第四章 基本立体及表面交线1

水平放置的四棱台，上下
底面的水平投影是四边形（反 映实形），棱面的各投影均为 梯形线框。
常见的基本平面立体投影图
工程物体都可视为由基本形体经切割、叠加、组合 所形成。其投影图是组成他们的简单几何形体投影的集
合，必须熟练掌握基本形体的投影图特点。
对于柱体，应主要从反映底面实形的投影来判断其 形状特征。
该投影面。
（3）其它情况下两平面的交线通常是一般位置直线，如 正垂面与铅垂面的交线、正垂面与侧垂面、正垂面与一般位置 平面的交线等。 截交线对投影面处于特殊位
置可以用棱面法直接求出截交线
S
Q
例2 完成立体的三面投影图。——棱面法
p′
1′ 2′ 5′ 3′ 7′6″ 7″ 5″ 1″ 4′ 6 2″ 4″ 6″
6′ 4′ 5′ 3″5″
6″
8″ 7″ 1″ 2″4″
1
8 7
3 6 2
5
4
三、球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根 据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投 影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
平面与球相交
例1：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。
水平面截圆球的截交线的 两个侧平面截圆球的截交线 投影，在平面图上为部分圆弧， 的投影，在侧面图上为部分圆 在侧面图上积聚为直线。 弧，在平面图上积聚为直线。
线）。
作图步骤如下： （1）先作出完整圆柱体基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 （3）作出管孔的三面投影图。
平面与圆柱相交
例4
求作圆柱切口的三面投影
3′ 2′ 4′ 1′ 5′ 4 5 8′ 7′ 9′ 6′ 10′ 9 4″ 9″ 5″ 10″ 3″ 8″ 2″ 7″ 1″ 6″
三、解题方法与步骤
⒈ 空间分析和投影分析
（1）分析截平面与被截立体的相对位置，确定截交线 的形状。 （2）分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，确 定截交线的投影特性。
⒉ 求截交线
（1）当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点， 再补充中间点，最后光滑连接各点。 （2）分析和补画出平面体的棱线和回转体轮廓素线的 投影。 （3）当单体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行 截交线的分析与作图。
二、曲面立体
1、圆柱
圆柱体由圆柱面和两个底面围成，正圆柱的底平面垂直于轴 线。
2、圆锥
圆锥体由圆锥面及底平面所围成，正圆椎的底平面垂直于
圆锥的轴线。
3、圆台
用平行于圆锥底面的平面将圆锥截断，去掉顶部。
4、圆球
由球面所围成的立体称为球体。
常见的基本曲面立体投影图
工程形体一般都是比较复杂的，当若干个基本形体 经叠加、切割或交接组合在一起时，这些基本形体表面
确定截交 线的形状
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交线 或交点，并连接成多边形。
确定截交线 的投影特性
例1、求如图所示三棱锥被正垂面PV所截切，求作截交线 的水平投影和侧面投影。——棱线法
s′ 3′ 2′ Pv 3″ s″ 2″ 1″ b′ c′ c″ a″ 具体步骤如下：
(1) 求Pv与s′a′、s′b′、s′c′的 交点1′、2′、3′为截平面与各棱 线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投 影
第四章 基本立体及 表面交线
4.1 基本立体的投影 4.2 平面与立体相交
4.2.1 平面与平面立体相交
4.2.2 平面与曲面立体相交
4.3 立体与立体相交
4.3.1 平面立体与平面立体相交
4.3.2 平面立体与曲面立体相交 4.3.3 曲面立体与曲面立体相交
4.1 基本立体的投影
基本立体是由点、线、面几何要素构成的基本几何 体，基本立体按其表面性质的不同可分为：
10
8 6
3
1 2
7
二、圆锥体的截切
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
圆锥的截交线：
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同， 截交线有五种形状。
PV θ PV PV α θ θ PV
PV
α
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
例1 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两 个投影。
7”
5’6’ 3’4’ 1’
7’8’
2’
4”
6”
8”
2”
（4）补全侧面转向轮廓线。
1”
4
Ⅱ
6
8
Ⅳ
2
1
7
Ⅲ
正垂线
3 5 平面与圆锥相交
Ⅰ
正平线
例2
求圆锥被截切后的正面投影.
1′ 4′5′ 2′3′ 3 5 1 3″ 5″
1″
4″
2″
y2 y1
4 2
Ⅴ Ⅲ
Ⅰ
Ⅳ Ⅱ
例3 完成顶尖的水平投影图。
7′ 1′ 8′ 2′ 3′
棱锥由多边形底面和具有 公共顶点的三角形棱面组成， 各棱线相交于顶点。

⑵ 棱锥的三面投影图
直立的三棱锥，底面的水平投 影是一个三角形（反映实形），棱 面的各投影均为三角形线框，棱线 的投影汇交于同一点。
●
2、棱台
⑴ 棱台的组成
用平行于棱锥底面的平面 将棱锥截断，去掉顶部后所得 的形体称为棱台。
⑵ 棱台的三面投影图
1′
1″
2″
1 4
虚线
2
c
投影分析： ①分析三棱锥各棱面的投影。 ②立体先用一个水平面截切，然后 用一个正垂面截切，两截平面的交 线是正垂线。 方法一：先用水平面完整截切立体， 然后画正垂面截切立体。 方法二：在立体棱面（平面）上取 点。
a
4.2.2 平面与曲面立体相交
截交线 截平面
截交线的性质
截交线是截平面与回转体表面
例2、球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
（2）还可补充一些中间点。 （3）依次连接各点的水平投影。
2’ 5’ 6’ 3’4’ 7’ 8’ 3’4’ 8’ 7’
具体步骤如下： （1）先求特殊点：长短轴和转向轮廓线上的点。
1’
5’ 1’ 6’
6 1
4
8
2 7
6
4
8 2 4 3 1
1
5 7
2 3
Hale Waihona Puke 53Ⅷ Ⅰ
(7)’
7”
8”
3” 1” 2”
7
6 5
（ 2）再作出适当数量的一般点 因此截交线为一椭圆。 截交线的正面投影重影为一 （3）将这些点的投影依次光滑的 连接起来 直线，水平投影与圆柱面的投影 （4）补全侧面投影中的转向轮 重影为圆。侧面投影可根据圆柱 廓线。 表面取点的方法求出。
Ⅵ Ⅶ Ⅲ Ⅱ Ⅴ Ⅳ
每条边是截平面与棱面的交线。
共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是依据共有性求交点和交线
平面截切立体的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤：
★ 空间及投影分析
☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
还可能产生交线。
我们除了要熟练掌握基本形体投影图的特点外，还 要掌握这些交线的画法。
例：两棱柱叠加
形状特 征视图
交线
4.2 平面与立体相交
平面与立体相交，可看作是由平面截切立体。该平面称为 截平面，截切以后的立体称为截切体。 截平面与立体表面的交线称为截交线。
截平面 截断面
平面立体的截交线
截交线
此种截交线为一椭圆。由于圆锥 前后对称，故椭圆也前后对称。 椭圆的长轴为截平面与圆锥前 后对称面的交线——正平线，椭圆 的短轴是垂直与长轴的正垂线。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆锥相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 5” 3”
曲面立体的截交线
截切体
（1）截交线是立体表面和截平面的共有线，截交线上的点是二
者共有点
（2）截交线一般是封闭的平面图形。
4.2.1 平面与平面立体相交
截交线的性质：
平面立体的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其
形状取决于平面立体的形状及截平面相对平面立体的截切位置。
多边形的各顶点是平面立体的棱线与截平面的交点。多边形的
例2 求圆柱管侧面投影
q′ p′
解题步骤：
★空间及投影分析
截平面P与圆柱管的轴线平行 ——截交线是四条平行直线
截平面Q与圆柱管的轴线垂直 ——截交线是两段圆弧 截平面P 、Q的交线是正垂线 ★求截交线
先求截平面与圆柱体外表面的 截交线
然后求截平面与圆柱管内表面 的截交线线
★分析圆柱体轮廓素线的投影
3″
5
空间分析
基本形体是四棱体，然后用一个正 垂面P和一个铅垂面Q截切。
1
2
q
3 4
7
投影分析
正垂面截平面与立体顶面及左侧面 的交线是正垂线。铅垂面截平面与立体 左侧面及前面的交线是铅垂线。两截平 S Ⅰ Q 面的交线ⅠⅢ是一般位置线。
Ⅲ
棱面法
例3
求作三棱锥被截切后的投影
4′
4″ a′b′ 2′ 3′ c′d′ d b 3 3″
例2 求圆柱管侧面投影
q′ p′
●
●
●
●
例3 求圆柱管被挖切后立体的投影 。
分 析： 该立体是在圆柱管的
上部开出一个方槽后形成
的 。构成方槽的平面为垂 直于轴线的水平面P和两 个平行于轴线的侧平面Q 。 平面P与圆柱的交线
为圆弧，平面Q与圆柱的
交线为直线，平面Ｐ和Q 彼此相交于直线段（正垂
平面与圆柱相交
平面与球相交
小 结
一、平面截切平面立体
截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多 边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。
求截交线的方法：棱线法
棱面法
二、平面截切回转体
截交线的形状取决于截平面与被截回转体轴线的相 对位置。截交线是截平面与回转体表面的共有线。 求截交线的方法：表面取点法 ——直素线法 纬线圆法
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，
如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。
2.求截交线上点的方法
表面取点法 直素线法 纬线圆法
3.画出截交线的投影
☆ 先找特殊点（转向轮廓线上的点），补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
一、 圆柱体的截切
1′ a′
b″ (2) 根据线上取点的方法，求
出1、2、3和1″、2 ″、3 ″
1
s 2
3
(3) 连接各点的同面投影即等 截交线的三个投影 (4) 补全棱线的投影
棱线法
立体棱面的截交线对投影面的相对位置可分为以
下三种情况：
（1）平面平行于投影面，它与任何位置平面的交线都一 定平行于相应的投影面。 （2）两平面同时垂直于某一投影面，其交线也应垂直于
基本立体
平面立体
立体的表面均为平面
曲面立体
立体的表面均为曲面， 或由平面和曲面组成
一、平面立体
1、棱柱
⑴ 棱柱的组成
棱柱由棱面和上下底面组成，各 棱线互相平行。
⑵ 棱柱的三面投影图
直立的五棱柱，它的水平投影
是一个五边形，反映上下底面的形 状特征，另外两面投影为多个矩形 线框。
2、棱锥
⑴ 棱锥的组成
的共有线。截交线上的点是截平 面与回转体表面的共有点。
截交线的形状取决于回转体表
面的形状及截平面与回转体轴线 的相对位置。
截交线都是曲线和直线构成的 封闭的平面图形。
求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间分析和投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以
便确定截交线的形状。
平面与圆柱相交的三种情况
PV PV PV
P
P
P
垂直于轴线 圆
倾斜于轴线 椭圆
平行于轴线 两平行直线
例1 如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。 具体步骤如下： 5” 5’ 4’ （ 1）先作出截交线上的特殊点 4” 6” 由于平面与圆柱的轴线斜交，
3’ 2’ 1’ 8 1 2 4 3 平面与圆柱相交