直角三角形斜边的中线等于斜边的一半课件PPT
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半教学内容
A
E
ND
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
M
6、如图所示；过矩形ABCD的顶点 A作一直线，交BC的延长线于点E， F是AE的中点，连接FC、FD。
求证：∠FDA=∠FCB
A
D
F
B
CE
•知识延伸：
请写出直角三角形斜边的中线定理的逆命题 并判断真假
如果一个三角形一边上的中线等于该边的 一半，那么该三角形是直角三角形。
B
数学语言表述为：
在Rt△ABC中
D
∵CD是斜边AB上的中线
1
∴CD＝AD＝BD＝ 2 AB
A
C
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
3、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为
AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并
说明理由。 D
C
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段
进行等量代换。
2、如图所示，BD、CE是三角形 ABC的两条高，M、N分别是BC、 DE的中点
直角三角形斜边的中线等于斜边 的一半
证明：延 长 C D 到 C ′ ，使 C ′ D = C D ，连 结 C A,
C'B
∵D是AB的中点 ∴AD=BD ,CD=C'D ∴四边形ACBC'是平行四边形 又∵∠ACB=90° ∴四边形ACBC'是矩形 ∴AB=CC' ∴AB=CC'=2CD
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
D
B
C
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2直角三角形的性质PPT课件(华师大版)
1 AB
2
证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD =
1 CE =
2
1 2
AB.
归纳
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形
∴BC=BD=
1 2
AB
1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半．本性质是用角的特殊 性来揭示直角三角形中直角边与斜边的数量关系 的．
2．拓展：直角三角形的性质的选用 (1) 在直角三角形中求角时，常用“直角三角形的两个锐
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE
垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD
解： ∵∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝13 m.
在△ADB中，
∵AB⊥DB，∠ADB＝30°，
AB＝1 AD＝1 13＝6.5m．
2
2
总结
在含30°角的直角三角形中求线段的长度，要注 意利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 一半的性质．
直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方法
直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方
法
假设直角三角形ABC中，角C为直角，斜边为AB，直角边分别为AC和BC。
我们要证明的是中线DE等于斜边一半，即DE=AB/2。
首先，我们可以利用勾股定理求得斜边AB的长度。
AB^2 = AC^2 + BC^2
因为角C为直角，所以可以得到：
AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2AC^2
所以
AB = sqrt(2)*AC
接下来，我们可以利用三角形相似来证明中线DE等于斜边一半。
画出三角形ABC的中线DE，分别在线段AC和线段BC上平分角度。
因为DE平分角度，所以线段DE和线段AB平行，并且可以得到：DE/AC = CE/BC
其中，CE = AC/2，因为CE为中线。
代入上式，可以得到：
DE/AC = (AC/2)/BC
化简后，得到：
DE/BC = 1/2
因为线段DE和线段AB平行，并且线段DE等于线段BC的一半，所以得到：
DE = AB/2
所以，我们证明了中线DE等于斜边AB的一半。
直角三角形的中线等于斜边的一半
直角三角形的中线等于斜边的一半
证明过程如下：
取AC的中点E，连接DE。
取BC的中点D
∵AD是斜边BC的中线
∴BD=CD=1/2BC
∵E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
直角三角形的性质：
1、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（也就是直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
2、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
斜边中线等于斜边一半 证明
为了证明斜边上的中线等于斜边的一半，我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，根据题目已知信息，我们知道三角形ABC是一个直角三角形，其中角C为直角。
第二步，根据直角三角形斜边上的中线性质，我们知道斜边上的中线等于斜边的一半。
第三步，为了证明这个性质，我们可以在斜边AB上取中点D，然后连接CD。
由于D是AB的中点，所以AD=BD。
第四步，根据直角三角形斜边上的中线性质，我们知道CD是AB上的中线。
第五步，根据等腰三角形的性质，在三角形ACD和三角形BCD中，AD=BD，CD=CD（公共边），且角A=角B（均为直角），所以三角形ACD全等于三角形BCD。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知道CD=CD，所以AC=BC。
第七步，根据等腰三角形的性质，在三角形ABC中，AC=BC，所以角
A=角B。
第八步，根据三角形内角和为180度，我们知道角A+角B+角C=180度。
由于角C是直角，所以角A+角B=90度。
第九步，由于角A=角B，所以角A=角B=45度。
因此，我们证明了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
斜边中线为斜边一半证明
斜边中线为斜边一半证明
在直角三角形中，斜边中线是指连接直角和斜边中点的线段。
现在我们来证明斜边中线等于斜边的一半。
首先，我们假设直角三角形ABC中，AB为斜边，BC为底边，AC 为高。
设直角三角形ABC的斜边中线为DE，连接DE，AC和BC。
根据直角三角形的性质，我们知道直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
即有AB^2 = AC^2 + BC^2。
现在我们来证明斜边中线DE等于斜边AB的一半。
首先，由于D是AB的中点，所以AD=BD=AB/2。
其次，根据勾股定理，直角三角形ADE和直角三角形BDE中，AD^2 + DE^2 = AE^2，BD^2 + DE^2 = BE^2。
由于AD=BD=AB/2，所以AE=BE=AC/2。
又因为AC=BC，所以AE=BE=BC/2。
综上所述，我们可以得出结论，直角三角形ABC中，斜边中线DE等于斜边AB的一半。
因此，斜边中线为斜边的一半得证。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
5、过矩形ABCD对对角线 的 、过矩形 对对角线AC的 对对角线 中点O作 ⊥ 分别交 分别交AB、 中点 作EF⊥AC分别交 、DC 的中点， 于E、F，点G为AE的中点，若 、 ， 为 的中点 ∠AOG＝30° 求证：3OG=DC ＝ ° 求证：
D F C O A G E B
A
E
N D
B
M
C
3、已知梯形ABCD中，∠B+∠C 、已知梯形 中 ∠ 是两底中点的连线， ＝90o，EF是两底中点的连线， ， 是两底中点的连线 试说明AB－ ＝ 试说明 －AD＝2EF
A E D
B
F
C
4、如图，四边形ABCD中， 、如图，四边形 中 ∠DAB=∠DCB=90°，点M、N分 ∠ ° 、 分 别是BD、 的中点 的中点。 别是 、AC的中点。MN、AC的位 、 的位 置关系如何？ 置关系如何？证明你的猜想
6、如图所示；过矩形ABCD的顶点 、如图所示；过矩形 的顶点 A作一直线，交BC的延长线于点 ， 作一直线， 的延长线于点E， 作一直线 的延长线于点 F是AE的中点，连接 、FD。 的中点， 是 的中点 连接FC、 。 求证： 求证：∠FDA=∠FCB ∠
A D
F
B
C
E
1、如图，在锐角三角形ABC中， 、如图，在锐角三角形 中 AD⊥BC于D,E、F、G分别是 、 分别是AC、 ⊥ 于 、 、 分别是 AB、BC的中点。 求证：四边形 的中点。 求证： 、 的中点 OEFG是等腰梯形。 是等腰梯形。 是等腰梯形
A
F
E
B
G
DCLeabharlann 2、如图所示，BD、CE是三角形 、如图所示， 、 是三角形 ABC的两条高，M、N分别是 、 的两条高， 、 分别是 分别是BC、 的两条高 DE的中点 的中点 求证： 求证：MN⊥DE ⊥
定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。
【证法1】延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD ，又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），AD=DE，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。
【证法2】取AC的中点E，连接DE。
∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE垂直平分AC，∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
【证法3】延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD，又∵AD=DE，∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵∠BAC=90°，∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），∴AE=BC（矩形对角线相等），∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。
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直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半证明
直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半证明在数学中，直角三角形是最常见的三角形之一。
直角三角形有许多特殊性质和定理，其中之一就是斜边上的中线等于斜边的一半。
本文将通过证明来解释这个定理。
首先，我们来解释一下什么是中线。
中线是指一个三角形的一边上的线段，同时它还与这条边的对角线上的一个点相交。
在这个定理中，我们要证明的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
也就是说，如果AB为斜边，M为AB的中点，那么AM = BM。
我们可以通过勾股定理来证明这个定理。
设一个直角三角形ABC，其中角B为直角，斜边为AB，且中线为AM。
由于是直角三角形，我们可以根据勾股定理得出：AC² + BC² = AB²。
因为是中线AM，所以AM=BM.将这个等式代入上式，得到AM² + BM² = AB²。
由于AM = BM，我们可以将等式改写为2AM² = AB²。
我们还可以将AM²拆分为 (AB/2)²，得到(AB/2)² + BM² = AB²。
现在我们利用勾股定理来证明，假设BC上存在一点D使得AD⊥BC，那么我们就可以构建出一个直角三角形ABD，其中角A为直角。
因此，根据勾股定理，我们可以得到：AD² + BD² = AB²。
注意，BD = BC/2，因为D是BC的中点。
将这个等式代入到之前的等式中，我们得到(AB/2)² +(BC/2)² = AB²。
通过化简可得：AB²/4 + BC²/4 = AB²。
移项得到 AB² =AB²/2 + BC²/2。
因此，AB²/2 = BC²/2。
这就证明了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
综上所述，通过勾股定理和几何公式证明，我们可以得到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
ABDM ECABDF直角三角形斜边的中线等于斜边的一半已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即12CD AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。
模型实例例1．如图，在△ABC中，BE、CF分别为AC、AB上的高，D为BC的中点， DM⊥EF于点M。
求证：FM=EM。
热搜精练1．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点，AB=10。
求DM的长度。
CM EA B D3图ADBEM FC图2MADB E CF 1图E CABDF M2．已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB 、MC 。
求证：MB=MC 。
3．问题1：如图①，△ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，AE 、BF 交于点M ，连接DE 、DF 。
若DE kDF ，则k 的值为 ；问题2：如图②，△ABC 中，CB=CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在△ABC 内部，且∠MAC=∠MBC 。
过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，连接DE 、DF 。
若DE=DF ；问题3：如图③，若将上面问题②中的条件“CB=CA ”变为“CB ≠CA ”，其它条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论。
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直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B
数学语言表述为：
在Rt△ABC中
D
∵CD是斜边AB上的中线
∴CD＝AD＝BD＝
1 2
AB
A
C
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边 上的中线的长为5_c_m____
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 线，∠CDA=80°，则∠A=5__0_°__ ∠B=_4_0_°__
C
DN
M
A
B
如图，△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°，D是斜边AB的 中点，证明：AB=2CD
证明：延 长 C D 到 C ′ ，使 C ′ D = C D ，连 结 C ′ A
在△BDC和△ADC‘中 AD=BD，CD=C'D，∠BDC=∠ADC' ∴△BDC≡△ADC‘ ∴∠B=∠C'AB，BC=AC' ∵∠B+∠BAC=90° ∴∠BAC+∠C'AB=90° ∴∠C'AC=90° 在△ABC和△ACC'中 BC=AC'，AC=AC，∠ACB=∠CAC' ∴△ABC≡△CC'A ∴CC'=AB 所以AB=2ＣＤ
D
B
C
3、如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为
AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并
说明理由。 D
C
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段
进行等量代换。
2、如图所示，BD、CE是三角形 ABC的两条高，M、N分别是BC、 DE的中点
求证：MN⊥DE
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4、如图，四边形ABCD中， ∠DAB=∠DCB=90°，点M、N分别 是BD、AC的中点。MN、AC的位置 关系如何？证明你的猜想