积分因子法习题

习题2—5
1．求解下列微分方程：
（1） ；
解这里 ，因此原方程不是恰当方程，由于
，
于是原方程有积分因子
.
将它乘原方程两边，得到一个恰当方程
，
改写为
，
即
.
由此可求得通积分
.
（2） ；
解把方程改写为
.
容易观察出一个积分因子为 ，将它乘原方程两边，得
.
即
.
从而原方程的通积分为
.
（3） ；
解这里 ，因此原方程不是恰当方程，由于
.
此外，原方程还有解 .
2．证明方程
①
有形如 的积分因子的充要条件是
②
并写出这个积分因子，然后将结果应用到下述各种情形，得出存在每一种类型积分因子的充要条件：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） .
证明方程有积分因子 的充要条件是
.
令 ，则有
，ห้องสมุดไป่ตู้
即 满足下列微分方程
③
由于上式左端只与 有关，所以右端亦然，因此微分方程①有形如 的积分因子的充要条件是
.
求解③式得
.
将此结果应用到下列各种情形，有
（1）具有 形式的积分因子的充要条件：
.
（2）具有 形式的积分因子的充要条件：
.
（3）具有 形式的积分因子的充要条件：
.
（4）具有 形式的积分因子的充要条件：
.
（5）具有 形式的积分因子的充要条件：
.
5．设函数 ， ， ， 都是连续可微的，而且 ， 是微分方程
，
于是原方程有积分因子
.
将它乘原方程两边，得
，
从而原方程的通积分为
.
（4） ；
解把方程改写为
.
不难看出，前一组有积分因子 和通积分 ，因而它有更一般的积分因子 ，前一组有积分因子 和通积分 ，故它有更一般的积分因子 .为使关系式
成立，可取
， .
从而得到原方程的积分因子 ，以它乘方程的两端，得到
.
从而原方程的通积分为
①
的两个积分因子， 不恒为常数.试证明： 是方程①的一个通积分.证明因为 ， 是微分方程①的两个积分因子，所以
，
，
从而有 ，
，
故 ，则 与 函数相关，即 .又 且 不恒为常数.又 ，令 ，所以 ，
而 是方程①的一个通积分.故 是方程①的一个通积分.