第2章 自动控制理论基础

二
一阶系统暂态性能（第三讲）
微分方程为：
T
C (S ) K 传递函数为： G ( S ) R( S ) TS 1
C
dc(t ) c(t ) Kr (t ) dt
R(S) — R u1(t)
K C(S) TS
实例：如右图所示的电路图，微分方程 为：
2 2 1
du (t ) RC u (t ) u (t ) dt U (S ) 1 传递函数为： G (S ) U ( S ) RCS 1
0 t 1(t ) t
t0 t0
拉氏变换为：
1 S
2
（4） 单位抛物线函数：
0 t 1(t ) t 2 2
2 2
t0 t0
1 拉氏变换为： S
3
注意： （1） 研究系统暂态性能指标时一般采用单位阶跃输入，原因：它是突 变的不连续信号，若系统对单位阶跃输入具有很好的暂态响应，则 对于实际输入信号系统都会具有满意的暂态性能。 （2） 研究稳态误差时，必须首先确定系统的输入类型，因为系统的输 入类型不一样，稳态误差也大不一样。
3
积分环节
C (S ) K G (S ) R( S ) S
dc(t ) Kr (t ) dt 如下电路：
R C
U0(t) Ui(t)
duo (t ) ui (t ) C dt R
G (S )
UO (S ) 1 1 U i (S ) RC S
4
微分环节
dr (t ) c(t ) dt
子。 拉氏变换的用处之一：将微分方程两边同时求拉氏变换后解 方程，对结果进行反拉氏变换，即可得微分方程的解，因 此，简化求解过程。
常用环节的传递函数 1 比例环节
C (S ) G(S ) K R( S )
c(t ) Kr (t )
2 惯性环节
dc(t ) c(t ) Kr (t ) dt
2 C 1
1 2
C
u2(t)
1 1 1 1 RC 当u (t )为单位阶跃时，U ( S ) ( ) S RCS 1 RC S RCS 1
1 反拉氏变换得： u (t ) (1 e ) RC
t RC 2
若取误差限为5%，调整时间：ts=3RC；若取误差限为2%，ts=4RC
定了。 1） 上升时间tr
1 1.1 1.4 t 取tr=t90%-t10%，根据有关公式可得：
r
2
即：
t 1 1.1 1.4
n r
n
2
jω
由上式可画出等tr曲线。
只要闭环极点不落
入某一等tr曲线与 虚轴所包围的区域以内
-ζ tr=0.2 0.7
8 6 4
2 0 -2 -4 -6 -8
0.5
1
2
，那么，系统的实际上升
时间就小于该区域边界相对应的上升时间。
2） 过调量MP： 根据响应曲线，求峰值时间tP，带入即得MP。
t 1
P n
2
M e
P

1 2
MP唯一由阻尼比ζ确定，一般ζ取0.4~0.8， MP对应范围为：26%~1.5%。 由上式可以得到等MP线族图如下：
L
e
( S )
( S )
JS
D
k
E (S )
a
I (S )
a
k
M (S )
e
1
2
- M (S ) 1 M (S )
L
e
-
JS
( S ) 1 ( S ) S
D
§2. 2
控制系统时域分析
系统性能与系统微分方程之间的联系：任何一个物理系统其微分方程的解 分为两个部分：动态解（特解）和稳态解（通解）。动态解（特解） 反应了系统在响应的过渡期间输出量偏离输入量的程度、系统响应 达到稳态所需要的时间等；稳态解（通解）反应了稳态误差。 系统性能与系统传递函数之间的联系：传递函数能反应系统的所有性能。
经典控制理论中常用数学模型：传递函数 传递函数定义：在线性定常系统中，初始条件全为零时，系
统或部件输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
拉氏变换：函数 C (t ) 的拉氏变换定义如下：
C (S ) C (t )e dt
st 0

C ( S ) 称为函数 C (t )
的拉氏变换（象函数），S为拉普拉斯算
如下述电路：
Ui(t) C
C (S ) G(S ) S R( S )
R Uo(t)
1 uo (t ) ui (t ) dt uo (t ) C R
G (S )
UO (S ) RCS U i (S ) RCS 1
相当于一个惯性环节和一个微分环节的组合，只有当RC 远远小于1时，相当于微分环节。
§2.2.1
一 1 典型输入函数
控制系统的动态特性
性能与输入信号类型之间的关系
0 （1） 单位阶跃函数： 1(t ) 1
（2 ） 单位冲击函数：
t0 t0
拉氏变换为：
1 S
0 (t )
t0
t 0
且 (t )dt 1

拉氏变换为： 1
（3） 单位斜坡函数：
2 n C 2 2 2 n
2
n
特征方程： S 2 S 0
2 2 n n
特征根：
S1,2 n n 2 1
当输入c(t ) 1 时 （ 1 ） 1 （2） 过阻尼，无超调，但t 长。
S S
1 临界阻尼，无超调，但 t 比 1短。 （3） 0 1 欠阻尼，振荡，振幅按 指数曲线衰减 （4） 0 等幅振荡。 （5） 0 1 发散振荡，系统不稳定 （6） 1 单调上升，不断增长直 至。
传递函数的求取方法： 1 由微分方程经拉氏变换求取。 线性定常系统可由微分方程描述：
d c(t ) d c(t ) d c(t ) a a a a c(t ) dt dt dt d r (t ) d r (t ) d r (t ) b b b b r (t ) dt dt dt
（7） 单环反馈的化简
U E(S) — B(S) _ G H Y U
G 1 GH
Y
3）有关概念 前馈通路：从系统输入端U(S)沿箭头到输出端Y(S)的通路。 前馈传递函数：G(S)。
反馈通路：输出Y(S)经中间环节反馈到输入端相加点为止的通路。
反馈传递函数：H(S)。 误差信号：输入信号U(S)与反馈信号B(S)之差。
a a a a a
e
2 a
E (S ) k (S ) M (S ) k I (S )
a 1
a
e
2
a
注：me：电磁转矩；J、D转动惯量及阻尼系数；k1、k2为比例系数。 ② 绘制方框图
S
U (S )
a
-
E (S )
a
1 LS
a
I (S )
a
R
a
+
( S ) 1
(S )
- M (S ) 1 M (S ) JS L

m m D J
e L
1 ( S ) ( M ( S ) M ( S ) D( S )) JS
e L
1 ( S ) ( S ) S
e u i R Li
a a a a a
a
e k m ki
a 1
1 I (S ) (U (S ) E (S ) R I (S ) LS
2 性能指标与闭环极点位置之间的关系
闭环传递函数除了前述的表示方式以外，还可以将分子、分母进 一步分解为如下式子：
K (S Z )(S Z )(S Z ) G (S ) S (S P )(S P )(S P )
r 1 2 m C

1
2
n
Kr 称为增益因子；
开环传递函数（G0(S)）：反馈信号B(S)与误差信号E(S)之比。
B( S ) G (S ) G( S ) H ( S ) E (S )
0
闭环传递函数（GC(S)）：输出信号Y(S)与输入信号U(S)之比。
Y (S ) G(S ) G (S ) U (S ) 1 G(S ) H (S )
m m 1 m m 1 1 n n 1 n n 1 1
0
0
2
由方框图、信号流图求取（参阅有关自动控制书籍）。 下面以方框图求取传递函数为例加以讲解。
1） 方框图的建立
（1） 列写描述实际控制系统中每个物理部件动态特性的方程式，并且 表示成线性方程的形式。
注意：所得系统方程个数应与这些方程中所含未知变量（输出变量 及中间变量，不含输入变量）的个数相等。 （2） 在零状态下，对所得时域方程进行拉氏变换，并将结果整理成 频域中线性代数方程组形式。
e
( S )
D
E (S )
a
( S )
k
I (S )
a
k
M (S )
e
1
2
S
U (S ) - E (S )
a
a
整理得：
1 LS
a
I (S )
a
R
1 LS
a
a
-
-
2
R
a
k
1
若不考虑负载转矩ML ,试根据方框图化简规则化简。
+
U (S )
a
I (S )
a
k
+
( S ) 1
(S )
M (S ) 1 M (S )
源自文库
G1 +G2
（4） 方框与相加点前后交换
U G 1 Y + V G1 Y U + 1/G1 U G1 V G1 Y V Y + G1
U + V
（5） 方框与分支点前后交换
U G 1 Y Y U G1 G1 Y Y
U G 1 U
Y
U
G1
Y 1/G1 U
（6） 相加点与分支点前后交换
U
+ + V Y Y U + + + V + V Y Y
三
二阶系统的暂态响应
高阶系统在一定条件下往往可近似为二阶系统进行分析。
1
二阶系统数学模型
2
微分方程： d c(t )
dt
n
2
dc(t ) 2 c(t ) k r (t ) dt
2 2 n n n
:
系统阻尼比
： 系统自然振荡角频率
K K G (S ) 传递函数： T S 2TS 1 S 2 S
C (S ) K G (S ) R( S ) S 1
如直流电机的励磁回路（回路电感L和电阻R）：当励磁电
压输入u时，其输出励磁电流i就相当于一个惯性环节。
di(t ) L Ri (t ) u (t ) dt
I (S ) 1 G (S ) U (S ) L S 1 R
第2章 传统控制方法简介
§2. 1
§2. 2
控制系统数学模型
控制系统时域分析
§2. 3
§2. 4 §2. 5
根轨迹法
控制系统频域分析 离散系统简介
§2.1
分类：
控制系统数学模型(第2讲）
定义：凡揭示控制系统各变量内在联系及关系的解析式或图形表示。 静态模型：在静态条件下描述各变量间关系的数学方程。 动态模型：用微分（或差分）方程描述的各变量动态过程中的关系。 表示形式： 图形表示：信号流图、方块图及频率特性图。 数学表示：微分（差分）方程、传递函数或频率特性、状态空间。 数字计算机上的程序综合。 建模方法： 分析方法：从物理化学规律出发，通过分析和推导，建立数学模型。 实验法：
C
4） 例 如下图所示电枢电压控制式直流电机控制系统，其中，各符号 含义如下，求输出为电机转角、输入为电枢电压的系统传递函数。
+ ua -
Ra ia
La
ea mL
ω
ua:电枢控制电压（V）；θ：旋转角位移；ω：角速度；mL：负载转矩； ea：电枢反电动势；ia：电枢电流；Ra、La：电枢回路等效电阻及等 效电感。 解：① 由物理定律可得： 经拉氏变换后如下：
n n 1 n n n 1 n 1 1 0 m m 1 m m m 1 m 1 1 0
当初始条件全为零时，两边进行拉氏变换，可得传递函 数为：(此公式同后面进行稳定性判据的公式之间有区 别，注意）
C (S ) b S b S b S b G( S ) R( S ) a S a S a S a
（3） 绘制每一代数方程的局部方框图，然后把它们互连起来，构成 一个整体，即得全系统方框图。
2）方框图的化简规则 （1） 相邻点的相加与合并。 U
+ — V
+
+
Y W
U
+ W + — V
Y
（2） 串联方框的合并 （3） 并联方框的合并
U
G1 + +
G2
Y
U G G 1 2
Y Y
U G 1 G2
Y
U
Z1， Z2 ， Z m为传递函数零点； P 1，-P 2， Pn为传递函数极点
由前述讨论可知：典型二阶系统的全部性能只由两个参数：ζ、ω n所确 定，而根据闭环极点S1、S2和S平面上的位置又可确定出对应的ζ、ω n，
因此，只要闭环极点的位置确定，该系统的全部性能也就被完全确