清华大学断裂力学讲义ch3

z a
一旦Westergaard函数已知，便可知道全场解
应力场
11 Re Z I x2 Im Z I
1
2

22 Re Z I x2 Im Z I
2 u2

Im
I
12 x2 Re Z I

I
位移场
2 u1 Re
12 2 I
1
I
2
I
2
I
2
I
2
当 x2= 0时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面。
例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板 自由裂纹表面：
22 i 21 x 0, x a 0
2 1
22 ReZ I x2 Im Z I A
ReZ I x1 A 0 x1 a
【作业题3-6】 双轴加载，但水 平与竖直方向远 场应力不同
z
za za

z
z 2 a2
I型裂纹：
ZI
z
z 2 a2
x1 a, x2 0
转换坐标到裂尖
22 Re Z I x1
r x1 a
x1
x12 a 2
x1 r a
2 2 K I2 K II K III G 【作业题3-5】 E 2
ui ui a x1 , ui a x1 , 2ui a x1 ,
G lim
1 a i 2 x1 , 0 ui dx1 a 0 2a 0 1 a lim x , 0 u a x1 , dx1 i 2 1 i a 0 a 0
2u1 Re z 2u2 Im z
1
11 ReZ I x2 Im Z I A
应力场
22 I 2 I
位移场
ReZ x Im Z A x Re Z 1 2u Re Z dz x ImZ Ax 2 1 2u Im Z dz x ReZ Ax 2
+ 3 3 + 3


a x1
1 2
U A UB 1 a G lim lim 32 x1 , 0 u3 dx1 a 0 a 0 2a 0 a 1 a lim 32 x1 , 0 u3 a x1 , dx1 a 0 a 0
a
复合型裂纹
Ga i 2 x1 ,0 ui a x1 , dx1 wtip a
0
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解 裂纹扩展
F
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtipda dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
lim 22 r , 0 lim
r 0 r 0
x1
x1 a x1 a

a
r 2a

a
2r
K I lim 2 r 22 r , 0 a
r 0
KI a
K I lim Z I z 2 z a
x2
σ
x2
u
2 2 K I2 K II K III G E 2
a
x1
a
u

x1
平面应变断裂韧性：
能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得
到的。
2 2 K I2 K II K III G E 2
在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很
应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。 I、II型裂纹
Hale Waihona Puke Baidu F 0
应力函数
F Re z z z dz


11 Re 2 z
应力场
22 Re 2 z 12 Im z
f1 f2 in R1 R2
R1
R2
f1
f2
用Westergaard应力函数表示应力、位移
I型裂纹
Z I z 2 z
z z A ZI z 2
11 Re 2 z 22 Re 2 z 12 Im z
第三章：线弹性断裂力学
断裂模式及对称性分析 三型裂纹裂尖场的渐近解 复变函数（回顾） 三型裂纹裂尖场的解 应力强度因子K K-G关系
计算K的常用方法
讨论
反平面剪切问题（一个相对简单的问题）
3 , 0
3 u3,
1 2
3 2 3
整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）
ZI
a sin 2W 1 z sin 2W

2
KI a
2W a tan a 2W

x2
x1
x1 a, x2 0
是ZI(z)两个枝点，可猜测
ZI R z za za A R z z a
2 2
A
11 ReZ I x2 Im Z I A
22
I 2 I
无穷远处的边界条件：
z ,11 22
ZI
ReZ x Im Z A
ˆ3 2 R 1 R R 2u ˆ3 ˆ3 2 u3 2 u u 0 r r r r 2
M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).
多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I
型断裂占优的路径。 此外，I型断裂最为危险。
K I2 G E
实验测量应力强度因子
电测法 裂尖应变 光弹法 裂尖主应力
数字图像相关（Digital image correlation） 热弹性法（Thermoelastic Method）
在前面的平面问题求解中 ,需要确定两个解析函数 (z)和(z) ，其实在对称和 反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。 以I型问题为例：
F Re z z z dz
12 x1， 0＝0
x1 ,
2 0
2u1 Re z 2u2 Im z
位移场
3 4 3 1
Plane strain Plane stress
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
应力强度因子KI,II,III与G之间的关系 G 与裂纹延伸时能量的变化有关
U e G A

1 U e B a

KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关
22 r , 0 KI K lim 2 r r , 0 II r 0 12 K r , 0 III 32
平面应变
K B 2.5 IC y
2 2
K a 2.5 IC y

KQ
a f B W W
PQ
应力强度因子求解
此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载 荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法： Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function） 权函数法（Weight function） 线性叠加法 （Principle of superposition）

Z I dz x2 Im Z I

裂纹面上
22 ReZI x1
Z dz x Re Z 2 1 u Im Z dz 4
1
2
2
I
x2 x1
还可用Westergaard函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见 Koiter，1959的工作）。如何猜测Westergaard函数？
2 K III G 2
针对I、II、III型裂纹 x2
σ
x2
u
a
x1
O
a
u

x1
i2
KM a 2 x1
x
1
i 1, 2, 3 M II I III
1 II a x1 K M a a 1 I 2 4 III
2u3 0
渐近解
2u3 1 u3 1 2u3 u3 2 2 0 2 r r r r
2
ˆ3 u3 r 1u
ui 0 as r 0
为什么有如此渐近的形式？
分离变量法
2
ˆ3 u3 r, R r u
12 ˆ3 r 2 2 R r R 1 2u 0 ˆ3 2 R r 2 R r u 2 1
首先假设固定位移加载 针对III型裂纹 x2
A
B
x2
u
σ
a
x1
a
u
x1
K III lim 2 x1 32 x1 , 0
x1 0
32 x1 , 0
K III 2 x1 2 2K III
u3 u a x1 , u a x1 , =2u a x1 , =

利用了对称性
2 F F,
Imz z z x
Imz z z x
A为实常数
2 0
0
u v y x
z z z x 0 A
2
u v x y
解析延拓（定义见下页）：
z A z z
I型裂纹的Westergaard应力函数： Z I
z 2 z
附：解析延拓数学定理 若 f1 在 R1 中解析， f2 在 R2 中解析，且 R1 R2 ，如果
f1 f2 in R1 R2

裂尖位移场
裂尖温度场
基于应力强度因子的断裂准则
安全 K I K IC 临界状态
实验测量KIC
KIC 材料的断裂韧性 （Fracture toughness） Compact tension (CT)
ASTM Single edge notch bend (SENB)
Crack mouth opening displacement (CMOD)
lim 2x1 2i x1 ,0 应力强度因子的计算： K M x 0
1
i 1, 2, 3 M II I III
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard