3-5线性系统的稳定性分析

一、稳定的基本概念
定义： 定义 ： 如果线性定常系统受到扰动的 作用， 偏离了原来的平衡状态， 作用 ， 偏离了原来的平衡状态 ， 而当扰动 消失后， 消失后 ， 系统又能够逐渐恢复到原来的平 衡状态， 则称该系统是渐进稳定的（ 衡状态 ， 则称该系统是渐进稳定的 （ 简称 为稳定） 否则，称该系统是不稳定的。 为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。 注意：稳定性是系统的一种固有特性， 注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性
5 4 3 2
则Routh表为 表为
s5 s4
a0
a1
a1a2 − a0 a3 = b1 a1
a2 a3
a1a4 − a0 a5 = b2 a1
a4
a5
0
s
s
3
2
b1a3 − a1b2 = c1 b1
a5
s
1
c1Leabharlann Baidu2 − ba5 1 = d1 c1
0
s
0
a5
3.利用劳斯表判别系统的稳定性 三种情况 利用劳斯表判别系统的稳定性(三种情况 利用劳斯表判别系统的稳定性 三种情况)
Imu eRs os pls epne 1 2
Imu eRs os pls epne 1 4
Imu eRs os pls epne
0 .9
1 1
1 0 1 2 8
0 .8
0 .8
0 .7
0 .6 0 .5
6
1 0
0 .6 Amplitude Amplitude
0 .4 Amplitude Amplitude
limc(t) = 0
t→ ∞
该系统就是稳定的。 该系统就是稳定的。
五种运动模态
c(t) = ∑Αe +∑Ae i k
i= 1 k= 1 q Ρit r −ζkω t k
sin(ω t +ϕk ) dk
j 0 j 0
j 0
j 0
j 0
Im ls Rsos p e epne u 1 1 .2
Imus Rs os pl e epne 1 .5
已知系统的特征方程， 例2：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的 稳定性。 稳定性。
s4+2s3+s2+s+1=0
解 列劳斯表如下 S4 S3 S2 S1 S0 1 2 (2*1-1*1)/2=1/2 (1*1-2*2)/1=-3 (-3*2-1*0)/-3=2 1 1 (2*1－1*0)/2=1 － 1 0
n a1 = − ∑ p i = − ( Ρ 1 + Ρ 2 + ...... + Ρ n ) a0 i =1
(单根和)
a2 = a0
n i , j =1 i≠ j
∑
p i ⋅ p j = Ρ 1 Ρ 2 + Ρ 1 Ρ 3 + ... + Ρ 1 Ρ n + L + Ρ n − 1 Ρ n (双根积和)
-0 .8 0
5
1 0
1 5 T e(s c im e)
2 0
2 5
3 0
-1 .5 0
5
1 0
1 5
2 0 T e(s c im e)
2 5
3 0
3 5
4 0
-8 0
0 .5
1 T e(s c im e)
1 .5
2
2 .5
当系统特征方程的根都具有负实部时， * 当系统特征方程的根都具有负实部时 ， 则 各瞬态分量都是衰减的， 各瞬态分量都是衰减的，则有 lim c(t ) = 0 ，此 t →∞ 时系统是稳定的。 时系统是稳定的。 * 如果特征根中有一个或一个以上具有正实 部，则该根对应的瞬态分量是发散的， 不成立，系统不稳定。 此时 lim c(t ) = 0 不成立，系统不稳定。 t →∞ * 如果特征根中具有一个或一个以上的零实 部根， 而其余的特征根均有负实部， 部根 ， 而其余的特征根均有负实部 ， 则 c(t) 作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态。 作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态。
只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。 只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
稳定与不稳定系统的示例
物理意义上的稳定概念
d
φ φ
A f
c
f
A'
A
f
A
图a 摆运动示意图 稳定系统） （稳定系统）
图b 不稳定系统
图c 小范围稳定系统
数学意义上的稳定概念
δ 根据上述稳定性的定义， 根据上述稳定性的定义，可以用 (t)函数 作为扰动来讨论系统的稳定性。 作为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时， 设线性定常系统在初始条件为零时，输 入一个理想单位脉冲 δ(t) ， 这相当于系统在 零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用， 零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用， 如果当t趋于∞ 系统的输出响应c(t)收敛 如果当t趋于∞时，系统的输出响应 收敛 到原来的零平衡状态， 到原来的零平衡状态，即
(s −λ )(s −λ2)L s −λk )[(s −σ1)2 +ω2]L s −σr )2 +ωr2] = 0 ( [( 1 1
2 (s −λ )(s −λ2)L s −λk )[s2 −2σ1s +σ1 +ω2]L s2 −2σrs +σr2 +ωr2] = 0 ( [ 1 1
只有当所有根都位于左半平面， 只有当所有根都位于左半平面，即 λi < 0, σ j < 0 ，上式展 开后，才能保证特征方程式的所有系数均为正。 开后，才能保证特征方程式的所有系数均为正。
线性定常系统稳定的充分必要条 件 ： 闭环系统特征方程的所有根都具 有负实部， 有负实部 ， 或者说闭环传递函数的所 有极点均位于为S平面的左半部分（ 有极点均位于为S平面的左半部分（不 包括虚轴） 包括虚轴）。
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统， 对高阶系统 ， 在求根时将会遇到较大的困 难 。 人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法 例如:直接用系 间接方法， 别系统稳定性的间接方法，例如 直接用系 数就可以判断系统的稳定性。 数就可以判断系统的稳定性 。 而劳斯判据 就是其中的一种。 就是其中的一种。
2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性) 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
a 0 s n + a1 s n −1 + L + a n −1 s + a n = 0
2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性) 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
a 0 s n + a1 s n −1 + L + a n −1 s + a n = 0
(n根积和)
证明二： 证明二：
an −1 an a1 n −1 a2 n − 2 s + s + s ...... + s+ = ( s − p1 )( s − p2 )......( s − pn ) = 0 a0 a0 a0 a0
n
,2 k 和 对共轭复数根 设方程有k个实根 i 设方程有 个实根 λ (i =1 ,L ) r对共轭复数根 (σj ± jωj )( j =1 L 且 ,2 r k+2r=n) ，则
思路：寻找直接用系数就可以判断系统的稳定性的方法。 思路：寻找直接用系数就可以判断系统的稳定性的方法。
1、稳定的必要条件 系统稳定的必要条件是其特征方程
a0 s n + a1s n −1 + a2 s n − 2 + L + an −1s + an = 0 (a0 > 0)
的各项系数均为正， 的各项系数均为正，即 系数均为正
系统稳定
特征方程式所有根 都位于左半平面
特征方程式各 项系数均为正
由此可见，系统稳定的必要条件是其特征方程 由此可见，系统稳定的必要条件是其特征方程 的各项系数均为正， 的各项系数均为正，即
a > 0 (i = 012 L n ,, , , ) i
分析稳定性， 分析稳定性，首先分析必要条件 首先检查系统特征方程的系数是否都大 于零，若有任何系数是负数或等于零， 于零 ， 若有任何系数是负数或等于零 ， 则系 统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时， 统是不稳定的 。 如果满足稳定的必要条件时 ， 再使用劳斯判据判别系统是否稳定。 再使用劳斯判据判别系统是否稳定。
1 s5 4 6 s 3 67 s s2 791 1 s 36900 s0 134 14 17 58 134 10 2 (同乘以6，实质是不除6) （同乘以67，不除67） （同乘以791，不除791）
由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。 由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。
利用MATLAB判定例1 利用MATLAB判定例1系统稳定性 MATLAB判定例 >>den =[1,6,14,17,10,2]; >> syms EPS >> ra=routh(den,EPS) ra = [ [ [ 1, 6, 67/6, 14, 17, 29/3, 2, 10] 2] 0] 0] 0] 0]
（1）劳斯表第一列所有系数均不为零 ） 如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的 符号（正值），则系统是稳定的， ），则系统是稳定的 符号（正值），则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。 一列系数符号改变的次数。 注意： 注意：a0>0
ai > 0 (i = 0,1, 2,L , n)
证明一： 证明一：
an−1 an a n−1 a2 n−2 1 s + s + s ......+ s + = (s − p )(s − p2)......(s − pn) = 0 1 a0 a0 a0 a0
n
将上式展开得特征根与特征方程系数的关系如下： 将上式展开得特征根与特征方程系数的关系如下：
原
S S S S
n
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 a4 ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
数 据
始
n −1 n−2 n−3
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
劳 斯 表
⋅
计 算 数 据
⋅ ⋅ S S
2
d1 e1 f1
d2 e2
d3
S1
0
五阶Routh表的列写方法举例 表的列写方法举例 五阶
a0 s + a1s + a2 s + a3s + a4s + a5 = 0
第三章 时域分析法
第五节 线性系统的稳定性分析
在控制系统的分析研究中， 在控制系统的分析研究中 ， 最重要 的问题是系统的稳定性问题。 的问题是系统的稳定性问题 。 不稳定的 系统在受到外界或内部的一些因素扰动 时 ， 会使被控制量偏离原来的平衡工作 状态， 并随时间的推移而发散。 因此， 状态 ， 并随时间的推移而发散 。 因此 ， 不稳定的系统是无法正常工作的。 不稳定的系统是无法正常工作的。
4 8 Amplitude 6 4 2 -6 2 4 6 8 1 0 T e(s c im e) 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 0 0
0 .5
0 .2
0
2
0 .4
0 -0 .5
0
0 .3
-0 .2
-2
0 .2
-0 .4 -1
-4
0 .1
-0 .6
0 0
1
2
3 T e(sc im e)
4
5
6
n a3 = − ∑ pi ⋅ p j ⋅ p k a0 i , j , k =1 i≠ j≠ k
(3根积和)
只有当所有根都位于左半平面， 只有当所有根都位于左半平面 ， 才能保证特征方 所有系数均为正 程式的所有系数均为正。 程式的所有系数均为正。
n an n = ( − 1) Π p i = ( − 1) n Ρ 1 ⋅ Ρ 2 ......Ρ n i =1 a0
s2 s1
6×10−1×2 58 = 6 6 67 ×2−6×0 6 =2 67 6
2 s0 劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。 劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。
为简化运算， 为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正 数后，再继续运算。 数后，再继续运算。
本例中，劳斯表可按如下方法计算： 本例中，劳斯表可按如下方法计算：
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。 已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 + 6s4 +14s3 +17s2 +10s + 2 = 0 解 列劳斯表 14 1 s5 6 s4 17
10
2
s
3
6×14 −1×17 67 = 6 6
67 58 ×17 −6× 6 6 = 791 67 67 6 791 58 67 × − ×2 6150 67 6 6 = 791 791 67
[ 791/67,
[ 6150/791, 0, [ 2, 0,
解特征方程求根判断稳定性： >> s=solve('s^5+6*s^4+14*s^3+17*s^2+10*s+2=0')
s= [ -1]
[-3/2+1/2*5^(1/2)] [ -3/2-1/2*5^(1/2)] [ [ -1+i] -1-i]