闭线性算子的定义域不是闭集的例子

闭线性算子的定义域不是闭集的一个例子

Definition.设X,Y为Banach空间，T是X→Y的线性算子，D(T)是其定义域，称T是闭的，是指由x n∈D(T),x n→x，以及T x n→y就能推出x∈D(T),且y=T x.

Definition.设(X,d)是度量空间，子集E称为疏朗集，如果E不含任何内点。

Definition.在距离空间(X,d)上，集合E称为第一纲集，如果E是可数个疏朗集的并。不是第一纲集的集合称为第二纲集。

Theorem0.1.(Baire)完备距离空间是第二纲集。

Theorem0.2.令E为C[0,1]中处处不可微函数的集合，则E c（即E的补集）为第一纲集。

Proposition0.3.令X=C[0,1],T=d

dt

是X到X中的一个线性算子，D(T)=C1[0,1].证明：T是闭线性算子,但D(T)不是X中闭集。

Proof.如果x n(t)∈C1[0,1],并且有x n→x,dx n dt→y在C[0,1]中，则有：

x n(t)−x n(0)→

∫t

0y(τ)dτ(∀t∈[0,1]),

x n(t)−x n(0)→x(t)−x(0)(∀t∈[0,1]).即得

x(t)=x(0)+

∫t

y(τ)dτ(∀t∈[0,1]).

因此，x∈C1[0,1],且dx

=y(t).

下证D(T)不是X中闭集。

（反证）X=C[0,1],D(T)=C1[0,1]，若D(T)是X中闭集，则D(T)完备，故由定理1知，D(T)为第二纲集。但由定理2知，D(T)是X中第一纲集，矛盾。所以D(T)不是X中闭集。

Remark.以上内容参考张恭庆《泛函分析讲义（上）》。

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