(XiX j)
i1
1i jn
X
2 i
1
P
1
n
E(
X
2 i
)
1 n
0 1 1
n
i 1,2,,n
XiX j P
1
0
1 n(n 1)
1 1 n(n 1)
E(
X
i
X
j
)
1 n(n 1)
i, j 1,2,,n
n
n
E
(
X
2
)
E(
X
2 i
)
2
E(XiX j)
i1
1i jn
n 1 2 n
E( X ) 0, D( X ) 1
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E (X 2 ) E [X (X 1 ) X ] E [X (X 1 ) ] E (X )
k(k1)ke
k0
k!
2e
k2
2ee2.
k2 (k2)!
所以 D (X ) E (X 2 ) [E (X )2 ]22 .
t2
te2dt
2
2
μ.
D (X ) (xμ )2f(x )d x
(xμ)2 1 e(x2 σμ 2)2dx
2σ
令xμt,得 σ
D(X) σ2 t2et22dt
2
σ22tet22
t2
e2
3. 方差的性质
10D(C)0; 20D(CX )C2D(X); 30当 XY ,独 立 时 D(X， Y)D(X)D(Y).
4. 契比雪夫不等式 P{Xμε}σε22 P{Xμε}1σ ε2 2.
5. 矩是随机变量的数字特. 征
xexdx
0
1/.
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2]
0 x2exdx1/2
2/21/2
1 2 指 数 分 布 的 期 望 分和 别方 1为 /差和1/2.
6. 正态分布
设X~N(μ,σ2),其概率密度为
f(x )1e (x 2 σ μ 2 )2, σ 0 , x . 2 σ
(2)设需要做n次独立试验,则X ～ B(n,0.5),求n使得
P 0.3 5X n0.6 5 P 0.3n 50.5nX0.5n0.6n5 0.5n
P X0.5n0.1n5 0.95
成立,由切比谢夫不等式得
DX
0.25n
P X 0.5n 0.15n 1(0.15n)2 1(0.15n)2
2(X),即 D(X) 2(X) E{[XE(X)]2}.
称 D(X)为标准差或均,记 方为 差σ(X).
2. 方差的意义
方差描述了随机变量X取值对于数学 期望的分散程度.如果D(X)值大, 表示X 取 值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.
C 2E {X [E (X )2} ] C2D(X).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D ( X Y ) D ( X ) D ( Y ).
证明 D ( X Y ) E {X [ Y ) ( E ( X Y ) 2 } ] E {X [ E (X ) ] [ Y E (Y )2 ]} E[XE(X)2]E[YE(Y)2] 2E{X [ E(X)]Y[E(Y)]}
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2]
bx2 1 dxab2 a ba 2 ((bb aa)2 .
1122
5. 指数分布
设随机变 X服 量从指数,其 分概 布率密度为
ex, x0,
p(x)
其中 0.
0,
x0.
则有
E(X) x(px)dx
( 5 )若 C E ( X )则 ,D ( X ) E ( X C ) 2
(6)契比雪夫不等式
契比雪夫
定理设随机变 X具 量有数学E期 (X望 )μ,
方差D(X)σ2,则对于任意ε,不 正数 等式
P{Xμε}σε22 成立 .
契比雪夫不等式
证明 对连续型随机变量的情况来证明.
E(X) 的代表性差; 而如果D(X)值小, 则表示X 的
取值比较集中, 以E(X) 作为随机变量的代表性好.
2. 方差的计算公式
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2 ,]
D (X) [xkE(X)2]pk,
k1
D (X ) [x E (X )2p ](x )d x .
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1 0 p p 1p
则有 E (X ) 1 p 0 q pp, D (X ) E (X 2 ) [E (X )2] 12p02(1p)p2 pq
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
P {X k } n p k (1 p )n k ,(k 0 ,1 ,2 , ,n ),
(3)在实际应 ,高用 于 4阶 中的矩很. 少使用
三阶 E{中 [XE 心 (X)矩 3]}主要用来
机变量的分.布是否有偏 四阶 E{中 [X心 E(X)矩 4]}主要用来 机变量的分近 布的 在陡 均峭 值.程 附度
五、小结
1. 方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程
度的量. 如果D(X)值大,表示X 取值分散程度大,
设X的概率密p度 (x)为 ,则有
P{Xμε}xμε p(x)dx
xμ2
xμε
ε2
p(x)dx
ε12 (xμ)2p(x)dx
1 ε2
σ2.
得
P{Xμε}σ ε2 2.
σ2 P{Xμε}ε2
P{Xμε}1σ ε2 2.
二、常见概率分布的方差
泊松分布的期望 都和 等方 于差 参 . 数
4. 均匀分布
设X~U(a,b),其概率密度为
p(x)b1a, axb,
0,
其 它 .
则有
E(X) x(px)dx
b 1 xdx aba
11(aa b).. 22
结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
(1p)/ p2
ab ab 2 (ba)2 12
0
1/
1 / 2
μ,σ0
μ
σ2
分布
Gamma分布
参数 , 0
数学期望
/
方差
/2
三、例题讲解
例1 设随机变量X 具有概率密度
求D(X).
1 x, 1 x 0, p(x) 1 x, 0 x 1,
k
则有
0p1.
EX k n 0kk npk(1p)nknp
E (X 2 ) E [X (X 1 ) X ]
E [X (X 1 ) ] E (X )
n
k(k1)Cn kpk(1p)nknp
k0
nk(k1)n!pk(1p)nknp k0k!(nk)!
E (X 2)[E (X )2]
E (X2)E2(X).
4. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C)0. 证明 D (C )E (C 2) [E (C )2] C2C20. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
D (C)X C 2D (X ). 证明 D(CX) E {C [ X E (C)X 2]}
1 02 1 .
6
6
例3.15 在每次试验中,事件A发生的概率为0.5. (1)利用切比谢夫不等式估计在1000次独立试验中,
事件A发生的次数在400 ～ 500之间的概率; (2)要使A出现的频率在0.35 ～ 0.65之间的概率不小 于0.95,至少需要多少次重复试验?
解: 设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数,
D (X )D (Y ).
推广 若 X 1,X 2, ,X n相互 ,则 独 有 立
D (a1X1a2X2 anXn) a1 2D (X1)a2 2D (X2) an 2D (Xn). (4)D (X)0的充要X以 条概 件 1取 率 是 常数 C ,即 P {X C }1 .
只要 1 1 0.95, n 222.2 0.9n
故至少需要做223次独立试验.
四、矩的概念
定义3 .4 X设 是随机 ,若 变 E(Xk量 ), k1,2,
存,在 称它X的 为k阶 原,简 点称 k矩 阶.矩
记为 kE(Xk)
显,当 然 k1 时 1E (X )就X 的 是数.学期
n
n(n1)p2
(n2)! pk2(1p)(n2)(k2)
k2(nk)(!k2)!
np
n (n 1 )p 2 [p ( 1 p )n ] 2 np
(n2n)p2n.p
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2]
(n 2n )p 2n p (n)2 p
3. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差
D (X) [xkE(X)2]pk,
k1
其 P { X 中 x k } p k ,k 1 ,2 , 是 X 的分 .
连续型随机变量的方差
D (X ) [x E (X )2p ](x )d x ,
则有
E(X) x(fx)dx
x
1 e(x2σμ2)2dx
2σ
令x μ t x μ σ t, σ
所以 E (X )x 1e(x 2 σ μ 2)2dx
2 σ
1
t2
(μσ)te 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
0, 其它.
解
0
1
E (X )x ( 1 x )d x x ( 1 x )d x
1
0
0,
E ( X 2 ) 0 x 2 ( 1 x ) d x 1 x 2 ( 1 x ) d x
1
0
1, 6
于是
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2]
第3.2节 随机变量的方差和矩
一、随机变量方差的定义及性质 二、常见概率分布的方差 三、例题讲解 四、矩的概念 五、小结