高三数学 第七篇 第五节相关性及最小二乘估计 理 北师大版
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精品课件
相关关系的判断
在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人 的身高和体重的统计资料如表：
身高 14 15 15 17 16 17 17 16 16 16 (cm) 3 6 9 2 5 1 7 1 4 0 体重 根据(k上g述) 数据41，画49出散61点图79并判68断居6民9 的7身4 高6和9 体6重8 之5间4是否
i＝1 b＝
i＝1
＝
n
(xi－－x )2
n xi2－n－x 2
i＝1
a＝－y －b－x
i＝1
其中a，b是线性回归方程的系数．
精品课件
1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( ) A．正方形的面积与周长 B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间 C．人的身高与体重 D．人的身高与视力 【解析】 A、B中的两个变量是函数关系，D中的两个变量 不具有任何关系，C中人的身高与体重有相关关系． 【答案】 C
问这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系？
学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
12 0
10 8
11 7
10 4
10 3
11 0
10 4
10 5
99
10 8
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
精品课件
【解析】 两次数学考试成绩散点图如图所示．由散点图可 以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，且y随x的变大 而变大，具有相关关系．因此，这10名中学生的两次数学考试成 绩具有相关关系．
精品课件
2．有关线性回归的说法，不正确的是( ) A．相关关系的两个变量是非确定关系 B．散点图能直观地反映数据的相关程度 C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D．散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强 【解析】 散点图上的点大致分布在通过散点图中心的那条 直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系越强． 【答案】 D
有相关关系．
精品课件
【思路点拨】 (1)用x轴表示身高，y轴表示体重，逐一描出 各组值对应的点．
(2)分析两个变量是否存在相关关系． 【自主探究】 以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应 的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．
精品课件
【方法点评】 在散点图中，如果所有的样本点都落在某一 函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具 有函数关系．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量 之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量 之间就有线性相关关系．
上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间关系；⑤学生的身高与
其学号之间的关系，其中有相关关系的是________．
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【解析】 ②是一一对应的关系，⑤身高与学号无关系，①、 ③、④中变量有相关关系．
【答案】 ①③④ 5．若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关，若 回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水稻的产量为 ________． 【解析】 当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg)． 【答案】 650 kg
求b，a 得回归方程
【自主探究】 (1)由题设所给数据，可得散点图如图．
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(3)当x=7时，y=6.5×7+17.5=63， 即当广告费支出为7百万元时的销售额为63百万元． 【方法点评】 1.最小二乘法是一种有效地求回归方程的方法 ，它保证了各点与此直线在整体上最接近，最能反映样本观测据数 的规律． 2．最小二乘法估计的一般步骤： (1)作出散点图，判断是否线性相关； (2)如果是，则用公式求a、b，写出回归方程； (3)根据方程进行估计．
2.以实际生活为背景，重在考查回归方程的求法.
示 3.在高考题中本部分的精命品课题件主要是以选择、填空题
1．散点图
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了
解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一
个图，通常称这样的图为变量之间的 散点图
．
2．线性相关
(1)从散点图上看，如果变量之间存在某种关系，这些点有一个集
3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的
平方和 最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程为y＝bx＋a，则
精品课件
n
(xi－－x )(yi－－y )
n xiyi－n－x －y
从散点图可知，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的 值也由小变大，这种相关称为正相关．如年龄的值由小变大时，体 内脂肪含量也在由小变大．
反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大 变小，这种相关称为负相关．
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1．现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学 后的第一次数学成绩y，数据如表：
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3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)
，则回归直线的回归方程是( )
A．y＝1.23x＋4
B．y＝1.23x＋5
C．y＝1.23x＋0.08 D．y＝0.08x＋1.23
【解析】 当x＝4时，y＝1.23×4＋0.08＝5.故选C.
【答案】 C
4．下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线
中的大致趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称
为 曲线拟合
．
(2)若两个变量x和y的散点图中所有点看上去都在 一条直线
附近波动，则称变量间线是性相关
的．此时一，条我直们线可以用
近拟．
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(3)若所有点看上去都在某条曲线(不是直线)附近波动，则 称此相关为非线性相关的．
(4)如果所有的点的散点图中没有显示任何关系，则称变量 间是 不相关 的．
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求回归方程
某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之 间有如下对应数据
x2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
(1)画出散点图； (2)求回归直线方程； (3)预测当广告费支出为7百万元时的销售额．
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【思路点拨】
作散点图
5
5
求出 x ， y ，i＝1xi2，i＝1xiyi
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第五节 相关性及最小二乘估计
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考 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散 纲 点图认识变量间的相关关系. 点 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归 击 方程系数公式建立线性回归方程.
1.以考查线性回归系数为主，同时可考查利用散点
热 图判断两个变量间的相关关系.
点 提
相关关系的判断
在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人 的身高和体重的统计资料如表：
身高 14 15 15 17 16 17 17 16 16 16 (cm) 3 6 9 2 5 1 7 1 4 0 体重 根据(k上g述) 数据41，画49出散61点图79并判68断居6民9 的7身4 高6和9 体6重8 之5间4是否
i＝1 b＝
i＝1
＝
n
(xi－－x )2
n xi2－n－x 2
i＝1
a＝－y －b－x
i＝1
其中a，b是线性回归方程的系数．
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1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( ) A．正方形的面积与周长 B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间 C．人的身高与体重 D．人的身高与视力 【解析】 A、B中的两个变量是函数关系，D中的两个变量 不具有任何关系，C中人的身高与体重有相关关系． 【答案】 C
问这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系？
学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
12 0
10 8
11 7
10 4
10 3
11 0
10 4
10 5
99
10 8
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
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【解析】 两次数学考试成绩散点图如图所示．由散点图可 以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，且y随x的变大 而变大，具有相关关系．因此，这10名中学生的两次数学考试成 绩具有相关关系．
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2．有关线性回归的说法，不正确的是( ) A．相关关系的两个变量是非确定关系 B．散点图能直观地反映数据的相关程度 C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D．散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强 【解析】 散点图上的点大致分布在通过散点图中心的那条 直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系越强． 【答案】 D
有相关关系．
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【思路点拨】 (1)用x轴表示身高，y轴表示体重，逐一描出 各组值对应的点．
(2)分析两个变量是否存在相关关系． 【自主探究】 以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应 的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．
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【方法点评】 在散点图中，如果所有的样本点都落在某一 函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具 有函数关系．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量 之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量 之间就有线性相关关系．
上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间关系；⑤学生的身高与
其学号之间的关系，其中有相关关系的是________．
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【解析】 ②是一一对应的关系，⑤身高与学号无关系，①、 ③、④中变量有相关关系．
【答案】 ①③④ 5．若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关，若 回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水稻的产量为 ________． 【解析】 当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg)． 【答案】 650 kg
求b，a 得回归方程
【自主探究】 (1)由题设所给数据，可得散点图如图．
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(3)当x=7时，y=6.5×7+17.5=63， 即当广告费支出为7百万元时的销售额为63百万元． 【方法点评】 1.最小二乘法是一种有效地求回归方程的方法 ，它保证了各点与此直线在整体上最接近，最能反映样本观测据数 的规律． 2．最小二乘法估计的一般步骤： (1)作出散点图，判断是否线性相关； (2)如果是，则用公式求a、b，写出回归方程； (3)根据方程进行估计．
2.以实际生活为背景，重在考查回归方程的求法.
示 3.在高考题中本部分的精命品课题件主要是以选择、填空题
1．散点图
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了
解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一
个图，通常称这样的图为变量之间的 散点图
．
2．线性相关
(1)从散点图上看，如果变量之间存在某种关系，这些点有一个集
3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的
平方和 最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程为y＝bx＋a，则
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n
(xi－－x )(yi－－y )
n xiyi－n－x －y
从散点图可知，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的 值也由小变大，这种相关称为正相关．如年龄的值由小变大时，体 内脂肪含量也在由小变大．
反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大 变小，这种相关称为负相关．
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1．现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学 后的第一次数学成绩y，数据如表：
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3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)
，则回归直线的回归方程是( )
A．y＝1.23x＋4
B．y＝1.23x＋5
C．y＝1.23x＋0.08 D．y＝0.08x＋1.23
【解析】 当x＝4时，y＝1.23×4＋0.08＝5.故选C.
【答案】 C
4．下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线
中的大致趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称
为 曲线拟合
．
(2)若两个变量x和y的散点图中所有点看上去都在 一条直线
附近波动，则称变量间线是性相关
的．此时一，条我直们线可以用
近拟．
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(3)若所有点看上去都在某条曲线(不是直线)附近波动，则 称此相关为非线性相关的．
(4)如果所有的点的散点图中没有显示任何关系，则称变量 间是 不相关 的．
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求回归方程
某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之 间有如下对应数据
x2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
(1)画出散点图； (2)求回归直线方程； (3)预测当广告费支出为7百万元时的销售额．
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【思路点拨】
作散点图
5
5
求出 x ， y ，i＝1xi2，i＝1xiyi
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第五节 相关性及最小二乘估计
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考 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散 纲 点图认识变量间的相关关系. 点 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归 击 方程系数公式建立线性回归方程.
1.以考查线性回归系数为主，同时可考查利用散点
热 图判断两个变量间的相关关系.
点 提