古典概型2
3.2.1古典概型 (2)
最终，这个囚犯就这样利用概率的原理和一点运气得以 死里逃生。
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
我们将具有这两个特征的概率模型称为 古典概率模型
简称：古典概型
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
问题4：向一个圆面内随机地投射一个点， 你认为这是古典概型吗？为什么？
有限性
等可能性
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
问题5：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验
的结果有：“命中10环”、“命中9环”、“命中8
31 P( A)
62
P(“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6点”)
= 111 1 666 2
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
古典概型的概率计算公式：
P(A)
A包含的基本事件的个数 试验的基本事件的总数
使用古典概型概率公式求概率的步骤： （1）判断是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件的 个数和试验中基本事件的总数。
【例1】单选题是标准化考试中常用的题型， 一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个准 确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以 选择惟一正确的答案．假设考生不会做，他随 机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？
解：基本事件共有4个：选择A、选择B、选择 C、选择D．“答对”的基本事件个数是1个．
设事件A为：“他任选一个选项，选对”
试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现 哪几种基本事件？ 2 种
古典概型2
古典概型(2)一、知识点剖析1、古典概型的定义与特点 掌握要点：古典概型的两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.在古典概型中，P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A易混易错：要套用古典概型的概率计算公式，首先要确定好基本事件总数。
强调在用古典概型计算概率时，必须要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件（每个结果出现是等可能的），否则计算出的概率将是错误的.另外如果计算中有重复现象，应注意除掉重复部分.在求事件A 包含的基本事件个数时如果情况不同应注意分类讨论. 2、用排列和组合解决古典概型问题 掌握要点：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列。
一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
易混易错：共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤. 3、有些抽样问题存在放回和不放回的区别 掌握要点： 分类计数原理完成一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ++=21分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤。
做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法， ……，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ∙∙∙= 21 易混易错：有放回抽样与无放回抽样都属等可能事件. 对于具体问题，不知用分步还是分类二、典型题型剖析1、古典概型的定义与特点 方法归纳：在古典概型中，P (A )=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A例题：例1、将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？主要过程：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m 时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A 发生的结果数，当n 较小时，这种求事件概率的方法是常用的.将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示由上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例2、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 主要过程：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366 .10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为361，因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果. 出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365. 强调内容：（1）判断一个试验是否是古典概型，要把握两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.“等可能性”指的是结果，而不是事件. （2）“等可能性”指的是结果，而不是事件.（3）使用计算公式时，关键是准确写出试验的基本事件数. 2、利用排列组合解决古典概型问题 方法归纳：判断排列还是组合：有序用排列，无序用组合 例 题：例2、今有强弱不同的十支球队，若把它们分两组进行比赛，分别计算： （1）两个最强的队被分在不同组内的概率. （2）两个最强的队恰在同一组的概率. 解：将十支球队平均分成两组，因每支球队分到哪一组的可能性完全相同，所以是等可能性事件．所有基本事件个数为5510522C C A . （1）两个最强的队被分在不同组记为事件A ，则A 中含有基本事件数为44284222C C A A ，故两支最强的队被分在不同组内的概率为：.C；故两个最强的队（2）两个最强的队恰在同一组记为事件B，则B中含有基本事件数为38恰在同一组内的概率为：强调内容：（1）什么时候用排列什么时候用组合：事件结果有顺序时用排列，无顺序时用组合（2）公式的运用3、放回与不放回求概率问题方法归纳：求概率时放回的用分步计数原理，不放回的采用排列组合来解决。
(讲)《古典概型》2
“答对”包含几个基本事件？ 1个
探究： 如果该题是不定项选择题，假如考生也不会做，则他能够答对的
概率为多少？ 此时比单选题容易了，还是更难了？
课前训练
6 8 9 2 2. 从 1 ， ，3 ，4 ，5 ， ，7 ， ， 这九个自然数中任选一个， 1 所选中的数是3 的倍数的概率为 3
3. 一副扑克牌，去掉大王和小王，在剩下的52张牌中随意抽出一张牌，
A所包含的基本事件的个数 P(A)= 2.思想方法： 基本事件的总数
列举法（树状图或列表），应做到不重不漏。
（必做）课本130页练习第1，2题 课本134页习题3.2A组第4题 （选做）课本134页习题B组第1题
答：
例题点评
例3.5个同学站队，计算 （1）甲恰好站在正中间的概率；
（2）甲、乙站两端的概率；
基本概念
方法探究
典型例题
课堂训练
课堂小结
1.知识点：
（1）基本事件的两个特点： ①任何两个基本事件是互斥的； （2）古典概型的定义和特点 ①有限性； ②任何事件（除不可能事件）都可以 ②等可能性。 表示成基本事件的和。 （3）古典概型计算任何事件A的概率计算公式
例题点评
例2.在100件产品中，有95件合格品，5件次品. 从中任取2件，计算： （1）2件都是合格品的概率； （2）2件都是次品的概率； （3）至多有2件是次品的概率. 解法分析： 基本事件总数：10099=9900 2件都是合格品：9594=8930 2件都是次品：54=20 至多2件是次品：54+595+9594=9425
解:(1).设事件A=“任取2件，2件都是合格品”则
95 94 893 P ( A) . 100 99 990
专题2：古典概型与独立事件
专题2：古典概型与独立事件【知识要点】1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件；(2)每个基本事件出现的可能性．3．古典概型的概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.4．相互独立事件(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．()(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.()(5)从1，2，3，4，5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为nm.()【题型讲练】题型一基本事件与古典概型的判断1．下列试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求两数之一是2的概率；④在线段[0，5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0 B．1 C．2 D．32．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？题型二古典概型的求法1．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A．12B．13C．14D．162．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A．15B．25C．35D．453．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．4．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_______．6．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是_______．6．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，记编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记编号为n，求n<m＋2的概率．题型三古典概型与统计的综合应用1．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量50150100(1)求这6(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．10．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率．题型四相互独立事件的概率1．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率() A．事件A，B同时发生B．事件A，B至少有一个发生C．事件A，B至多有一个发生D．事件A，B都不发生2．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5763．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．4．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14．现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．。
3.2古典概型(2)
这种图叫 做树形图 , 实际上只 要画出左 边第一个 树形图即 可推知其 余两个的 结果 .
矩形1 矩形2 矩形3 矩形1 矩形2 矩形3 矩形1 矩形2 矩形3
解
本题的基本事件共有
27 个 如图 .
" 为事件 A , 由图知 ,
3因为抛掷2 次得到的36 种结果是等可能出现的, 记
"向上的点数之和是 3的倍数"为事件 A, 则事件 A的结果 有12 种, 故所求的概率为 P A
答
12 36
1 3
.
先后抛掷 2 次, 共有 36 种不同的结果, 点数之和是 3 1
的倍数有结果共有12 种, 概率为 . 3
第 思考 如图 直观地 二 , 给出了例3 第2 问 次 抛 中的 12种 结 果 , 你 掷 能用此图求出向上 后 向 的点数之和是 4 的 上 的 倍数的结果有多少 点 数 种吗 ?
1 记 " 3 个矩形都涂同一颜色
事件 A 的基本事件有 PA 3 27 1 9 .
1 3 3 个 ,故
1 记 " 3 个矩形颜色都不同
件 B 的基本事件有 P B
答
" 为事件 B , 由图知 , 事
2 3 6个 , 故 2 9 .
的概率为 1 9 , 3 个矩形颜色
果有多少种?
3 两数之和是3 的倍数的概
率是多少?
解
1将骰子抛掷1 次,它出现的点1, 2, 3, 4, 5, 6 这
6 种结果 .
先后抛掷 2 次骰子, 第 1 次骰子向上的点数有 6 种结 果, 对每一种结果, 第 2 次又都有 6 种可能结果, 于是 一共有 6 6 36 种不同的结果 .
古典概型(2)
概 率 初 步
（1）古典概型的适用条件： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等. （2）古典概型的解题步骤： ①求出总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用 公式P(A)=
不重不漏
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
答（1）试验的基本事件的总数为16个
13 （2）出现点数之和大于3的概率为 16 1 （3）出现点数相同的概率为 4
9 探究（1）点数之和为质数的概率为多少？ 16
（2）点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？ 5; 1 4
例2 用3种不同颜色给图3-2-3中三个矩形随机涂色，每个 矩形只涂一种颜色，求（1）三个矩形颜色都相同的概率； （2）三个矩形颜色都不同的概率．
9 布），则该试验的基本事件数是______，平局的
1 1 概率是__________，甲赢乙的概率是________， 3 3 1
乙赢甲的概率是___________． 3
例 题 分 析
【例4】同时掷两个骰子,计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ （4）两数之和是3的倍数的概率是多少？
出树形图观察基本事件的总数．
图3
1
1
1
1
2
2
2
3
2
3
3
3
变式：一次摸一只球，摸两次，求“出现一只白 球、一只黑球”的概率是多少？
例3与例3的变式有何区别？ 例3是取后再放回，属于有序可重复类型；而变式 是取后不放回，属于有序不重复类型。
在古典概型的实际问题中，我们一定要注意审题， 从而准确的写出实际问题中的基本事件。
古典概型2典型例题
古典概型【典型例题】例1、本班数学兴趣小组有5名男同学，3名女同学。
求下列事件的概率。
(1)8人排成一队，其中甲必须站在排头的概率?(2)8人排成一队，其中甲不能站在排头与排尾的概率?(3)8人排成一队，其中任何两名女同学都不能相邻的概率?分析：此题是关于古典概型中的排列问题。
所有基本事件的总数是8人，全排列，即n=A 88；而某事件包含的基本事件总数也是排列问题，它是三种情形下的各自排法的总数。
(1)题m=77A n=88AP(A)=8877A A =81 (2)题中的m 是在(1)的基础上加深一步，可分两种方法来求。
第一种解法：8人全排列中扣除甲站在排头与排尾的情况，即m=88A -277A 。
第二种解法：甲在中间6个空位中任选一个，其余7人全排列。
即m=16A 77A 。
两种解法所得甲不能站在排头与非尾的概率都是P(B)= 43。
(3)题中m 的求法，应利用插空法分两步来求得。
首先是把5个男生排成—排有55A 种，这时有6个间隙，再把3个女生插入这6个间隙里有36A 种，即m=55A ·36A 。
所以可得任何两名女同学都不能相邻的概率 P(C)=883655·A A A = 145。
例2、甲、乙两人参加普法知识竟赛答题，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，两人依次各抽一道，试求：(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?分析：此题是关于古典概型中的组合问题。
(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果是16C 个，乙从判断题中抽到一题的可能结果是14C 个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的结果是16C 14C 个，即m=16C 14C 。
又甲、乙依次抽一题的可能结果有110C 19C 个，即n=110C 19C 。
所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是P(A)=191101416C C C C =。
(2)此题有两种解法：解法一：用直接法，甲、乙两人中至少有一人抽到选择题可分为三类情形，甲抽到乙没抽到，乙抽到甲没抽到，或甲、乙都抽到，即m=216C 14C +16C 15C ，而n=110C 19C 。
古典概型(2课时)
例4.甲乙两个人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），求 (1)平局的概率； (2)甲赢的概率； (3)乙赢的概率
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C，由图容易得 到 (1)平局含3个基本事件(图中△) (2)甲赢含3个基本事件(图中⊙) (3)乙赢含3个基本事件(图中※)
答：掷得奇数点的概率为0.5
2019年6月26日星期三10时47分55秒
规范格式
【例2】单选题是标准化考试中常用的题型，一般是 从A、B、C、D四个选项中选择一个准确答案．如果 考生掌握了考查的内容，他可以选择惟一正确的答 案．假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问 他答对的概率是多少？
〖解〗是一个古典概型，基本事件共有4个：选择A、选择B、 选择C、选择D．“答对”的基本事件个数是1个．
高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第
概 一子代的一对基因为Dd,若第二子代的D,d基因的遗 传是等可能的，求第二子代为高茎的概率。（只要
有基因D则为高茎，只有两个基因全为d时为矮茎）
率
解：如左图Dd与Dd的
Dd
Dd
搭配方式有4种：
初
DD，Dd，dD，dd
D
d
D
d
其中第四种表现为矮
茎，所以第二代为高
点”)P= (“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6
P(“6
1 6
点1”)1 1 1
666 2
=
P（“出现偶数点”）＝
3 6
=“出现偶数点”所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
古典概型的概率计算公式为：
P（A）＝
A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
5.古典概型(二).pptx
过 不合格产品。 依次不放回从箱中取出 2 听饮料，得到的两个标记分别记为 x 和 y，
程 则（x,y）表示一次抽取的结果，即基本事件。由于是随机抽取，所以 抽取到任何基本事件的概率相等。用 A 表示“抽出的 2 听饮料中有不合
A A 及 格产品”， 表示“仅第一次抽出的是不合格产品”， 表示“仅第
1
2
学生活动
A 方
二次抽出的是不合格产品”，
表示“两次抽出的都是不合格产品”，
12
A A A 法
则
，
1
和
2
是互斥事件，且
12
A A A A A A A 1 2 12 ,从而 P(A) P( 1) P( 2) P( 12) .
A A A 因为 中的基本事件的个数为 8， 中的基本事件的个数为 8，
1
2
12
中 的 基 本 事 件 的 个 数 为 2 ， 全 部 基 本 事 件 的 总 数 为 30 ， 所 以
P( A) 8 8 2 0.6 . 30 30 30
三、课堂练习：P123 练习 1、2 题
教 学 小 古典概型的概念及其概率公式的应用。 结
课 后 反 思
2
那么取款机将“没收”储蓄卡。另外，为了使通过随机试验的方法取到 储蓄卡中的钱的概率更小，现在储蓄卡可以使用 6 位数字作密码。
教 例 5 ： 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员从中 随机抽出 2 听,检测出不合格产品的概率有多大?
学 解：我们把每听饮料标上号码，合格的 4 听分别记作：1,2,3,4，不合 格的 2 听分别记作 a,b,只要检测的 2 听中有 1 听不合格，就表示查出了
1 什么是古典概型？请举例说明. 2 古典概型的两个特点？ （2）概率的计算公式？ 2、例题讲解: 例 4 ： 假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0,1,2,…,9 十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己 的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱 的概率是多少?
古典概型2
解：这个人随机试一个密码，相当做1次随机试验， 试验的基本事件（所有可能的结果）共有10 000种， 它们分别是0000，0001，0002，…，9998，9999.由 于是随机地试密码，相当于试验的每一个结果试等 可能的．所以 P(“试一次密码就能取到钱”)
＝
“试一次密码就能取到钱”所包含的基本事件的个数 10000 ＝1/10000 ＝0.0001
解法2：可以看作不放回2次无顺序抽样，则（x，y） 与（y，x）表示相同的基本事件.在6听饮料中随机抽 取2听，可能发生的基本事件共有：15种. 由于是随 机抽取，所以抽到的任何基本事件的概率相等.其中 抽出不合格产品有两种情况: 1听不合格：合格产品从4听中选1听，不合格产品从2听 中选1听，包含的基本事件数为8. 2听都不合格：包含的基本事件数为1.所以检测出不合 格产品这个事件包含的基本事件数为8＋ 1＝9，
练习：现有 7 名数理化成绩优秀者，其中 A1，A2， A3 的数学成绩优秀，B1，B2 的物理成绩优秀，C1， C2 的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成 绩优秀者各 1 名，组成一个小组代表学校参加竞 赛． (1)求 C1 被选中的概率； (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率．
(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名， 其一切可能的结果组成的12个基本事件为： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1 ，B2，C1)， (A1，B2，C2)， (A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)， (A2，B2，C2)， (A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3， B 2，C 2)
注意事项 ①要注意题设中有无关键词：“依次”“先 后”“顺序”等．若有顺序要求，就说明(a1， a2)与(a2，a1)是不同的，在列基本事件时，不 可遗漏．
高考研究课(一) 古典概型命题2类型——简单事件、复杂事件
[解]
(1)从 4 种颜色的花中任选 2 种颜色的花种在一个花坛
中，余下 2 种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、 红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫— 红黄，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有： 红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共 4 种， 4 2 故所求概率为 P＝ ＝ ，故选 C. 6 3 答案：C
古典概型命题2类型——简单事件、复杂事件
结
束
设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种． 3 1 所以 P(A)＝ ＝ . 27 9 1 因此，“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为 . 9 ②设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B. 则事件 B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种． 3 8 所以 P(B)＝1－P( B )＝1－ ＝ . 27 9 8 因此，“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 . 9
解析：从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字，分别记为 a，b，则 (a，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)， (3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共 12 种取法，其中 logab 为整数的有(2,8)，(3,9)两种， 2 1 故 P＝ ＝ . 12 6 1 答案： 6
古典概型命题2类型——简单事件、复杂事件
结
束
角度一：古典概型与平面向量相结合 1． (2017· 威海调研)从集合 2，3，4，5 中随机抽取一个数 a， 从集合
古典概型2
三.3张彩票中有一张奖票,2人按一定的顺 序从中各抽取一张,则: (1)第一个人抽得奖票的概率是__1_/_3_____; (2)第二个人抽得奖票的概率是__1_/_3___.
(3)如果抽检的2件产品都是次品,则这 一批产品将退货,则退货的概率是多 少?
练习.五件产品中有两件次品,从中任取两
件来检验.
(1)两件都是正品的概率是多少? 3/10 (2)恰有一件次品的概率是多少? 3/5
例题.在箱子中装有十张卡片,分别写有从1 到10的十个整数,从箱子中任取一张卡片,记 下它的读数x,然后再放回箱子中,第二次再 从 箱 子 中 取 一 张 卡 片 , 记 下 它 的 读 数 y, 试 求:(1)x+y是10的倍数的概率;(2)xy是3的倍 数的概率.
变形.从1,2,…9共九个数字中,任取两个数字, 取出数字之和为偶数的概率是多少?
变形.同时抛两个骰子,则向上点数之积为偶 数的概率是多少?
例题.一副去掉大小王的扑克牌,从中 任抽一张.
(1).抽到方块的概率是多少? (2).抽到黑色的概率是多少? (3)抽到6 的概率是多少?
例题.把一体积为64的正方体木块表面涂成红色, 然后锯成体积为1的小正方体,从中取一块,求这 一块至少有一面涂有红色的概率?
变形.把一个各个面上都涂有颜色的正方体锯 成27个大小相同的小正方体,从中取一块,求这 一块恰有两面涂有颜色的概率?
练习.有红黄蓝三种颜色的小旗各3面,任 取其中3面挂于一根旗杆上,求: (1)三面都是红色的概率; (2).恰有两面是红色的概率.
《3.2.1古典概型(2)》课件-优质公开课-人教A版必修3精品
分析：记这6听饮料为1、2、3、4、5、6，其中5、6为 不合格的2听. 1 1 2 3 4 5 6 ( 1， 1) ( 1 ， 2) ( 1， 3) ( 1， 4) ( 1， 5) ( 1， 6)
2
3 4
( 2， 1) ( 2 ， 2) ( 2， 3) ( 2， 4) ( 2， 5) ( 2， 6)
例3、天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的 概率均为30%，这三天中恰有两天下雨的概率是多少？
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算器或计 算机可以产生0到9之间去整数值的随机数，我们用1，2，3表 示下雨，用4，5，6，7，8，9，0表示不下雨，这样可以体现 下雨的概率是30%.因为是3天，所以每三天随机数作为一组. 例如，产生20组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 908 257 393 027 556 488 730 113 537 989 就相当于作了20次试验.在这组数中，如果恰有两个数在1， 2，3中，则表示恰有两天下雨，他们分别是191，271，932， 612，393即共有5个数.我们得到三天中恰有两天下雨的概 率近似为5/20=25%
( 3， 1) ( 3 ， 2) ( 3， 3) ( 3， 4) ( 3， 5) ( 3， 6) ( 4， 1) ( 4 ， 2) ( 4， 3) ( 4， 4) ( 4， 5) ( 4， 6)
5
6
( 5， 1) ( 5 ， 2) ( 5， 3) ( 5， 4) ( 5， 5) ( 5， 6)
( 6， 1) ( 6 ， 2) ( 6， 3) ( 6， 4) ( 6， 5) ( 6， 6)
【课前导学】
事件 A包含的基本事件数 ______ P( A) 计算。 总的 基本事件个数 ______
古典概型(人教A版2019必修第二册)
共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
事件发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点与样本空间包含的样本
点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.因为 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)，所以
3
8
事件发生的可能性大小为 .
新知探索
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的
(1 , 1 ), (1 , 2 ), (1 , 2 ), (2 , 1 ), (2 , 2 ), (2 , 1 )}
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
3 = {((1 , 1 ), (1 , 2 ), (2 , 1 ), (2 , 2 )}.
二枚骰子的结果是1点.这样，(1,2)和(2,1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间1 = {(, )|, ∈ {1,2,3,4,5,6},
且 ≤ },则(1 ) = 21.其中，事件 =“两个点数之和是5”的结果变为 =
{(1,4), (2,3)}，这时() =
10.1.3 古典概型
问题引入
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可
能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用()表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗
时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机
2
20
=
1
.
10
例析
例10.从两名男生(记为1 和2 )、两名女生(记为1
2 )中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽
古典概型2
(2)如果 标签是 有放回 的，按抽 取顺序 记录结 果 ( x, y)， 则x有5种可 能，y有5种可 能，共有 可能 结 果5 5＝25种.因此 ，事件A的概 率是 8 .
25
练习1、某人有4把钥匙，其中2把能打开门。 现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就 扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？
812 932 569 683 271 989 730 537 925 834
907 113 966 191 432 256 393 027 556 755 这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在 1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是： 113,432,256,556，即共有4个数，我们得到了三次投篮都 投中的概率近似为 240＝20%.
用随机模拟估计概率
例3：种植某种树苗成活率为0.9，若种植 这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设 计一个试验，随机模拟估计上述概率．
审题指导 由于每个结果出现的可能性不相等，
故不能应用古典概型概率公式．主要考查随机模
拟的方法．
[规范解答] 利用计算器或计算机产生0到9之 间取整数值的随机数，我们用0代表不成活， 1至9的数字代表成活，这样可以体现成活 率是0.9，因为是种植5棵，所以每5个随机 数作为一组可产生30组随机数：
69801 29747 37445 61017 94976
66097 24945 44344 45241 56173
77124 57558 33315 44134 34783
22961 65258 27120 92201 16624
74235 74130 21782 70362 30344
31516 23224 58555 83005 01117
【数学】3.2《古典概型(2)》课件(北师大版必修3)
P(A)=12/24=0.5
模型2 模型 利用试验结果的对称性,因为是计算 因为是计算“ 利用试验结果的对称性 因为是计算“第二个人 摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人 摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人 摸球的情况, 摸球的情况
2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
1 1 2 2
2 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2
1 2 2 1
1 1 2 1
总共有 24种结 种结 果，而 第二个 摸到红 球的结 果共有 12种。 种
3.抛掷两枚均匀的骰子 出现数字之积为 抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为 抛掷两枚均匀的骰子 偶数与出现数字之积为奇数的概率分别 27/36 、______. 是_____、9/36
1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36
§3.2 古典概型
温故知新 1.古典概型的概念 古典概型的概念 1)试验的所有可能结果 试验的所有可能结果( 基本事件)只有 1)试验的所有可能结果(即基本事件 只有 只出现其中的一个结果 有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 2)每一个结果出现的可能性相同。 每一个结果出现的可能性相同 2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率公式 古典概型的概率公式 m( A包含的基本事件数 ) P( A ) = n( 基本事件总数 ) 3.列表法和树状图 列表法和树状图
3.2.1古典概型 (2)
2 求摸出两个球都是红球的概率；
3求摸出的两个球一红一黄的概率。
变式1：求摸出两个球恰有一个是红球的概率；
变式2：求摸出两个球至少有一个是红球的概率；
变式3：求摸出两个球至多有一个是红球的概率；
变式4：将上题“依次摸出”改为“一把摸出”，结果一样吗？有多少个基本事件？
变式5：将上题“取出后不放回”改为“每次取出后放回”，结果一样吗？
古典概型（题单）
（一）掷骰子问题：
1.掷一粒均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率是多少呢？
2、将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。
（1）共有多少个基本事件?
（2）两数之Biblioteka 是5包含哪些基本事件？（3）两数之和是5的概率是多少？
变式：两数之和是3的倍数的概率是多少？
思考：（1）“将一个骰子先后抛掷2次”和“同时掷两粒骰子”,结果一样吗？基本事件数是多少？
练习2（2013广东理17）
某车间共有 名工人，随机抽取 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 名工人中有几名优秀工人；
(3)从该车间 名工人中，任取 人，求恰有 名优秀工人的概率.
（2）“将一个骰子先后抛掷k次”和“同时掷k粒骰子”的基本事件数呢？
练习1（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．
（二）摸球问题：
1.一个口袋内装有大小和形状完全相同的4个红球和2个黄球，从中依次摸出两个球，每次取出后不放回。
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练习.五件产品中有两件次品, 练习.五件产品中有两件次品,从中任取两 件来检验. 件来检验. (1)两件都是正品的概率是多少 两件都是正品的概率是多少? (1)两件都是正品的概率是多少? 3/10 (2)恰有一件次品的概率是多少 恰有一件次品的概率是多少? (2)恰有一件次品的概率是多少? 3/5
例题.把一体积为 的正方体木块表面涂成红色 例题 把一体积为64的正方体木块表面涂成红色 把一体积为 的正方体木块表面涂成红色, 然后锯成体积为1的小正方体 从中取一块,求这 的小正方体,从中取一块 然后锯成体积为 的小正方体 从中取一块 求这 一块至少有一面涂有红色的概率? 一块至少有一面涂有红色的概率 变形.把一个各个面上都涂有颜色的正方体锯 变形 把一个各个面上都涂有颜色的正方体锯 个大小相同的小正方体,从中取一块 成27个大小相同的小正方体 从中取一块 求这 个大小相同的小正方体 从中取一块,求这 一块恰有两面涂有颜色的概率? 一块恰有两面涂有颜色的概率
例题.一个口袋内装有大小相同的 只小球 例题 一个口袋内装有大小相同的6只小球 一个口袋内装有大小相同的 只小球, 其中2个白球 个红球和 个黄球,从中随机 其中 个白球,2个红球和 个黄球 从中随机 个白球 个红球和2个黄球 摸出2个球 试求 摸出 个球.试求 个球 (1)两只球都是红球的概率 两只球都是红球的概率; 两只球都是红球的概率 (2)摸出 只球同色的概率 摸出2只球同色的概率 摸出 只球同色的概率; (3)恰有 只球是白球的概率是 只球都是白 恰有1只球是白球的概率是 恰有 只球是白球的概率是2只球都是白 球的概率多少倍？ 球的概率多少倍？
例题. 10件产品中 件产品中, 件是正品, 例题.在10件产品中,有8件是正品, 2 件是次品,计算: 件是次品,计算: (1)2件都是正品的概率; 件都是正品的概率; (2)1件是正品,1件是次品的概率; 件是正品, 件是次品的概率; 如果抽检的2件产品都是次品, (3)如果抽检的2件产品都是次品,则这 一批产品将退货, 一批产品将退货 , 则退货的概率是多 少?
三.3张彩票中有一张奖票,2人按一定的顺 .3张彩票中有一张奖票,2人按一定的顺 张彩票中有一张奖票,2 序从中各抽取一张, 序从中各抽取一张,则: (1)第一个人抽得奖票的概率是 1/3 第一个人抽得奖票的概率是_________; (1)第一个人抽得奖票的概率是_________; (2)第二个人抽得奖票的概率是 1/3 第二个人抽得奖票的概率是_______. (2)第二个人抽得 从中 例题 一副去掉大小王的扑克牌,从中 一副去掉大小王的扑克牌 任抽一张. 任抽一张 (1).抽到方块的概率是多少 抽到方块的概率是多少? 抽到方块的概率是多少 (2).抽到黑色的概率是多少 抽到黑色的概率是多少? 抽到黑色的概率是多少 (3)抽到 的概率是多少 抽到6 抽到 的概率是多少?
练习.口袋中有形状、大小相同的 只白球和 练习 口袋中有形状、大小相同的1只白球和 口袋中有形状 1只黑球，先摸出一只球，记下颜色后放回 只黑球， 只黑球 先摸出一只球， 口袋，然后再摸出一只球. 口袋，然后再摸出一只球 (1).一共可能出现多少种不同的结果 一共可能出现多少种不同的结果? 一共可能出现多少种不同的结果 (2).出现“1只白球 只黑球”的概率是有多 出现“ 只白球 只黑球” 只白球1只黑球 出现 少.
古典概型的两个特点: 一.古典概型的两个特点 古典概型的两个特点 ⑴所有的基本事件只有有限个 ⑵每个基本事件的发生都是等可能的 二．求古典概型的步骤 （1）判断是否为等可能性事件； ）判断是否为等可能性事件； （2）计算所有基本事件的总结果数 ）计算所有基本事件的总结果数n 所包含的结果数m． （3）计算事件 所包含的结果数 ． ）计算事件A所包含的结果数 （4）计算 ）计算P(A)=m/n
本题的等可能基本事件共有27个 解 ： 本题的等可能基本事件共有 个 (1)同一颜色的事件记为A,P(A)=3/27 (1)同一颜色的事件记为A,P(A)=3/27 =1/9; 同一颜色的事件记为 (2)不同颜色的事件记为B,P(B)=6/27 (2)不同颜色的事件记为B,P(B)=6/27 =2/9 不同颜色的事件记为
练习.有红黄蓝三种颜色的小旗各 面 任 练习 有红黄蓝三种颜色的小旗各3面,任 有红黄蓝三种颜色的小旗各 取其中3面挂于一根旗杆上 面挂于一根旗杆上,求 取其中 面挂于一根旗杆上 求: (1)三面都是红色的概率 三面都是红色的概率; 三面都是红色的概率 (2).恰有两面是红色的概率 恰有两面是红色的概率. 恰有两面是红色的概率
例题： 用三种不同的颜色给图中的3 例题： 用三种不同的颜色给图中的3个矩形 随机涂色,每个矩形只能涂一种颜色, 随机涂色,每个矩形只能涂一种颜色,求(1)3 个矩形的颜色都相同的概率;(2)3 ;(2)3个矩形的颜 个矩形的颜色都相同的概率;(2)3个矩形的颜 色都不同的概率. 色都不同的概率.
巩固练习： 巩固练习： 一.选择题 1.某班准备到郊外野营 某班准备到郊外野营， 1.某班准备到郊外野营，为此向商店订了 帐篷。如果下雨与不下雨是等可能的， 帐篷。如果下雨与不下雨是等可能的，能 否准时收到帐篷也是等可能的。 否准时收到帐篷也是等可能的。只要帐篷 如期运到，他们就不会淋雨， 如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法 正确的是（ 中，正确的是（ D ） 淋雨机会为3/4 A 一定不会淋雨 B 淋雨机会为3/4 淋雨机会为1/2 淋雨机会为1/4 C 淋雨机会为1/2 D 淋雨机会为1/4 E 必然要淋雨
例题. 在箱子中装有十张卡片, 分别写有从1 例题 . 在箱子中装有十张卡片 , 分别写有从 1 10的十个整数 从箱子中任取一张卡片, 的十个整数, 到10的十个整数,从箱子中任取一张卡片,记 下它的读数x, 然后再放回箱子中, x,然后再放回箱子中 下它的读数 x, 然后再放回箱子中 , 第二次再 从 箱 子 中 取 一 张 卡 片 , 记 下 它 的 读 数 y, 试 )x+y是10的倍数的概率 )xy是 的倍数的概率; 求:(1)x+y是10的倍数的概率;(2)xy是3的倍 数的概率. 数的概率. 变形.从 共九个数字中,任取两个数字 变形 从1,2,…9共九个数字中 任取两个数字 共九个数字中 任取两个数字, 取出数字之和为偶数的概率是多少? 取出数字之和为偶数的概率是多少 变形.同时抛两个骰子 则向上点数之积为偶 变形 同时抛两个骰子,则向上点数之积为偶 同时抛两个骰子 数的概率是多少? 数的概率是多少
二．填空题 1.一年按365天算 一年按365天算， 1.一年按365天算，2名同学在同一天过生 1/365 日的概率为____________ 2.一个密码箱的密码由 位数字组成， 一个密码箱的密码由5 2.一个密码箱的密码由5位数字组成，五个 数字都可任意设定为0-9中的任意一个数 数字都可任意设定为0 假设某人已经设定了五位密码。 字，假设某人已经设定了五位密码。 (1)若此人忘了密码的所有数字 若此人忘了密码的所有数字， (1)若此人忘了密码的所有数字，则他一 1/100000 次就能把锁打开的概率为____________ 次就能把锁打开的概率为____________ (2)若此人只记得密码的前 位数字， 若此人只记得密码的前4 (2)若此人只记得密码的前4位数字，则 一次就能把锁打开的概率____________ 一次就能把锁打开的概率____________ 1/10