集中趋势和离散趋势共96页
集中趋势和离散趋势
集中趋势和离散趋势集中趋势和离散趋势是描述数据分布特征的两个重要概念。
集中趋势用于衡量数据的中心位置，一般用平均值、中位数和众数来表示；而离散趋势则用于量化数据的分散程度，常用的度量包括范围、方差和标准差等。
首先，集中趋势是指数据的中心位置，它反映了数据的一般水平。
平均值是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数，它具有高可操作性和表达性，但对于含有极端值的数据可能会有较大的偏差。
中位数是将一组数据按大小顺序排列后位于数列中间的数值，它对异常值不敏感，能够更好地展示数据整体分布情况。
众数是一组数据中出现频率最高的数值，常用于描述离散型数据的集中趋势。
其次，离散趋势是指数据的分散程度或分布的离散程度，它反映了数据的差异程度。
范围是数据的最大值和最小值之间的差异，它直观地反映了数据的波动范围。
方差是数据与平均值之间差异的平均值，它衡量了数据整体的离散程度，数值越大表示数据越分散。
标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的度量单位，常用于度量连续型数据的离散趋势。
集中趋势和离散趋势在统计学中有广泛的应用。
在描述数据特征时，通过集中趋势可以直观地了解数据的中心位置和一般水平，从而具有参考价值。
而离散趋势则帮助我们了解数据的变异程度，通过度量数据的分散程度可以判断数据的稳定性和可靠性。
这两个概念相辅相成，共同构成了对数据特征的全面描述。
当进行数据分析和决策时，我们需要同时考虑数据的集中趋势和离散趋势。
集中趋势能够帮助我们了解数据的普遍水平，为个体或群体的表现提供参考，而离散趋势可以帮助我们判断数据的稳定性和差异程度，进而做出更加准确的决策。
总之，集中趋势和离散趋势是描述数据特征的两个重要概念。
集中趋势用于衡量数据的中心位置，离散趋势用于度量数据的分散程度。
它们互为补充，帮助我们全面了解数据的特征，从而更好地进行数据分析和决策。
中职数学课件10.1集中趋势与离散程度
；
当n为偶数时，中位数是中间位置的两个数值的算术平均数，
即
Me=
．
10.1.1 集中趋势
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.中位数
容易看出，中位数以其居中的位置体现了这组数据的集中趋势，
并且不受极端数据值的影响，当一组数据中出现极端数据值时， 用
中位数反映集中趋势比用算术平均数更准确．但是，中位数不能充
x1f1+x2f2+…+xnfn
．
f1+f2+…+fn
称为这组数据的加权算术平均数，其中fk(k=1，2，…，n)也称为样
本数据xk (k=1，2，…，n)的权重．
10.1.1 集中趋势
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.算术平均数
显然，加权算术平均数不仅依赖于样本数据，还依赖
特点，有助于我们在实际应用中选择合适的统 计量来描
述数据的集中趋势．
10.1.1 集中趋势
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1. 求下列各组数据的算术平均数、中位数和众数．
（1）1，2，4，2，5；
（2）12，22，16，22，20，22；
（3）6，6，6，7，7，7，8，8，8；
准规格．那么，如何判断哪个厂家生
产的零件更接近标准规格呢？
10.1.2 离散程度
情境导入
探索新知
典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
为了更进一步揭示规格数据的分布特征，可以考察规格数据与算术
平均数的差以及规格数据之间的差等，这就涉及数据的离散程度．
数值变量资料的集中趋势和离散趋势PPT课件
-
14
操作步骤：
用Excel计算
2.选择相应描述性指标，无几何均数，变异系数
点击“Continue”
均数
四分位数 间距
标准差 方差 极差
最小值
中位数
最大值
-
15
统计结果
-
16
注：除了用“Frequencies”外，还可以使用 “Descriptives”进行统计描述
描述
-
17
Q＝ P75－P25（上四分位数-下四分位数）
注：主要用于偏态分布资料离散程度的描述。
正态分布：集中趋势，平均数；离散趋势，方差 偏态分布：集中趋势，中位数；离散趋势，四分位数间距
-
12
三、用SPSS软件实现统计描述
操作步骤：
描述性统计
1.选择“Frequencies”
频数
-
13
操作步骤：
2.将变量选入变量框， 点击“Statistics”
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
-
3
二、统计描述
统计描述包括两个方面：集中趋势的描述 和离散趋势的描述
-
4
（一）集中趋势指标描述
1.算术均数（均数 mean） 适用于正态分布或者近似正态分布 总体均数：；样本均数：
总体指标：希腊字母，统计量 样本指标：英文字母，参数
-
5
2.几何均数（geometric mean）
数值变量资料的集中趋势和离散趋势
何平平 北京大学医学部流行病与卫生统计学系
Tel：82801619
-
1
一、分布类型
正态分布：集中位置居中，左右两侧频数 基本对称的分布。常见近似正态分布。
集中和离散趋势指标
集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。
集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。
在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。
集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。
而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。
集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。
例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。
本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。
通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。
在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。
希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。
接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。
敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。
首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。
然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。
最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。
具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。
随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。
这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。
3第三章 集中趋势和离散趋势
f
2
Sm1 i
fm
式中： U ——中位数所在组的上限
Sm1 ——大于中位数组的各组次数之和
中位数最大的特点是：它是序列中间1项或2项的平均数，不受极 端值的影响，所以在当一个变量数列中含有特大值与特小值的情 况下，采用中位数较为适宜。正式由于中位数的这一特点，在统 计研究中，当遇到掌握统计资料不多而且各标志值之间差异程度 较大或频数分布有偏态时，为避免计算标志值所得的算术平均数 偏大或偏小，就可利用中位数来表示现象的一般水平。
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4. 中位数
中位数是一种按其在数列中的特殊位置而决定的平均数。把总 体各单位标志值按大小顺序排列后，处在中点位次的标志值就 是中位数，它将全部标志值分成两个部分，一半标志值比它大， 一半标志值比它小，而且比它大的标志值个数和比它小的标志 值个数相等。
要求得中位数，首先要确定中位数的位次。
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用偏度系数准确地测定分布的偏斜程度和进行比较分析。
※ Pearson偏度系数，用SK 表示。
SK X MO
SK 为无量纲的系数，通常取值在-3~+3之间。绝对值越大，
说明分布的倾斜程度越大。
SK =0 SK > 0 SK < 0
对称分布 右偏分布 左偏分布
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过给定的范围，就说明有不正常情况产伤。但极差受到极端是的影响，测
定结果往往不能反映数据的实际离散程度。
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2. 四分位差
四分位差是根据四分位数计算的。首先把变量各单位标志值从 小到大排序，再将数列四等分，处于四分位点位次的标志值就 是四分位数，记作 M1，M2，M3 ，M1 为第一四分位数（也称为下 四分位数），M2 为第二四分位数，就是中位数 Me ，M3 为第三 四分位数。 四分位差的计算公式为： 四分位差 M3 M1
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
理解数据的集中趋势与离散程度
理解数据的集中趋势与离散程度数据是我们生活中不可或缺的一部分，无论是在科学研究、商业决策还是个人生活中，我们都需要处理和分析大量的数据。
在数据分析过程中，了解数据的集中趋势和离散程度是非常重要的，它们能够帮助我们更好地理解数据的分布和特征。
一、集中趋势集中趋势是指数据分布中心的位置，常用的集中趋势度量指标有均值、中位数和众数。
均值是一组数据的平均值，通过将所有数据相加再除以数据个数得到。
均值能够反映数据的总体水平，但受到极端值的影响较大。
例如，考虑一个班级的学生成绩，大部分学生的成绩在70-90分之间，但有一个学生得了100分，这个极端值会使得均值偏高。
中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
中位数不受极端值的影响，更能反映数据的典型值。
在上述例子中，中位数仍然能够准确地反映学生的典型成绩水平。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，它代表了数据分布的最高峰。
众数适用于描述离散型数据，如人口统计中的年龄分布。
二、离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用的离散程度度量指标有范围、方差和标准差。
范围是一组数据的最大值与最小值之间的差距，它能够直观地反映数据的离散程度。
然而，范围只考虑了极端值，没有考虑其他数据的分布情况。
方差是一组数据与其均值之差的平方的平均值，它能够反映数据与均值之间的差异。
方差越大，数据的离散程度越高。
标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的单位。
标准差能够衡量数据的离散程度，并且与均值具有相同的量纲，因此更容易进行比较和解释。
三、应用举例理解数据的集中趋势和离散程度在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，我们可以通过分析股票的收益率来了解市场的集中趋势和离散程度。
均值和中位数能够帮助我们了解市场的平均收益水平，而标准差则能够反映市场的波动性。
这些指标对于投资者制定投资策略和管理风险非常重要。
在医学研究中，我们可以通过分析患者的生命体征数据来了解疾病的发展趋势和离散程度。
沪科版数据的集中趋势与离散程度课件
偏态分布
定义
偏态分布是指数据分布的形状偏离正态分布的情况。
类型
正偏态分布和负偏态分布。
图形特征
正偏态分布时，数据集中于右侧，左侧有较长尾部；负偏态分布时， 数据集中于左侧，右侧有较长尾部。
峰态分布
1 2 3
定义 峰态分布是指数据分布的顶点部分的形状。
类型 尖锐峰态和扁平峰态。
图形特征 尖锐峰态时，数据分布顶点突出，两侧较陡峭； 扁平峰态时，数据分布顶点较平缓，两侧较平直。
特点
平均数易受极端值的影响，当数据 集中出现极端值时，平均数的代表 性可能会降低。
中位数
01 02
定义
中位数是一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数。如果数据的 个数是奇数，则中位数是中间那个数；如果数据的个数是偶数，则中位 数是中间两个数的平均值。
计算方法
将数据按大小顺序排列，然后找到中间位置的数即可。
01
02
03
平均价格趋势
通过计算股票的平均价格， 可以了解股票价格的总体 趋势。
价格波动分析
通过观察股票价格的波动 情况，可以分析股票的活 跃度和市场情绪。
价格与收益关系
研究股票价格与公司收益 之间的关系，有助于预测 未来的股票价格走势。
风险评 估
波动率分析
通过计算股票价格的波动 率，可以评估股票的风险 水平。
数据的集中趋势与离散程度在数据分 析中的应用
描述性统计分析
确定数据分布的集中趋势
01
通过计算平均数、中位数和众数等统计指标，可以大致了解数
据的集中趋势。
确定数据分布的离散程度
02
通过计算方差、标准差和四分位数间距等统计指标，可以了解
数据的离散程度。
集中趋势和离散趋势课件
03
实时数据分析
在实时数据分析中，快速准确地计算集中趋势和离散趋势对于及时做出
决策具有重要意义。研究者们正在研究如何利用新的计算方法提高实时
数据分析的效率和准确性。
对决策的影响研究
决策支持
集中趋势和离散趋势的计算结果可以为决策提供重要支持，如市场预测、风险 评估等。研究者们正在研究如何更好地利用这些结果为决策提供依据。
新的计算方法
随着统计学的发展，新的计算方 法不断涌现，如机器学习算法、 人工智能技术等，这些方法可以 更快速、准确地计算集中趋势和
离散趋势。
算法优化
针对现有计算方法的不足，研究 者们正在不断优化算法，提高计 算效率和准确性，以满足日益增
长的数据处理需求。
可解释性研究
为了更好地理解计算结果，研究 者们正在研究如何提高计算方法 的可解释性，使非专业人士也能
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
集中趋势和离散趋势的 应用
在数据分析中的应用
描述数据分布情况
通过计算数据的集中趋势和离散 趋势，可以了解数据的分布情况 ，从而更好地理解数据的特点和
规律。
识别异常值
通过离散趋势分析，可以识别出数 据中的异常值，这些异常值可能对 数据分析结果产生重大影响，需要 特别关注。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
集中趋势和离散趋势 课件
目录
CONTENTS
• 集中趋势 • 离散趋势 • 集中趋势和离散趋势的应用 • 集中趋势和离散趋势的比较 • 集中趋势和离散趋势的未来发展
REPORT
集中趋势和离散趋势的描述
402 330 232 118 27 11 3 1123
第三节 离散趋势的描述
描述数据变异大小的常用统计指标： 描述数据变异大小的常用统计指标： 极差 四分位数间距 方差与标准差 变异系数
极差（ 一、 极差（Range） ） 即一组变量值的最大值与最小值之差。 即一组变量值的最大值与最小值之差。 三组同龄男孩的身高值(cm) 例 三组同龄男孩的身高值(cm)
QR = 67.7 − 39.2 = 28.5
四分位数间距可以看成居中的一半变量值的 极差(数据两端各去除了25%的数据) 极差(数据两端各去除了25%的数据)。可表示为 25%的数据 QR=28.5(39.2~67.7)天。 天
三、方差与标准差 1.方差（ 1.方差（variance）也称均方差（mean square 方差 ）也称均方差（ deviation），反映一组数据的平均离散水平。 ），反映一组数据的平均离散水平 ），反映一组数据的平均离散水平。 总体方差
适用条件： 适用条件： 1.适用于各种分布类型的资料 1.适用于各种分布类型的资料 2.特别适合大样本偏态分布资料或者 2.特别适合大样本偏态分布资料或者一端或两端 特别适合大样本偏态分布资料或者一端或两端 的资料。 无确切数值的资料 无确切数值的资料。
中位数的计算 n为奇数时
M=X
n为偶数时
(
一、算术均数（mean） 算术均数（mean） 简称均数，可用于反映一组呈对称分布 简称均数，可用于反映一组呈对称分布的 呈对称分布的 变量值在数量上的平均水平或者说是集中位置 的特征值。 的特征值。 适用条件：算数均数适用于对称分布 适用条件：算数均数适用于对称分布，特别 对称分布， 是正态分布资料。 正态分布资料。 资料
( X − µ )2 ∑ N
新编统计学原理 第三章 集中趋势和离散趋势
(四) 中位数 将总体各单位的某一变量值按大小顺序排列， 位于中间位置上的变量值即为中位数。显然， 中位数将全部数据等分成两部分：一部分数据 比中位数大，一部分数据比中位数小。从这个 意义上说，中位数以其居中的位置，代表了经 济现象某一方面的一般水平。 依据资料的不同，中位数的计算，可以有两种 不同的方法。
3. 加权算术平均数与简单算术平均数的关系 简单算术平均数的大小只与变量值的大小有 关，加权算术平均数的大小不仅与各组变量 值大小有关，而且受各组变量值出现的次数 （权数）大小的影响。权数愈大，其对应的 变量值对算术平均数的影响愈大；反之，则 愈小，权数的大小对算术平均数的大小起着 权衡轻重的作用。只有当各组的权数完全相 等时，加权算术平均数才等于简单算术平均 数。
4. 算术平均数的数学性质 （1）各变量值与其算术平均数的离差之和等 于零，即 ∑（x-X）=0 （2）各变量值与其算术平均数的离差平方之 和为最小，即 ∑（x-X）＾2为最小值
（二） 调和平均数 调和平均数是根据变量值倒数计算的一种算 术平均数，也称倒数平均数。调和平均数 根据资料的不同，分为简单调和平均数和 加权调和平均数。
式中Xh表示加权调和平均数； x表示各组变量值； f表示各组变量值所出现的次数； n表示各组变量值次数之和。
（三） 几何平均数 几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，根 据所依据的资料不同，也可分为简单几何平 均数和加权几何平均数。计算公式为： 1.简单几何平均数 n n x g x 1 x 2 xn x 式中 xg 表示几何平均数； x表示各变量值； n表示变量值个数； π 表示连乘符号。
1. 简单调和平均数 简单调和平均数往往是根据未分组资料计算 的。其公式为：
xh 1
集中和离散趋势
K n(n 1) ( xi x )4 3[ ( xi x )2 ]2 (n 1) (n 1)(n 2)(n 3)s 4
分组
K
4 ( M x ) fi i i 1
k
ns
4
3
峰度系数
K=0，数据服从标准正态分布 K>O，数据呈尖峰分布 K<0，数据呈平峰分布
总体方差
2
样本方差
2 ( X X ) i i 1
N
N
2 ( x x ) i i 1 n
s2
n 1
自由度
概念
一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本均值 x 确 定后，只有n－1个数据可以自由取值，其中必 有一个数据不能自由取值，所以自由度为n－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
A、B两组学生成绩
6 方差和标准差
方差（Variance）
各变量值与其平均数离差平方的平均数
图示 变量值 平均数 变量值 到均值 的距离
标准差（Standard
deviation，S.D.）
方差的平方根 标准差越大，变量值越分散，平均数解释力越低
方差的计算公式
小结
集中－离散
众数－异众比例 中位数－极差 四分位数－四分位差 平均数－方差、标准差、标准误、离散系数 选用哪组测度指标要根据掌握的数据的类型和分 析目的来确定
小结
表1 不同层次数据的集中趋势测量指标 众数 分 定类 变量值 类 定序 连 定距 变量值 续 组中值 定比 计算 中位数 平均数
统计学课件第2章-集中趋势与离散趋势
若视5个班为总体，则
2
(X
i
X)
N
i
256 51.2 5
若视5个班为样本，则
S
2
( x x ) 256 64 n 1 5 1
对于分组后的数据
若视为总体：
2 ( X X ) Fi i
F
i
i
256 51.2 5
若视为样本： S 2
例：如果你是一家制造业公司的供应部门经理，与两家原材料供应商 联系供货，两家供应商均表示能在大约10个工作日内供齐所需原材 料。几个月的运转之后，你发现尽管两家供货商供货的平均时间都 是大约10天，但他们供货所需天数的分布情况却是不同的（图）。 问:两家供货商按时供货的可信度相同吗？考虑它们直方图的差异，你 更愿意选择哪家供货商供货呢？
美国大学毕业生起薪例中：按升序排出的12个 统计数为： 2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 则中位数为
M e 2390 2420 2 2405
▲注意： 由于均值容易受到统计数据中个别极端数据 的影响，从而使均值代表某组统计数据的“平 均水平”时失去意义，这时用中位数代替均值 则更有意义。 如，在大学生毕业工作起薪的例中，如果原 统计数中最高薪金由2825换为10000，则得到 平均薪金为3038的结论，显然与其他11位均在 2000多的薪水水平不符，但这时若用中位数 2405，显然更具代表意义。
( f m f m1 ) ( f m f m1 )
上限公式：
Mo U
f m f m1 d ( f m f m1 ) ( f m f m1 )
集中趋势和离散趋势
众数
(mode)
1. 2. 3.
出现次数最多的变量值
不受极端值的影响
一组数据可能没有众数或有几个众数
4.
主要用于分类数据，也可用于顺序数据 和数值型数据
The Mode 众数
1.
排序后处于中间位置上的值
50%
Me
50%
2. 不受极端值的影响 3. 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能 用于分类数据
顺序数据的中位数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别
非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲城市
户数 (户)
24 108 93 45 30
累计频数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
位置 n 1 2 9 1 2 5
中位数 1080
数值型数据的中位数
(10个数据的算例)
【例】：10个家庭的人均月收入数据
排 位 序: 置: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
22 18 12 18 100
在所调查的50人中，购 买可口可乐的人数最多， 为15人，占总被调查人数 的30%，因此众数为“可 口可乐”这一品牌，即 Mo＝可口可乐
顺序数据的众数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 百分比 (%) 8 36 31 15 10
九上数数据的集中趋势和离散程度
数据的集中趋势和离散程度一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
知识点3：方差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。
一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。
知识点4：标准差方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。
知识点5：方差与平均数的性质若x1，x2，…x n的方差是S2，平均数是，则有①x1+b，x2+b…x n+b的方差为S2，平均数是+b②ax1，ax2，…ax n的方差为a2s2，平均数是a③ax1+b，ax2+b，…ax n+b的方差为a2s2，平均数是a+b二、典型例题剖析1、数据5,7,8,8,9的众数是（）A.5B.7C.8D.9【解析】一组数据中的众数是指出现次数最多的数，8出现次数最多。
【答案】选：C．【点评】此题考查的是众数的定义，属于基础题。
2、重庆农村医疗保险已经全面实施。
某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20,24,27,28,31,34,38，则这组数据的中位数是___________解析：根据中位数的定义即可求出，答案：28点评：如果所给的数据没按大小顺序排列，第一步首先按大小顺序排列好，第二步，如果数据的个数是奇数个，中间的那位就是中位数，如果有偶数个，中间的两位的平均数是中位数。
03集中趋势与离散趋势
极差小表示资料比较集中，
极差大表示资料分散。 极差计算方便，但是由于它的值是由端点的变量值 决定的，因此个别远离群体的极值会极大的改变极 差，使它不能真正反映资料全体的分散程度。
（三）四分互差（Interquartile range）Q 用对应于c%↑为75%的变量值 Q和对应于 c%↑为25%的变 75 量值 Q相减，得到四分互差。 25
频次 累计频次
70 121 182 85 91 242 363 545 697 788
累计百分比C%↑
24.2 36.3 54.5 69.7 78.8
L(U % 25%) U (25% L%) Q25 U % L%
L(U % 75%) U (75% L%) Q75 U % L%
2、分组数据： 真实组界限
0.2-0.4 0.4-0.6 0.6-0.8 下界值L←0.8-1.0 →上界值U 1.0-1.2
频次 累计频次
累计百分比C%↑
121 182
363 545
36.3→下界累计百分比L% 54.5 →上界累计百分比U%
通过累计百分比中的50%点求出：
（1）根据统计表中的累计百分比， 找出含有50%的区间。
N f mo N
f mo 众值的频次。
异众比率越小，众值的代表性越好，信息量越 大。反之，一种比率越大，众值的代表性越差，所 提供的信息量越小。 异众比率是众值的补充。 例如：（男，10） 10 0 .2 50 （女，40）
（二）极差(range）R
——对定序以上变量分散程度的度量。 R=max-min（观察的最大值减去最小值） 例如：1，2，3，4，6 R=6-1=5
70
60
新编统计学原理 第三章 集中趋势和离散趋势
2
(xx) n
2
对分组数据，总体方差的计算公式为： f 2 2 ( x x ) 设总体的标准差为σ ，对未分组数据，总 体标准差的计算公式为： (x x) n
2
f
对分组数据，总体标准差的计算公式为：
2 ( x x ) f
f
（四） 离散系数 极差、平均差、标准差都是反映标志变异程 度有计量单位的绝对数指标，总体和样本 的标志变异程度除了受变量值之间的离散 程度影响外，还受变量值本身水平高低的 影响，因此，在比较不同总体和样本的标 志变异程度时，应消除由于变量值水平不 同或计量单位不同带来的影响。在统计工 作中，用离散系数来比较不同总体的平均 数和不同样本的平均数的代表性。
1. 简单调和平均数 简单调和平均数往往是根据未分组资料计算 的。其公式为：
xh 1
n
1 x
n
1 x
式中Xh表示简单调和平均数； x表示各变量值； n表示变量值个数。
1 n x h 1 f f x n x
2.加权调和平均数 加权调和平均数是根据分组资料计算的。其 公式为：
(五) 众数 众数是指总体中出现次数最多的变量值,它能 够鲜明地反映数据分布的集中趋势。一组 数据分布的最高峰点所对应的变量值即为 众数。在商业活动中，众数应用较为普遍 。依据资料的不同，众数的计算可以有两 种不同的方法。 1. 未分组资料 在未分组资料条件下，只要用目测法找出次 数最多的变量值即找到众数。
只有当各组的权数完全相等时加权算术平均数才等于简单算术平均立信会计出版社wwwlixinaphcom算术平均数的数学性质1各变量值与其算术平均数的离差之和等xx02各变量值与其算术平均数的离差平方之和为最小即xx2为最小值立信会计出版社wwwlixinaphcom调和平均数调和平均数是根据变量值倒数计算的一种算术平均数也称倒数平均数
集中趋势和离散的关系
集中趋势和离散的关系
集中趋势和离散是描述数据分布特征的两个重要概念。
集中趋势是指数据的中心位置，可以通过平均值、中位数、众数等方式进行描述。
离散是指数据的分散程度，可以通过方差、标准差、四分位差等方式进行度量。
集中趋势与离散之间存在一定的关系。
一般来说，集中趋势较高的数据分布，其离散程度一般较小，即数据点更加集中在中心位置附近。
相反，集中趋势较低的数据分布，其离散程度一般较大，即数据点更加分散。
然而，集中趋势与离散之间的关系也可能因数据分布的形态而有所不同。
例如，对于正态分布的数据，集中趋势用均值来描述，离散程度用标准差来度量。
在正态分布中，集中趋势和离散程度之间存在着一种特殊的关系，即均值决定了正态分布的中心位置，标准差决定了分布的宽度和尖峰程度。
总之，集中趋势和离散是描述数据特征的两个方面，它们在一定程度上反映了数据的集中程度和变异程度。
在实际应用中，可以综合考虑集中趋势和离散两个方面的指标，以全面描述和分析数据的分布特征。
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
集中趋势和离散趋势
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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Hale Waihona Puke 28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯