第三章扭转轴(1-4节)

§3-1 扭转的概念和实例
工 程 实 例
工 程 实 例
攻丝丝锥
工 程 实 例
对称扳手拧紧镙帽
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线 的平面内作用一对大小相 等，方向相反的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只 是绕轴线发生相对转动。
轴：以扭转为主要变形的构件称为轴
Me
Me
计算简图：
二轴长度相同。
求: 实心轴的直径 d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的 重量之比。
计算外力偶矩
P＝7.5kW, n=100r/min，最大切应力不
得超过40MPa, = 0.5。二轴长度相同。
z 纯剪切单元体
dy dz
y

τ
τx

dx
单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，则称为 纯剪切单元体.
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
A
D

B
C

dx δ
四、剪切胡克定律
由图所示的几何关系得到
Me
tan r
五、剪切应变能
若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的
a
´ b
单元体，由于变形的相对性，可 设单元体左侧面不动，右侧面上
dy

的剪力由零逐渐增至
´
dydz
c
右侧面因错动沿切应力向下错动的距离 z
d t
dx
dx
因此剪力总共完成的功为
dW 1dydz ddx 0
单位体积内的剪切变形能密度
Me
Me
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
已知：P—传递的功率,（kw）
n—转速,（r/min）
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：P M e
2 n
60
P
1000

M
e

n
30
由此求得外力偶矩：
Me

P 1000 30
n

9549
P n
(N . m)
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于1PS=735.5N·m/s
d
I p A 2dA

D
d2 2 2 d
d
O
D
2


32
(D4

d 4)
(

d D
)

D4
32
(1


4)

0.1D4(1


4)
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量 轻，结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大剪应力：
2dA
T

GI p
d
dx
dA

O
令 I p A 2dA
d
dx

T GI p
代入物理关系式



G
d
dx
得：


T
Ip


T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
四、 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
x
dx
Me
（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3.推论
Me
Me
（1）在横截面及包含轴线的
纵向截面上都无正应力，只有
切应力 ；
（2）切应力方向垂直半径或与
圆周相切，且沿圆周方向各点的
切应力相等。

因壁厚很小—可近似地认为沿壁

厚方向各点处切应力的数值无变化.
2.平面假设 变形前为平面的横截面 ，变
形后仍保持为平面.
3. 变形几何关系：
tg R d
dx
γ—圆截面边缘上点的切应变
距圆心为ρ的一点的切应变为



d
dx
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
对一确定平面，
d const
dx
任一点处的切应变与其到圆心的距离成正比。
危险面 处处是危险面
例1 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW， P4 =200kW，试绘制扭矩图。
Me2 Me3
Me1
Me4
A
B
C
D
1 计算外力偶矩
Me1

9.549
P1 n
15.9 kN m
n =300r/min，P1=500kW，
五、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
max [ ]
对于等截面圆轴：
Tmax Wt
[ ]
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面：
① 校核强度：
max

Tmax Wt
[ ]
② 设计截面尺寸：
Wt

Tmax
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力， y
其方向于 y 轴平行.
dy δ
由平衡方程
Fy 0
τ
可知，两侧面的内力元素 d y
大小相等，方向相反，将组成 一个力偶. z
dx
其矩为 d yd x
τx
2. 要满足平衡方程
Mz 0 Fx 0
在单元体的上、下两平面上必有
A
B
T /KNm
C
D
6.37
x
4.78 9.56
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？
B
C
A
D
1 传递的外力偶矩
B、C、D: 2、3、5KW
MA
9549
由


T
Ip
知：当


R

d 2
,
max

max

T

d 2
Ip

T
Ip
d 2

T Wt
(令 W I p
d 2
)
max

T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： Wt I p R D3 16 0.2D3 对于空心圆截面：Wt I p R D3(1 4) 16 0.2D3(1 - 4)
2、扭矩图突变：在外力偶矩施加处扭矩图要发生突 变。 突变量=外力偶矩值
§3-3 纯剪切
薄壁圆筒：壁厚
1 r （r—圆筒的平均半径）
10
一、应力分析 (Analysis of stress)
1.实验前 （1）画纵向线，圆周线； （2）施加一对外力偶.
2.实验后
（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；Me
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均
匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转 向一致.
4.推导公式
A dA r T
r AdA r 2 r t T
T

T T

2 r 2 t 2A t
此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的 计算公式.
二、切应力互等定理
③ 计算许可载荷： Tmax Wt[ ]
[例] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
m
m
解：①求扭矩及扭矩图
A T/kNm
B
C
D3 =135 D2=75 D1=70
1.55
TBC

m

P 103
2n

2
150 103 3.14 15.4
PA n
318.3
Nm
n=300r/min
MB
9549 PB n
63.7
Nm
MC
9549 PC n
95.5 N m,
MD
9549 PD n
159.2
N m,
B
C
A
D
2、求内力 MB
MB
T3 B
MC
MD
I C
I
T1 M B 0
T1
T1 MB 63.7N m
二、 物理关系 由剪切虎克定律 G



d
dx
代入上式得：


G

G
d
dx


G
d
dx
同一圆周上各点剪应力
均相同 ，且其值与 成 正比， 与半径垂直。
三、静力关系
T A dA

A
G 2
d
dx
dA

G
d
dx
A
l

Me
l
薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，
与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
T=Me



T ( 2A t) ( l r )

G
剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA

D
02
2

2


d
O
D

D4
32

0.1D4
对于空心圆截面：
x
3.扭矩图(Torque diagram) n
用平行于杆轴线的坐标 x 表示 Me T
横截面的位置；用垂直于杆轴线的 坐标 T 表示横截面上的扭矩，正的
•
x
扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方. T
• T
Me
x
•
x
目 ①扭矩变化规律；
的
②|T|max值及其截面位置（危险截面）。
m
m
T
x
大小相等，指向相反的一对内力元素
它们组成力偶，其矩为
d xd y
z
此力偶矩与前一力偶矩 d yd x
数量相等而转向相反，从而可得
dy δ
y

τ
τx

dx
3.切应力互等定理

该定理表明：在单元体相互垂 直的两个平面上，切应力必然成对 出现，且数值相等，两者都垂直于 两平面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。
B
C
A
D
T Nm 63.7
159 .2
159 .2
Tmax 159.2 N m
在CA段和AD段
4 将A、D轮的位置更换
B
C
D
A
T Nm
63.7 Tmax 318.3 N m
159 .2
AD段
318.3
因此将A、D轮的位置更换不合理。
计算扭矩的法则 1、任意截面扭矩=∑（截面一侧外力偶矩的代数值） 外力偶矩代数值符号：离开该截面者为正，指向该截 面者为负。
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
G

E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
T2 9.56kN m
T3 Me4 0
Me2
T3 Me4 6.37kN m
1
2
3
T1
Me3
T2
Me4
T3
3、绘制扭矩图 T 9.56 kN m max
Me2
Me3
Me1
Me4
BC段为危险截面;
T1 4.78kN m
T2 9.56kN m T3 6.37kN mMe7024源自P n(N . m)
二、内力的计算
1.求内力
截面法 (Method of sections)
在n – n 截面处假想将轴截开
取左侧为研究对象
Me
Me
Mx 0
T Me 扭矩
Me
T
2.扭矩符号的规定
Me
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的
指向背离截面时扭矩为正，反之为负.
n Me
•
T2 M B MC 0
T2
T2 MB MC 159.2 N m
T3 M D 0
T3 MD 159.2 N m
II A
II
III D
III
3、绘出扭矩图： T1 63.7N m T2 159.2N m T3 159.2 N m
P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW
Me2
Me3
Me1
Me4
A
B
C
D
Me2

Me3

9.549
P2 n
4.78
kN m
Me4
9.549
P4 n
6.37
kN m
2、求扭矩
T1 Me2 0
Me2
Me3 Me1
Me4
1
2
3
T1 4.78kN m
T2 Me2 Me3 0 Me2
(N

m)
1.55(kN m)
x
②计算并校核剪应力强度
max

T Wt

1.55 103
0.073 16

23MPa
[ ]
③此轴满足强度要求。
例2：已知：P＝ 7.5kW, n=100r/min， 最大切应力不得超过 40MPa,空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。


dW dV

1 d
0




1
2

2
2G

1 G 2
2
§3-4 圆轴扭转时的应力
变 形关 几系
观察变形 提出假设
何
物关
变形的分布规律
理系
应力的分布规律 静关 力系
建立公式
一、变形几何关系
1.变形现象
（1） 轴线仍为直线，且无伸缩； （2） 横向线大小、形状均不变， 且仍与轴线垂直； （3）纵向线变形后倾斜了一个角度 γ，仍为平行。 （4） 径向线保持为直线，只是绕轴线旋转。