断裂力学讲义(第二章)
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断裂力学课件
断裂力学目录第一章绪论 (2)§1.1 断裂力学的概念 (2)§1.2 断裂力学的基本组成 (2)第二章线弹性断裂力学概述 (4)§2.1 裂纹及其对强度的影响 (4)§2.2 断裂理论 (6)第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 (13)§3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (13)§3.2 Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (18)§3.3 Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (20)§3.4应力强度因子的确定 (22)第一章 绪论§1.1 断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。
在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。
但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。
例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。
1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。
五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。
这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。
特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。
于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。
人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。
工程断裂力学第二章new
双悬臂梁试件断裂问题的求解
设B为试件厚度，H为试件半高度，a为加载线到裂端的 距离。l/2为力作用点沿力方向的位移。 试件可简化为悬臂梁问题，上下每个梁的长度即为裂 纹的长度a。由材料力学计算梁的挠度公式，可知力作 用点的位移为：
l Pa = 2 3EI
3
BH 3 式中，E为弹性模量， = 是惯性矩。 I 12
Griffith是本世纪二十年代英国著名的科学家，他在 断裂物理方面有相当大的贡献，其中最大的贡献要算 提出了能量释放(energy release)的观点，以及根据这个 观点而建立的断裂判据。本节要介绍根据Griffith观点 而发展起来的弹性能释放理论，此理论在现代断裂力 学中仍占有相当重要的地位 。
失稳扩展与止裂判据
d (G 2γ s ) > 0 da d (G 2γ s ) < 0 da d G>0 da d G<0 da
d2 (W U) > 0 2 da d2 (W U) < 0 2 da
失稳扩展 裂纹止裂 因为γ 因为γs为 常量 失稳扩展 裂纹止裂
失稳扩展
裂纹止裂
双悬臂梁试件
如图所示的双悬臂梁试件，受到一对拉力P的作用，试求断裂发生 时的临界拉力；若发生断裂，是否为失稳扩展？
对于发生脆性断裂的材料，在断裂发生前，裂端 区塑性变形所消耗的能量通常是可以忽略不计的。此 时，表面能即为表面自由能，则 d(W U) γ = 0成为脆性断裂 dA
p t
的判据。由于Irwin —Orowan断裂判据和Griffith断裂判 据都是根据能量守恒定律建立起来的，因而两者应该 是同一个判据。
双悬臂梁试件断裂问题的求解
利用Griffith判据，可得在某裂纹长度a时的临界拉力为：
断裂力学精品文档
目录 第一章 绪论 第二章 线弹性断裂力学 第三章 弹塑性断裂力学 第四章 疲劳裂纹扩展 第五章 复合型裂纹的脆性断裂理论 附 录 弹性力学基础
一、引例
第一章 绪 论
s
s s [s ]
s
2a
2b
s
2a
s
s max
s
1
2
a b
Inglis(1913)
s
?
第一章 绪论
用分子论观点计算出绝大部分固体材 料的强度103MPa，而实际断裂强度 100MPa？
裂力学，断裂动力学和界面断裂力学。
五、断裂力学的任务
第一章 绪论
1．研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻 找控制材料开裂的物理参量；
2．研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标 的变化规律，确定其数值及测定方法；
3．建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；
4．含裂纹的各种几何构形在不同载荷作用下， 控制材料开裂物理参量的计算。
一、Griffith理论
3．Griffith理论
s
1) b厚度板开裂前后应变能增量
V
s 2 πa2b A2ab πs 2 A2
E
4Eb
A：裂纹单侧自由表面面积
2a
2)表面自由能
ES 4ab 2A
s
V ES πs 2 A 2
A A 2Eb
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠 落，同时期共三架坠落；
第一章 绪论
二、工程中的断裂事故
5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆 炸；
6．1969年11月美国F3左翼脱落； 7．1972年我国歼5坠毁； 8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等
一、引例
第一章 绪 论
s
s s [s ]
s
2a
2b
s
2a
s
s max
s
1
2
a b
Inglis(1913)
s
?
第一章 绪论
用分子论观点计算出绝大部分固体材 料的强度103MPa，而实际断裂强度 100MPa？
裂力学，断裂动力学和界面断裂力学。
五、断裂力学的任务
第一章 绪论
1．研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻 找控制材料开裂的物理参量；
2．研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标 的变化规律，确定其数值及测定方法；
3．建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；
4．含裂纹的各种几何构形在不同载荷作用下， 控制材料开裂物理参量的计算。
一、Griffith理论
3．Griffith理论
s
1) b厚度板开裂前后应变能增量
V
s 2 πa2b A2ab πs 2 A2
E
4Eb
A：裂纹单侧自由表面面积
2a
2)表面自由能
ES 4ab 2A
s
V ES πs 2 A 2
A A 2Eb
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠 落，同时期共三架坠落；
第一章 绪论
二、工程中的断裂事故
5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆 炸；
6．1969年11月美国F3左翼脱落； 7．1972年我国歼5坠毁； 8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等
断裂力学
A：裂纹单侧自由表面面积
2a
2)表面自由能 ES 4ab 2 A
V E S π 2 A 2 A A 2 Eb
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
3．Griffith理论
3) 给定裂纹长度 2 E G 2 EGC a：裂纹半长 f πa πa 给定应力 2 E EGC —容限裂纹半长 aC 2 2 π π 4) Griffith理论适用范围 2 E E 8 —足够尖的裂纹， b0 Griffith裂纹 πa 4ab0 π
第一章
绪论
二、工程中的断裂事故
5 ． 1958 美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆 炸；
6．1969年11月美国F3左翼脱落；
7．1972年我国歼5坠毁； 8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等
第一章
绪论
二、工程中的断裂事故
第一章
绪论
二、工程中的断裂事故
9．2007年11月2日美国F15 空中解体；
max th f E /(4ab0 )
a / 1
( 0， f 0) —连续介质力学和弹性理论的局限
4．按微观理论
b f E /(4ab0 ) f E /(4a )
0
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
一、Griffith理论
2．能量释放率及断裂判据 3)裂纹扩展单位面积消耗的能量—裂纹扩展阻力率 (临界应变能释放率) Λ E S GC A A GC：材料常数(材料的断裂韧度)
4)断裂判据
G GC
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
2a
2)表面自由能 ES 4ab 2 A
V E S π 2 A 2 A A 2 Eb
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
3．Griffith理论
3) 给定裂纹长度 2 E G 2 EGC a：裂纹半长 f πa πa 给定应力 2 E EGC —容限裂纹半长 aC 2 2 π π 4) Griffith理论适用范围 2 E E 8 —足够尖的裂纹， b0 Griffith裂纹 πa 4ab0 π
第一章
绪论
二、工程中的断裂事故
5 ． 1958 美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆 炸；
6．1969年11月美国F3左翼脱落；
7．1972年我国歼5坠毁； 8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等
第一章
绪论
二、工程中的断裂事故
第一章
绪论
二、工程中的断裂事故
9．2007年11月2日美国F15 空中解体；
max th f E /(4ab0 )
a / 1
( 0， f 0) —连续介质力学和弹性理论的局限
4．按微观理论
b f E /(4ab0 ) f E /(4a )
0
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
一、Griffith理论
2．能量释放率及断裂判据 3)裂纹扩展单位面积消耗的能量—裂纹扩展阻力率 (临界应变能释放率) Λ E S GC A A GC：材料常数(材料的断裂韧度)
4)断裂判据
G GC
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
断裂力学第二讲断裂力学理论Fracture Mechanics
(1913), pp.219–230.
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
断裂力学(优质课件)
4
材料不是完美无瑕的
绪论
工程材料都有缺陷（先天— 夹杂、夹渣、瑕疵、空洞、裂缝
后天— 冶炼、加工、制造、安装、使用）
材料中的宏观尺寸缺陷—这里通称为裂纹（尖裂纹或钝裂纹）。
由于材料有缺陷，材料的自身强度是理论强度的1/10-1/100；
由于材料有缺陷，材料在受力后会在缺陷处产生严重的应力集中；
由于材料有缺陷，材料会在某种应力作用下产生亚临界裂纹扩展，材料对
研究20的21/重6/1要6 方向）。因此断裂研究有重大的经济和社会意义 。
5
绪论
尽管社会不断发展，断裂问题仍层出不穷
多少世纪来，人们积累了大量有关断裂的现象和经验，但一般的解决方法就 是替换，换新的或找更强的材料代替，对断裂的认识停留在现象上。18世纪以来随 着工业的发展，对构件需求和要求更高，开始探索断裂理论，以材料力学为代表的
理论、 模型等随后提出几十个。但随着新材料（如高强度钢）新工艺（如焊接）的 发展，断裂问题仍层出不穷。Why ? 这一方面说明断裂问题的复杂性，另一方面说 明，已有的断裂理论还解决不了全部问题。 上世纪中，在现代工业发展和战争的的 推动下，人们对断裂现象认识的进一步深化，对材料强度、缺陷、位错、应力集中 等理论研究不断深入，断裂力学终于在1957年应运而生，成为学科，且已经在生产 和设计中发挥重大作用，并继续承受检验。
什么是断裂力学？
断裂力学是一门研究含裂纹物体，裂纹的启裂、扩展到断裂的宏观过程及断裂
条2件021的/6/科16学。
6
绪论
● 代表人物
谈到断裂力学发展，它归功很多人，有三个人值得我们特别提出，他们是：
Inglis, Griffith, Irwin.
Inglis 把缺陷看成材料内部的小孔, 1913年理论计算了无限大板中心椭圆孔
材料不是完美无瑕的
绪论
工程材料都有缺陷（先天— 夹杂、夹渣、瑕疵、空洞、裂缝
后天— 冶炼、加工、制造、安装、使用）
材料中的宏观尺寸缺陷—这里通称为裂纹（尖裂纹或钝裂纹）。
由于材料有缺陷，材料的自身强度是理论强度的1/10-1/100；
由于材料有缺陷，材料在受力后会在缺陷处产生严重的应力集中；
由于材料有缺陷，材料会在某种应力作用下产生亚临界裂纹扩展，材料对
研究20的21/重6/1要6 方向）。因此断裂研究有重大的经济和社会意义 。
5
绪论
尽管社会不断发展，断裂问题仍层出不穷
多少世纪来，人们积累了大量有关断裂的现象和经验，但一般的解决方法就 是替换，换新的或找更强的材料代替，对断裂的认识停留在现象上。18世纪以来随 着工业的发展，对构件需求和要求更高，开始探索断裂理论，以材料力学为代表的
理论、 模型等随后提出几十个。但随着新材料（如高强度钢）新工艺（如焊接）的 发展，断裂问题仍层出不穷。Why ? 这一方面说明断裂问题的复杂性，另一方面说 明，已有的断裂理论还解决不了全部问题。 上世纪中，在现代工业发展和战争的的 推动下，人们对断裂现象认识的进一步深化，对材料强度、缺陷、位错、应力集中 等理论研究不断深入，断裂力学终于在1957年应运而生，成为学科，且已经在生产 和设计中发挥重大作用，并继续承受检验。
什么是断裂力学？
断裂力学是一门研究含裂纹物体，裂纹的启裂、扩展到断裂的宏观过程及断裂
条2件021的/6/科16学。
6
绪论
● 代表人物
谈到断裂力学发展，它归功很多人，有三个人值得我们特别提出，他们是：
Inglis, Griffith, Irwin.
Inglis 把缺陷看成材料内部的小孔, 1913年理论计算了无限大板中心椭圆孔
断裂力学 第二章 能量守恒和断裂判据
对于小应变情况，由
c
2 x
2.1 固体的理论断裂强度
c
2 x
引入弹性系数E，则
E Ex
.
b0
综
合 考 虑
c
2 x
2
2 0
dx
c
2
2 0
dx
c
c
E
b0
1/ 2
此式即为完整晶体的理 想断裂强度的计算公式
2.1 固体的理论断裂强度 公式的几点说明
c
E
b0
1/ 2
裂纹对材料强度的影响
2.2 裂纹对材料强度的影响
一：实际的断裂强度
1：金属的实际断裂强度要比理论计算的断裂强度低的 多，至少低一个数量级，而陶瓷、玻璃的实际断裂强 度则更低。
2：原因 (1) 实际断裂强度低的原因是因为材料内部存在有裂纹
2.2 裂纹对材料强度的影响
裂纹萌生:
（a）玻璃结晶后，由于热应力产生固有的裂纹；
2.2 裂纹对材料强度的影响
例如如图所示无限大薄平板，
承受单向均匀拉应力作用，板
中存在贯穿的椭圆形切口，其
长轴为2a，短轴为2b，则最大
y
拉应力发生在椭圆长轴端点A(
或A′)处，其值为
A 2b
Ax
y
(1 2 a)
max
b
2a
2.2 裂纹对材料强度的影响
端点A点处的 曲率半径
b2
a
y
2.2 裂纹对材料强度的影响
(2)裂纹尖端的应力集中必然导致材料的实际断裂强度 远低于该材料的理论断裂强度
具有裂纹的弹性体受力以后，在裂纹尖端区域将 产生应力集中现象。但是应力集中是局部性的，离开 裂纹尖端稍远处，应力分布又趋于正常。
断裂力学讲解chGriffith理论
E'/L
通过计算做功来计算
能量差异
u2
u2
对于无限大板含裂纹(a<<L) u2x14 1 a2x1 2, x1a
弹性应变能： U e
1a2B 8
2
【题
2-1】
：剪切模量， 313－4，，平平面面应应力变
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
上面是位移边界
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用u2叠加原理计算能量？u2讨论
单边裂纹vs双边
A
代表面积，
G
的量纲为
N
/
m
，是广义能量力，
G
2
E
a
A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
材料对裂纹临界扩展的抗力：
Gc
A
2
（理想脆断）
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态
（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向
◎ 热能区别于其他能量形式
◎ 很多能量都最终耗散转化为热能
◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
如何检查叠加是否正确？
线性系统（线弹性、小变形、小u2 转动）
u2
检查以下等式是否都满足
(c) (b) (d) ， (c) (b) (d)
断裂力学(2)
2 2 y 2 2 Re Z y Im Z x x
2 2
I xy (ReZ I y Im Z I ) xy xy
证明
满足必要条件：
2
2 0
证明： 先求
2 2 Re Z 2 ( y Im Z )
2 Im Z 2 Im Z Im Z Im Z y y 2 2 y y x y
Im Z y Im Z 2 y
2
2 因为 Z 解析，有 2
最后
2 2 2 2 Re Z 0
（2）几何方程
u x x v y y v u xy x y
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（4）边界条件 应力边界条件 位移边界条件 混合边界条件
3). 应力函数(Airy function) :
（1）
Z Re Z Re Z x Re Z Re Z Re z z x z x
要求满足：
0
2 2
Re Z y Im Z
应力分量为：
2I 2 x 2 2 Re Z y Im Z y y
z 1, x z i y
Z f ( z)
z x iy
于是有：
Z Z z Z x z x z Z Z z Z i y z y z
Z 解析函数的导数 是唯一的，于是有： z
Z Z i y x
又：
Z f ( z ) Re Z i Im Z
断力讲义-2(断口分析简介)
5.4 准解理断口的形貌特征
准解理断裂：介于解理与韧窝断裂之间的 断裂（回火马氏体钢）
一、宏观形貌特征
比较平整、塑性变形小，近似于解理 断口的宏观形貌
二、微观形貌特征
* 亦有解理台阶、撕裂脊线、舌状花样 * 微观上有较大的塑性变性（图4-4）
5.5 韧性断口的形貌特征
断口形貌取决于：材料类型、质量、变形 速度、应力状态、试验温度等
二、宏观形貌特征
• 三个区域：平滑区（含疲劳源）、过渡区、 瞬断区
1.疲劳源：单源、多源；表面、次表面
2 平滑区：裂纹萌生、稳定扩展； 呈脆性断口形貌
1）裂纹扩展方向，结合贝壳状、年轮、 海滩状、前沿线等宏观条纹标记来判断；
2）机械磨光标记 3）裂纹扩展区的颜色（黑、黑红） 4）疲劳台阶（多源疲劳断裂） 5）棘轮状标记（应力大、应力集中） • 贝壳状条纹 （图6-22） * 鉴别疲劳断口的重要宏观依据 * 产生、形状、变化
续的，且其长度也大致相等。
4.轮胎压痕
* 疲劳断口微观形貌特征的第二重要依据 * 轮胎压痕是疲劳断口上最小特征花样，
是在疲劳裂纹形成后，由匹配断口上的 “突起”、“刃边”等反复挤压或刻入而 引起的压痕
5.7 环境断口
1.应力腐蚀断口
金属材料、受拉应力、腐蚀环境；多源脆性 断裂，穿晶、沿晶或混晶断裂 2.氢脆断口 体心立方金属及合金；穿晶或晶间断裂 3.腐蚀疲劳断口 往往在材料表面萌生裂纹，多个疲劳源 特征：有腐蚀或氧化形貌、颜色（疲劳区）
5.8 其它断口
1.蠕变断口
金属材料在高温蠕变条件下，可能出现两 种晶间裂开形式：楔形裂纹，圆形或椭 圆形孔穴
2.过热断口
3.沿晶断口
5.9 失效分析概论
断裂力学第二章
dZ Z ( z + Δz ) − Z ( z ) 导数定义: Z ′( z ) = = lim dz Δz →0 Δz z = x + iy → Δz = Δx + iΔy
考虑路径： (1)Δx → 0, Δy = 0, Δz = Δx Re Z ( x + Δx, y) + i Im Z ( x+Δx, y) Re Z ( x, y) + i Im Z ( x, y) ′( z )= lim Z − lim Δy =0 Δy =0 Δx Δx Δx →0 Δx →0 Re Z ( x + Δx, y) − Re Z ( x, y) Im Z ( x+Δx, y) − Im Z ( x, y) = lim +i lim Δy =0 Δy =0 Δx Δx Δx →0 Δx →0
σz
z 2 − a2
z = x + iy ξ = r cosθ + ir sinθ = reiθ o → o′, 复平面z上的点z( x, y) → ξ (r,θ ) r sinθ = y r cosθ = x − a
ξ (r,θ ) = reiθ = (x − a) + iy = (x + iy) − a = z − a
2
θ
2
KI θ θ 3θ cos (1 − sin sin ) 2 2 2 2π r KI θ θ 3θ σ y = Re Z + y Im Z ′ = cos (1 + sin sin ) 2 2 2 2π r KI θ θ 3θ τ xy = − y Re Z ′ = cos sin cos 2 2 2 2π r
1 [(1 −ν ′) Re Z − (1 +ν ′) y Im Z ] 2G (1 + ν ′) 1 v= [2 Im Z − (1+ν ′)y Re Z ] ′) 2G (1 +ν
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
断裂力学讲义ch2-Griffith理论_474608451
E' / L
u2
2 如果以(b) 为应变能零状态,要求解u (c) 状态能量,先转 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理
通过计算做功来计算 能量差异
E' / L
u2 u2
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律）
系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向 ◎ 热能区别于其他能量形式 ◎ 很多能量都最终耗散转化为热能 ◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
e GBda W dU d 最一般情形：
外势能（外力势） 杨卫教材
G
1 B a
P
1 U e 系统位移边界固定： ， B a （1.10） 1 G Ue w Ue （1.17） B a （1.18） G
P 固定情形：
材料常数？
塑性 区
F
F
1． 塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小 a 或其他 特征长度尺寸） 2． 裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变 形功 3． 塑性功的大小足以表征材料的断裂性能
一些讨论 什么是表面能？ 裂纹长度 a 是单调增的！？ 怎么理解能量释放率 G 与加载方式无关（广义构型力，能量 平衡） Legendre 变换和状态函数的选择 存在一个特征尺度，尺寸效应
上面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功 的交换，即 W 0 下面的例子试件子系统与外界会有功的交换， 但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先 仍研究没有功交换的情形
02--断裂力学-I-II-III裂尖场
研究内容
1、断裂力学分类 线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、微观断裂力学 2、裂纹的分类
3、断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用
主要应力分量 位移
xz , yz ；
u 0 , v 0 , w w x, y
III 型反平面剪切问题
复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效的。 根据复变函数理论，任何解析函数的实部和虚 部都满足Laplace方程，它们构成共轭的调和 函数。 如果知道一个调和函数，则可以由柯西－黎曼 方程求出与之共轭的调和函数。
该方程组有非零解得条件是:
（当 0 时，裂尖位移奇异，当 0 时， 代表刚体位移）
解的一般形式表示为 :
cos 4 1,
1 2
即
3 2
n , 2
n 1, 2,3
z C11 z C12 z C13 z , z C21 z C22 z C23 z .
II 1
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
在某些情况下，应力、应变式中的第二项也对 材料的断裂起明显影响，考虑前两项时的应力 场和位移场为：
KI K I II % % + T1 1 + II ， 2 r 2 r iK r I I % iu2 II % u1 2 2 r 1 1 II II % iu2 i z % T z T z u1 2 8 4
KI u1 iu2 2
第二项对应着刚体转动 和均 匀的横向应立场 T 的叠加效应
T 在文献中称为T应力，所以
上式中的裂尖场又称为K-T场
线弹性断裂力学
裂纹的基本类型 I型——张开型（opening mode) II型——滑开型（sliding mode) III型——撕开型（anti-plane shear mode)
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
表面能 4aBg
g 单位面积表面能
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
L f x g p
max x
px
f
x
px* f x*
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为
E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的 能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑 成梁，计算其弯曲能即可）
能量最小原理：
对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小， 当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
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第二类椭圆积分
12
2
[sin2
(
a
)2
cos2
]
1 2
d
0
c
1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应
力强度因子
原裂纹面
z1 cos , x1 sin
x12 z12 1 a2 c2
c2 x12 a2 z12 a2c2
ac
c2 sin2 a2 cos2
13
假设:椭圆形裂纹扩展时 r f f 1
利用叠加原理
集中力 qdx dKⅠ
2q a dx
(a2 x2)
a
KⅠ 0
2q a dx
(a2 x2)
令 x acos a2 x2 a cos dx a cosd
5
KⅠ 2q
a
a cos sin1(a1a ) d 2q
0
a cos
a
sin1(a1 a )
当整个表面受均布载荷时
Z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
7
采用新坐标: z a
sin ( a)
Z
2b
(sin ( a))2 (sin a )2
2b
2b
当 0 时，sin , cos 1
2b 2b
2b
sin ( a) sin cos a cos sin a
z a, 除去 z b 处裂纹为自由 表面上 y 0, xy 0 如切出 xy 坐标系内的第一象限的 薄平板，在 x 轴所在截面上内力 总和为P
Z 2 p( a) a2 b2
[( a)2 b2 ] ( 2a)
KⅠ
lim
0
2 Z ( )
2p a
(a2 b2)
4
2.在无限大平板中,具有长度为 2a 的穿透板厚的裂纹表 面上,在距离 x a1 的范围内受均布载荷q作用
f r r c2 sin2 a2 cos2 ac
边缘上任一点 p(x, z)有
x ( r) sin (1 f ) sin (1 f )x1 z ( r) cos (1 f )z1
p(x, z), p(x1, z1) 均在 y 0的平面内
c2 x2 a2 z2 (1 f )4 a2c2 a2c2
第二章 应力强度因子的计算
1
计算 K 值的几种方法
➢1.数学分析法:复变函数法、积分变换； ➢2.近似计算法：边界配置法、有限元法； ➢3.实验标定法：柔度标定法； ➢4.实验应力分析法：光弹性法.
2
§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算
一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算
KⅠ
lim
0
2 ZⅠ 计算 K 的基本公式
15
y2 y02
1
x12 a2
z12 c2
1
(1
x12 f )2
a2
(1
z12 f )2
c2
1 (1 2 f )
x12 a2
(1 2 f )
z12 c2
1
x12 a2
z12 c2
2
f
(
x12 a2
z12 c2
)
2f
y2 2 fy02 2 f (1 f )2 y02 2 fy02
f r c2 sin2 a2 cos2
2b
2b
2b 2b 2b
8
Z 0
sin a
2b
2 cos a sin a
2b 2b 2b
KⅠ
lim
0
2 Z
sin a
2b
2b tan a a
1 cos a sin a
2b
2b 2b 2b
2b tan a a 2b
取 Mw
2b tan a a 2b
--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 KⅠ 的影响
14
新的裂纹面仍为椭圆 长轴 短轴
c (1 f )c a (1 f )a
y0
2(1 2 ) a E
2(1 2 ) (1 E
f
)a
(1
f
) y0
原有裂纹面:
x2 a2
z2 c2
( y )2 y0
1
扩展后裂纹面:
x2 a2
z2 c2
(
y )2 y0
1
以 x x1 ，z z1 代入 原有裂纹面的边缘 y 向位移 y
1.在“无限大”平板中具有长度为 2a 的穿透板厚的裂
纹表面上,距离 x b 处各作用一对集中力P
x Re ZⅠ y Im ZⅠ
y Re ZⅠ y Im ZⅠ
xy y Re ZⅠ
选取复变解析函数：
2 pz a2 b2
Z (z2 b2)
3
以新坐标表示
边界条件：
z ,x y xy 0
2b
2b 2b
2b 2b
cos a sin a
2b 2b
2b
[sin ( a)]2 ( )2 cos2 a 2 cos a sin a (sin a)2
2b
2b
2b 2b 2b 2b
2b
[sin ( a)]2 (sin a)2 2 cos a sin a
ac
y2 2ry02 c2 sin2 a2 cos2
ac
16
设各边缘的法向平面为平面应变,有:
若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（ 2a 1 ）可不
考虑相互作用,按单个裂纹计算.
2b 5
9
二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算
1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅡ
lim
0
Z
(
)
2
2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.
Z(z)
KⅠ 2q
a
sin1(a a)
q
a
3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 x 轴上有一系列
长度为 2a ,间距为 2b 的裂纹
单个裂纹时
Z z
z2 a2
6
边界条件是周期的: z , y x
y 0, a x a, a 2b x a 2b
y 0, xy 0
sin z
sin z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
Z ( )
sin ( a)
2b
[sin ( a)]2 (sin a )2
2b
2b
10
KⅡ
lim
0
2 Z ( )
a
2b tan a a 2b
3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅢ
lim
0
2 Z ( )
4.Ⅲ型周期性裂纹: K a 2b tan a a 2b
11
§3-2
深埋裂纹的应力强度因子的计算
1950年,格林和斯内登分析了弹 性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的 应力和应变得到椭圆表面上任意点,
沿 y 方向的张开位移为
y
y0 (1பைடு நூலகம்
x2 a2
z2 c2
1
)2
其中:
y0
2(1 2 ) a E