解析几何离心率专题突破

离心率的五种求法

椭圆的离心率10<e ,抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时,可利用率心率公式a

c

e =

来解２01２年5月6日星期日决。 例１:已知双曲线1222

=-y a

x (0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率

为（ )

A.

23 B. 23 C. 26

Ｄ.

332 解：抛物线x y 62

-=的准线是23=x ,即双曲线的右准线2

3122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解

得2=c ,3=a ，3

3

2=

=a c e ,故选Ｄ

变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为()0,11F 、()0,32F ,则其离心率为（ ）

Ａ．

43 Ｂ. 32 C. 2

1

Ｄ. 4

1

解:由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ,3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率2

1

==

a c e .故选Ｃ. 变式练习２:如果双曲线的实半轴长为２,焦距为6,那么双曲线的离心率为（ )

A.

2

3

B. 26

C. 2

3

D 2 解：由题设2=a ，62=c ,则3=c ,2

3

==

a c e ,因此选C 变式练习3：点Ｐ(-３,1）在椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a )的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光

线,经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ )

A

33 B 31 C 22

D 2

1 解:由题意知,入射光线为()32

5

1+-

=-x y ,关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则

⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=0

553

2

c c

a 解得3=a ,1=c ，则33==a c e ，故选 A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2:已知1F 、2F 是双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，

若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( ）

A. 324+ B ．

13- C ．

2

1

3+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ,则P 的横坐标为2

c

-，由焦半径公式

a ex PF p --=1，

即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2,得0222

=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==a

c

e （31-舍去),故选D

变式练习１：设双曲线122

22=-b

y a x (b a <<0)的半焦距为c ,直线L 过()0,a ,()b ,0两点.已知原点到直线

的距离为

c 4

3

,则双曲线的离心率为( ) Ａ. 2 B. 3 C ．

2

D ．

3

3

2 解:由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ,由点到直线的距离公式,得

c b a ab 4

32

2=

+, 又2

22b a c +=, ∴234c ab =

,两边平方，得()

4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ,

得42

=e 或3

42

=e ,又b a <<0 ,∴21222

22222

>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ,∴2=e ,故选Ａ 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为1F 、2F ,0

21120=∠MF F ,则双曲线的离心率为( ）

A

3 B

26 C 3

6

D

3

3 解:如图所示,不妨设()b M ,0,()0,1c F -，()0,2c F ,则

2221b c MF MF +==,又c F F 221=，

在21MF F ∆中, 由余弦定理,得2

12

2

12221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=

∠,

即(

)(

)

(

)

2

22

22222421b

c c b c b c +-+++=-,∴212222-=+-c b c b , ∵2

2

2

a c

b -=,∴2122

22-=--a

c a ,∴2223c a =,∴232

=e ,∴26=e ,故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例３:设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是__＿____＿。 解:121

21222222221-=+=+=+===

c

c c

PF PF c a c a c e

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例４:设椭圆122

22=+b

y a x (0,0>>b a )的右焦点为1F ,右准线为1l ,若过1F 且垂

直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是

ﻩ

.

解:如图所示,AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦,∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的

第二定义,2

121

1===

AD AB AD AF e 变式练习：在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心

率为（ ） Ａ

2 B

2

2

Ｃ 21 Ｄ

4

2

解:2

2

1222==

=

AD

AF e 五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围 例5：设⎪⎭

⎫

⎝⎛∈4,

0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围为( )