断裂力学讲义(第二章)

sin z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
Z ( )
sin ( a)
2b
[sin ( a)]2 (sin a )2
2b
2b
10
KⅡ
lim
0
2 Z ( )
a
2b tan a a 2b
3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅢ
lim
0
2b
2b
2b 2b 2b
8
Z 0
sin a
2b
2 cos a sin a
2b 2b 2b
KⅠ
lim
0
2 Z
sin a
2b
2b tan a a
1 cos a sin a
2b
2b 2b 2b
2b tan a a 2b
取 Mw
2b tan a a 2b
--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 KⅠ 的影响
z a, 除去 z b 处裂纹为自由 表面上 y 0, xy 0 如切出 xy 坐标系内的第一象限的 薄平板，在 x 轴所在截面上内力 总和为P
Z 2 p( a) a2 b2
[( a)2 b2 ] ( 2a)
KⅠ
lim
0
2 Z ( )
2p a
(a2 b2)
4
2.在无限大平板中,具有长度为 2a 的穿透板厚的裂纹表 面上,在距离 x a1 的范围内受均布载荷q作用
14
新的裂纹面仍为椭圆 长轴 短轴
c (1 f )c a (1 f )a
y0
2(1 2 ) a E
2(1 2 ) (1 E
f
)a
(1
f
) y0
原有裂纹面:
x2 a2
z2 c2
( y )2 y0
1
扩展后裂纹面:
x2 a2
z2 c2
(
y )2 y0
1
以 x x1 ，z z1 代入 原有裂纹面的边缘 y 向位移 y
15
y2 y02
1
x12 a2
z12 c2
1
(1
x12 f )2
a2
(1
z12 f )2
c2
1 (1 2 f )
x12 a2
(1 2 f )
z12 c2
1
x12 a2
z12 c2
2
f
(
x12 a2
z12 c2
)
2f
y2 2 fy02 2 f (1 f )2 y02 2 fy02
f r c2 sin2 a2 cos2
f r r c2 sin2 a2 cos2 ac
边缘上任一点 p(x, z)有
x ( r) sin (1 f ) sin (1 f )x1 z ( r) cos (1 f )z1
p(x, z), p(x1, z1) 均在 y 0的平面内
c2 x2 a2 z2 (1 f )4 a2c2 a2c2
第二章 应力强度因子的计算
1
计算 K 值的几种方法
➢1.数学分析法:复变函数法、积分变换； ➢2.近似计算法：边界配置法、有限元法； ➢3.实验标定法：柔度标定法； ➢4.实验应力分析法：光弹性法.
2
§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算
一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算
来自百度文库KⅠ
lim
0
2 ZⅠ 计算 K 的基本公式
1.在“无限大”平板中具有长度为 2a 的穿透板厚的裂
纹表面上,距离 x b 处各作用一对集中力P
x Re ZⅠ y Im ZⅠ
y Re ZⅠ y Im ZⅠ
xy y Re ZⅠ
选取复变解析函数：
2 pz a2 b2
Z (z2 b2)
3
以新坐标表示
边界条件：
z ,x y xy 0
若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（ 2a 1 ）可不
考虑相互作用,按单个裂纹计算.
2b 5
9
二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算
1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅡ
lim
0
Z
(
)
2
2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.
Z(z)
ac
y2 2ry02 c2 sin2 a2 cos2
ac
16
设各边缘的法向平面为平面应变,有:
Z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
7
采用新坐标: z a
sin ( a)
Z
2b
(sin ( a))2 (sin a )2
2b
2b
当 0 时，sin , cos 1
2b 2b
2b
sin ( a) sin cos a cos sin a
2b
2b 2b
2b 2b
cos a sin a
2b 2b
2b
[sin ( a)]2 ( )2 cos2 a 2 cos a sin a (sin a)2
2b
2b
2b 2b 2b 2b
2b
[sin ( a)]2 (sin a)2 2 cos a sin a
KⅠ 2q
a
sin1(a a)
q
a
3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 x 轴上有一系列
长度为 2a ,间距为 2b 的裂纹
单个裂纹时
Z z
z2 a2
6
边界条件是周期的: z , y x
y 0, a x a, a 2b x a 2b
y 0, xy 0
sin z
利用叠加原理
集中力 qdx dKⅠ
2q a dx
(a2 x2)
a
KⅠ 0
2q a dx
(a2 x2)
令 x acos a2 x2 a cos dx a cosd
5
KⅠ 2q
a
a cos sin1(a1a ) d 2q
0
a cos
a
sin1(a1 a )
当整个表面受均布载荷时
2 Z ( )
4.Ⅲ型周期性裂纹: K a 2b tan a a 2b
11
§3-2
深埋裂纹的应力强度因子的计算
1950年,格林和斯内登分析了弹 性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的 应力和应变得到椭圆表面上任意点,
沿 y 方向的张开位移为
y
y0 (1
x2 a2
z2 c2
1
)2
其中:
y0
2(1 2 ) a E
第二类椭圆积分
12
2
[sin2
(
a
)2
cos2
]
1 2
d
0
c
1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应
力强度因子
原裂纹面
z1 cos , x1 sin
x12 z12 1 a2 c2
c2 x12 a2 z12 a2c2
ac
c2 sin2 a2 cos2
13
假设:椭圆形裂纹扩展时 r f f 1