运用公式法因式分解

运用公式法因式分解一、教学目标1. 认知目标：分解因式的意义.2. 能力目标：掌握公式法分解因式的步骤，灵活运用公式法分解因式.二、教学重难点1. 重点：观察各项多项式是否含有公因式.2. 难点：提取公因式要提“全”提“净”;合理选用公式进行因式分解.三、教学过程（一）温故1. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方式：(a-b)2＝a2-2ab＋b2(a+b)2＝a2+2ab＋b23. 练一练（二）知新例1. 把下列各式分解因式：(1) (a+b)2 -1 (2) x4-1(1) (a+b)2 -1解析：应先观察多因式的特征，后利用公式法分解.解： (a+b)2 -1=(a+b)2 -12=(a+b+1)(a+b-1)(2) x4-1解析：发现两项均可写成平方的形式，并且两项符号相反，故可用平方差公式分解，且注意一定要分解彻底.x4-1= x4-12=(x2+1)(x2-1)= (x2+1)(x+1)(x-1)小练手1:(1) (x-3y)2-4x2(2) 9(a+2b)2-4(a-b)2例 2. x3-xy2分析：观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，根据其特点，首先采取提公因式法，之后利用公式法分解。

x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)小小总结：分解因式步骤：提取公因式法---公式法---直到各个因式能化简到不能化简为止.小练手2(x-3y)2-4x2 9(a+2b)2-4(a-b)2例 3.把下列各式分解因式：(1) m2-12m+36 (2) –a2+2ab-b2(1) m2-12m+36解析：直接利用完全平方差公式m 2-12m+36=(m-6)2(2) –a 2+2ab-b 2解析：先提取-1，之后利用完全平方差公式–a 2+2ab-b 2=-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b)2 小练手 3：(1) 19 m 2+1+23m (2)x 4+16y 2-8x 2y例 4.2a 3b+8a 2b 2+8ab 3解析：先提取公因式，然后再利用完全平方式。

因式分解运用公式法

第六节因式分解（二）运用式法【细心听讲】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。

【大家一起学】例1．把下列各式分解因式：（1）224b a - （2）11622-y x （3）22481916b a +-（4）2916a - （5）36122+-m m （6）2241y xy x +-（7）222y xy x -+-（8）224649b ab a ++例2．把下列多项式分解因式：（1）222224)(b a b a -+（2）502022+-x x（3）424255b m a m - （4）222231212m n m n m +-例3．分解因式（1）9)(6)(222+-+-x x x x （2）22)3()2(--+y x（3）22)2(25)1(16+--x x （4）)()(2x y b y x a -+-（5）)(12)(9422n m m n m m ++++ （6）)()(422m n b n m a -+-例4．已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++。

例5．已知7,1-==+xy y x ，利用分解因式，求代数式222y xy x +-的值。

例6．已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。

例7．利用分解因式计算：（1）433.1922.122⨯-⨯ （2）2298196202202+⨯+【大家一起练】1．分解因式=-x x 2. 2．分解因式=-2225y x 。

因式分解有哪些方法

在初高中，同学们都会接触到很多因式分解的例子与试题，那有什么因式分解的方法呢，须注意什么。

以下是由编辑为大家整理的“因式分解有哪些方法”，仅供参考，欢迎大家阅读。

因式分解的方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

二、平方差公式1、式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。

2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项;②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同;③有一项是这两个数的积的两倍。

3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

用公式法进行因式分解“五技巧”

用公式法进行因式分解“五技巧”运用公式法分解因式是一种重要的方法，为帮助大家尽快掌握该方法，下面以基本习题为例，分类说明使用公式法分解因式的几点技巧.一、直接运用公式例1 分解因式：（1）()224n m m +-；（2）4)(4)(2++++y x y x . 分析：把m 2、)(n m +、()y x +作为一个整体处理，直接运用公式分解．解：（1）原式=()[]()[]n m m n m m +-++22=()()n m n m -+3（2）原式=()22++y x 二、排序后用公式例2 分解因式：（1）2216y x +-；（2）222y x xy ---.分析：初看这二个多项式都不符合公式的特征，但只要重新排序后，就可以直接运用公式分解．解：（1）原式=2216x y -=()()x y x y 44-+（2）原式=222)()2(y x y xy x +-=++-三、指数变换后用公式例3 分解因式：（1）14-x ；（2）4241a a ++. 分析：表面上看不是平方差公式、完全平方公式的形式，但对指数变形后就可以转化为公式形式，进而应用公式直接分解．解：（1）原式=)1)(1)(1()1)(1(1)(22222-++=-+=-x x x x x x（2）原式=()222221212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+a a =2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 四、系数变换后用公式例4 分解因式：（1）224169y x -；（2）2)(9)(124y x y x -+--.分析：将系数写成平方的形式，使之符合公式的特征，为运用公式创造条件．解：（1）原式=)213)(213()2()13(22y x y x y x -+=-；（2）原式=2222)332()](32[)](3[)(3222y x y x y x y x +-=--=-+-⨯⨯-.五、去括号后用公式例5 分解因式： 1)3)(1(+++x x .分析：显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式分解，可先把)3)(1(++x x 展开后再解题．解：原式=222)2(44134+=++=+++x x x x x .。

公式法求因式分解

公式法求因式分解
在研究一元二次方程时，关于因式分解的概念是考虑的重头戏。

因式分解是将一个多项式拆分成最简单的多项式乘积形式，也就是各个项都是单项式。

因式分解也是解决一元二次方程的重要基础，是求解多项式比较难以求解的情况下有用的一个系统化的方法。

那么，公式法求因式分解又是怎样的过程呢？
公式法求因式分解，是以一元二次方程为基础，根据定理，使用“一元二次方程的系数定义”，得出“一元二次方程的根的公式”。

一元二次方程的系数定义是a\times X^2+b\times X+c=0, 其中a, b, c为常数， X为未知数。

这里定义了a, b, c，接下来要求出该方程的根，即X的值。

左右乘以一个该方程本身的共轭乘数①，这里定义共轭乘数为D，再由共轭乘数定义得出一元二次方程的根的公式：X1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}；X2=\frac{-b-
\sqrt{b^2-4ac}}{2a}。

由此，我们可以把一元二次方程分解成多项式乘积，也是因式分解的过程：(X-X1)(X-
X2)=0，那么，X=X1或X=X2。

可以看到：X-X1=0 即X1=X；X-X2=0即X2=X，因此：X^2-X1X-X2X+X1X2=0，等号后面正好是一个一元二次方程，也就是说原来的多项式可以分解成2个单项式的乘积。

因此，通过使用公式法求因式分解，可以将一元二次方程精确拆分出多项式的单项式，为求解一元二次方程的根提供了可靠的基础。

有了因式分解的这种方法，可以精确求解一元二次方程的根，从而进一步探究一元二次方程的解以及其对开变换的运用。

由此可见，公式法求因式分解在研究一元二次方程时发挥着十分重要的作用。

公式法进行因式分解

公式法进行因式分解公式法是一种常用于因式分解的方法。

它通过利用特定公式对给定的表达式进行变形，从而找到其因式分解形式。

公式法涉及的公式主要有"二次差平方公式"、"三角恒等式"、"立方差公式"等等。

下面将详细介绍这些公式及如何应用它们进行因式分解。

一、二次差平方公式：二次差平方公式是因式分解中经常使用的一种公式，它可以将二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。

该公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，给定一个二次多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为：x^2-4=(x+2)(x-2)二、三角恒等式：三角恒等式也是一种常用的公式法，它适用于因式分解中出现三角函数的情况。

例如，当出现sin^2(x)时，我们可以利用三角恒等式将其转化为更容易处理的形式。

常用的三角恒等式有：1.三角平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)2.三角和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cos AcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)例如，考虑一个包含sin^2(x)的表达式sin^2(x) - 1，我们可以通过应用三角平方和公式将其因式分解为：sin^2(x) - 1 = (sin(x) + 1)(sin(x) - 1)三、立方差公式：立方差公式适用于因式分解中出现立方的情况，它可以将两个立方数的差分解为一次多项式乘以二次多项式。

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)例如，给定一个立方差表达式x^3-1，我们可以利用立方差公式将其因式分解为：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)除了上述列举的公式，还有很多其他的公式可以用于因式分解，如求和公式、差积公式、分式分解公式等。

因式分解的9种方法

1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。

2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。

注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。

例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三：把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。

《运用公式法分解因式》

《运用公式法分解因式》分解因式是一个求解多项式的过程，通过将多项式化简为乘积的形式，可以更加方便地进行计算和研究。

运用公式法分解因式是其中一种常用的方法，适用于特定类型的多项式。

公式法是基于代数公式进行因式分解的一种方法。

在这种方法中，我们使用一些常见的代数公式来分解因式。

下面将介绍几种常用的公式以及它们的运用方式。

1.平方差公式：平方差公式是指两个平方数之差的公式。

具体表达式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。

这个公式可以用来分解差的平方的因式。

例如，要将多项式x²-4分解因式，可以运用平方差公式：x²-4=(x+2)(x-2)。

2.完全平方公式：完全平方公式是指一个二次多项式的平方是由一或两个二次项的和组成的。

具体表达式为：a² + 2ab + b² = (a + b)²。

这个公式常常用来分解完全平方的因式。

例如，要将多项式x² + 4x + 4分解因式，可以运用完全平方公式：x²+4x+4=(x+2)²。

3.因式分解公式：因式分解公式是将多项式分解为一系列二次因式的公式。

具体表达式为：ax² + bx + c = (px + q)(rx + s)。

其中，p、q、r、s是常数，通过将多项式的系数与这些常数进行匹配，就可以分解因式。

例如，要将多项式2x² + 7x + 3分解因式，可以运用因式分解公式：2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)。

除了上述的公式，还有一些其他的公式也可用于因式分解，例如差的立方公式、和的立方公式、四项同乘公式等等。

运用这些公式，我们可以将复杂的多项式分解为简单的因式，从而更加方便地进行计算和分析。

除了公式法，还有其他的方法可以用于分解因式，例如公因式提取法、因式分解法等等。

不同的方法适用于不同类型的多项式，我们需要根据具体的问题选择最合适的方法。

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。

1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。

下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。

因式分解——运用公式法

因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。

通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。

公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。

例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。

2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。

例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。

3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。

例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。

4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。

例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。

5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。

例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。

除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。

例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。

根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。

因式分解公式法

因式分解类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22 注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。

例如：分解因式：（1）291x -；（2）221694b a -；（3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。

例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）22)(9y x x -+-；（2）22331n m - 说明因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。

例2 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+. 说明将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ；（2）982+-x x ；（3）91242--x x ；（4）223612y x xy ++-. 说明可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x ； ⑵ 22914942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.例5 分解因式：⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m . ⑷ 63244914b b a a +-⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a说明在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值. 说明根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 说明将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值. 说明这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。

因式分解的七种常见方法

因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。

在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。

1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。

公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。

它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。

例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。

它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。

例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。

它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。

例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。

这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。

3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。

该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。

例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。

12.5.2运用公式法因式分解

(2) (x y)2 (x y) 1 4
用完全平方公式因式分解
(1)m2 2nm n2；（2）1 a a2 4
(3) 4x2 4xy y2；（4）1 9a2 6a (5)(a b)2 4ab；（6） 25y2 20xy 4x2
(7)(a b)2 2(a b) 1
复习：一、因式分解的定义：
1、 3xy3z 6x2 y2
2、把 2a(b-c) -3(b-c)分解因式.
二、提公因式的方法：①看系数，找系数的最大公约数 ②看字母，找所有项的相同字母 ③看指数，找相同字母的最小指数
三、整式的乘法与因式分解有什么关系？
平方差公式与完全平方公式 1、平方差公式： (a b)(a b) a2 b2
号提出来，或者交换加数的位置。（2）有公因式要先提公因式。（3看看可不可以运用平方差公式法（4）观察结果，看还可不可以分解。
14x2 64
2 1 b2 9a2
9
325a3 49a 4(2a 3b)2 (3a 2b)2 5a4 81 63x4 y(a b) 27x2 y3(a b)
本节课开始的速算题你现在会做吗？
（1） 20082 4016 2007 20072
解：原式 2008 2 2 2008 2007 2007 2
1 （2008 2007）2
（2） 20082 20072
解：原式（2008 2007）(2008 2007)
a2-b2=(a+b)(a-b) 四、因式分解的步骤：①首项有“-”，把“-” 提出来 ②有公因式先提，③使用平方差公式因式分解④检查最后结果是否分解完全。

因式分解的常用方法7种

因式分解的常用方法(7种)把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式) 因式分解X2-1 ---------- * (X+1)(X-1)I y整式乘法一■、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)如何找公因式？(1)取各项系数的最大公约数；(2)取各项都含有的相同字母；(3)取相同字母的最低次赛.二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b) = a2-b2(2)(a±b)2 = a2±2ab+b2(3)(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3= a3+b3(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3= a3-b3下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c] 2=(a+b+c) 2 ；(6)a3+b3+c3-3abc=(a3+ab2+ac2-a2b-abc-ca2) + (a2b+b3+bc2-ab2-b2c-abc) + (a2c+b2c+c3-abc-bc2-c2a) = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知a，b, c是A ABC的三边，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则A ABC的形状是() 人.直角三角形8等腰三角形C等边三角形口等腰直角三角形解：a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca n 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 2 ab + 2 bc + 2 can (a一b)2 + (b一c)2 + (c一a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部” 看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解运用公式法全面版

a2－b2=(a+b)(a－b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2 请看第一题中第4题能否往下做？
x4－y4=x2（x2－y2）=x2(x+y)(x-y)
四、试试看,把下列多项式分解因式 1、25-16x2= (5+4x)(5-4x) 2、9a2-0.25b2= (3a+0.5b)(3a-0.5b) 3、－m2+0.01n2= 0.01n2-m2 =(0.1n+m)(0.1n-m) 4、x2+14x+49= (x+7)2 5、y2-16y+64= (y-8)2 6、4a2-12ab+9b2= (2a-3b)2 7、25x2y2+10xy+1= (5xy+1)2
谢谢指导
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时

小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法

类型1 提公因式法 1.因式分解: ( 1 )2x( a-b )+3y( b-a ); 解:原式=2x( a-b )-3y( a-b )=( a-b )( 2x-3y ). ( 2 )x( x2-xy )-( 4x2-4xy ). 解:原式=x2( x-y )-4x( x-y )=x( x-y )( x-4 ). 2.简便计算:
8.用十字相乘法分解因式: ( 1 )2x2-3x+1; 解:2x2-3x+1=( 2x-1 )( x-1 ). ( 2 )6x2+5x-6. 解:6x2+5x-6=( 2x+3 )( 3x-2 ).
小专题（六）因式分解的几种常见方法 -9-
类型5 拆项、补项法 9.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法,它通常是把多项式中的某一项拆成几项,再分组分解,因而有时需要多次实验才能成功,例如把x3-3x2+4分解因式,这是一个三项式,最高次项是三次项,一次项系数是0,本题没有公因式可提取,又不能直接应用公式,因而考虑制造分组分解的条件,把常数项拆成1和3,原式就变成( x3+1 )-( 3x2-3 ),再利用立方和与平方差先分解,解法如下: 原式=x3+1-( 3x2-3 )=( x+1 )( x2-x+1 )-3( x+1 )( x-1 )=( x+1 )( x2-x+13x+3 )=( x+1 )( x-2 )2. 公式:a3+b3=( a+b )( a2-ab+b2 ),a3-b3=( a-b )·( a2+ab+b2 ).
小专题（六）因式分解的几种常见方法 -7-
类型3 分组分解法 6.将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法,一般的分组分解法有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等. 如“2+2”分法: ax+ay+bx+by=( ax+ay )+( bx+by )=a( x+y )+b( x+y )=( x+y )( a+b ). 请你仿照以上方法,探索并解决下列问题: ( 1 )分解因式:x2-y2-x-y; ( 2 )分解因式:9m2-4x2+4xy-y2; ( 3 )分解因式:4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1. 解:( 1 )原式=( x2-y2 )-( x+y )=( x+y )( x-y )-( x+y )=( x+y )( x-y-1 ). ( 2 )原式=9m2-( 4x2-4xy+y2 )=( 3m )2-( 2x-y )2=( 3m+2x-y )( 3m-2x+y ). ( 3 )原式=( 2a+1 )2-b2( 2a+1 )2=( 2a+1 )2( 1+b )·( 1-b ).

因式分解公式法公式法

因式分解公式法公式法因式分解是一种将多项式表达式表达为若干个因子相乘的方法。

它在代数学中具有重要的地位和作用。

本文将详细介绍因式分解的各种公式和方法。

1.平方差公式：平方差公式是因式分解的基础，可以用于分解含有二次项的平方差式。

其公式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$这个公式告诉我们，如果一个二次项的平方差式可以表示成两个因子相乘的形式，那么这两个因子就是该平方差式的因子。

例如，对于$x^2-4$这个平方差式，我们可以看出其中的二次项是$x^2$，它的平方根是$x$，而4的平方根是2、因此，根据平方差公式，我们可以将它因式分解为$(x+2)(x-2)$。

2.完全平方公式：完全平方公式是因式分解中常用的一种公式，可以用于分解含有二次项和常数项的完全平方式。

其公式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$其中，$a$和$b$可以是任意实数。

这个公式告诉我们，一个完全平方式可以写成两个相同因子相乘的形式。

例如，对于$x^2+6x+9$这个完全平方式，我们可以看出其第一项的平方根是$x$，而常数项的平方根是3、根据完全平方公式，我们可以将它因式分解为$(x+3)^2$。

3.分组法：分组法是一种常用的因式分解方法，适用于含有四个以上项的多项式。

它的基本思想是将多项式中的项进行分组，然后找出每个组的公因式，最后再因式分解。

例如，对于$3x^3+6x^2+5x+10$这个多项式，我们可以将其按照项数分成两组，即$(3x^3+6x^2)$和$(5x+10)$。

然后，我们可以看到第一组中的两个项都含有$x^2$这个公因式，可以因式分解为$3x^2(x+2)$。

第二组中的两个项都含有5这个公因式，可以因式分解为$5(x+2)$。

因此，原多项式可以因式分解为$3x^2(x+2)+5(x+2)=(3x^2+5)(x+2)$。

4.因式分解公式法：例如，对于$x^3-1$这个多项式，我们可以看到其中有一个立方项和一个一次项，可以尝试使用立方差公式进行因式分解。

运用公式法分解因式

运用公式法分解因式一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。

例1、分解因式：（1）x 2-9；（2）9x 2-6x+1。

二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

例2、分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5；（2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。

三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4.四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4.五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。

例5、分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y).六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。

例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1).七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。

例7、分解因式：(x 2+4)2-16x 2.作业（3.16）：1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（）(A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（）(A)22x y +(B)222x xy y -+ (C)222x xy y +- (D)22x xy y ++ 3、 41x -的结果为（）Ａ．22(1)(1)x x -+Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 4、代数式42281969x x x x ---+，，的公因式为（）Ａ．3x -Ｂ．2(3)x + Ｃ．3x + Ｄ．29x + 5、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（）Ａ．40 Ｂ．40± Ｃ．20 Ｄ．20±6、填空： 22()m mn ++= ．7、利用因式分解计算2100991981=++ ． 8、分解因式：241x -= ．分解因式：24a -= ．9、（1）运用公式法计算：222218161301181--．（2）用简便方法计算：228001600798798-+×． 10、分解因式：（1）221664a x ax ++（2）216(23)a b -+ 11、把下列各式分解因式．（1）249x -；（2）224169x y -；（3）2125a -+；（4）220.01625m n -． 12、把下列各式分解因式．（1）2816a a ++；（2）2(2)6(2)9a b a b ++++；（3）221222x xy y ++；（4）2244mn m n ---． 13、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值． 14、把下列各式分解因式．（1）269x x ++；（2）242025x x -+；（3）222816a b abc c -+；（4）221424a ab b ++；（5）2()4()4a b a b +-++． 15、把下列各式分解因式．（1）20042003()16()m n m n --- ；（2）22222()4x y x y +-．16、把(1)(3)1x x --+分解因式．真实自测：选择题1、代数式x 4－81,x 2－9,x 2－6x ＋9的公因式为（）A 、x +3B 、（x +3）2C 、x －3D 、x 2+92、若9x 2－m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m=（）A 、12B 、24C 、±12D 、±243、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（） A 、3或28 B 、3和－28 C 、－23和14 D 、－23和－14 4、下列变形是因式分解的是（）A 、x 2+x －1=（x +1）（x －1）+x ,B 、（3a 2－b 2）2=9a 4－6a 2b 2＋b 4C 、x 4－1=（x 2+1）（x +1）（x －1）,D 、3x 2+3x =3x 2（1+x1）5、若81－k x 4=（9+ 4x 2）（3+2x ）（3－2x ）,则k 的值为（）A 、1B 、4C 、8D 、166、下列多项式不能用完全平方公式分解的是（）A 、91a 2+32ab ＋b 2 B 、a 2－6a ＋36 C 、－4x 2+12x y －9y 2 D 、x 2+x ＋41 7、在有理数范围内把y 9－y 分解因式，设结果中因式的个数为n,则n=（），A 、3，B 、4C 、5D 、68、下列多项式不含因式a+b 的是（）A 、a 2－2ab ＋b 2B 、a 2－b 2C 、a 2+b 2D 、（a+b ）49、下列分解因式错误的是（）A 、4x 2－12x y+9y 2=（2x +3y ）2,B 、3x 2y+6x y 2+3y 3=3y （x 2+2x y+y 2）=3y （x +y ）2C 、5x 2－125y 4=5（x －y 2）（x +y 2）D 、－81x 2+y 2=－（9x －y ）（9x +y ）10、下列分解因式正确的是（）A 、（x －3）2－y 2=x 2－6x +9－y 2,B 、a 2－9b 2=（a+9b ）（a －9b ）C 、4x 6－1=（2x 3+1）（2x 3－1）,D 、2x y －x 2－y 2=（x －y ）2填空题11、已知：x 2－6x +k 可分解为只关于x －3的因式，则k 的值为。

公式法进行因式分解

原式=（ 0.5m + 0.1n )( 0.5m – 0.1n )
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例2
(1) ( x + p )2 - ( x + q )2 (2) 16(a-b)2-9(a+b)2 (3) ( a + b + c )2 - ( a – b – c )43; p )2 - ( x + q )2
(2) x2y2 - z2
解：原式= (xy)2 - z2 a2 - b2
根据(gēnjù)平方差公式得：
原式=（ xy + z )( xy - z )
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(3) 0.25m2 - 0.01n2
解：原式= (0.5m)2- ( 0.1n )2
a2 - b2
根据(gēnjù)平方差公式得：
第六页，共29页。
(1) x2 - 16
分析 (fēnx要ī)：用平方差公式把 x2 - 16 分解因式，只要 x2 - 16 具有平方差的形式。因为16 = 42，所以(suǒyǐ) x2 - 16=x2 - 42,它是 x 与 4 的平方差。既然 x2 - 16 确实具有平方差的形式，那么就能够运用平方差公式来分解
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内容(nèiróng)总结
运用公式法进行因式分解。显然，在以上两个多项式中，不能找到公因式，因此不能使用提公因式法进行分解。（x+p)2-(x+q)2是x+p与x+q的平方差。原式
No =[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]。=(2x+p+q)(p-q)。把式子16(a-b)2-9(a+b)2改写成[4(a-b)]2-