离散时间系统
离散时间系统概念
h( n)
系统稳定性判据2：一个LTI系统是稳定的充要条件是其所 有极点都位于单位圆内。
n 0
5 可逆系统
对于一个具有输入 x(n) ，输出 y (n) ， n 的
系统H[.]，如果能从输出信号唯一地确定它的输
入，则称其为可逆的。
如果一个系统是线性时不变（LTI）的，那么这个
逆系统也是线性时不变的。
6 逆响应和逆滤波器
如果h(n) 是一个LTI系统的冲激响应，inv (n)是它的逆 h 响应，则有：
[ x(n) h(n)] hinv (n) x(n) 或 h(n) hinv (n) (n)
将上式进行Z变换可得： inv ( z) 1/ H ( z) ，如果H ( z) H 是一个极点－零点系统，即 H ( z) D( z)/ A( z) ，则 有 Hinv ( z) A( z)/ D( z) 。
一个更普遍的全通系统形式为：
H ap ( z )
a a z z
* p
1 a1 z a p z
* 1 p 1 1
p
p
z A (( z ) ) A( z )
p
*
1 *
显然，令 z e j 时，有：
2
z p A* (( z 1 )* ) ( z p )* A(( z 1 )* ) * H ap (e j ) H ap (e j ) H ap (e j ) 1 * A( z ) A ( z)
为了保证时域同步，线性相位系统始终保持相位滞后或超前2倍关系
线性
ay1(n) by2 (n) T[ax1(n) bx2 (n)]
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
信号与系统课件第七章离散时间系统
两序列的样值 ======= 新序列
2）相乘：z(n) x(n) y(n)
逐项对应相加
两序列的样值 ======= 新序列
3）延时：z(n) x(n m)
逐项对应相乘
原序列 ============ 新序列
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逐项依次左移或右移m位
离散信号的运算
4）反褶：z(n) x(n)
1 n 0 u ( n) 0 n 0
n=0,其 值=1
u (n i )
n
1 n i u (n i ) 0 n i
n
3 2 1 0
1
i
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u (n 1)
序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值,即x(nT )
其中T为均匀的离散时刻之间隔隔; nT 称函数的宗量, n 0, 1, 2,
样值：离散信号处理的非实时性 x(n)表示序列
其中n表示各函数值在序列中出现的序号
某序列n的函值x(n)=== 在第n个样值的“样值”
2016/1/21 信号与系统 9
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五、离散、时间系统的数学模型联系
离散、连续模型之间联系 差分方程与 微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
2016/1/21
x ( n)
6
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
n
x(2n)
6 4 2
离散时间系统
系统处于零状态时对应的响应。
没有激励时系统的响应。
线性离散时间系统 对任意一组常数ak ( 1 k N )，满足条件
N xk (n) yk (n) , (1 k N ) a k x k ( n) k 1 否则，为非线性离散时间系统。
4.1-2 线性离散系统的差分方程表示
离散时间系统中，输入输出信号均是离散变量的函数，描述其输入输 出序列关系的数学模型一般用差分方程来描述。 有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数、相加。
x(n) ax(n) x1(n) x2(n) ax(n) x1(n) x2(n)
x(n)
z
-1
× a a
方格平移法求得的卷积值
离散系统时域分析
以上方法适用于求短序列的卷积，当序列较长时，这种方式的工作量 太大。对于有规律性的长序列的卷积运算，一般还是用离散卷积和的公式 求解。下面举一例说明。
离散系统时域分析
4.2-2 离散卷积法
与连续时间系统一样，离散卷积法也只能用于求解零状态下的离散系统 的响应——零状态响应 。
原理：▼分解——输入序列分解为多个具有不同延时和加权的单位抽样序
列之和； ▼求解——求每个延时的抽样序列单独作用的响应；
▼叠加——将各个响应叠加，得出系统对输入序列的总的响应。
离散系统卷积和的推导：
x ( n) y ( n)
m
x(m)δ (n m) x ( m) h ( n m)
激励信号
δ ( n)
m
零状态响应
h( n)
y(n) x(n) 析
离散卷积运算仍然服从交换律、结合律和分配律。
§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
2n − 1 ∇ sin nω = sin nω − sin(n − 1)ω = 2 sin cos ω 2 2
ω
∑δ (i ) = u(n)
n
i =−∞ n
∑ u(i ) = (n + 1)u(n)
2
n
1 ∑ iu(i ) = 2 n(n + 1)u(n) i =−∞
i =−∞
1 ∑ i u(i ) = 6 n(n + 1)(2n + 1)u(n) i =−∞
n代表序号
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， 越小，近似程度越好。实际上， 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
返回
(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 称为稳定系统 有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件：∑ h (n ) < ∞ 稳定系统的充要条件：
n = −∞ ∞
即：单位脉冲响应绝对可和。 单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： 注意： h( n ) = 0，只是系统稳定的必要条件， 只是系统稳定的必要条件，
n→∞
而非充分条件 而非充分条件。 充分条件。
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二、差分方程
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系， ）、乘系数 微分方程。 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系， 差分方程。 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。 因此描述系统的数学手段也不同。 （一）数学模型的基本单元 数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
离散时间系统的时域分析
第七章离散时间系统的时域分析§7-1 概述一、离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k −δ的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=，)()()()(000k k k f k k k f −=−δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
(a) 0.9a = (d) 0.9a =−(b) 1a = (e) 1a =−(c) 1.1a = (f) 1.1a =−4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
离散时间系统概念附常见离散信号
连续时间信号：一般也称模拟信号。
连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号：离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
量化：采样过程：就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程。
——得到的就是离散信号。
幅值量化：幅值只能分级变化。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
系统分析：连续时间系统——微分方程描述时域分析：经典法（齐次解 + 特解）【零输入响应 + 零状态响应】变换域分析（频域分析）：拉氏变换法。
离散时间系统——差分方程描述时域分析：经典法（ 齐次解 + 特解 ） 【零输入响应 + 零状态响应】 变换域分析（频域分析）：Z 变换法。
离散时间系统的数学模型——差分方程 单位序列： 时移性：比例性：抽样性： δ(k)与δ(t) 差别:0,0()1,0k k k δ≠⎧=⎨=⎩k O ()k δ110,()1,k j k j k j δ≠⎧-=⎨=⎩k (1)k δ-11O (),()c k c k j δδ-()()(0)()f k k f k δδ=⎩⎨⎧≠=∞=000)(t t t δ1)(=⎰∞∞-dt t δ• δ(t)用面积表示强度， (幅度为∞,但强度为面积)；• δ(k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）；• δ(t) ：奇异信号，数学抽象函数； • δ(k)：非奇异信号，可实现信号。
利用单位序列表示任意序列单位阶跃序列： ⎩⎨⎧=≠=0,10,0)(k k k δ0()()()i x k x i k i δ∞==-∑10()00k k k ε≥⎧=⎨<⎩k 0()k ε111-23Λ0()()(1)(2)(3)()i k k k k k k i εδδδδδ∞==+-+-+-+=-∑L是和差的关系。
矩形序列：单边指数序列：()()(1)k k kδεε=--()()k kδε与101()00,Nk NG kk k N≤≤-⎧=⎨<≥⎩()()()NG k k k Nεε=--()()kx k a kε=正弦序列：复指数序列：()cos()x k A k φ=Ω+()cos sin j k x k e k j kΩ==Ω+Ω。
离散时间系统分析
离散时间系统分析离散时间系统分析是指对离散时间信号和系统的特性进行研究和分析的过程。
离散时间信号是在时间上是离散的，而连续时间信号则是在时间上是连续的。
离散时间系统是指对离散时间信号进行输入输出变换的系统。
离散时间系统分析主要包括对离散时间信号和系统的表示、性质、分析和设计等方面的内容。
离散时间信号的表示离散时间信号可以通过数学方法进行表示和描述。
常用的表示方法包括序列表示法和函数表示法。
序列表示法是离散时间信号的一种常见表示方式，它将离散时间信号看作是一个序列，表示为一个有序的数值列表。
序列可以分为有限序列和无限序列两种。
有限序列表示了在有限时间内的信号取值，而无限序列表示了在无限时间内的信号取值。
函数表示法是另一种常用的离散时间信号的表示方式，它使用数学函数来描述信号的取值。
函数表示法更加灵活，可以表示各种复杂的离散时间信号，如周期序列、随机信号等。
离散时间系统的性质离散时间系统可以根据其性质进行分类和分析。
其中包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性是指系统的输出与输入之间存在线性关系。
如果系统满足输入信号的线性性质，那么对于任意输入信号x1(n)和x2(n)，以及对应的输出信号y1(n)和y2(n)，系统将满足以下性质：•线性叠加性：对于任意的实数a和b，有系统对于输入信号ax1(n)+bx2(n)的输出为ay1(n)+by2(n)。
时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的变化而变化。
如果系统满足输入信号的时不变性质，那么对于任意输入信号x(n)和对应的输出信号y(n)，如果将输入信号延时d个单位时间，那么对应的输出信号将也会延时d个单位时间。
因果性是指系统的输出只取决于当前和过去的输入值，不受未来输入值的影响。
如果系统满足输入信号的因果性质，那么对于任意n的值，系统的输出信号y(n)只取决于输入信号x(n)及其过去的值。
稳定性是指系统的输出有界，不会无限增长。
如果系统满足输入信号的稳定性质，那么对于任意有界输入序列，输出序列也将是有界的。
第8章 线性离散时间控制系统
一阶保持器复现原信号的准确度与零阶保持器相比有所 提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高阶微分,一阶保持器 的输出信号与原连续信号之间仍有不同。
第8章 线性离散时间控制系统 由式(8-16)可知,一阶保持器的响应可以分解为阶跃响应
和斜坡输入响应之和。将式(8-16)的微分形式变换成式(8-17) 的差分形式,对应的传递函数为式(8-18)。
第8章 线性离散时间控制系统
图8-6 零阶保持器输入信号与输出信号的关系
第8章 线性离散时间控制系统 下面推导零阶保持器的表达式。利用泰勒级数展开公式,
可以得到
如果略去含 Δt、(Δt)2等项,可得
第8章 线性离散时间控制系统 这就是零阶保持器的公式。由式(8-11)可得零阶保持器输出 信号的完整表达式为
第8章 线性离散时间控制系统
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理 8.2 信号保持器 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散系统的稳定性分析 8.5 离散系统的稳态误差 8.6 离散系统的动态性能 8.7 离散系统的校正
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理
8.1.1 概述 离散时间系统(简称离散系统)是指系统中全部或一部分
进而输入给计算机控制器。也就是说,采样后的离散信号必 须能够保留有原连续信号的完整或近似完整的信息。因此, 周期T 的设定非常重要。
采样定理(也叫Shannon定理)从理论上给出了必须以多 快的采样周期(或多高的采样频率)对连续信号进行采样,才能 保证采样后离散信号可以不失真地保留原连续信号的信息。 换句话说,采样定理给出了对采样周期的限定条件,即采样周 期要在多短时间之内,才能保证采样后的离散信号保留有采 样之前的连续信号的尽量多的信息。
第2章离散时间系统
Φ e1 0.3679
Γ0
0.4 esds 1 e0.4 0.3297
0
Γ1 e0.4
0.6 esds e0.4 e1 0.3024
0
具有内部时延的系统
设系统由下列方程描述：
S1 :
dx1 (t ) dt
得到：
eh a 1 ln a
h
(eh 1) b
1 lna b
h
a 1
表明：当a>0时，才能得到一个具有实系数的连续时间系统。
一般情况下，从式(2.6)可以得到：
A
0
B
0
1 h
ln
Φ
0
Γ
I
此处的ln()为矩阵对数函数。 表明：连续时间系统可由对一个方阵取它的矩阵对数得到。当
矩阵在负实轴上没有特征值时。对数才唯一存在。
第2章 离散时间系统
2.1 引 言
问题： 通过考察信号在采样时刻的行为，如何把一个连续时间系 统转换为一个离散时间系统？
注意： 1. 采样数据系统是一个时变系统，本章回避这个问题，仅研 究与计算机时钟相同步的那些时刻的信号。 2. 面向计算机的数学模型仅仅给出在采样点上的特性，而物 理过程本身仍是一个连续时间系统。
式(2.8)在一个采样周期上的积分为：
x(kh h) eAh x(kh)+ khh eA(khh-s)Bu(s )ds kh
(2.9)
1. 信号u(t)在整个采样间隔上是分段恒定的，故，延迟信号
u(t-)也是分段恒定的；
2. 延迟信号在各个采样时刻之间会有变化。 要计算式(2.9)的积分项，方便的办法是：把积分区间分成
数字信号处理-第2章第1讲 离散时间信号和离散时间系统
当a>1时 当-1<a<0时 当a< -1时
2.2 常用序列
5、正弦序列
x(n) Asin(n )
x(n) xa (t) tnT Asin(nT ) T / fs 2 f / fs 单位rad, 单位rad / s
6、复指数序列
一阶后向差分： y(n) y(n) y(n 1) 二阶后向差分： 2 y(n) y(n) y(n 1)
y(n) 2 y(n 1) y(n 2) 用延时算子：Dy(n) y(n 1) y(n) y(n) Dy(n) (1 D) y(n) 1 D 2 y(n) y(n) y(n 1) (1 D) y(n) (1 D)Dy(n) (1 D)2 y(n)
卷积和
卷积和的定义
1. 交换律 2. 结合律
y(n) x(k)h(n k) x(n) h(n) k
y(n) h(n)x(n k) h(n) x(n) k
y(n) [x(n) h1(n)]*h2(n)
[x(n) h2(n)]*h1(n) x(n) [h1(n)*h2(n)]
线性非移变系统稳定的充要条件是满足绝对可 和的条件:
S h(n) n
证明:
(1)充分性
当 x(n) M得
y(n) h(k)x(n k) h(k) x(n k)
k
k
M h(k) 得证 k
(2)必要性
x(n) e( j)n
数字频率又叫归一化频率
x(n) en cos(n) jen sin(n)
离散时间系统的时域分析
离散时间系统的时域分析离散时间系统是指系统输入和输出信号都是在离散的时间点上进行采样的系统。
时域分析是分析系统在时域上的性质和特征。
在离散时间系统的时域分析中，常用的方法包括冲击响应法、单位样值法和差分方程法等。
冲击响应法是通过对系统施加单个冲击信号，观察系统在输出上的响应来分析系统的时域特征。
冲击响应法的基本思想是将系统的输出表示为输入信号与系统的冲击响应之间的卷积运算。
冲击响应法适用于线性时不变系统，在实际应用中可以使用软件工具进行计算。
单位样值法是通过将系统输入信号取为单位样值序列，观察系统在输出上的响应来分析系统的时域特征。
单位样值法的基本思想是将系统的输出表示为输入信号与系统的单位样值响应之间的卷积运算。
单位样值法适用于线性时不变系统，可以用来计算系统的单位样值响应和单位样值响应序列。
差分方程法是通过建立系统输入和输出之间的差分方程来分析系统的时域特征。
差分方程法的基本思想是根据系统的差分方程，利用系统的初始条件和输入序列，递推计算系统的输出序列。
差分方程法适用于线性时不变系统，可以用来计算系统的单位样值响应和任意输入信号下的输出序列。
以上所述的方法是离散时间系统时域分析中常用的方法，通过这些方法可以获得系统的冲击响应、单位样值响应和任意输入信号下的输出序列，进而分析系统的时域特征和性质。
在实际应用中，根据系统的具体情况和需求，选择合适的方法进行时域分析，能够更好地理解离散时间系统的动态行为和响应特性。
离散时间系统的时域分析是研究系统在离散时间上的动态行为和响应特性的关键方法。
通过分析系统的时域特征，可以深入了解系统的稳定性、响应速度、频率选择性和滤波特性等方面的性能。
冲击响应法是离散时间系统常用的时域分析方法之一。
它通过施加一个单个的冲击信号，即输入信号序列中只有一个非零元素，然后观察系统在输出上的响应。
这样可以得到系统的冲击响应序列，它描述了系统对单位幕函数输入信号的响应情况。
冲击响应法的核心思想是将系统的输出表示为输入信号序列与系统的冲击响应序列之间的卷积运算。
信号与系统(第三版)第五章离散时间系统的时域分析
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
离散时间系统的稳定性分析
离散时间系统的稳定性分析离散时间系统是一种在离散时间点上进行状态变化的系统，与连续时间系统相对应。
稳定性分析是对系统行为的一个重要特征进行评估和判断的过程。
对于离散时间系统的稳定性分析，我们可以通过不同方法进行研究和判断，如利用差分方程、状态空间法、Lyapunov稳定性理论等。
本文将从这些角度出发，深入探讨离散时间系统的稳定性分析方法。
一、差分方程法差分方程法是一种基于离散时间点上变量之间的差分关系进行稳定性分析的方法。
对于离散时间系统，我们可以通过建立差分方程来描述系统的动态行为。
一般而言，稳定的离散时间系统在各个时间点上的状态变量都保持在某个有界范围内。
因此，我们可以通过差分方程的解析解或数值解来判断系统的稳定性。
二、状态空间法状态空间法是一种通过描述系统在不同离散时间点上状态变化的方法。
在状态空间中，系统的状态由一组关于时间的差分方程表示。
通过对系统状态进行迭代，我们可以从初始状态推导出系统在未来时间点上的状态。
根据这些状态的变化，我们可以判断系统是否稳定。
三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是一种通过利用Lyapunov函数来判断离散时间系统稳定性的方法。
Lyapunov函数是一个用于衡量系统状态的能量函数，它在系统稳定时具有稳定性的性质。
通过构造和分析Lyapunov函数，我们可以判断离散时间系统是否稳定。
如果能够找到一个Lyapunov函数，使得对于系统的每一个状态，该函数都是非负的，并且沿着系统的状态变化轨迹递减，那么系统就是稳定的。
四、其他稳定性分析方法除了以上介绍的几种常见方法外，还存在其他一些稳定性分析方法，如频率域方法、随机系统稳定性分析等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和应用，从而更好地评估离散时间系统的稳定性。
综上所述，离散时间系统的稳定性分析是研究系统动态行为的一个重要问题。
通过差分方程法、状态空间法、Lyapunov稳定性理论以及其他稳定性分析方法，我们可以对离散时间系统的稳定性进行全面评估和判断。
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统是数字信号处理领域中的重要分支，其研究对象是以离散时间为变量的信号和系统。
在离散时间信号和系统理论中，信号的变量只在离散时间点上取值，而系统对信号的处理也是在离散时间点上进行的。
离散时间信号和系统的研究为数字信号处理提供了理论基础和工具。
离散时间信号可以表示为x(n)，其中n是一个整数，代表信号的时间变量。
离散时间信号可以是有限长度的序列，也可以是无限长度的序列。
离散时间信号的幅度可以是实数或复数，表示信号在不同时间点上的取值。
离散时间信号可以用图形表示，横轴表示时间变量n，纵轴表示信号的幅度。
离散时间信号有几个重要的性质。
1. 周期性：如果对于某个正整数N，有x(n) = x(n+N)，那么离散时间信号是周期性的，其最小周期是N。
2. 偶对称性：如果对于任意的n，有x(n) = x(-n)，那么离散时间信号是偶对称的。
3. 奇对称性：如果对于任意的n，有x(n) = -x(-n)，那么离散时间信号是奇对称的。
4. 单位冲激响应：单位冲激响应是一个离散时间信号h(n)，在n=0时为1，其他时间点为0。
单位冲激响应在离散时间系统中起着重要的作用，可以用来表示系统对单位冲激信号的响应。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理的数学模型。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统具有叠加性和比例性质，即对于系统的输入信号x1(n)和x2(n)，系统的输出信号y1(n)和y2(n)，有以下关系：1. 叠加性：系统对输入信号的响应是可叠加的，即y(n) = y1(n) + y2(n)。
2. 比例性：系统对输入信号的响应是可比例的，即y(n) =k1y1(n) = k2y2(n)，其中k1和k2是常数。
离散时间系统可以用差分方程表示：y(n) = a0x(n) + a1x(n-1) + ... + an-1x(1) + anx(0)，其中ai是系统的系数。
离散时间系统的输入和输出信号也可以用离散时间卷积进行描述：y(n) = x(n) * h(n)，其中*表示离散时间卷积运算，h(n)是系统的单位冲激响应。
1.2 离散时间系统
——电子信息工程 电子信息工程 3、线性时不变系统的性质 、 （1）交换律 ）
x(n)
h(n)
y(n)
h(n)
x(n)
y(n)
y( n) = x( n) ∗ h( n) =
k =n→ −m
∞
m = −∞
∑ x(m )h(n − m )
∞ k = −∞
∞
k = −∞
∑ x(n − k )h(k ) = ∑ h(k ) x(n − k ) = h( n) * x(n)
任何序列可分解成如下irlti电子信息工程113线性时不变系统的性质1交换律电子信息工程12级联系统的冲激响应等于子系统的冲激响应的卷积和电子信息工程13并联系统的冲激响应等于子系统的冲激响应之和电子信息工程14例125
——电子信息工程 电子信息工程
1.2 线性移不变系统
——电子信息工程 电子信息工程 离散时间系统定义: 离散时间系统定义 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
线性系统,零输入产生零输出 线性系统 零输入产生零输出
——电子信息工程 电子信息工程 例1－2－1 判断下列系统是否为线性系统。 － － 判断下列系统是否为线性系统。
1 （）y( n) = 2 x( n) + 5
2 （ ）y( n) = nx ( n)
增量线性 系统
解答： 1 解答：（）y1 ( n) = T [ x1 ( n)] = 2 x1 ( n) + 5
k
-1 0 1 2 3 4
y 3 [ k ] = x3 [ 2 k ] k
抽取器时变特性的图示说明
——电子信息工程 电子信息工程 二、单位冲激响应与系统响应 1、线性时不变系统的单位冲激响应 、
离散时间控制系统
离散时间控制系统离散时间控制系统（Discrete-time control system）是工程系统中常用的一种控制系统。
它是指系统在离散时间点上进行观测和控制的一种方法，与连续时间控制系统相对应。
在离散时间控制系统中，系统的状态、输入和输出均在特定的离散时间点上进行采样和更新。
这些离散时间点称为采样时间点，通常由控制系统的设计要求和性能要求决定。
与连续时间控制系统相比，离散时间控制系统具有采样和计算简单、实时性好等优势。
离散时间控制系统通常由以下基本元素组成：传感器（sensors）、执行器（actuators）、系统状态（system states）、控制器（controller）、采样器（sampler）和计算器（calculator）。
其中，传感器用于采集系统的输入和输出信号，执行器用于控制系统的行为，系统状态用于表示系统的内部状态，控制器用于根据输入信号和系统状态生成控制信号，采样器用于确定采样时间点，计算器用于执行控制算法和计算控制信号。
离散时间控制系统的设计和分析主要涉及系统建模、传递函数、状态空间和系统稳定性等概念。
通过对系统进行建模和分析，可以确定适当的控制策略和参数，实现对系统的控制和优化。
离散时间控制系统广泛应用于自动化控制领域，如工业生产过程控制、机械设备控制、电力系统控制等。
它可以根据离散时间点上的观测和控制信号，对系统进行实时监测和调整，以满足设计要求和性能要求。
总之，离散时间控制系统是一种在特定离散时间点上进行观测和控制的控制系统。
它具有采样和计算简单、实时性好等优势，并广泛应用于自动化控制领域。
通过合理的设计和分析，离散时间控制系统可以实现对系统的控制和优化。
离散时间控制系统（Discrete-time control system）在工程系统中扮演着至关重要的角色。
它可以帮助工程师们实时监测和调整系统状态，以满足设计要求和性能要求。
在本文中，我们将进一步探讨离散时间控制系统的一些关键概念、方法和应用。
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。
一、离散时间信号的定义和表示离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。
离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。
其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。
离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。
有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。
无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。
二、离散时间系统的定义和分类离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。
输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。
不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性离散时间信号与系统具有许多特性。
其中一些重要的特性包括时域特性、频域特性和稳定性。
时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了系统的输出是否受到输入的限制。
离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。
离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和单位阶跃响应来描述。
频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅里叶变换来描述。
四、离散时间信号与系统的应用离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。
其中一些常见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。
在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和解码。
它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。
离散时间系统名词解释
离散时间系统名词解释离散时间系统啊，就像是一个超级古怪的魔法盒子。
你把一堆离散的时间点上的东西扔进去，它就像个厨艺高超的大厨，根据自己独特的“菜谱”，给你做出全新的东西来。
想象一下，离散时间系统是一个装满各种奇怪小机关的大机器。
每个时间点就是一个小零件，这些小零件不是连续的，就像一串珠子，中间有空隙。
而这个系统呢，就像一个特别挑剔的串珠工人，只按照它自己的节奏把这些珠子组合起来。
它有点像一个音乐合成器，不过这个合成器不是处理连续的音乐流，而是把一个个离散的音符按照它独特的算法来编排。
每个音符就像是一个离散的时间点上的输入，然后系统就像个天才音乐家，把这些音符变成一段独特的旋律，有时候是悠扬的小夜曲，有时候又可能是怪诞的摇滚。
如果把离散时间系统比作一个交通指挥员也很有趣。
那些离散的时间点就像是一辆辆车，这个指挥员不会让车连续不断地走，而是在特定的时间点让车动起来。
他按照自己的一套规则，让交通秩序在离散的状态下井井有条，要是有哪辆车不按这个离散的规则来，就像个不听话的调皮鬼，系统就会像严厉的交警一样把它纠正过来。
离散时间系统还像一个神秘的拼图大师。
每一个离散的时间点上的数据就像一块拼图碎片，这个大师可不会随便乱拼。
它有自己的思路，有时候它会把碎片拼出一幅美丽的风景画，有时候可能拼出一个超现实的抽象画。
再比如说，它像一个非常讲究的故事讲述者。
离散的时间点就是故事的情节片段，这个讲述者不会一股脑儿地把故事连贯地讲出来，而是在它认为合适的时间点，一个片段一个片段地讲，还能把这些片段组合得特别有悬念，让你像被鱼钩钓住的鱼一样，一直好奇接下来的情节。
它也像一个有着独特品味的收藏家。
每个离散时间点上的元素都是它收藏的宝贝，它把这些宝贝按照自己的喜好分类、整理、加工，最后展示出一个独一无二的收藏展览。
这个离散时间系统啊，就像一个住在数字世界里的小精灵。
它在离散的时间森林里穿梭，用它的魔法棒对每个时间点上的东西施加魔法，然后就变出各种奇妙的结果。
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N
M
ypn：方程 dk yn k pk xn k，yn 0，n 0的解，
k 0
k 0
称为零状态响应（zero state solution）
例
解：（1）零输入响应
yzi[n] a1(3)n a2 (2)n，n 0
y[0] y[1]
y[1] y[0]
6
6 y[2] y[1]
解：（1）齐次解
n n1 6n2 0 1 3, 2 2
yc[n] a1(3)n a2 (2)n （2）特解
设yp 2，n 0
（3）全解 y[n] a1(3)n a2 (2)n 2，n 0
代入初始条件可得a1 1.8，a2 4.8 y[n] 1.8(3)n 4.8(2)n 2，n 0
y[n]
1
N 1
x[n k]
N k0
平滑数据中的随机变化
➢去噪
x[n] sn dn
y[n]
1
M 1
x[n k]
M k0
4.2 离散时间系统的分类
➢线性系统 Linear Systems ➢移不变系统 Shift-Invariant Systems ➢因果系统 Causal Systems ➢稳定系统 Stable Systems ➢无源和无损系统 Passive and Lossless Systems
差分方程与冲激响应
M
N
差分方程： yn pk xn k dl yn l
稳定系统
冲激响应绝对可和
证明：
(1) 先证：S 系统为稳定(BIBO)系统
假设x[n]有界，x[n] Bx，则有
y[n] h[k]x[n k] h[k] x[n k]
k
k
Bx h[k] BxS k
(2)再证：系统为稳定系统 S hn n
假设 y[n] By ，令
k 0
特例一：N=0
l 1
=0
M
yn pk xn k
k 0
输出仅与输入有关，无反馈 非递归系统 (non-recursive)
yn xn xn 1 xn 2 xn 3
差分方程的特例(2)
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
特例二：M=0
=0 l1
N
y[n] dl yn l
0x1n / L n0
n 0， L， L， otherwise
y1
n
n0
0x1n
n0
/
L n 0，
otherwise
L，
L，
yn
x0 , x1, x2 , x3，
2
x0 ,0, x1,0, x2 ,0, x3，0,
2
0,
x0
,
x1,
x2
,
x3，
0,0,
x0 ,0,
x1,0,
k
1
1
要使y1[n0 ] y2[n0 ]，需要 h[k]x1[n0 k] h[k]x2[n0 k]
k
k
上式当且仅当h[k] 0，k 0时成立
4.5 简单的互联
➢串联 级联（Cascade Connection）
h1[n] h2[n]
h2[n] h1[n]
h1[n]* h2[n]
h[n] [n] 1 ([n 1] [n 1])
2
4.4 LTI离散时间系统的时域特性
x[n]
T x[n]
y[n]
如何分析LTI系统的时域输入输出关系？
任何序列可分解成如下形式：
x[n] x[k][n k] — —信号分解 k
y[n] T{x[n]} T{ x[k][n k]} LTI系统的时域k输入输出关系 可以由x其[k冲]T{激[响n 应k完]}全—确定—线性 k x[k]h[n k] — —时不变 k
l 0
k 0
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
d0 1
输入
反馈
激励
预测
差分方程的参数：决定系统的特性 差分方程的阶数：Max(N,M)
N
M
பைடு நூலகம்
dl yn l pk xn k
l 0
k 0
差分方程的系数
差分方程的特例(1)
M
N
yn pk xn k dl yn l
第4章 离散时间系统 将输入序列映射成输出序列的变换或算子
x[n] T[] y[n]
y[n] T{x[n]}
累加器(Accumulator)
三种不同的表示方式：
n
y[n] x[l] l
y[n] y[n 1] x[n]
n
y[n] y[1] x[l], l 0
n0
N点滑动滤波器 (N-point moving-average filter)
yn xnh1nh2n xnh1nh2n
hn h1n h2n
➢逆系统 ( Inverse System)
通信系统
x(n) h1(n)
h2 (n) x(n)
x(n) (h1n h2n) x(n)
h1nh2n [n]
➢ 并联（Parallel Connection）
h1[n] h2[n]
h1[n] h2[n]
n
n
输出能量等于输入能量
例： yn xn N是无源系统或无损系统吗？
yn2 2 xn2
n
n
当 1时为无源系统， 1为无损系统
4.3 冲激响应 系统对单位冲激信号的响应
[n] T (•)
h[n]
例：求下面系统的单位冲激响应
y[n] x[n] 1 (x[n 1] x[n 1]) 2
4.7 有限冲激响应系统
(Finite Impulse Response，FIR)
hn 0 n N1 and n N2
N1
yn hkxn k kN2
脉冲响应长度有限
yn1xn2xn 13xn 24xn 3
x[n]
z1 x[n 1]
z1 x[n 2]
x[n 3]
z 1
1
2 流图？3
分解法（输入和初始条件的因素分开）
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
=0
零输入：完全取决于初始状态 齐次通解 yc (n) 零状态：初始为零 完全取决于输入 特解 yp (n)
系统响应 = 零输入响应 + 零状态响应 y[n] yc[n] yp[n]
瞬态响应
稳态响应
(1) 齐次解的解法：
l 1
自反馈
正
自激
负
衰减
等
周而复始
最初激励？
一般情况 M≥0, N>0
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
输出与输入及以前输出均有关 有反馈 递归系统 (recusive)
由差分方程导出系统响应
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
迭代法 取决于：输入、初始条件
7 13
a1 3a1
a2 2a2
a1 5.4，a2 1.6
yzi[n] 5.4(3)n 1.6(2)n，n 0
（2）零状态响应 yzi[n] a1(3)n a2 (2)n 2，n 0 y[0] x[0] 8 y[1] x[1] y[0] 0 a1 3.6，a2 6.4 yzs[n] 3.6(3)n 6.4(2)n 2，n 0
yn xnh1n xnh2n xnh1n h2n
hn h1n h2n
例：
h1[n]
h2[n]
h3[n]
h4[n]
hn h1n h2n(h3n h4n)
4.6 有限维LTI离散时间系统
LTI系统有几种表示方法？ • 差分方程 • 冲激响应 • 频率响应 • 传递函数 • 流图
差分方程
N
M
dl yn l pk xn k
n
11n
n
22
L
N Nn
如果有L个重根，则齐次解为
yc
n
11n
2n1n
3n
2 n 1
L
LnL11n
n
L1 2
L
N Nn L
（2）特解的解法：
选择与x[n]具有相同形式的特解，代入差分方程解出特解中的 未知参数。（注：特解与通解形式相同时需要作特殊处理）
例 y[n] y[n 1] 6y[n 2] x[n] 输入序列为x[n] 8u[n]，初始条件为y[1] 1，y[2] 1
x[n]
b0
y[n]
z1 b1 流图？a1
x[n 1]
z 1
b2
a2
x[n 2]
z 1
y[n 1]
z 1
y[n 2]
已知
yn b0xn b1xn 1 b2xn 21yn 12 yn 2
b0 3 b1 2 b2 1 1 0.5 2 0.4
求该系统的单位冲激响应 响应长度无限
LTI系统不同表示方法间的关系
线性卷积
y[n] x[n] h[n] x[k]h[n k]
k
x[n k]h[k]
k
➢冲激响应的作用
1、对于任意输入求系统的输出
y[n] x[n] h[n]
2、是线性离散时间系统的基本特性 可用于系统分析
语音、生物医学信号分析
系统稳定性与冲激响应的关系
系统为BIBO系统 S hn n
system
y[n]
x[n n0 ] Shift-Invariant Systems