清华大学断裂力学讲义ch6-复合型断裂判据
复合型裂纹的断裂准则
Chapter Five Fracture criterion for mixed mode crackIn the material mechanics, for the multiaxial stress state, four strength theories have been developed. In the fracture mechanics for the mixed mode crack problem, we need to develop the fracture theory accordingly. Many fracture theories have been developed. Two key questions must be answered.(1) What direction does a crack propagate along?(2) What is the critical case?In what follows, five theories will be introduced.§5-1 Maximum normal stress criterionMaximum stress criterion can be applied to the mixed mode crack of mode I and mode II.The asymptotic stress solution is)23cos 2cos 2(2sin 2)23sin 2sin 1(2cos 2θθ+θπ-θθ-θπ=σrK r K II I xx 23cos 2cos 2sin 2)23sin 2sin 1(2cos 2θθθπ+θθ+θπ=σr K r K II Iyy )23sin 2sin 1(2cos 223cos 2sin 2cos 2θθ-θπ+θθθπ=σrK r K II I xy By application of the coordinate transformation formulas, we can obtain the expressions of three stress components in the polar coordinates (r , θ). The circumferential normal stress is]sin 3)cos 1([2cos 2121θ-θ+θπ=σθθII I K K r The circumferential normal stress intensity factor θθK is defined as]sin 3)cos 1([2cos 212lim 0θ-θ+θ=σπ=θϑ→θθII I r K K r KHence, θθσ can be written asr K π=σθθθθ2Assumptions:(1) Crack initiation direction is the direction of the maximum θθK ;(2) When θθK reaches its critical value c K θθ, break occurs. c K θθ is a material constant.The crack initiation angle 0θ can be determined from0=θ∂∂θθK , 022<θ∂∂θθK The result is0)1cos 3(sin 00=-θ+θII I K K0)5cos 9(2sin )cos 31(2cos 0000<+θθ+θ-θII I K K The critical condition is c II I K K K K θθθ=θ-θθ=)sin 232cos (2cos0020maxDetermination of c K θθ:For mode I crack, 0≠I K , 0=II K , 00=θ, the critical condition reduces to c Ic K K K θθθ==maxNote that c K θθ is a material constant. When, 0≠I K and 0≠II K , there still prevails Ic c K K =θθ. The maximum stress criterion is expressed asIc II I K K K ≤θ-θθ)sin 232cos (2cos 0020Application to mode II crack:For a mode II crack, 0=I K and 0≠II K . The crack initiation angle can be solved,o 5.700-=θ. FromIc c II I K K K K K ==θ-θθ=θθθ)sin 232cos (2cos 0020max one can obtain thatIc IIc K K =149.1, Ic IIc K K 87.0=,The fracture criterion for Mode II crack can be derived from the maximum stress criterion thatIIc II K K ≤It is convenient for the engineering application. However, there is no difference between the plane stress and plane strain.§5-2 Maximum normal strain criterionNear the crack tip, the circumferential normal strain is]}2sin )1cos 3(2cos sin 3[2cos )]cos 3()cos 1[({2121)(111111θ-θν+θθ-θθ-ν-θ+π=σν-σ=εθθθθII I rr K K E r E E E =1, νν=1, for plane stress; 211ν-=E E , ννν-=11, for plane strain. The circumferential normal strain intensity factor *θθK is defined as]}2sin )1cos 3(2cos sin 3[2cos )]cos 3()cos 1[({212lim 1110*θ-θν+θθ-θθ-ν-θ+=επ=θθ→θθII I r K K E r K Then,r K π=εθθθθ2*Assumptions:(1) Crack initiation direction is the direction of the maximum *θθK ;(2) When *θθK reaches its critical value *c K θθ, break occurs. *c K θθ is a materialconstant.The cracking angle 0θ satisfies0*=θ∂∂θθK , 02*2<θ∂∂θθK The critical value *c K θθ can be determined by Ic K . For Mode I, 0=II K , 00=θ. It can be obtained thatIc c K E K 11*1ν-=θθ The maximum normal strain criterion isIc II I K K K ≤θ-θν+θθ-θθ-ν-θ+ν-}2sin )]1cos 3(2cos sin 3[2cos )]cos 3()cos 1[({)1(210010000101Now the plane stress and plane strain can be distinguished.§5-3 Strain energy density factor theoryStrain energy density factor theory was proposed by Prof. G . C. Sih that can be applied to the three dimensional problem.When, 0≠I K , 0≠II K , 0≠III K , the asymptotic stress solution is)23cos 2cos 2(2sin 2)23sin 2sin 1(2cos 2θθ+θπ-θθ-θπ=σrK r K II I xx 23cos 2cos 2sin 2)23sin 2sin 1(2cos 2θθθπ+θθ+θπ=σr K r K II Iyy )23sin 2sin 1(2cos 223cos 2sin 2cos 2θθ-θπ+θθθπ=σrK r K II I xy 2sin 222cos 22θπν-θπν=σr K r K II I zz 2cos 2θπ=σrK III yz , 2sin 2θπ-=σr K III zx The strain energy density w is)(21)()(21222222zx yz xy xx zz zz yy yy xx zz yy xx E E w σ+σ+σμ+σσ+σσ+σσν-σ+σ+σ= The strain energy density w can be expressed in the form ofrS w = where233222122112IIIII II I I K a K a K K a K a S +++=, strain energy density factor )cos )(cos 1(16111θ-κθ+πμ=a )1cos 2(sin 16112+κ-θθπμ=a )]1cos 3)(cos 1()cos 1)(1[(16122-θθ++θ-+κπμ=a πμ=4133a Assumptions: it is physics, not mathematics.(1) Crack initiation direction is the direction of the minimum S ;(2) When S reaches its critical value c S , break occurs. c S is a material constant.The cracking angle 0θ can be solved from0=θ∂∂S , 022>θ∂∂S The critical condition isc S S S =θ=)(0minDetermination of S c :For mode I, it can be derived that2421Ic c K S πμν-= The minimum strain energy density factor criterion can be expressed asS ≤S c , i.e.,223322212211]2[214Ic III II II I I K K a K a K K a K a ≤+++ν-πμ.Mode II crack: 0==III I K K , )321arccos(0ν-=θ, Ic IIc K K 2)1(2)21(3ν-ν-ν-= Take 31=ν. There is 7383o 0'-=θ, Ic IIc K K 9.0=Recall that for the maximum normal stress criterion, there iso 05.70-=θ, Ic IIc K K 87.0=Two results have little difference.§5-4 Modified maximum normal stress criterionSometime the maximum normal stress criterion is not so good. A modified maximum normal stress criterion has been proposed.It has been known that in view ofrS w = a strain energy density factor S is defined. For the mixed mode of mode I and II, S canbe written as222122112IIII I I K a K K a K a S ++= Let constant ==C w .)(]2[122212211θ=++===F K a K K a K a CC S w S r II II I I For different values of C , we can obtain a group of curves called as isolines of strain energy density.The circumferential normal stress is]sin 3)cos 1([2cos 2121θ-θ+θπ=σθθII I K K r Let )cos 1(2cos 21)(θ+θ=θI f , θθ-=θsin 2cos 23)(II f . )]()([21θ+θπ=σθθII II I I f K f K rLet )]()([21)(θ+θπ=θII II I I f K f K S f . This gives )(θ=σθθf rS On the isolines of the strain energy density, C S r =, the circumferential normal stress is)(θ=σθθf CThe circumferential normal stress intensity factor θθK is identical with §5-1. )()(2lim 0θ+θ=σπ=θθ→θθII II I I r f K f K r K Assumptions:(1) Crack initiation direction is the direction of the maximum θθK on the isoline of the strain energy density. The crack initiation angle 0θ can be determined from0=θ∂∂θθK , 022<θ∂∂θθK(2) When θθK reaches its critical value c K θθ, break occurs.c II II I I K f K f K K θθθθ=θ+θ=)()(00maxIt can be derived from Mode I problem thatIc c K K =θθThe fracture criterion isIc II II I I K f K f K ≤θ+θ)()(00§5-5 Energy release rate theoryNear the crack tip, the stresses in the polar coordinates are]sin 3)cos 1([2cos 2121θ-θ+θπ=σθθII I K K r )]1cos 3(sin [2cos 2121-θ+θθπ=σθII I r K K r Let]sin 3)cos 1([2cos 21θ-θ+θ=θII I I K K K )]1cos 3(sin [2cos 21-θ+θθ=θII I II K K K There resultsr K I π=σθθθ2, r K II r π=σθθ2Energy release rate θG along the angle θ:G denotes the energy release rate along the direction θ=0. Now we need to know the energy release rate θG along the direction θ.It is known that002lim =θ→σπ=yy r I r K , 002lim =θ→σπ=yx r II r K , )(8122II I K K G ++=μκRecall the definitions of θI K and θII K . It is known thatθθ→θσπ=r K r I 2lim 0, θ→θσπ=r r II r K 2lim 0Comparing two cases, we know that θI K and θII K are the stress intensity factors of the virtual crack. The stress fields for two cracks are completely same. The conclusion is that the energy release rate θG along angle θ for the real crack is equal to the energy release rate G along its own direction for the virtual crack. Hence, we have )(8122θθθ+μ+κ=II I K K GAssumptions:(1) Crack initiation direction is the direction of the maximum θG . The crack initiation angle 0θ can be determined from0=θ∂∂θG , 022<θ∂∂θG (2) When θG reaches its critical value c G θ, the break occurs.In a same way, it is obtained that281Ic c K G μ+κ=θ The cracking angle 0θ satisfies the equation0)cos 31(sin )cos cos (sin 2)cos 1(sin 00200202002=θ-θ+θ-θ-θ-θ+θII II I I K K K K The fracture criterion is2020020)]cos 35(sin 4)cos 1()[cos 1(41Ic II II I I K K K K K ≤θ-+θ-θ+θ+§5-6 Fatigue crack propagation problemFatigue process:(1) Fatigue crack initiation period: empirical formula (Miner ’s liner damage accumulation theory) or damage mechanics;(2) Fatigue crack propagation period: fracture mechanics.max σ, maximum stress; min σ, minimum stress; )(21min max σ+σ=σm , mean stress; min max σ-σ=σ∆, stress amplitude; maxmin σσ=R , cyclic stress ratio. In a fatigue process, the stress intensity factor )(t K I also varies with time t. a K K K I I I πσ∆=-=∆min maxThe fatigue crack propagation rate dN da / depends on the amplitude of SIF. )(I K f dNda ∆=Experimental result:Fracture and Damage Mechanics Chapter Five Fracture criterion for mixed mode crack 77Region I: small crack, microscopic effect is important.Region II: crack stable propagation.Region III: crack instable propagation to failure.Paris equation: 1960s, Lehigh University, USA For the region II, the relation can be given byn I K C dNda )(∆= )log(log )log(I K n C dNda ∆+=, straight line Parameters C and n can be determined by the experimental data, which depend on the stress ratio R , material property, temperature and so on.The fatigue crack growth life can be calculated by using the Paris equation. There are many improvements for Paris equation.第五章完。
第十三章复合型裂纹的脆性断裂理论
第六章 二维脆性断裂§6.1 引 言破裂判据是断裂力学的核心问题, 这需要从微观、亚微观、宏观三个层次进行研究。
所谓微观就是涉及物体的终极结构单元发生相对运动时其间内聚力的破坏。
亚微观涉及颗粒及粒间界面这一水平上的破坏。
宏观涉及肉眼可以看得见的破坏。
破裂判据是针对某一特定尺度、特定层次提出的, 做为一个完整的破裂判据，至少应该能够回答两个问题: ① 破裂在什么可测条件下起始或继续？ ② 破裂向什么方向扩展? 岩石微观、亚微观破裂机制与宏观不同, 因而破裂判据也不同。
实际上, 迄今为止并不存在一种万能判据, 能够同时包括这三个层次。
为有所区分, 本文仍沿袭惯例, 对于微观、亚微观的 Griffth 裂纹, 按照Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型命名, 对于宏观断层模型化的裂纹,按照张破裂、平面内剪切裂纹、反平面剪切裂纹命名。
一些共用名词, 例如内聚力, 内聚区等, 在宏观中的含义也与微观不同。
对于岩石中的断裂机理的研究, 最早可以追溯到Griffith(1921)提出的脆性破坏理论, 该理论认为, 当裂纹端部扩展一小段长度时, 弹性势能的释放率如果大于或等于表面能的增加率时, 裂纹才能持续扩展。
在这之后, 发展了两种受压闭合裂纹模式, 即扁椭圆裂纹模式和Griffith 裂纹模式(Jaeger 和Cook, 1979)。
扁椭圆裂纹模式在第四章中已经介绍。
这里讨论的是Griffith 裂纹模式(也叫做数学裂缝), 是在Irwin(1957)引入应力强度因子的概念之后发展起来的, 它以断裂韧性作为材料抗脆断能力的指标, 也叫做K 判据。
断裂力学的其它模式和判据都是在这个模式的基础上加以修正或发展起来的, 也是断裂动力学的基础模式。
K 判据不能回答破裂方向问题, 特别是复合型裂纹问题, 因此产生了一系列脆性断裂理论。
线弹性断裂力学中关于脆性断裂的理论可分为两类：一类是应力场参数法，以应力场的某一特征量为参数。
断裂力学讲义分解
1
16 G
sin (2cos
k
1)
16
a22
1
16 G
[(k
1)(1
cos )
(1
cos )(3cos
1)]
a33
1
4 G
3 4
k
3
1
平面应变 平面应力
S
r 应变能密度因子—表示裂纹尖端附近应力场密度切的强弱程度
S a11KⅠ2 2a12 KⅠKⅡ a22 KⅡ2 a33KⅢ2
2 r 2
22
y
KⅠ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
KⅡ sin cos cos 3 2 r 2 2 2
15
xy
KⅠ
sin
cos
cos
3
2 r 2 2 2
KⅡ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
xz
KⅢ
sin
2 r 2
yz
r
) | 0 0
3 2
r
[
r
(
r
3 2
)]
0
0
12
r 0
r
3 2
0
( r
3 2
|
0
0
KⅠcos
0
2
KⅡ
sin
0
2
0 0
2
arctan
KⅠ ) KⅡ
G0
1 2 E
(
KⅡ4 KⅠ2 KⅡ2
)
G0
=1 -m2 ( E
KⅠ2
+KⅡ2 )
G0 G0 根不是解
裂纹扩展
断裂力学第七章
第七章 复合型裂纹断裂判据
§7.1 概 述
单一型裂纹
应力强度因子判据 G判据 判据
复合型裂纹
实际结构中多是复合型裂纹 裂纹不按延长线方向扩展
复合型判据
开裂方向 开裂条件
§7.1 概 述
复合型判据
以应力为参数 以应变为参数 以位移为参数 以能量为参数
§7.2 最大周向拉应力理论
Erdogan & Sih(1963) 基本假设
本章完
等ϖ线上最大拉应力准则
塑性区边界上最大周向应力准则
裂纹沿塑性区边界上周向应力最大的方向扩展 此方向上周向应力达到临界值时， 此方向上周向应力达到临界值时，裂纹扩展
§7.6 其它复合型判据
塑性区半径判据
裂纹沿着塑性区半径最小的方向扩展 此方向上塑性区半径达到临界值时， 此方向上塑性区半径达到临界值时，裂纹扩展
KII =
(1+12λ2 − 1+8λ2 )3/ 2 4 2λ (1+3 1+8λ )
2 2
§7.3 能量释放率理论
单一型推广到复合型
G = GI +GII +GIII = GIC 1 2 2 2 KI + KII + KIII = KI2 C 1−ν
基本假设
裂纹沿能量释放率最大的方向扩展 当此方向的能量释放率达临界值时， 当此方向的能量释放率达临界值时，裂纹扩展
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§7.4 应变能密度理论
基本假设(Sih, 1972) 基本假设
裂纹沿应变能密度因子最小的方向扩展 当此方向的应变能密度因子达临界值时， 当此方向的应变能密度因子达临界值时 ，裂纹 扩展
临界值由I型裂纹扩展条件给出 临界值由 型裂纹扩展条件给出
断裂力学讲义(学生讲义)
第一章 绪论§1.1 断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。
在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。
但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。
例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。
1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。
五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。
这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。
特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。
于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。
人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。
传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。
因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。
断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。
因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。
或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。
断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。
它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。
断裂力学第二讲断裂力学理论Fracture Mechanics
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
lim
r0
2
r
22 12
r,0
r,
0
32
r
,
0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal3of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
a
0 i2
x1,
0
ui
a
x1,
dx1
wtip a
5
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII
lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =
清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学共37页
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
断裂力学(6)讲义版
老司师多媒体教学系列断裂力学华中科技大学力学系司继文2009年11月10日老司师多媒体教学系列第六章断裂力学第六章能量法J裂纹扩展分析的能量方法是根据能量平衡原理来研究裂纹的扩展规律，并建立含裂纹构件的断裂条件的方法。
J它无需具体分析裂纹尖端附近的应力分布，只需§6-1能量释放率及其断裂判据设有一裂纹体，裂纹面积为A，裂纹失稳开裂前扩展了δA:载荷做功δW 体系弹性应变能变化δUe 塑性应变能变化δUp 裂纹表面能增加δΓ假定这一过程是绝热的和静态的，即不考虑热功间的交换。
能量守恒和转换定律——体系内能的增加等于外力功。
∴在裂纹扩展时：能量守恒和转换定律：∴裂纹扩展δA 时,弹性系统释放(耗散)的能量(势能):整个系统总势能在裂纹扩展时的变化等于外力的势能变化(等于外力做功的负值)与弹性应变能的变化之和。
J δU p 和δΓ为不可逆的,表示裂纹扩展δA 时所需要的塑性能和表面能,它们可视为裂纹扩展所要消耗的能量（阻止裂纹扩展的能量),因此要使裂纹扩展,系统必须提供能量。
e p W U U δδδδΓ=++U δΠδe p W U U δΠδδδδΓ−=−=+2.能量释放率GØG ——裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量。
Ø裂纹扩展单位面积所消耗的总势能。
它表示裂纹扩展单位面积时，提供给裂纹扩展所需的系统释放的能量（系统势能的减少）。
ØG 取决于裂纹体的载荷和几何形状。
ØG 的量纲：[力][长度]－1国际单位：N/m 工程单位：kg/mmØ按量纲分析，G 可看作是裂纹扩展单位长度所需的驱动力。
G 被形象地称为裂纹扩展力或裂纹驱动力。
e p3.裂纹扩展阻力∴能量平衡式变为：ØG c ——裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量。
Ø它反映了材料抵抗断裂破坏的能力,由材料实验测定。
Ø裂纹扩展单位面积消耗于塑性变形及形成新表面的能量。
断裂力学复合应力状态下的断裂判据
∂ 2 S ν KΙ2 (1 − 2ν )σ 2 a (1) θ 0 = 0, 2 = > 0, S = Smin = ∂θ 4π G 4G
KΙ 2 ∂2S (1 −ν ) 2 2 2 σ a (2) cos θ 0 = 1 − 2ν , 2 = − sin θ < 0, S = Smax = ∂θ 8π G 4G
当0 < β <
断裂角 θ 0与材料常数无关
π
2 特别地，当 β = 0时，有 − θ 0 = 70 o 32′ ( 70.5 o ).
时， θ 0 < 0
将 K I , K II 代入开裂条件 K * = K IC中可得临界应力
σC =
π a cos
θ0
2
2 K IC [(1 + cos θ 0 ) sin 2 β − 3sin θ 0 sin β cos β ]
第四章 复合应力状态下的断裂判据
穿透性裂纹（平面问题） 裂纹 埋藏裂纹和表面裂纹（空间问题） 裂纹与主应力方向垂直 若裂纹与主应力方向不垂直，倾斜一个角度，则裂纹受到拉伸 和剪切的复合应力的影响，导致两个问题 （1）在复合应力状态下裂纹将沿什么方向扩展？ （2）在复合应力状态下裂纹开裂的条件是什么？
KI θ θ 3θ K II θ θ 3θ cos (1 + sin sin ) + sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2π r 2π r KΙ K II θ θ θ θ 3θ 3θ = sin cos cos + cos (1 − sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2π r 2π r
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
表面能 4aBg
g 单位面积表面能
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
L f x g p
max x
px
f
x
px* f x*
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为
E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的 能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑 成梁，计算其弯曲能即可）
能量最小原理：
对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小， 当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学PPT学习教案
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复变函数基础知识回顾（续）
复变函数： w ux, y ivx, y f z f x iy
复变函数的导数：如果
lim
z 0
f
z0
z
z
f
z0 存在，
称为 f z在 z0 可导。
解析函数的概念：如果函数 f z在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导，那么称 f z在 z0 解析。如果 f z在区域 D 内每一点 解析，那么称 f z在 D 内解析，或称 f z是 D 内的一个
加减法： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 y1 y2 乘法： x1 iy1x2 iy2 x1x2 y1y2 ix2 y1 x1y2 除法：满足 z2z z1,z2 0的 z ，称为 z1 除以 z2 的商
z
z1 z2
x1x2 y1 y2 x22 y22
杂化或修正
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反平面剪切问题（一个相对简单的问题）
3, 0
3
1 2 u3,
3 23
整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）
渐近解
2u3 0
如何求解？
2u3
2u3 2r
1 r
u3 r
1 r2
2u3 2
0
u3 r1uˆ3
d 2uˆ3 d 2
12
uˆ3
0
uˆ3 C1 sin 1 C2 cos 1
3 0 u x1, x2
1 2
u , u .
1
2
1
33
E
1
, 0
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8
是否对于各种含裂纹构型是否必须得分别求解？ 是否有共同的特点与规律？
断裂力学GRIFFITH断裂准则
G Gc
裂纹起裂
• Griffith准则是裂纹启裂的必要条件，此时
裂纹处于临界状态。
• 对于平衡态静止裂纹，G不可能超出 Gc
37
能量释放率G
• G的量纲：N/m • G 是一种广义能量力，与载荷、裂纹几何、
材料性能和应力状态有关。
• 对含半长为a中心裂纹的无穷大平板，可得
G 2a
E
38
抵抗裂纹扩展的阻力
寸的关系
2 2a
E
4
e
平面应力 E E
平面应变
E
1
E
2
33
裂纹临界扩展的Griffith准则
acr
2E 2
或 cr
2E a
给定应力下的临
界裂纹半长
裂纹半长 a对应的临
界应力
由Griffith脆性准则得到的承载能力
与结构中的缺陷尺寸相关,断裂力学
三角形：应力；缺陷；材性。
34
Griffith得到的新的材料常数
版社,1987
• 4,杨卫，宏微观断裂力学，国防工业出版社，
1995
• 5,庄茁,蒋持平 断裂与损伤,机械工业出版
社,2003.
• 6,余寿文,冯西桥,损伤力学,清华大学出版
社,1997.
2
•第一讲：
•绪论，GRIFFITH 断裂准则
3
工程断裂问题与材料断裂韧度
• 断裂问题 • 材料的强度和韧性是两个概念。高强、低
dUe d 或 dUe d
dt dt
da da
30
断裂力学经典问题
• c中表面能为
裂纹面以外其他的表面能 裂纹面的表面能
0 4Ba
• c中断裂过程中所释放的弹性应变能为
断裂力学第七章
为剪切模量
§7.4 应变能密度理论
基本假设(Sih, 1972)
➢ 裂纹沿应变能密度因子最小的方向扩展
➢ 当此方向的应变能密度因子达临界值时，裂纹 扩展
临界值由I型裂纹扩展条件给出
Sc
K
2 IC
8
(
1)
§7.5 工程经验公式
I-II复合型裂纹
KI KII KIC
KI KII 1 KIC KIIC
I-III复合型裂纹
KI K ICLeabharlann 2K III K IIIC
2
1
KIIC
3 2
K IC
最大周向拉应力理论
KIIC 0.748KIC
KIIIC 1 KIC
能量释放率理论
K
IIC
K
IIIC
（3 1 2） 2 2 2 KIC 1 2 KIC
应变能密度理论
§7.6 其它复合型判据
等r 线上最大周向应力准则(薛大为,1976)
基本假设
➢ 裂纹沿最大周向应力的方向开裂
➢ 当此方向的周向应力达临界值时，裂纹扩展
临界值由I型裂纹扩展条件给出
KI
(1122 1 82 )3/2 4 23(1 3 1 82 )
K IC
KII
KI
(1122 1 82 )3/2 KII 4 22 (1 3 1 82 ) KIC
0 2 arctan1
§7.6 其它复合型判据
判据的局限性
➢ 线弹性范围内有效 ➢ 一般情况下，塑性区越大，误差也越大 ➢ 某些判据只适用于某些特定情况
本章完
§7.1 概 述
单一型裂纹
➢ 应力强度因子判据 ➢ G判据
复合型裂纹
断裂力学讲义-1
'
2
......
(2.19)
应力集中与应力强度因子的关系式：
K
I
lim 0
y
max
2
,
K
II
lim
0
t
max
,
K
III
lim 0
yz
max
,
（2.20）
对于Ⅱ型模式，当无穷远处的外力τxy=τxy∞ 作用于椭圆孔时，有
t
max
xy
a / 1
2
/a
2
K II
2 r'
2r '
sin
3
2
'
cos
3
2
'
sin
'
2
2
cos
'
2
cos
3
2
'
K II
2 r'
sin
'
2
'
cos 2
cos 3 '
2
......
(2.18)
cos
'
2
1
sin
'
2
sin
3
2
'
Ⅲ型模式：
xy yz
K III
2 r'
sin
'
2
cos
所得的应力分量的解满足CCT问题的全部边界条件， 即：
z 时， x y
a x a时， y 0， xy 0
（2-6.6）
为此选择一个复变函数（在Z平面上除了a x a
之外为解析函数）为：
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I 型和 II 型混合裂纹（Palaniwamy，1972） 1. 如何确定开裂角： 裂纹将沿着能产生最大能量释放率的 方向扩展。即按条件 来确定开裂角 0
G 2G 0 0 （为什么？） 2 ，
2. 当该方向的能量释放率达到临界值 Gc 时，裂纹开始扩 展，即
G0 Gc
lim y
a 0
0
＝> K I 0 ＝> K II 0
lim xy r
a 0
0
无限短支裂纹的应力强度因子
1 K I 0 cos 0 K I 1 cos 0 3K II sin 0 2 2 0 1 K II 0 cos K I sin 0 K II 3 cos 0 1 2 2
0
是否最大环向应力理论与最大能量释放率理论从本质上完全一 致？讨论：能量释放率的计算 若裂纹沿原裂纹方向扩展，
2 K I2 K II G0 E
该式推导利用了裂纹微量扩展 时的裂尖场的相似性。 类似的？？？， 支裂纹的能量释 放率为
2 K I2 K II G E
严格说， 当有最初的微量支裂纹 产生时， 这种相似性不再严格成 立， 因此上式计算支裂纹的能量释放率只是近似， 其他的能量释放 率计算将预测与最大环向应力准则可能不同的方向。
以上混合型裂纹断裂准则均在线弹性的脆性材料中能较好预测 裂纹偏折方向，但不能准确预测延性材料混合裂纹的扩展。 在弹塑性方面， 介绍 Yuh J. Chao(1997)的工作， （谨慎使用！ ！ ） 。 考虑到存在两个断裂应力，拉断应力 c 和剪断应力 c ，所以两 种断裂模式会竞争，考察 以下两个比值，
KI 2r
1 3 K II 3 cos cos 2 4 2 2r 4
3 3 3 sin sin 2 cos 2 4 2 4
3 3 3 纯II型： sin sin 2 4 2 4
2 K I2 K II 代 入 G E ，得原裂纹沿 0 方向扩展的能量释放率。
2 K I20 K II 0 G 0 E G 2G 然后确定开裂角， 0 ， 2 0
1. 发现在最大能量释放率方向 K II 0 0 ，即 r 0 方向，与最大 环向应力预测的方向一致。 2 G G K Ic Ic / E ，又与最大环向应力理论一致。 2. 裂纹扩展准则
纯 II 型裂纹在 70.5 产生最大环向应力, 如何理解记忆?
最大环向拉应力强度因子理论——开裂角的确定
0 纯 I 型问题 max
70 . 5 纯 II 型问题 max
问题：如何实现纯II型加载？
一种混合型裂纹加载方式
最大环向拉应力强度因子理论
问题：偏折角度是否合理？局部的 II 型应力强度因子是否消失？
Nuismer 提出的分析方法，上横线代表支裂纹局部坐标系。 若裂纹沿原裂纹方向扩展，
2 K I2 K II G0 E
类似的， 支裂纹的能量释放 率为（稍后讨论）
2 K I2 K II G E
当原裂纹刚沿支裂纹扩展 时， 即 a 0 时， 记此时的 K I 和 K II 分别为 K I 0 和 K II 0 ，而 且此时的支裂纹尖端领域 的应力场趋近于原裂纹尖端的应力场。所以
K II 3 3 3 sin sin 2 4 2 2r 4 K II 1 3 3 cos cos 2 4 2 2r 4
最大环向拉应力要求
r
2 0 并且 2
0
r
同时有 r 0 ， 【习题 6-1】 是巧合还是有别的原因？
3 3 3 sin sin 4 2 4 2
1 3 3 纯I型： cos cos 2 4 2 4
3 3 3 纯II型： sin sin 2 4 2 4
K IIc
3 K Ic 2
【题 6-2】 推导 I 型和 II 型混合裂纹的断裂准则 K KI , KII Kc KIc
max
最大环向拉应力准则的不足： 最大拉应力理论认为只要一个应力分量达到最大值，构件 就发生破坏，从原则上说，当其他应力分量也与这个应力 分量差不多大时，这个理论就可能产生较大的误差。
最大能量释放率理论 用能量释放率的概念研究混合型裂纹的基本思想与适 用于纯 I 型裂纹扩展的 Griffith 能量理论的基本思想是相 同的，即裂纹的虚拟扩展，引起能量的释放，当释放的能 量等于形成新裂纹面所需的能量时，裂纹就起裂。这两者 的主要区别在于：Griffith 理论中裂纹沿其延长线扩展， 而在混合型中则不然，除了 I 型和 III 型混合问题中裂纹 仍沿其延长线扩展外，其余类型的混合型问题中裂纹扩展 就不再沿着延长线。
d dU S w d d r
弹性稳定理论认为，势能最大状态是不稳定状态，相应于弹性应变 能最小的状态是不稳定状态。据此应变能密度强度因子理论提出两 个基本假设
如果裂纹体只受牵引力作用，则体系的势能 与应变能 U 之和为零，因此 U 。以 表示体积，则势能密度为
d dU S w d d r
弹性稳定理论认为，势能最大状态是不稳定状态，相应于 弹性应变能最小的状态是不稳定状态。据此应变能密度强 度因子理论提出两个基本假设 1. 裂纹沿最小应变能密度强度因子方向开裂。 2. 当最小应变能密度强度因子达到临界值时， 裂纹失稳扩 展。该临界值为材料常数，即材料断裂韧度。 应变能密度强度因子理论可以正确预测一些裂纹起裂方 向。 有何问题？请谨慎使用
max c max c 拉 断 模 式 断 裂
（最大环向拉应力准则） ， 脆性材料的 c / c 比较大
max c max c
剪切模式断裂
（所谓的最大剪应力准 则）
小结 1. 最大环向拉应力强度因子理论 2. 最大能量释放率理论 3. 最小应变能密度强度因子理论？？？ 4. 在弹塑性方面，介绍 Yuh J. Chao(1997)的工作， （谨 慎使用！ ！ ） 。考虑到存在两个断裂应力，拉断应力 c 和剪 断应力 c
第六章 复合型断裂判据— 判断裂纹起裂和拐弯 先前的工作都假设裂纹始终沿裂纹面直线扩展，事实上裂 纹是会拐弯的。有三种理论可以判断裂纹扩展的角度 1. 最大环向拉应力强度因子理论 2. 最大能量释放率理论 3. 最小应变能密度强度因子理论？？？
裂纹混合类型分类 纯 I 型裂纹沿裂纹平面延长线呈直线扩展 纯 III 型裂纹沿裂纹平面延长线呈直线扩展 所以 I 型和 III 型混合裂纹仍沿裂纹平面延长线呈直线 扩展 当有 II 型裂纹存在时，裂纹不再沿裂纹平面延长线扩 展，目前研究较多的是 I 型和 II 型的混合型裂纹。而且 多数限于线弹性断裂
裂纹偏折总的趋势是要形成纯 I 型扩展，裂纹初始扩展情况下并未 让 II 型应力强度因子立刻消失，而是通过逐渐偏折形成 I 型扩展。
最大环向拉应力强度因子理论——判断何时起裂 根据最大环向拉应力相等原则
KI 2r
1 3 K II 3 cos cos 2 4 2 2r 4
最小应变能密度强度因子理论？？？ 应变能密度： w ij ij / 2 ，对于线弹性易知 w 1 / r
1 I II K II ， 3 K III 3 K I 2r 2r
定义应变能密度强度因子： S wr 可以表示为应力强度因子及角度 的函数 2 2 S a11K I2 2a12 K I K II a22 K II a33 K III (为什么没有别的耦合项?) 其中 a11 , a12 , a22 , a33 是角度 及材料常数的函数 （引自沈成康书）如果裂纹体只受牵引力作用，则体系的势能 与 应变能 U 之和为零，因此 U 。以 表示体积，则势能密度为
I型
II 型
III 型
混合型裂纹的偏折起裂问题可以分成两个子问题： 1. 如何确定开裂角 2. 如何判断裂纹是否在此开裂角方向开始扩展
最大环向拉应力强度因子理论
r
KI 2r KI 2r
1 3 3 cos cos 2 4 2 4 1 3 1 sin sin 2 4 2 4