第三篇1扭转

练习
41
三、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
max [ ]
对于等截面圆轴： Tmax [ ]
Wt
([] 称为许用剪应力。)
ห้องสมุดไป่ตู้
强度计算三方面：
① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
Tmax Wt
[ ]
Wt
Tmax
[ ]
Wt
空实：：1DD633（116
4）
Tmax Wt [ ]
T
Wt
1.55 103
0.073 16 23MPa
[ ]
③此轴满足强度要求。
43
[例4] 设有一实心圆轴与一内外径比为3/4的空心圆轴，两轴 材料及长度都相同。承受转矩均为m，已知两轴的最大剪应 力相等，试比较两轴的重量。
解.（ 1 ）实心轴直径 d与 空心轴外径D之间的关系
44
由于两轴得扭矩和最大剪应 力分别相等，故得 （2）两轴的重量比
其中: 1PS=735.5N·m/s
8
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
9
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
24
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
RL
T
2A0 t
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA
单位：mm4，m4。
36
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只 是Ip值不同。
对于实心圆截面：
I p A 2dA
D
2 2 2 d 0
D4 0.1D4
32
37
对于空心圆截面：
I p A 2dA
28
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
29
1. 变形几何关系：
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
30
2. 物理关系：
虎克定律： G
代入上式得：
46
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
一、扭转时的变形
由公式
d T
dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
l
d
T
dx
0 GI p
Tl (若T 值不变） GI p
47
二、单位扭转角 ：
或
d T (rad/m)
dx GI p d T 180 (/m)
5
6
传动轴
7
§3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m 9549 P (N m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分 (rpm）
m 7024 P (N m) 其中：P — 功率，马力（PS）
n
n — 转速，转/分（rpm）
53
[例6] 阶梯圆轴AB两端固定（如图所示)受外力偶矩m=4.5
KN.m 作用.若d1=70mm, d2=55mm l1=1m,l2=1.5m,材料的 G=80GPa,[ ]=60MPa， [ ]=1.5 º/m,试进行强度和刚度校核
沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
T
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
23
三、剪应力互等定理： 薄壁圆筒的扭转 无正应力
mz 0
t dxdy t dxdy
故
a
dy
各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
20
3.结论：
薄壁圆筒的扭转 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分
布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截
面的扭矩方向一致。
21
4. 与 的关系：
R
L
LR RL
22
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，
42
[例3] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
m
m
解：①求扭矩及扭矩图
A T
B
C
D3 =135 D2=75 D1=70
m
N 103
TBC m 2n
150 103
(N m)
2 3.1415.4
1.55(kN m)
x
②计算并校核剪应力强度 max
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T3 m4 0 , T3 m4 6.37kN m
15
③绘制扭矩图 T 9.56 kN m BC段为危险截面。 max
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
16
例2 经换算，已知mB=351Nm，mC=351Nm，mD=468Nm。 用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩作扭矩图。
②若全轴选同一直径，应为多少？ A
③主动轮与从动轮如何安排合理？
N2
N3
B
C
500
解：①图示状态下,扭矩如
T
(kNm)
图，由强度条件得：
m
7.024
N n
(kN
m)
–7.024
400 x
– 4.21
50
Wt
d13
16
T
[ ]
d1 3
16T
3
16 7024 3.14 70 106
80mm
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
31
G
d
dx
表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比 ，由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径 剪应力的分布如图
32
3. 静力学关系：
G
d
dx
T A dA
A
G
2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
dA
O
令 Ip A 2dA
d
T GI p dx
画出扭矩图，其中最大扭矩发生于CA段内
17
练习
50N.m
15N.m 15N.m
20N.m
18
§3–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
19
2.实验后： ①圆周线不变；
圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴 线作了相对转动。 ②纵向线变成斜直线。
]
4
32 4210180 3.142 80 109 1
74.4mm
综上： d1 85mm , d2 75mm
②全轴选同一直径时 d d1 85mm
52
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9550 P1 n
9550 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
m2
m3
9550 P2 n
Torsion
1
第三章 扭 转
§3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
2
§3–1 概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
有时，还可依据此条件进行选材。
49
[例5] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ N1
即空心轴的重量仅为实心轴重量的56.4%。
45
讨论
1．在本题条件下，横截面面积之比即重量之比。单从力学 角度，空心轴要比实心轴更有效地利用材料。 2．从横截面上的剪应力分布分析，由于扭转剪应力与离 圆心的距离成正比，故把靠近圆心处承受剪应力较小的材 料移到轴的外缘处，就能充分利用材料的强度，从而节省 了原材料。 3．在工程实际中，空心轴是用实心圆通过钻孔得到的，因 此，除非减轻重量为主要考虑因素（如飞机中的各种轴） ，或有使用要求（如机床主轴）要采用空心轴，否则，制 造空心轴并不总是值得的。
dx GI p
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
三、刚度条件
max
T GI p
(rad/m)
或
max
T GI
p
180
(/m)
[ ]称为许用单位扭转角。
48
刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
max
② 设计截面尺寸：
T
Ip
max
G[ ]
③ 计算许可载荷： T max GIp[ ]
d2
3
16T
3
16 4210 3.14 70 106
67.4mm
N1
N2
N3
由刚度条件得：
A
B
C
Ip
d4
32
T
G [
]
500 T (kNm)
–7.024
400 x
–4.21 51
d1
4
32 T
G [
]
4
32 7024180 3.142 80 109 1
84mm
d2
4
32 T
G [
d T
dx GI p
33
代入物理关系式
G
d
dx
得：
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆 截面直杆。
34
矩形截面杆扭转 翘曲
35
T
Ip
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩 求得。
—该点到圆心的距离。
目 ①扭矩变化规律；
的 ②|T|max值及其截面位置 面）。
T
强度计算（危险截
x
10
作扭矩图的简便方法: 遇到 遇到
扭矩增加 m大小 扭矩减少 m大小
11
扭矩图
Ⅰ m2
m1 Ⅰ
Ⅰ
T1 m1 Ⅰ
-6m
Ⅱ
m3
m1 =6m
m2 =2m
Ⅱ
m3 =4m
Ⅱ
m3
Ⅱ T2
-4m
T1 =6m T2 =4m
12
13
25
T=m
T ( 2A 0t) ( L R)
G
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
26
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
钢材的G值约为80GPa。
d
D
2 d 2
2 2
d
(
Dd )
(D4 d4)
32
D4 (1 4 ) 0.1D4(1 4 )
32
d
D O
38
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
39
⑤ 确定最大剪应力：
由
T
Ip
知：当
R d
2
,
max
max
Td 2
Ip
T Ip
d 2
T
Wt
(令W I p
d) 2
max
T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： Wt I p R D3 16 0.2D3 对于空心圆截面： Wt I p R D3(1 4 ) 16 0.2D3(410 - 4 )
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。 27
§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
一、等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
3
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
A
BO
m
m
4
工程实例
受力特点：杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用 面垂直于杆件轴线的力偶 变形特点：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动
150 9550
300
4.78 (kN m)
m4
9550
P4 n
9550 200 300
6.37 (kN m)
n D
14
②求扭矩（扭矩按正方向设）
m2 1 m3 2 m1 3 m4
m 0 , C
T1 m2 0
T1 m2 4.78kN m
n
A 1 B 2 C 3D
T2 m2 m3 0 ,