埃舍尔的镶嵌画
埃舍尔作品欣赏
埃舍尔作品01-瀑布
埃舍尔作品02-观景楼
埃舍尔作品03-昼与夜
埃舍尔作品04-水和天
埃舍尔作品05-上与下
埃舍尔作品06-凸与凹
埃舍尔作品07-相对论
埃舍尔作品08-巴别塔
埃舍尔作品09-递增与递减
埃舍尔作品10-有序和无序
埃舍尔作品11-循环
埃舍尔作品12-蜥蜴
埃舍尔作品13-红蚁
埃舍尔作品14-画手
埃舍尔作品15-画廊
埃舍尔作品16-解放
埃舍尔作品17-旋转的阴阳鱼
埃舍尔作品18-带魔带的立方架
埃舍尔作品19-静止的街道
埃舍尔作品20-另一个世界
埃舍尔作品21-圆极限
埃舍尔作品22-天使与恶魔
埃舍尔作品23-婚姻的联结
埃舍尔作品24-相遇
埃舍尔作品25
埃舍尔作品26
埃舍尔作品27
埃舍尔作品28
埃舍尔作品29
埃舍尔作品30
埃舍尔作品31
埃舍尔作品32
埃舍尔作品33
埃舍尔作品34
埃舍尔作品35
埃舍尔作品36
237、埃舍尔作品37
埃舍尔作品38
埃舍尔作品39
埃舍尔作品40。
埃舍尔PPT课件
在木版画“四个常规的几何 体”中，埃舍尔把理想多面 体中的四个匀称地交叉了， 并且使它们呈半透明状以便 每个都可以透过其它得以辨 认。
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三、空间的形状
埃舍尔创造了许多美丽的双曲线空间的作品，某种程度上, 埃舍尔把空间由二维变成了三维, 使人感觉到画面中的物像
埃舍尔关心的另一个主要方面是透视。在任何透视画中，趋 向消失的点被选择用来代表无穷远。
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五、自我复制和信息科学
广告美术基础
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一、镶嵌图形
规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没 有空隙的封闭图形的排列。一般来说, 构成一个镶嵌图形的 基本单元是多边形或类似的常规形状, 例如经常在地板上使 用的方瓦。
然而, 埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不 规则的; 并且对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特 别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面 的自由。
同时既在画像内又在画像外面。
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方极限埃舍尔
方极限埃舍尔1. 介绍方极限埃舍尔（Square Limit Escher）是荷兰艺术家莫里茨·庞德（Maurits Cornelis Escher）于1964年创作的一幅版画作品。
这幅作品展现了一种令人迷惑和困惑的视觉效果，通过精确的几何图形和无穷循环的重复模式，给人以错觉和无限延伸的感觉。
庞德是20世纪最著名的版画艺术家之一，他以独特的创造力和技巧在艺术界享有盛誉。
方极限埃舍尔是他最具代表性的作品之一，它展示了庞德对几何形状、空间感和视觉错觉的深入探索。
2. 艺术风格与技巧庞德常常运用对称性、透视和无穷重复等技巧来创造出令人难以置信的视觉效果。
方极限埃舍尔中，他使用了镜像和旋转对称来构建一个看似无限延伸的图案。
这种几何图形在每个角落都有相同或相似的图案，给人一种错觉，似乎没有明确的开始或结束。
庞德还巧妙地运用了透视效果，使得平面图形看起来具有立体感。
他通过细微的变化和渐变色彩来增强深度感，并使图形看起来更加真实和立体。
此外，庞德还善于运用对比和重复元素来吸引观众的注意力。
在方极限埃舍尔中，黑白相间的棋盘格与彩色多边形相互交织，营造出一种动态而不规则的视觉效果。
3. 艺术思想与意义方极限埃舍尔所展现的视觉效果引发了人们对现实世界和虚构世界之间关系的思考。
它让人们开始怀疑自己的感知和理解能力，并挑战了传统艺术中关于空间、形状和逻辑性的认知。
庞德通过这幅作品表达了他对无限延伸和无穷重复概念的探索。
他试图通过艺术手法将数学原理与艺术结合起来，打破传统二维平面艺术的限制，并创造出一种新颖而独特的视觉体验。
方极限埃舍尔还反映了庞德对秩序和混乱之间关系的思考。
图案中的无限重复和错综复杂的结构似乎没有明确的规则，但又展现出一种奇妙的有序性。
这种混合和平衡使得作品充满了神秘感和魅力。
4. 影响与传承方极限埃舍尔对后世艺术家产生了广泛影响，尤其是在视觉艺术、数学艺术和设计领域。
许多艺术家受到庞德的启发，尝试通过类似的技巧和概念来创造出令人惊叹的作品。
埃舍尔画作
埃舍尔画作《爬虫动物》《越来越小》《瀑布》《水和天》《循环》《印刷走廊》《解放》《手与反光球》《递增与递减》《莫比斯带》《上和下》《双倍小行星》《凹与凸》《画图的手》《圆盘》介绍自画像(36k）埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画。
1898年他出生在荷兰的Leeuwarden，全名叫Maurits Cornelis Escher。
他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业。
他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展, 这个画展得到了《时代》杂志的好评, 并且获得了世界范围的名望。
在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家, 他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。
因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹。
随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点。
他也被悖论和"不可能"的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果。
这样, 对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"和我们或许可以叫做的"空间逻辑学"。
镶嵌图形豪华装饰的草图(92k）规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。
一般来说, 构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状, 例如经常在地板上使用的方瓦。
然而, 埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的; 并且对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由。
最“烧脑”的画：埃舍尔创作的5维空间图，看明白的都是天才
最“烧脑”的画：埃舍尔创作的5维空间图，看明白的都是天才一维空间是点，二维空间是面，三维空间是长宽高立体物体，四维空间在长宽高的基础上加了时间，那么五维空间是什么呢？我们都知道，我们是三维生物，处于三维空间。
三维生物无论如何是无法感知到四维五维以及更高维度的。
哪怕是顶级的科学家，都难以总结出相应的理论，就像是二维生物永远无法触碰到三维生物一样，四五维空间对我们来说充满着未知。
不过有一个画家却凭着自己的想象力，用巧妙的笔法画出了五维空间，他的画作如黑洞一样吸引着观者的目光。
很多人都无法理解他画作中的奥妙，能看明白的就是天才！现在让我们来一起一探究竟吧。
01埃舍尔的经历这个人名字就是埃舍尔，是荷兰著名的版画家，他出生在一个知识分子的家庭中，他的父亲是土木工程师。
为此从小就受到了建筑装饰艺术的熏陶，他所画的作品大多和建筑空间有关。
他从小的学习不出色。
身体也并不好，上帝在关上一扇门的同时，往往会打开一个窗，他的艺术天分是极高的，可以用不同的视角来展现出奇特的世界。
而后在机缘巧合之下，美术教授沙缪尔觉得他是一个可塑之才，于是教他制作版画。
他也的确没有负老师所望，所创作的作品《八张脸》早早就体现出他独特的艺术理念。
而毕业后，埃舍尔前往西班牙的阿尔罕布拉宫旅行，此时墙壁和地板的密密麻麻的图案让它产生了浓厚的兴趣。
并把这一特色尝试融入到自己的作品里。
他试了很多次，但无一例外都失败了，只是因为他当时的数学思想并不完善，无法将这样的平铺图面变得立体，构成建筑之美。
然后二战到来了，他待在家里经过10年的不懈努力，将毕生所学的知识融合起来，开创了新的流派。
在他的作品里充满的立体的巧妙组合。
也就是说只要换一个角度就可以看见不同的场景，而且这些都和数学相关，令人忍不住好奇他的脑回路究竟是如何的？02优秀画作赏析你一定会说，人类既然无法触碰到五维空间，又怎么能画出五维空间的画作呢？这是个悖论！其实当你在一张纸上用黑白灰三个色调画出一个立方体，从我们的角度来看，它依然是一张二维的白纸，只不过是画面的图变得立体起来。
课题学习 美妙的镶嵌
挂图
请同学们观察用于镶嵌的基本 图形有哪些？
挂图 本课只探究正多边形的镶嵌
再请学生观 察上下两排 用正多边形 镶嵌的图案 有何异同？
探究问题（一） 仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正 多边形能镶嵌成一个平面？
仅用一种正多边形镶 嵌，只有正三角形、 正方形、正六边形能 镶嵌成一个平面吗？
学具——每种正多边形各六个
有
有
缝
重
隙
叠
4．再创情景 拓展探究
问题情景：小新搬新家了,
他的房间要自己设计,地板 想用两种正多边形来镶嵌， 帮忙设计一个方案吧？
探究问题（二）
用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平 面?各用几个呢?
学具——每种正多边形各六个
正八边。形
135
。
144
。
60
。
90
正五边。形
108
。
150
正六边。形
120
正十边形
正十二边形
“先拿大的，小的填空”
实验报告（每个小组6份）
第一种正多边
3
形的边数
第二种正多边
４
形的边数
平面镶嵌图案
推理论证 组长
．．．．．． xxx
以正四边形与正八边形镶嵌为例
1)正三角形与正方形镶嵌
(4 3 4 3 3)
ห้องสมุดไป่ตู้
(3 3 3 4 4) 哪种漂亮些?
2)正三角形与正六边形镶嵌
(3 3 3 3 6)
(3 6 3 6)
哪种漂亮些?
3)正五边形 4)正四边形 5)正三角形与 与正十边形 与正八边形 正十二边形 (5 5 10) (4 8 8) (12 12 3)
埃舍尔的艺术(1)6：33
还是它们本来就“是”如此；它们的存在完全不依赖于人类的智慧。
具有敏锐领悟能力的任何人所能做的事至多是发现它们的存在并认识它们而已。
——M.C.埃舍尔古希腊毕达哥拉斯学派发现：正多边形中只有三种能够镶嵌整个平面。
但艾舍尔对各种镶嵌都十分着迷，不管是规则的还是不规则的。
在他的平面镶嵌画中开拓性地使用了一些基本的图案，应用了反射、滑动反射、平移、旋转等数学方法，还将基本的图形进行变形，成为动物、鸟和别的图形。
变化后的图形服从三重、四重、或六重对称。
效果既惊人又美观。
埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。
爬虫的平面镶嵌1939天鹅的规则平面镶嵌昼与夜（木刻, 1938）天与水之一（1938）骑马的人：平面的规则镶嵌平面的规则划分……这是否意味着它仅仅是一个数学问题呢？在埃舍尔看来，不是的。
数学已经打开了通往一片广阔领域的大门，但它还没有进入这一领域。
它对于如何打开大门的方式，比门后面的花园更感兴趣。
外两个数学主题是操作和混合维。
在《爬虫》中，埃舍尔的二维蜥蜴怪异地变成了在现实三维空间中爬行的生命。
他利用射影几何中的概念——透视、传统意义上的没影点和他自己的曲线没影点，使《圣彼得的罗马》、《通天塔》和《高与低》中产生深度和维度的感觉.《爬虫》显示出艾舍尔对镶嵌图案的运用以及他对二维与三维世界的运动的掌握《秩序与混乱》中的十二面星体。
星体居于一个透明的球体之中，其冷峻的美与四周乱糟糟的零碎杂物形成了鲜明的对照。
可以看出，观察者左上方明亮的窗户映在球体中。
《星星》画中有相交立体有正八面体、四面体和正方体等。
艾舍尔在多面体中画了变色龙，打破了我们通常的舒适的感性习惯，促使人们以新的眼光来看他作品中的事物。
这当然是数学家之所以推崇艾舍尔作品的又一原因。
艾舍尔完成《双小行星》时是1949年，当时他是否接触到正方兴未艾的科幻风潮，已不可考。
若将此作品视为天体工程的设计，那艾舍尔可就是先驱者了！《四面体小行星》与《双小行星》类似，但却是机关布景更复杂的精密建构。
视觉的魔法师——埃舍尔
总评
■一个图形艺术家 ■错觉图形的大师； ■三维空间图画的鼻祖。 ■一名施了魔法的魔术师 ■在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形 象化； ■深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓。
其他作品欣赏
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ谢谢
《画廊》
空间的逻辑
这里所说的空间的逻辑是指物理中的物体 之间的那些空间的必要的关系,在产生违背 视觉的悖论时，被叫做视错觉。
带子上的凹凸是我们觉察它们怎样与立方体缠绕在一起的 视觉线索。然而, 如果我们相信我们的眼睛，那么我们不能 相信这带子！
《有带子的立方体》
凸和凹，上行和下行，俯视与平视等透视的相对性，同 时在一幅中把在物理学，建筑力学以及不同视点看来自相矛 盾的空间和建筑的视觉特征混和在一起。
《星》
空间的形状
在埃舍尔用数学观点完成的所有重要的作 品中，最重要是处理空间性质的那些。 因 为这些作品显示了艺术家对空间维度的关 心，以及用二维的方式表现三维的能力。
双曲线空间这是非欧几里德几何学的二种空间之一
《圆形限制3》
在缠绕和缩小的环的表现下，空间既向边界也向中心延伸并且 无穷无尽。如果你在这一空间里，你将是什么模样？
《变形》（1939-40），
在《上行和下行》中，上行的僧侣不断地往上走，下 行的僧侣不断地往下走，按常规每行的第一个僧侣不 应该和最后一个僧侣碰头，但他们在视觉上碰头了， 而且看不出有什么不对的地方。
《相对性》1953年
版面空间结构复杂而巧妙、形状畸形而奇妙。《规则平面分个 图》是埃舍尔游览西班牙阿哈布拉宫后制作的版画。其制作方 法是将同等的图形相互吻合连接在一起，填满整个平面。
《互绘的手》
在“鱼和规模”这幅画中，自我复制具有更大的功能; 人们也许宁 愿称之为自我相似。这样木板画描述的就不仅是鱼，而是所有 的有机体。
版画大师埃舍尔
《递增与递减》
《有序和无序》
《循环》
《蜥蜴》
《红蚁》
《解放》
《旋转的阴阳鱼》
《带魔带的立方架》
《静止的街道》
《圆极限》
《天使与恶魔》
《相遇》
《凹与凸》
埃舍尔其他作品
埃舍尔通过这幅作品提醒我们，主观经验有时会造成多大的错误。
《双行星》1949年
这是两个正四面体相互交叉而形成的结构。埃舍尔用黄和白两种颜色区分了他们。可以看到，黄色的星球已经拥有了高度文明，人们居住在规则整齐的房间里，遗憾的是上面寸草不生，生活在这个星球上一定单调乏味。白色的星球是还处于未有人类的史前时代，上面怪石嶙峋，只有各种植物和恐龙、羚羊等野生动物生存。两个星球代表着两种极端，高度文明的结果是消除了一切自然的痕迹，这似乎是埃舍尔对人类提出的一个警告。两个星球交叉的地方有明显的孔洞，这是埃舍尔想更加清楚地说明这个双行星的构成情况。注意黄色星球的孔洞上有砖石的结构，而白色星球则没有。
《画廊》（1956）
左下角是一画廊的入口，画廊内正举行绘画展览。眼光左移，我们看到一个青年站在一幅画前聚精会神地看画，其画上有一艘船，远处左上方沿码头有许多楼房；再看右上方，楼房绵延而来，到最右面时出现一栋角楼，角楼是一间画廊的入口，画廊内正举办画展……年青人站在那里看画……
面对《画廊》，我想到了已故卞之琳先生的一首诗：
《阶梯宫》
这个奇异的房子同样表现出灭点的相对性。所谓灭点，是指立体图形各条边的延伸线所产生的相交点。透视点的消失点。所以，你能辨认出哪个方向是垂直方向，哪个方向是水平方向吗？
大家有没有对这上面的小生物感到好奇？这个萌萌哒的小生物叫小卷兽。小卷兽是埃舍尔为了适应这个空间而特别设计的一种生物，从而使这幅作品充满了迷人的魅力。小卷兽两边的文字说明为：
圆极限埃舍尔
圆极限埃舍尔
《圆极限埃舍尔》是荷兰艺术家M.C.埃舍尔的一幅著名作品，它展示了一个无限重复的圆形图案，给人一种深奥的感觉。
在这幅作品中，埃舍尔将圆形图案无限地重复在一个封闭的空间里，这种视觉效果给人一种无限延伸的感觉。
在整个作品中，圆形图案似乎没有开始和结束，给观者带来了一种深深的迷惑感。
除了这种无限延伸的视觉效果外，作品中的圆形图案还带有一种几何美感。
埃舍尔精准地使用了圆形和线条，创造出了一种完美的几何图案，给人一种宁静而和谐的感觉。
通过这幅作品，《圆极限埃舍尔》呈现出了埃舍尔独特的艺术风格，他擅长用几何图案和视错觉来挑战观者的认知。
这幅作品让人感受到了艺术与几何学的奇妙结合，让人陶醉其中。
总的来说，《圆极限埃舍尔》是一幅充满深意的作品，它展现了埃舍尔在艺术和几何领域的独特见解。
这幅作品不仅具有震撼人心的视觉效果，还蕴含着深厚的哲学意味，给人留下了深刻的印象。
唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌4：有限与无限的游戏
唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌4：有限与无限的游戏女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
前文回顾：唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌1：妙用镜像对称唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌2：史上最强背景图案唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌3：三生万物的奇迹有时候，你永远不知道科学和艺术的界限。
这个系列，唠唠游走在科学和艺术之间的剑走偏锋的鬼才画家埃舍尔。
每期介绍若干幅埃舍尔的作品。
在有限尺幅的画布内作画，如果所有组成图案大小相等，则所能描绘出的图形个数总是有限的。
如果想要描绘出无穷多的图案，则必须逐渐缩小图案的大小，至少在理论上达到无穷小的极限。
埃舍尔深深迷恋"无穷"的概念。
他说："我们无法想像，在夜空中最遥远的星球之外的某个地方，空间到了尽头，尽头之外，一无所有……我们的想像力不能从'无限'的意义上理解'无'。
正因为如此，我们就会坚信……这一切都必将在时间上无始无终，在空间上无休无尽。
"1958年，埃舍尔遇到了加拿大数学家考克斯特（H.S.M.Coxeter），他从考克斯特的一本书中偶然看到后者为解释法国数学家庞加莱的双曲几何空间所绘的图示，意识到这可以作为他创作的一个主题。
此后，他连续创作了4幅《圆形极限》作品，表现的都是非欧几何空间。
其中，《圆形极限1》和《圆形极限4》采用了八角化六阶正方形镶嵌（下图1），《圆形极限2》和《圆形极限3》采用了交错八边形镶嵌（下图2）。
这个圆盘叫做"庞加莱圆盘模型"。
接下来，我们来逐一欣赏4幅作品。
1 《圆形极限1》，木刻版画，1958年，直径42厘米与从外向内缩小图形尺寸相比，从内向外缩小图形尺寸会带来更令人满意的结果。
极限不再是一个点，而是一条线，它包围着整个图案，并形成一道逻辑边界。
通过这种方式，埃舍尔创造了一个封闭的几何空间，亦可看作一个宇宙。
如果尺寸的渐进式减小以相等的速率向所有方向辐射，那么极限就变成了一个圆。
奇妙的埃舍尔版画艺术
作者：匆忙出世回复日期：2005-8-25 16:36:00
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作者：匆忙出世回复日期：2005-8-25 16:38:00
露珠
作者：阿里亚斯回复日期：2005-8-25 17:35:00
魔镜
作者：匆忙出世回复日期：2005-8-25 21:22:00
女人体1
作者：匆忙出世回复日期：2005-8-25 21:23:00
7 创生的第一日
作者：匆忙出世回复日期：2005-8-25 16:23:00
8Hale Waihona Puke 作者：匆忙出世回复日期：2005-8-25 16:24:00
9
作者：匆忙出世回复日期：2005-8-25 16:26:00
10 发光的海洋
作者：冰之诱惑回复日期：2005-8-25 16:27:00
印象深刻，不错
作者：匆忙出世回复日期：2005-8-25 16:27:00
After finishing school, he traveled extensively through Italy, where he met his wife Jetta Umiker, whom he married in 1924. They settled in Rome, where they stayed until 1935. During these 11 years, Escher would travel each year throughout Italy, drawing and sketching for the various prints he would make when he returned home.
After only one week, he informed his father that he would rather study graphic art instead of architecture, as he had shown his drawings and linoleum cuts to his graphic teacher Samuel Jessurun de Mesquita, who encouraged him to continue with graphic arts.
初一数学镶嵌精品PPT课件
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友情提醒二：
练一练
1、在下列四组多边形地板砖中，①正三角形和正方形； ②正三角形和正六边形；③正六边形和正方形；④正八边 形与正方形，将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的 是（ ）A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
A．3，2或2，3
B．2，3或4，1
C．4，1或2，2
D．1，4或2，3
7、一个多边形截去一个角后，形成的多边形内角和为2520°，则
原多边形是（ ）
A．十五边形
B．十五边形或十六边形
C．十六边形
D．十五边形或十六边形或十七边形
（2）“360°÷ 正n边形的内角度数 ＝ 正 整数”时，正多边形可以进行单一平面镶嵌。
13 2
友情提醒：
一个正多边形的顶点落在另一个多边形的 边上的这种情况，我们不做讨论。
Shuxue
做一做
（1）用形状、大小完全相同的任意三角 形能否镶嵌图案？
在镶嵌过程中 ，观察每个拼接点 处有几个角？它们 与这种三角形的三 个内角有什么关系 ？
2、商店出售下列形状的地砖：①正方形②长方形③正五 边形④正六边形，若只能选购其中一种地砖镶嵌地面，可 供选择的地砖有（ ）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4、用三块正多边形的木板铺地，拼在一起相交于一点的 多边形完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块 木板的边数应是（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
7.4 课题学习 镶嵌
Shuxue
图案欣赏
想一想
观察以下图案，这些图形在拼接时有 什么特点?
Shuxue
埃舍尔的作品
埃舍尔风格的拼花变形：密铺图案在一个维度上逐渐变化
埃舍尔风格的拼花变形：密铺图案在一个维度上逐渐变化女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
前文回顾：探秘埃舍尔那些鲜为人知的手稿（前传）：17种平面对称群唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌1：妙用镜像对称唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌2：史上最强背景图案唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌3：三生万物的奇迹唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌4：有限与无限的游戏唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌5：有限与无限的游戏2唠唠鬼才画家埃舍尔的平面镶嵌6：从平面到空间编译一篇侯世达发表在《科学美国人》上的文章。
音乐和视觉艺术有什么区别？如果有人问我这个问题；我会毫不犹豫地回答。
对我来说，主要的区别是时间性。
音乐作品本质上涉及时间；视觉艺术作品不会。
更准确地说，音乐是由声音组成的，这些声音是为了以特定的顺序和速度播放和聆听。
因此，音乐基本上是一维的；它与我们的生存节奏息息相关。
相比之下，视觉艺术作品通常是二维或三维的。
绘画和雕塑很少有眼睛必须遵循的内在“扫描顺序”。
活动物体和其他运动艺术作品可能会随着时间的推移而改变，但通常没有任何特定的初始状态、最终状态或中间状态。
你可以自由来去。
当然，这种概括也有例外。
欧洲艺术有宏伟的檐带和历史题材的循环图，东方艺术有长达数百英尺的复杂的田园卷轴。
这些类型的视觉艺术在扫描眼睛上强加了一个时间顺序和速度。
有起点也有终点。
通常，就像在故事中一样，这些点代表相对平静的状态，尤其是在结尾。
介于两者之间的是各种类型的。
紧张感是以一种特殊但令人愉悦的视觉节奏来建立和解决的。
较平静的结束状态通常是有序的，在视觉上很简单，而较紧张的中间状态通常更混乱和视觉上混乱。
如果你用“听觉”代替“视觉”，那么音乐也是如此。
多年来，我一直着迷于试图以视觉形式捕捉音乐体验的本质。
我对如何做到这一点有自己的想法；事实上，我花了几年时间研究一种视觉音乐。
然而，我绝不认为有一种独特的或最好的方式来完成这项“翻译”的任务，事实上，我经常想知道其他人会如何尝试。
荷兰艺术家埃舍尔在运用图底转换的过程中
荷兰艺术家埃舍尔在运用图底
转换的过程中,创造了他富有哲理性
思维的视觉世界。
这幅作品告诉我们
平面空间的另一种填充方式——图
与底的巧妙融合，可以看到画面中图
形与底是等量的，图就是底，底就是
图，二者是互相依赖和支撑的。
正是
这种图底间的依赖和支撑，构成了充满哲思的艺术风格，将一个极具魅力的“不可能的世界”鲜活地呈现在人们面前。
埃舍尔的很多作品可从自然形式的图案和韵律中,感受到充满数学规律的形式美，并用视觉形式表现出来。
作品中透出了科学与艺术的融合,数学与艺术审美上的统一。
《平面填充Ⅱ》荷兰埃舍尔如意
云纹金盘图案元代
金盘图案的构图打破了寻常意义上
的的适合构图的形式。
如意云纹既是纹
样，又构成花朵状的整体的适合外形，使
装饰与造型完美地结合在一起。
四个单元
纹样的两两叠压，使平面图案产生了层次
感，每一个单元是一个适合纹样，四个单
元围合成的中心部分也是一个适合纹样，
又通过如意云纹的造形特点，使外部四个
单元与中心部分形成一个通畅无碍的平面空间，空间内满饰的缠枝花卉纹也加强了图案构图的整体感觉。
两对如意云纹采取相叠的方式是颇有创意的,使如意云头原本完全相等的两个卷涡形产生了一隐一显、一藏一露、一整一破、一大一小的巧妙变化，丰富了观赏效果和视觉层次，体现了中国古人高超的装饰技巧和独到的审美意趣。
镶嵌课件
结论
能镶嵌
析 n=4
4×90°= 360° 能镶嵌
数 n=5 据
n=6
3×108°＜ 360° 不能镶嵌
4×108°＞ 360°不能镶嵌
3×120°= 360° 能镶嵌
得出结论：
如果一个正多边形可以进行镶嵌， 那么内角一定是360°的约数（或 360°一定是这个多边形内角的整数 倍）！
探究问题（1)
用两种正多边形镶嵌,哪些能 镶嵌成一个平面?
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角， 则有
m·60。+n·90
。
=360
。
2m+3n=12
∵ m,n 为正整数
m=3
∴解为
n=2
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角， 则有
m·60。+n·120。=360。
收 正n边形 集 n =3
拼图
每个内角 使用正多边 的度数 形的个数k
60°
K= 6
结论
能镶嵌
整 n =4
90°
K= 4
能镶嵌
理
n =5
数
108° 108°
K= 3 不能镶嵌 K= 4 不能镶嵌
据 n =6
120°
K= 3
能镶嵌
正n边形 拼图
分
n=3
每个内角的度数 与360°的关系
6×60°= 360°
探究新知(四)
思考同一种任意三角形可否镶 嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一个 平面？
想一想
1）用一种普通的三角形形状的地砖 能镶嵌成一个平面图案吗?
能，因为三角形三个内角的 和为180°将三角形三个不 同的内角绕一点可围成一个
解读埃舍尔镶嵌图形
Word文档可进行编辑解读埃舍尔镶嵌图形埃舍尔,全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔（mauritscorneliusescher）,一名对现代艺术妨碍深远,却被史学家遗忘得、世界艺术史上“绝无仅有得”艺术家.和其他依靠感性进行创作得艺术家不同,埃舍尔得作品是通过复杂得理性思维得产物.他从事物得精确、规则、秩序等特性中发觉了美,制造了美.一、埃舍尔得镶嵌图形关于平面规则分割（平面镶嵌图形）,埃舍尔写到：“在数学领域,平面规则分割差不多从理论上获得了充分得研究……数学家打开了一扇通向无限可能性得大门,然而他们自身并没有进入其中看看.他们特别得禀赋使他们对如何打开这扇门得方式更感兴趣,而对隐藏在其后得花园不感兴趣.”埃舍尔正是从一个艺术家得角度,利用数学家得发觉,发掘了美,制造了美.他得平面规则分割作品令许多数学家吃惊.他在已知得17种抽象平面分割群组形式上制造了许多具象镶嵌图案.这种把抽象得几何形状给予具象得形象事实上是一种复杂得图形思维过程.要完成具象镶嵌图案得创作,对各个图形得考虑必须要特别严谨,每个镶嵌图形既要考虑它得镶嵌可能性,又要给予具体得形象,而且这种镶嵌是四面无限延伸得,这就必须要具备非常强得图形（图像）联想能力.埃舍尔得图形镶嵌作品,能够将其分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌四种形式.二、镶嵌图形得构思过程1．几何形状得演变通过对埃舍尔得镶嵌图形得研究发觉,其作品基本上通过对简单得几何形状得具象思维而逐渐演绎而来得.WwwC假如将其作品中得镶嵌图形作逆向思维,即向简单得几何形状演化,我们会发觉——到最后只是一个简单得正方形而已.由此可见,正方形是镶嵌得最差不多图形,一切复杂得能够用作镶嵌得图形基本上由其演化而来得（如图1）.通过对正方形作可镶嵌式分割,会得到非常多几何形,假如把这些几何形再作进一步细化分割,就会形成具象得可用于镶嵌得图形.如此看起来大概特别简单,事实上不然,由简单得几何形状到演化为具象得图形得过程,事实上是非常复杂得一种思维过程,需要具备专门强得图形思维及联想能力才可能做到.2．几何群组得运用除了几何形状得演化外,为了便于从整体上把握镶嵌图形镶嵌得可能性,运用几何群组得形式是非常有必要得.迄今为止,数学家共寻到17种可用于镶嵌得几何群组,令数学家吃惊得是,埃舍尔得镶嵌图形作品恰巧有目得或无目得地运用了这些几何群组.如埃舍尔得鱼得镶嵌作品确实是采纳得几何群组形式而创作得（如图2）.无疑,这些几何群组得运用加大了镶嵌图形得可行性,也能够更好地从整体上去把握它,但这些同样需要具备一定得图形思维能力,否则,非常难做到.3．形状得多重思维即空域形状得多重性具象思维（如图3）.关于空域形状能够联想到大雁,也能够联想到飞鱼.4．在镶嵌图形基础上得渐变在镶嵌图形得基础上作渐变,看起来要比创作镶嵌图形容易得多,但事实上这一过程也异常复杂.我们明白,镶嵌图形是给简单得几何形状给予复杂得具象图形得一种空域思维,那个空域是固定得,因此是静态得.而把镶嵌图形作进一步得渐变处理则是动态得,这种动态性表现在对不同空域得连续性思维,它要求我们具备一定得动态性思维才有可能完成.也确实是讲,当我们得眼睛盯着一个空域时,要求我们头脑中还要去考虑第二个、第三个、第四个等等.因此,不具备动态性思维是不可能制造出渐变镶嵌图形得.三、埃舍尔镶嵌图形关于图形思维能力得培养通过研究埃舍尔镶嵌图形得构思过程,我们不难发觉,要使图形得镶嵌成为可能,需要具有超强得空域图形思维、联想,图形整体把握及图形得动态思维能力.这些能力是图形思维必须具备得能力,而镶嵌图形得创作过程关于这些能力得培养是非常有关心得.假如拿一张画面中心画有一个黑点得白纸让学生看,就会发觉,几乎100%得同学都会盯住那个黑点,而对黑点周围得大面积白则熟视无睹、视而不见.这种现象被称为“黑点式黑暗性思维”.笔者也曾做过一个测验,让学生通过六楼得窗户看楼下得甬道,结果同样,几乎所有人都在注意交错得甬道及甬道上得行人,没有一个人去留意甬道之间形成得空隙得形状.这种思维得局限性是非常可悲得.而埃舍尔得镶嵌图形恰是训练这些平常熟视无睹、视而不见得思维空白区域.在把那个空白区域给予具象得形象得同时,既要考虑其镶嵌得可能性,又要给予其具象得形象,而且,每个具象形象得边缘线基本上两个形状得共用线.因此,要时刻注意“一线两形”得咨询题,这就拓展了思维,增强了思维得能动性.这种思维过程是一种复杂得图形思维过程,它对图形得联想能力、图形得整体把握能力以及图形得动态思维能力得培养是特别有关心得.参考文献：[1]埃舍尔大师图典(紫图大师图典丛书)陕西师范大学出版社,2003年10月[2]布鲁诺·恩斯特著王蓓,王松译魔镜：埃舍尔得不可能世界上海科技教育出版社,2002年10月。