第3章 稳定性

需求出全部特征根。对于高阶系统，求根工作
量很大，因此，希望使用一种间接判断的代替
方法。
劳斯和霍尔维茨分别于1877年和1895年独
立提出了系统稳定性的代数判据，以线性系统
特征方程的系数为依据。
1、劳斯判据
劳斯稳定判据为表格形式，劳斯表有n+1行和int(n/2+1) 列，int(· )为取整函数。
3.1 概述
3.1.7 不稳定性
如果对于某个实数
0 和任一实数 0 ，
不管 这个实数多么小，由 s ( )内出发的状态轨
线， 至少有一条轨线越过 s( ) ， 则称这种平衡状态
xe 不稳定。
x2
s( )
x0 xe
s( )
x1
3.1 概述
3.1.8 稳定性概念中的一致性
R(s) E(s)
-
1
K1 s
比例-积分控制系统
2 n s( s 2 n )
C(s)
R(s)
E(s)
-
1
K1 s
2 n s( s 2 n )
C(s)
解：由图可写出系统的闭环传递函数为
2 n (s K1 ) ( s ) 3 2 2 s 2 n s 2 n s K1n
1 3 2 3 20 6
3 7 6 0
6 0 0 0
第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部的根。
(2) 劳斯表中出现全零行 表明在特征方程中存在一些绝对值相同但符号 相异的特征根。例如两个大小相等符号相反的实根和
(或)一对共轭纯虚根,或者是实部符号相异虚部数值相
同的一对共轭复根。
表中系数排列呈上三角形：第1行由特征方程的第 1，3，
5，…项系数组成；第2行由第2，4，6, …项系数组成；以后 各行的数值，需按劳斯表所示方法逐行计算，凡在运算过程中 出现的空位，均臵以零。这种过程一直进行到第n行为止，第
n+1行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数an。
设线性系统特征方程 D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0 则其劳斯表形式如下所示：
部位于垂线 s= -a（或s=0） 之左侧；
(2) 确定系统中一个或两个可调参数对系统稳定
性的影响。即确定一个或两个使系统稳定或
使特征根全部位于垂线s=-a（或s=0）之左
的参数取值范围。
设比例-积分控制系统如图所示。其中K1为与积分器
时间常数有关的待定参数。已知ζ=0.2 ,n=86.6， 试用劳斯判据确定使闭环系统稳定的K1取值范围。 如果要求闭环系统的极点全部位于垂线s = -1之左， 问K1值范围又应取多大？
稳定性分析 描述函数
相平面
非线性系统 Popov 圆判据 李雅普诺夫
连续系统
以上9种方 法 劳斯判据 July判据
稳定性分析
离散系统
状态空间稳 定判据 根轨迹
3.2 稳定性判别方法
线性系统稳定的充要条件：
闭环系统特征方程的所有根必须具有负实部。
即闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。 当且仅当系统的特征根全部具有负实部时，系统
3 劳斯稳定判据的缺点
在线性系统中，劳斯判据主要用来判定系统
的稳定性，但使用时需注意如下事项：
①如果系统不稳定，则劳斯判据并不能直接
指出使系统稳定的方法；
②如果系统稳定，则劳斯判据也不能保证系
统具备满意的动态性能，即劳斯判据不能表明系
统特征根在s平面上相对于虚轴的距离；
4、劳斯稳定判据的应用 (1) 判别系统的稳定度，即系统的特征根是否全
3.1 概述
3.1.2 李雅普诺夫意义下稳定
称系统 x f ( x, t ) 的孤立平衡状态xe在时刻t0 为李亚普诺夫意义下稳定，如果对于任给的 实数 0 都对应存在另一个依赖于 和t0的 实数( , t0 ) 0
使当
x0 xe ( , t0 )
时，从任意初态 x0 出发的解都满足
因而，闭环特征方程为
2 2 D(s) s3 2n s 2 n s K1n 0
代入已知的ζ=0.2与n=86.6, 得
D( s) s3 34.6s2 7500 7500K1 0 s
D( s) s3 34.6s2 7500 7500K1 0 s
(a0 0)
劳斯稳定判据：由特征方程所表征的线性系统稳
定的充要条件是劳斯表中第一列各值为正。
如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就
不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征
方程的正实部根的数目。
例：设系统特征方程为 D(s) s 4 2s 3 3s 2 4s 5 0 试用劳斯表稳定判据判别该系统的稳定性。 解：根据该系统的特征方程可列出其列劳斯表如下：
劳斯表中第一列系数符号改变了两次，所以系统不
稳定，且系统有两个根在右半s平面。
2、劳斯稳定判据的特殊情况
(1) 劳斯表中某行的第一列项为零，而其余各项不为
零或不全为零 此时计算劳斯表下一行的第一个元素时，将出现
无穷大，使运用劳斯判据失效。 处理方法：
用因子(s+a)乘以原特征方程，其中a为任意正数，
稳定；若特征根中有一个或一个以上正实部根，则表
明系统不稳定；若特征根中有一个或一个以上零实部 根(其余均为负实部)，则响应趋于常数或趋于等幅正 弦振荡，系统为临界稳定状态。经典控制论中，仅渐 近稳定系统才称为稳定系统，否则为不稳定系统。
一、劳斯(Routh)稳定判据
根据线性系统稳定充要条件判别系统稳定性，
2
下图表示二阶系统
渐近稳定的平衡状态。
从工程意义上来讲，渐近稳定比稳定 更为重要。渐近稳定是一个局部的概念，通 常，只确定某一状态的渐近稳定性并不意味 着整个系统就能正常工作。因此，如何确定 渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范 围是尤其重要的。
x0
s( )
s( )
xe
x1
3.1 概述
一个李雅普诺夫稳定但不是渐进稳定的平衡点为临界平衡点。
Φ(t; x0 , t0 ) xe
t0 t
3.1 概述
如果 与 t 0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。 下图表示二阶系统稳定的平衡状态 xe ，以及从初 始状态 x0 s( ) 出发的轨线 x s( )。
x2
s( )
s( )
x0
xe
x1
3.1 概述
3.1.3 渐近稳定性 如果平衡状态 xe 是稳定的，而且当 t 无限增长时， 轨线不仅不超出 s( )，而且最终收敛于 xe ，则称 平衡状态 xe 为渐近稳定。 x
3.1 概述
3.1.6 指数稳定性
在许多工程应用中，只知道系统在无线时间之后 收敛于平衡点还是不够的，还需要顾及系统轨迹趋于 平衡点的速度。指数稳定性的概念由此而提出。 定义：如果存在两个正数a 和 ，使得
t 0,
x(t ) a x(0) e
t
在平衡点 xe 0 附近的某个球域s(r ) 内成立，则平衡点 是指数稳定的。 指数稳定系统的状态向量以快于指数函数的速度 收敛于平衡点。通常称正数 为指数收敛速率。
在李亚普诺夫稳定性和渐进稳定性这两个 概念中，都表明了初始时刻的重要作用。实际
应用中需要的是，不管系统什么时源自文库开始，系
统将具有某种一致性的特性。因而引出了一致 稳定性、一致渐进稳定性和全局一致渐进稳定 性的概念。稳定性中的一致性主要是真的非自 治系统。
3.2 稳定性判别方法
线性系统
劳斯-赫尔 维茨 根轨迹 奈奎斯特 波特图 李雅普诺夫
3.1 概述
注意1:稳定性分析一般针对孤立的平衡状态，而孤立的平
衡状态总可以通过坐标平移转化为状态空间原点， 所以在稳定性分析中，总是把平衡状态设为状态空 间的原点，即xe=0.(讨论稳定性时一般以原点为例)
注意2: 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
线性定常系统，由于只有唯一的一个孤立平衡 点（原点），所以才笼统地讲所谓的系统稳定 性问题。 对其他系统，则由于可能存在多个孤立平衡点， 而不同平衡点可能表现出不同的稳定性问题， 因此必须对平衡点进行逐个讨论。
再对新的特征方程应用劳斯判据。
例如特征方程为
D(s) s 3 3s 2 0
其劳斯阵列表为
s3 s2 s1
1 3 0 2
处理方法：如用(s+3) 乘以上述的特征方程得
(s 3) D(s) s 4 3s3 3s 2 7s 6 0
劳斯阵列表为
s4 s3 s2 s1 s0
• 3.5 李雅普诺夫函数的构造方法
3.1 概述
• 控制系统分析包括：稳定性分析、瞬态分析、稳态分析。判定系统稳定
性主要有两种方法：
1、基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。 传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。其中按代数方 法进行判别的为代数稳定判据，如劳斯稳定判据和霍尔维茨稳定判据； 按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据； 按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。 2、李亚普诺夫（Lyapunov）方法：它同时适用于线性系统和非线性系统， 定常系统和时变系统。可用于研究《运动稳定性的一般问题》 。
3.1.4 大范围渐近稳定 如果平衡状态 xe 是稳定的，而且从状态空间中
则称 所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性， 这种平衡状态
xe 为大范围渐近稳定。
大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间只 有一个渐进稳定的平衡状态。(显然) 对于线性系统来说，如果平衡状态xe=0是渐近稳 定的则必然也是大范围渐近稳定的。(基于叠加原理)
处理方法：
用全零行上面一行的系数构造辅助方程F(s)=0，并将辅助 方程对s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元素，便可 按劳斯稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完整的劳斯计
算表。
例3-8 判断下述系统的稳定性 特征方程式： s6 s5 2s 4 3s3 7s 2 4s 4 0 解：劳斯阵列表： ①劳斯表第一列系数符 s6 1 2 7 4 号改变一次，故系统不稳 s5 1 3 4 0 定，且有一个正实部根。 4 s 1 3 4 ②如果求解辅助方程 3 s 0( 4) 0( 6) 0 F(s)=s4-3s2-4=0，则可以 2 s 1.5 4 求出产生全零行的特征方 s1 16.7 0 s0 4 程的根为：±2和±j。 4 2 ③倘若直接求解特征方 辅助方程 F (s) s 3s 4 0 求导 F (s) 4s3 6s 0 程，可得其特征根为： 构成新行 2; j; (1 j 3) / 2
3.1 概述
3.1.5 局部稳定和全局稳定
定义（全局渐进稳定性）：如果非线性系统的摸个平 衡点 xe 0是稳定的，且对于所有的 x0 Rn 都有：
lim x(t ) 0
t
那么称该平衡点是全局渐进稳定的。
在工程问题中，总希望系统具有大范围渐进稳定的特性。 如果平衡状态不是大范围渐进稳定的，那么问题就转化为确定 渐进稳定的最大范围或吸引域，这通常是非常困难的。实际应 用中，通常希望确定一个足够大的渐进稳定的吸引域，使扰动 不会超过它就达到目的了。
3.1 概述
3.1.1 稳定性的定义
稳定性是指系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回 复到原平衡状态的性能。稳定性分为有界输入-有界输出稳定性（外部稳 定）和状态稳定性（内部稳定）。 有界输入－有界输出稳定性：如果对应于每个有界的输入，系统的 输出均是有界的，就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。 一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限 值。 状态稳定性：如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充 分小的受扰运动，则称系统是状态稳定的。如果当时间趋于无穷大时， 所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。如果 对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到 平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。
第三章 稳定性理论
第三章 稳定性理论__主要内容
• • • • 3.1 3.2 3.3 3.4 概述 线性系统稳定性判据（部分） 稳定性判别方法综述 李雅普诺夫稳定性理论
–3.4.1 李雅普诺夫稳定性定理 –3.4.2 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 –3.4.3 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用