传热学 第三章 非稳态导热
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V V
800 C 1000 C e 0.019FoV 20 C 1000 C
可解得 Fov=83.6
83.6R 3
R 3
a
2
8源自文库.6
2
c p
83.6 0.05m 3m 1968s 32.8 min 43.2W/(m K) 7790kg/m 3 470J/(kg K)
解： 首先判断能否用集总参数法求解：
毕渥数为
BiV hR 3 50W/(m 2 K) 0.05m 3 0.1 0.019 43.3W/(m K) 3
College of Energy & Power Engineering
可以用集总参数法求解。
t t e Bi Fo 0 t0 t
＝e 1 0.386 0
0.386 0 1 τ /τ
r
τ=4τr，
＝e 4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热 0 体已达到热平衡状态
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瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
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（2） 1/ h /
/
这时，平板内部导热热阻 几乎可以忽略， 因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随 t 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。
（3）
/ 与 1/ h 的数值比较接近
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述
hA
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时间常数
cV 称为系统的时间常数，记为 ，也称弛豫时 r
hA
间。
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件
好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导
热体的温度变化快，时间常数 ( Vc / h A) 小 热电偶测温时，r越小越能反映被测流体温度 的变化
了热阻的概念，我们会想到这两个过程的相对强弱
会反映在外部对流换热热阻和内部导热热阻之比上，
基于此，人们定义了Bi数。
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3.1.5
Bi 数
定义：
Bi数是物体内部导热热阻与外部对流换热热 阻之比，即：
h le Bi 1
t t e 0 t0 t
hA Vc
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
过余温度比
a Biv Fov 2 (V A)
College of Energy & Power Engineering
Biv
hA Vc
W
总热量：
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ ( )d Vc 0 (1 e
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
hA Vc
) J
College of Energy & Power Engineering
College of Energy & Power Engineering
反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动 态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环 境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其 时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数 也是不相同。 θ /θ 0 当物体冷却或加热过程所 1 经历的时间等于其时间常 数时，即 τ=τr，
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3.1.3 特点
一初始温度场均匀并为t0的无限大平壁，突然 投入到温度为t∞的流体中加热。
College of Energy & Power Engineering
3.1.4 研究任务
确定被加热或被冷却物体内部某点达到预定温 度所需要的时间，以及该期间所供给或放出的热 量；
两种极端情况之间。
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3.1.6 求解方法
解析解法：
建立导热微分方程和定解条件求 出温度分布 一种近似解法，它适用于 Bi 0 的情形 极限情形
集总参数法
工程判据：
Bi 0.1
College of Energy & Power Engineering
Biv 和 Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物 体内部，因而，物体各点地温度就越接 近周围介质的温度。
无量纲 时间
物体内部最大温差及其所产生的热应力和热变 形是否会造成安全问题。
College of Energy & Power Engineering
通过上面的学习，我们知道非稳态导热过程是 在外界流体表面传热和物体内部导热下进行的，事
实上外界流体表面传热与内部导热进行时的相对强
弱程度对物体内部温度随时间变化影响非常大。有
3.1 非稳态导热的基本概念 3.1.1 定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳 态导热，它的温度场可表示为：
t f x、y、z、
3.1.2 分类
周期性非稳态导热： 物体的温度随时间而作周期 性的变化 瞬态非稳态导热： 物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值
College of Energy & Power Engineering
College of Energy & Power Engineering
一、集总参数法分析
一个集总参数系统，其体积 为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0， 突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
热平衡关系为： 内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交 换的热流量Qc
A Qc
对厚为2δ的
无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
M 1 1 M 2 1 M 3
College of Energy & Power Engineering
例题3-2 将一个初始温度为20℃、直径为100mm的 钢球投入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为 h=50W/(m2· K)。已知钢球的密度为7790kg/m3 ， 比热容为470J/(kg· K)，导热系数为43.3W/(m· K)。 试求钢球中心温度达到800℃所需要的时间。
推荐读数时间：3～5 c
c
cV
hA
结论：在传热条件和热电偶材料
物性已定的条件下，热电偶直径越 小， c 就越小，热电偶也越灵敏。
第四章 对流换热原理 第五章 单相流体对流换热特征数关联式 第六章 热辐射基本定律 第七章 辐射换热计算
College of Energy & Power Engineering
第三章
3.1 3.2 3.3
非稳态导热
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热的分析解
College of Energy & Power Engineering
h
式中：
le
V le 称为定型尺寸 ； A
对于无限大平壁：
le
2
College of Energy & Power Engineering
物理意义：
反映了物体内部温度分布的特征：
不同Bi数下平壁内部温度变化情况
College of Energy & Power Engineering
（1） / 1/ h 由于表面对流换热热阻 1/ h 几乎可以忽略，因而 过程一开始平板的表面温度就被冷却到 t 。并随 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 t 。
College of Energy & Power Engineering
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv
h( V A )
0.1M
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
V A A A V R 2 R A 2R 2 4 3 R V R 3 2 A 4R 3 Biv Bi Bi Biv 2 Biv Bi 3
College of Energy & Power Engineering
即与
1
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时， e 1 36.8% 0
Vc
上式表明：当传热时间等于 hA 时，物体 的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 Vc 称 为时间常数，用 r 表示。
College of Energy & Power Engineering
传
热
Heat Transfer
主讲教师：潘振华
Email: lstpzh@yahoo.cn
学
College of Energy & Power Engineering
学习内容
第一章 绪
论
第二章 导热基本定律和稳态导热
第三章 非稳态导热
3.2 集总参数法 3.1.1 定义
忽略内部的导热热阻，近似认为这个物体内 的温度分布与空间无关，仅随时间发生变化，这 样便可以用物体内任一点的温度表示整个物体的 温度，同时也把质量热容量也集中到一点，这种 研究非稳态导热的方法，人们称之为集总参数法。 当 Bi 0.1 时，采用集总参数法进行简化计算 时，其误差不会大于5％，所以只要 Bi 0.1，便 可以大胆的去用这种方法。
ΔΕ
ρ , c, V, t0
h, t∞
College of Energy & Power Engineering
当物体被冷却时（t >t）,由能量守恒可知
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
dt hA(t t ) Vc d
方程式改写为：
d
hA d Vc
College of Energy & Power Engineering
d
hA d Vc
积分
hA 0 d Vc
0
d
hA ln 0 Vc
College of Energy & Power Engineering
集总参数法的判定依据
如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？
h (V ) A a (V )2 A
e 0
尺寸。
hA cV
e
e
BiV FoV
V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征
BiV 0.1M 为判定系统是否为集总参数系统 ， M为形状修正系数。
举例：
内燃机活塞中的温度每分钟波动几百次； 回转式空气预热器蓄热元件温度的变化 ； 建筑物外墙和屋顶温度的变化； 钢件在炉内加热，铸件在空气或水中的淬火冷 却；
锅炉等动力设备的启动、停机过程 。
College of Energy & Power Engineering
由上可知，非稳态导热过程中导热体内部温 度逐渐升高，热传递区域逐渐扩大，整个过程归 纳起来，可划为三个阶段： 初始阶段：指 0 ~ 3 时间段，物体内部温度变 化受初始温度分布影响； 正规阶段：指 3 以后至新稳定之前的时间段 ； 稳定阶段：指经历无限长时间内，导热体内、 外达到新的稳定状态。
h(V A)
a Fov (V A) 2
物体中的温度 呈指数分布
Fov
是傅立叶数
hA Vc
e 0
e
Biv Fov
方程中指数的量纲：
W 2 2 m hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
3
2 2
College of Energy & Power Engineering
当Bi0时，意味着物体 的热导率很大、导热热阻 0（Bi=α/）。物体 内的温度分布趋于均匀一 致。 可用集总参数法求解.
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3. 热电偶测温
800 C 1000 C e 0.019FoV 20 C 1000 C
可解得 Fov=83.6
83.6R 3
R 3
a
2
8源自文库.6
2
c p
83.6 0.05m 3m 1968s 32.8 min 43.2W/(m K) 7790kg/m 3 470J/(kg K)
解： 首先判断能否用集总参数法求解：
毕渥数为
BiV hR 3 50W/(m 2 K) 0.05m 3 0.1 0.019 43.3W/(m K) 3
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可以用集总参数法求解。
t t e Bi Fo 0 t0 t
＝e 1 0.386 0
0.386 0 1 τ /τ
r
τ=4τr，
＝e 4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热 0 体已达到热平衡状态
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瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
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（2） 1/ h /
/
这时，平板内部导热热阻 几乎可以忽略， 因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随 t 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。
（3）
/ 与 1/ h 的数值比较接近
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述
hA
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时间常数
cV 称为系统的时间常数，记为 ，也称弛豫时 r
hA
间。
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件
好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导
热体的温度变化快，时间常数 ( Vc / h A) 小 热电偶测温时，r越小越能反映被测流体温度 的变化
了热阻的概念，我们会想到这两个过程的相对强弱
会反映在外部对流换热热阻和内部导热热阻之比上，
基于此，人们定义了Bi数。
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3.1.5
Bi 数
定义：
Bi数是物体内部导热热阻与外部对流换热热 阻之比，即：
h le Bi 1
t t e 0 t0 t
hA Vc
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
过余温度比
a Biv Fov 2 (V A)
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Biv
hA Vc
W
总热量：
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ ( )d Vc 0 (1 e
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
hA Vc
) J
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反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动 态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环 境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其 时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数 也是不相同。 θ /θ 0 当物体冷却或加热过程所 1 经历的时间等于其时间常 数时，即 τ=τr，
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3.1.3 特点
一初始温度场均匀并为t0的无限大平壁，突然 投入到温度为t∞的流体中加热。
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3.1.4 研究任务
确定被加热或被冷却物体内部某点达到预定温 度所需要的时间，以及该期间所供给或放出的热 量；
两种极端情况之间。
College of Energy & Power Engineering
3.1.6 求解方法
解析解法：
建立导热微分方程和定解条件求 出温度分布 一种近似解法，它适用于 Bi 0 的情形 极限情形
集总参数法
工程判据：
Bi 0.1
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Biv 和 Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物 体内部，因而，物体各点地温度就越接 近周围介质的温度。
无量纲 时间
物体内部最大温差及其所产生的热应力和热变 形是否会造成安全问题。
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通过上面的学习，我们知道非稳态导热过程是 在外界流体表面传热和物体内部导热下进行的，事
实上外界流体表面传热与内部导热进行时的相对强
弱程度对物体内部温度随时间变化影响非常大。有
3.1 非稳态导热的基本概念 3.1.1 定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳 态导热，它的温度场可表示为：
t f x、y、z、
3.1.2 分类
周期性非稳态导热： 物体的温度随时间而作周期 性的变化 瞬态非稳态导热： 物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值
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一、集总参数法分析
一个集总参数系统，其体积 为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0， 突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
热平衡关系为： 内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交 换的热流量Qc
A Qc
对厚为2δ的
无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
M 1 1 M 2 1 M 3
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例题3-2 将一个初始温度为20℃、直径为100mm的 钢球投入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为 h=50W/(m2· K)。已知钢球的密度为7790kg/m3 ， 比热容为470J/(kg· K)，导热系数为43.3W/(m· K)。 试求钢球中心温度达到800℃所需要的时间。
推荐读数时间：3～5 c
c
cV
hA
结论：在传热条件和热电偶材料
物性已定的条件下，热电偶直径越 小， c 就越小，热电偶也越灵敏。
第四章 对流换热原理 第五章 单相流体对流换热特征数关联式 第六章 热辐射基本定律 第七章 辐射换热计算
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第三章
3.1 3.2 3.3
非稳态导热
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热的分析解
College of Energy & Power Engineering
h
式中：
le
V le 称为定型尺寸 ； A
对于无限大平壁：
le
2
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物理意义：
反映了物体内部温度分布的特征：
不同Bi数下平壁内部温度变化情况
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（1） / 1/ h 由于表面对流换热热阻 1/ h 几乎可以忽略，因而 过程一开始平板的表面温度就被冷却到 t 。并随 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 t 。
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采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv
h( V A )
0.1M
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
V A A A V R 2 R A 2R 2 4 3 R V R 3 2 A 4R 3 Biv Bi Bi Biv 2 Biv Bi 3
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即与
1
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时， e 1 36.8% 0
Vc
上式表明：当传热时间等于 hA 时，物体 的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 Vc 称 为时间常数，用 r 表示。
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传
热
Heat Transfer
主讲教师：潘振华
Email: lstpzh@yahoo.cn
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学习内容
第一章 绪
论
第二章 导热基本定律和稳态导热
第三章 非稳态导热
3.2 集总参数法 3.1.1 定义
忽略内部的导热热阻，近似认为这个物体内 的温度分布与空间无关，仅随时间发生变化，这 样便可以用物体内任一点的温度表示整个物体的 温度，同时也把质量热容量也集中到一点，这种 研究非稳态导热的方法，人们称之为集总参数法。 当 Bi 0.1 时，采用集总参数法进行简化计算 时，其误差不会大于5％，所以只要 Bi 0.1，便 可以大胆的去用这种方法。
ΔΕ
ρ , c, V, t0
h, t∞
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当物体被冷却时（t >t）,由能量守恒可知
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
dt hA(t t ) Vc d
方程式改写为：
d
hA d Vc
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d
hA d Vc
积分
hA 0 d Vc
0
d
hA ln 0 Vc
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集总参数法的判定依据
如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？
h (V ) A a (V )2 A
e 0
尺寸。
hA cV
e
e
BiV FoV
V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征
BiV 0.1M 为判定系统是否为集总参数系统 ， M为形状修正系数。
举例：
内燃机活塞中的温度每分钟波动几百次； 回转式空气预热器蓄热元件温度的变化 ； 建筑物外墙和屋顶温度的变化； 钢件在炉内加热，铸件在空气或水中的淬火冷 却；
锅炉等动力设备的启动、停机过程 。
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由上可知，非稳态导热过程中导热体内部温 度逐渐升高，热传递区域逐渐扩大，整个过程归 纳起来，可划为三个阶段： 初始阶段：指 0 ~ 3 时间段，物体内部温度变 化受初始温度分布影响； 正规阶段：指 3 以后至新稳定之前的时间段 ； 稳定阶段：指经历无限长时间内，导热体内、 外达到新的稳定状态。
h(V A)
a Fov (V A) 2
物体中的温度 呈指数分布
Fov
是傅立叶数
hA Vc
e 0
e
Biv Fov
方程中指数的量纲：
W 2 2 m hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
3
2 2
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当Bi0时，意味着物体 的热导率很大、导热热阻 0（Bi=α/）。物体 内的温度分布趋于均匀一 致。 可用集总参数法求解.
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3. 热电偶测温