截面上的应力
拉压杆斜截面上的应力
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面 上的应力，F为轴向拉伸 力，A为横截面面积。
压杆
定义
压杆是受到压缩作用的杆 件，其轴向压力垂直于杆 轴线。
受力特点
压杆在轴向压力作用下， 其横截面上的应力分布呈 现均匀性，且方向与压缩 力方向相反。
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面上 的应力，F为轴向压缩力， A为横截面面积。
常用的计算方法包括：截面法、能量法等，具体计算方法的选择取决于问题的具 体条件和要求。
04 斜截面上的应力对拉压杆 的影响
斜截面上的应力对拉杆的影响
拉杆在受到拉伸时，斜截面上的应力分布不均匀，表现为拉应力。拉应力的大小与拉杆的长度、截面 尺寸和材料有关。斜截面上的拉应力会导致拉杆发生伸长变形，影响其承载能力和稳定性。
拉压杆的设计原则与注意事项
设计原则
拉压杆的设计应遵循力学原理和相关标准规范，确保其具有足够的强度、刚度 和稳定性。
注意事项
在拉压杆的设计过程中，还需要考虑制造工艺、使用环境和维修保养等因素， 以确保其性能和安全可靠性。
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为了提高拉压杆的整体稳定性，可以通过优化设计、选择合 适的材料和加强结构措施等手段来改善斜截面上的应力分布 。例如，可以通过改变截面形状、增加加强筋或采用复合材 料等方法来提高拉压杆的承载能力和稳定性。
05 拉压杆的设计与优化
拉杆的设计与优化
拉杆的设计
拉杆的设计应考虑其承受的拉力 大小、方向和作用点，以及使用 环境和材料特性等因素。
表面。
斜截面上的应力方向与截面的 法线方向垂直，并垂直于杆件
的轴线。
在拉压杆的轴线方向上，斜截 面上的应力呈现对称分布，而 在垂直方向上呈现非对称分布 。
截面正应力
截面正应力截面正应力是指物体在截面上的正应力分布情况，也即截面上的应力沿着截面的方向变化规律。
正应力是指沿着所考虑截面的法向方向作用的应力，它是截面上单位面积上的力的大小。
截面正应力是材料力学中一个重要的概念，对于材料的强度和稳定性具有重要的影响。
了解截面正应力的分布情况可以帮助我们更好地设计和使用材料。
截面正应力的分布情况与所受力的作用方式和力的分布有关。
在受到均匀分布的轴向拉力作用时，截面正应力分布是均匀的，即截面上各点的正应力大小相等。
而在受到集中力的作用时，截面正应力分布则会出现不均匀的情况，即截面上各点的正应力大小不相等。
截面正应力的分布情况还与物体的几何形状有关。
在矩形截面上，正应力分布呈现出线性分布的特点，即正应力随距离的增加而线性增加或减小。
而在圆形截面上，正应力分布呈现出较为复杂的特点，需要通过数学模型进行分析和计算。
截面正应力的大小与材料的强度密切相关。
当截面正应力超过材料的屈服强度时，材料会发生塑性变形或破坏。
因此，在工程设计中需要根据截面正应力的大小合理选择材料和截面形状，以确保结构的安全可靠。
在实际工程中，我们常常需要对截面正应力进行分析和计算。
这需要借助于力学理论和工程数学方法，通过建立适当的数学模型，求解截面上的应力分布和应力大小。
通过对截面正应力的分析和计算，可以评估和优化结构的强度和稳定性，为工程设计提供科学依据。
截面正应力是材料力学中的重要概念，对于材料的强度和稳定性具有重要的影响。
了解截面正应力的分布情况可以帮助我们更好地设计和使用材料，提高结构的安全可靠性。
在实际工程中，对截面正应力的分析和计算是必不可少的，需要借助于力学理论和工程数学方法，通过建立适当的数学模型，求解截面上的应力分布和应力大小。
通过合理评估和优化截面正应力，可以为工程设计提供科学依据。
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
梁横截面上的应力
• 二、梁的正应力强度条件（课本第三节）
设σmax是发生在梁最大处的工作应力，则:
m a x 工 作
最大工作 应力
材料的 许用应力
上式即为梁弯曲时的正应力强度条件。
对于等截面直梁，若材料的拉、压强 度相等( 塑性材料)，则最大弯矩的所在面 称为危险面，危险面上距中性轴最远的点 称为危险点。此时强度条件可表达为:
m'
b
m n
h z
y
τ
τo
FQ
τ
x
m'
dx
y
m
n
一、矩形截面梁的剪应力
FQ S bI z
z
IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩；
b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以外部 分的面积 A*对中性轴的静矩。
max
τmax
FQ
FS
Q z,max
例5：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，
许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试
校核此梁的强度。
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
CL8TU12
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
25 . kN M (k Nm ) 25 .
105 . kN
20
3 2 0 1 0 M 15 max t 2 W 0 . 1 0 . 2 z 1 12 .5 6 3 0 M P a <[]
斜截面上的应力
● 应力状态的概念 ● 平面应力状态分析的解析法
7- 1 应力状态的概念 一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律
轴向拉压：
N A
圆轴扭转：
M
n
p
I
平面弯曲：
My Iz
* QS z bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
2、最大正应力和最大剪应力
max 1 1 - 3 max
2
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
由 1引 起 的 应 变 1
1
E
纵向应变 E 横 向 应 变 - - E
- 由 2引 起 的 应 变 1
-
sin 2a - xy cos 2a
a + x + y C
结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较a 、 : a = - 结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理）
二、主应力
力状态，相应强度条件为：
max max
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的
受力状态
薄壁圆筒承受内压
x
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 同一点各个不同方位的 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
作用在零件截面上的应力类型
作用在零件截面上的应力类型
1. 正应力：垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力。
正应力表示零件内部相邻两截面间拉伸和压缩的作用。
2. 正应变：某一方向的截面上所分布的法向应力所产生的长度方向的应变称为正应变。
3. 切应力：相切于截面的应力分量称为剪应力或切应力。
切应力表示相互错动的作用。
4. 切应变：某一方向的截面上所分布的剪切力所产生的长度方向的应变称为切应变，也称为剪应变。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
横截面上的应力知识点总结
横截面上的应力知识点总结1. 横截面应力的定义横截面应力是指作用在材料截面上的内部力对单位面积的作用。
它是一个矢量，具有大小和方向。
在力学分析中，横截面应力通常用符号σ表示，单位是帕斯卡（Pa）。
横截面应力的大小和方向取决于截面上的受力情况，包括拉伸、压缩、弯曲和剪切等。
2. 横截面应力的计算方法计算横截面应力的方法有很多种，常用的包括静力学方法、弹性力学方法和有限元法等。
在静力学方法中，可以使用平衡方程和横截面的几何形状来计算应力。
在弹性力学方法中，可以利用材料的弹性性质和变形关系来计算应力。
有限元法是一种数值计算方法，通过离散化截面和应力场来求解应力分布。
3. 横截面应力的分布规律横截面应力的分布规律是指应力在截面上的分布情况。
在拉伸和压缩的情况下，横截面应力通常呈现线性分布，即在截面上的应力随着距离的增加而线性变化。
在弯曲和剪切的情况下，横截面应力则呈现非线性分布，即应力随着距离的增加而不断变化。
4. 横截面应力的影响因素横截面应力的大小和分布受到多种因素的影响，包括受力的形式、材料的性质和截面的几何形状。
在拉伸和压缩的情况下，应力的大小取决于受力材料的强度和刚度。
在弯曲和剪切的情况下，应力的分布受到截面几何形状和横截面惯性矩的影响。
5. 横截面应力的实际应用横截面应力的研究在工程设计和材料科学中有着广泛的应用。
比如，在结构设计中，需要通过计算横截面应力来确定构件的尺寸和材料的选择，以确保结构的安全性和稳定性。
在材料科学中，研究横截面应力可以帮助理解材料的力学性能和断裂行为。
总之，横截面应力是力学和材料科学领域中重要的研究内容，它涉及到材料的强度、稳定性和工程设计的安全性。
通过对横截面应力的研究，可以更好地理解材料的受力情况，并为工程设计和材料选择提供依据。
有限元分析中的应力
有限元分析中的应力在有限元分析中，应力是对物体内部的力学状态的描述。
它描述了物体在受力作用下产生的应变情况。
应力可以分为正应力和剪应力两个方向。
正应力是物体内部的力在其中一截面上的投影，即单位面积上的力。
根据胡克定律，正应力与应变成正比。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当物体受到拉力作用后，该截面上的应力为正值，被称为拉应力。
当物体受到压力作用后，该截面上的应力为负值，被称为压应力。
正应力的单位为帕斯卡(Pascal)，常用符号是σ。
剪应力是物体内部的力在其中一截面上的切向分力，即单位面积上的切力。
剪应力有时也被称为切应力。
剪应力在工程中非常重要，因为它反映了物体在受力作用下的剪切变形情况。
剪应力的单位也是帕斯卡(Pascal)，常用符号是τ。
在有限元分析中，通过计算每个单元上的位移，然后通过应力-应变关系求解每个单元上的应力。
应力的计算可以通过以下公式得到：σ=E*ε其中，σ是应力，E是材料的弹性模量，ε是应变。
有限元分析还可以计算相应的应力激活互换载荷。
这意味着，在一些特殊的情况下，我们可以通过改变结构的加载条件来获得相同的应力分布情况。
这对于优化设计非常重要，因为我们可以根据需要来改变材料和几何形状，并通过有限元分析来确定最佳的结构配置。
总之，有限元分析是一种强大的工具，用于求解结构的应力分布情况。
通过计算每个单元上的位移，并应用应力-应变关系，我们可以得到结构的应力分布情况。
应力分析在结构设计和优化中起着至关重要的作用，帮助工程师确定合适的材料和几何形状，并最大程度地减少结构的应力集中。
横截面上的应力分布
XA A YA
FNCD F C
B
d
4 FNCD [ ]
4 45103 3.14160106
18.93103 m 18.93mm
取 d=19mm
35
[例2-5-3] 如图为简易吊车，AB和BC均为圆形钢杆，已知d1=36mm,d2=25mm, 钢的许用应力[σ]=100MPa。试确定吊车的最大许可起重量。 解：(1) 计算杆AB、BC的轴力
4
F3 3
2
F2 FN1 F2
1 1
F1
E
解：
求约束反力 RA=40kN
RA
A
4 B
D 3 C 2
FN2
10kN
F1 F1
DE 段： CD段：
FN1 20kN
40kN
FN2 30 20 10kN
FN
+
BC段：
AB段：
FN3 FN 2 10kN
FN4 RA 40kN
轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。
3、强化阶段ce：
强度极限
b
冷作硬化现象：金属在冷态塑性变形中，使金属的强化
指标，如屈服点、硬度等提高，塑性指标如伸长率降低的现象
e
胡克定律
4、局部颈缩阶段ef
E
E ─ 弹性模量 比例极限
E tg
24
p
0
两个塑性指标: 伸长率:
l1 l0 100% l0 5% 为塑性材料, 5% 为脆性材料 A0 A1 100% A0
FN1 28.3 10 1 π A1 20 2 10 6 4 90 106 Pa 90MPa
拉压杆斜截面上的应力
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拉压杆应力与材料力学性能的关系
材料力学性能包括弹性模量、 泊松比和剪切模量等参数，这 些参பைடு நூலகம்与拉压杆应力之间存在
密切关系。
泊松比是描述材料横向变形与 纵向变形关系的参数，泊松比 越大，材料横向变形越小，拉 压杆的应力越大。
弹性模量是描述材料抵抗变形 能力的参数，弹性模量越大， 材料抵抗变形的能力越强，因
稳定性分析
为了防止失稳现象的发生，需要对拉压杆进行稳 定性分析，确定其临界载荷和失稳形态。
3
稳定性分析方法
可以采用静力学方法和动力学方法进行稳定性分 析，以确定拉压杆的临界载荷和失稳形态。
04 斜截面上的应力计算
斜截面应力的计算公式
公式推导
斜截面应力计算公式是通过材料力学 中的应力分析方法推导得出的，考虑 了杆件受力、截面尺寸等因素的影响 。
拉压杆斜截面上的应 力
目录
CONTENTS
• 拉压杆应力概述 • 斜截面上的应力分布 • 拉压杆的强度和刚度 • 斜截面上的应力计算 • 拉压杆的设计与优化
01 拉压杆应力概述
拉压杆应力的定义
01
拉压杆应力是指在拉压杆件中， 由于受到外力作用而产生的内部 应力，表现为杆件内部相邻部分 之间的相互挤压或拉伸。
剪切应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的切向应力，其方向与 切线方向一致。
正应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的径向应力，其方向与
垂直线方向一致。
斜截面应力分布的规律
规律
斜截面应力分布的规律与杆件的材料、 截面的形状、外力的大小和方向等因 素有关。
《梁横截面上的应力》课件
应力的定义
正应力
描述横截面上物体 内部受到的正向力
变形应力
描述物体内部由于 外力作用而产生的
变形
切应力
描述横截面上物体 内部相对位移引起
的剪切力
梁的受力分析
弯矩
产生于梁的曲折部分，使其受 到弯曲的作用
剪力
垂直于截面，使得两个部分相 对滑动
轴力
沿梁的轴线方向作用，使其产 生拉伸或压缩效果
扭矩
绕横截面法线方向的力矩，使 梁发生扭曲
中性轴是应力为零的位置，影响梁的受力性能。
03
弯曲应力的影响因素
截面形状
对弯曲应力有重要影响 不同形状导致应力分布不同
荷载大小
荷载增大会导致应力增加 合理控制荷载有利于减小应力
材料性质
材料的强度决定了梁的承载能 力 材料的韧性影响了梁的变形性 能
支座条件
支座的摩擦力会影响梁的稳定 性 不同支座条件下应力分布有所 不同
设计
智能设计软件的发展 设计理念的更新
监测
结构监测技术的进步 实时监测系统的应用
维护
定期维护的重要性 预防性维护措施
谢谢观看！ 下次再见
梁截面上可能存在应力集中现象，需要通过结构设计和加固措施 来减小应力集中。减小应力集中可以延长梁的使用寿命，提高结 构的安全性。
应力分析的工程应用
设计指导
根据应力分析结果 优化梁结构设计
维护保养
检测应力分布，延 长梁寿命
安全评估
评估梁结构安全性
施工指挥
指导梁施工过程中 的受力分布
● 06
第六章 总结与展望
总结
通过本PPT课件的学习，我们了解了梁截面上不同类型应力 的分布规律和影响因素。应用所学知识可以更好地设计和维 护梁结构，提高工程的质量和安全性。
轴向拉压时斜截面上的应力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第四强度理论
第四强度理论（形状改变比能理论）
– 这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生屈服 破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态 下，只要形状改变比能Ux达到材料在单向拉伸屈服时 的形状改变比能Uxs，材料就发生屈服破坏。即：(p291) Ux=Uxs 其强度条件为：
二向应力状态斜截面上的应力
如图为二向应力状态：
考虑平衡可得到：
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
二向应力状态下的强度理论源自东 财Dongbei University of Finance Economics ＆
强度理论－第一强度理论
强度理论
– 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设
第一强度理论（最大拉应力理论）★★★★
只要有一个主应力的值达到单向拉伸时σ b，材料就发生屈服； 即： σ1＝ σ b；引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件 为：
σr1＝ σ1≤[σ]， 式中： σr1称为第一强度理论的相当应力； [σ]为单向拉伸时
的许用应力
实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料 沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或 三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
二向应力状态下的强度理论
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第二强度理论
第二强度理论（最大伸长线应变理论）
二向应力状态下的强度理论
截面剪应力计算公式
截面剪应力计算公式截面剪应力计算公式1. 扭转截面剪应力计算公式公式：τzd=TJ×ℎ2解释：截面扭转剪应力是指在柱或梁的横截面上产生的剪应力，它的计算公式为将扭矩T除以截面惯性矩J并乘以截面高度的一半h。
例子：假设一根方形截面的梁，其边长为2cm，梁上受到的扭矩为500N*m，则计算过程如下：1.计算截面惯性矩J：J=a 412=(2cm)412=163cm42.计算截面剪应力τzd：τzd=TJ ×ℎ2=500N∗m163cm4×2cm2=375Ncm2所以，这根方形截面的梁上的扭转截面剪应力为375N/cm²。
2. 剪切形成结构的截面剪应力计算公式公式：τzd=V Q解释：剪切形成结构的截面剪应力是指在柱或梁的横截面上产生的剪应力，它的计算公式为将剪力V除以截面形心距离Q。
例子：假设一根矩形截面的梁，其宽度为10cm，高度为20cm，梁上受到的剪力为2000N，则计算过程如下：1.计算截面形心距离Q：Q=bℎ26=10cm×(20cm)26=40003cm32.计算截面剪应力τzd：τzd=VQ =2000N40003cm3=32N/cm2所以，这根矩形截面的梁上的剪应力为/cm²。
3. 螺旋剪应力计算公式公式：τ=2M πd3解释：螺旋剪应力是指在螺旋传动装置的剪应力，它的计算公式为将扭矩M乘以螺旋半径d然后除以螺旋半径的三次方。
例子：假设某螺旋传动装置的螺旋半径为5cm，承受的扭矩为1000N*m，则计算过程如下：1.计算螺旋剪应力τ：τ=2Mπd3=2×1000N∗mπ(5cm)3=8πN/cm2所以，这个螺旋传动装置的剪应力为约/cm²。
通过以上列举的计算公式，可以计算出截面剪应力的值，这些公式在工程领域中具有广泛的应用。
材料力学 杆件横截面上的应力1
思考：
1. 拉压杆横截面上有没有切应力？ 没有 2. 拉压杆斜截面上有没有切应力？ 有， =？1
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
横截面上的应力 任意截面上的应力 特殊面上的应力 一般面上的应力 特殊
一般
F
p
F
F
FN
变形假设：平面假设仍 成立。 推论：斜截面上各点处 轴向分布内力的集度相 同。
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
t sin 2 s sin 2( 90） t
2 2
s
90
•
通过受力物体内一点处所作的互相垂直的两截 面上，垂直于两截面交线的剪应力在数值上必 相等，而方向均指向交线或背离交线。这个规 律就称为剪应力互等定律。
剪应力（切向应力）符号规定： 剪应力以对所研究的脱离体内任何一点均有顺 时针转动趋势的为正，反之为负。
2
FN 1 28.3kN FN 2 20kN
A 1
45°
2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1 28.3 103 s1 90MPa A1 20 2 4
FN 1
y
F
FN 2 45° B
F
x
FN 2 20 10 s2 89MPa 2 A2 15
材料力学 杆件横截面上的应力1
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
应力集中
应力集中 应力集中系数
s max K sm
孔边部分的σmax，与未开孔横截面上的平均 应力σm
截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
所谓应力集中系数，就是应力集中处的最大应力σmax与杆横截 面上的平均应力σ之比。 应力集中系数的物理意义：反映杆在静载荷作用下应力集中的 程度。 应力集中系数k只是一个应力比值，与材料无关，而与切槽深度、 孔径大小有关，变截面的过渡圆弧坦、陡有关。
x 是横截面的位置。 若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？ 为什么？
3-2-1横截面上正应力公式的推导
3-2-1横截面上正应力公式的推导 圣维南(Saint-Venant)原理: 将原力系用静力等 效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略 远处，该影响就非常小。
C
D 2F A
3、计算应力
FN
3F 2F
+ +
O
－
1F
最大应力位于CD段
s max
FNOB 3F s OB (拉) 2A 2A FNBC F s BC (压) 2A 2A FNCD 2 F x s CD (拉) A A 2F s CD (拉) A
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
上缘截面正应力min
上缘截面正应力min
应力是描述物体内部受力分布情况的物理量，它是单位面积上所受到的力。
在工程领域，应力是一个非常重要的参数，它直接关系到结构的强度和稳定性。
正应力是指物体受到的压力或拉力，它与物体的形状和受力情况有关。
正应力的计算公式为：σ= F/A，其中σ表示正应力，F表示作用在物体上的力，A表示物体的面积。
这个公式适用于各种形状的物体，只要知道物体的形状和受力情况，就可以计算出正应力。
上缘截面正应力是指物体上缘截面上所受到的正应力。
它是一个向下的力，通常是由于重力或外力作用在物体上而产生的。
上缘截面正应力的计算方法与正应力的计算方法相同，只需要将作用在物体上的力替换为作用在上缘截面上的力，即可计算出上缘截面正应力。
上缘截面正应力在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在桥梁工程中，需要计算桥梁上缘截面正应力，以确保桥梁的强度和稳定性。
在房屋建筑中，需要计算房屋上缘截面正应力，以确保房屋的稳定性和安全性。
为了优化上缘截面正应力，可以采取以下措施：
1.增加物体的截面积：增加物体的截面积可以减小单位面积上的正应力，从而提高物体的强度和稳定性。
2.减轻物体的重量：减轻物体的重量可以减小作用在物体上的力，从而降低物体的正应力。
3.采用高强度材料：采用高强度材料可以提高物体的强度和稳定性，从而降低物体的正应力。
轴向拉压杆件横截面上的应力
轴向拉压杆件横截面上的应力在工程设计和材料力学中，轴向拉压杆件是一种经常使用的结构元件，其横截面上的应力分布是一个重要的研究内容。
在此，将介绍轴向拉压杆件横截面上的应力分布，并给出相关参考内容。
轴向拉压杆件是指受到拉力或压力作用的杆件，其横截面形状可以是圆形、方形、矩形、椭圆形等。
在讨论轴向拉压杆件横截面上的应力分布时，我们假设该杆件是均匀材料、轴对称且受到等径向拉力或压力作用。
根据这些假设，我们可以得到以下结论。
首先，对于圆形横截面的轴向拉压杆件，应力沿着截面的半径方向是均匀的。
这意味着，在横截面上的任何一点，杆件的应力大小是相同的，只是方向不同。
具体而言，在拉力作用下，横截面上的应力大小为σ = F/A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在压力作用下，横截面上的应力大小为σ = -F/A。
其次，对于矩形或方形横截面的轴向拉压杆件，其应力分布是非均匀的。
在拉力作用下，杆件的边缘处应力最大，中心处应力最小。
具体而言，在矩形或方形横截面的边缘处，应力计算公式为σ = F/2A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在中心处，应力计算公式为σ = F/A。
此外，对于椭圆形横截面的轴向拉压杆件，其应力分布也是非均匀的。
在拉力作用下，杆件的长轴方向应力最大，短轴方向应力最小。
具体而言，在椭圆形横截面的长轴方向，应力计算公式为σ = F/2A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在短轴方向，应力计算公式为σ = F/A。
综上所述，轴向拉压杆件横截面上的应力分布与杆件的形状密切相关。
在实际工程中，根据结构的要求，可以选择合适的截面形状来平衡应力分布，以提高杆件的强度和稳定性。
参考文献：1. 程训文等著. 材料力学. 北京：清华大学出版社，2016年2. 韩良辉等著. 结构力学. 北京：中国建筑工业出版社，2019年3. 林万善等著. 实用结构力学基础. 北京：中国水利水电出版社，2014年4. Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T. Mechanics of Materials. New York: McGraw-Hill Education, 2017.5. Popov, Egor P. Engineering Mechanics of Solids. Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2015.。
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F1
m O点
F微内力
A微面积
F2
m
当面积趋于零时，平均应力的大小和 一点的应力： 方向都将趋于一定极限(即全应力)， 得到 F dF pm lim A0 A dA
F1 m p 全应力
m
O
F2
m
全应力pm通常分解成:
垂直于截面的分量σ－－正应力 平行于截面的分量τ－－切应力 应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0； 3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即
' =-
二、虎克定律
实验表明，当拉、压杆的正应力 不超过某 一限度时，其应力与应变 成正比。即 ＝E 上式称胡克定律。其中，比例常数 E 称为材料 的弹性模量。 虎克定律的另一种表达形式
教学内容：
§横截面和斜截面上的应力 §拉压杆的变形及虎克定律
教学要求：
1、理解正应力、切应力的概念，掌握拉压杆横截面
和斜截面上的应力计算公式。
2、理解应变、泊松比，掌握虎克定律及其应用方法。
第三节 横截面和斜截面上的应力
一、应力的概念
平均应力：横截面某范围内单位面积上微内力的平 F 均集度 p
A B C 30kN D
10kN
100
FN 20kN + O
100
100
－
10kN
x
由此可推断出：横截面上各点的变形程度相 同，受力相同；亦即内力——轴力在横截面上均 匀分布。由材料均匀性假设可的如下结论：
轴向拉压杆横截面上各点的应力大小相等， 方向垂直于横截面。
F
FN
FN A
即横截面上的正应力计算式为
例 一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用， 已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大 正应力。 1 2 F 解: F ①计算轴力 FN =-20KN ②计算最大的正应力值 Amin= A2=n
k' k
F
k'
FN p
FN F p A A
所以截面上的正应力和
切应力为：
＝ cos2 ＝ sin 2
F k
k'
p
讨论：
2
①当 =0 时，有σmax=σ=σ ，τ =0 。
②当 =45时，有τmax =τ =σ/2 。
FN l l EA
EA称为杆的抗拉（压）刚度 。
例 图示阶梯杆，已知横截面面积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。 解 ①作轴力图。 ②分段计算变形量。计算 △lAB = ?mm △lBC = ?mm △lCD = ?mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD =-0.015mm
F 1 2 2—2 A2 h0 h h b FN
A11—1
b
-10）×20mm2=
300mm2
σmax= FN/A 2=-20×103/300（MPa）=-66.7 MPa
三、拉压杆斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破 坏有时不沿着横截面， 因此有必要研究轴向拉 （压）杆斜截面上的应 力。如右图，斜截面上 的内力： FN = F 故其上的应力为：
FP1 m
切应力 全应力
p
K
正应力
FP2
m
二、拉压杆横截面上的正应力 1
轴向拉伸
F
1
2 2
F
1 1 1 1
2 2 2 2
轴向压缩
F
1 1
2 2
F
经观察可以发现：横向线11、22在变形后，仍 为直线且与轴线正交；只是横向和纵向线间距变化， 由此可对均质材料的轴向拉压杆作如下假设: 平面假设——变形前为平面的横截面，变形后仍为平 面，仅沿轴向产生了相对平移。
③当 =90 时，有σ =0，τ =0 。
第四节 拉压杆的变形及虎克定律
一、纵向线应变和横向线应变
l1
a1
F
l
F
a
F
l1
1. 纵向变形为 l=l1- l
F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a1 a 横向线应变： a a