拓扑空间中连续映射的证明

拓扑空间中连续映射相关命题证明

摘要：定义在欧式空间的连续函数，将其连续的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射，从度量空间及其连续映射导入了一般拓扑学中的拓扑空间、连续映射的概念，本文通过介绍了拓扑空间中连续映射的定义, 总结连续映射的相关命题，并给出详细证明过程。 关键字：连续函数，拓扑空间，点连续

1连续性的简要说明

由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。

设11:E E f →是一个函数，10E x ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：

（1）序列语言

若序列1,2,{}n n x =收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x =收敛于0()f x ； （2）εδ-语言

对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有 ε<-|)()(|0x f x f （3）邻域语言

若V 是包含)(0x f 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得

V U f ⊂)(。

详解：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）。[1]

2拓扑空间

2.11拓扑空间的定义

设X 是一非空集，X 的一个子集族X 2⊆τ称为X 的一个拓扑，若它满足 （1）τ∈∅,X ；

（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ； (3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。

集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记),(τX 。τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。

2.12常见拓扑

1）离散拓扑 —— 非空集合X 的所有子集构成的集族2X τ=（包括∅）。

2） 平庸（平凡）拓扑 ——X 是非空集合，{,}X τ=∅。 2.21拓扑空间(,)X d 中开集，12,A A 是开集12A A ⇒⋂是开集。 证明：设12,A A 是X 上的开集。若12x A A ∈⋂，则必有1x A ∈且2x A ∈。于是，存在x 的球形邻域1),(A x B ⊂ε及2),(A x B ⊂ε.

取12min{,}εεε=，则(,)B x ε是x 的球形邻域，且有

12(,),(,)B x A B x A εε⊂⊂，于是21),(A A x B ⋂⊂ε，故21A A ⋂是开集。

2.22若1τ和2τ都是X 上的拓扑，则21ττ⋂是X 上的拓扑。[2] 证明：若21,ττ⋂∈∅X ，

121,,τττ∈⇒⋂∈B A B A 且212,τττ⋂∈⋂⇒∈B A B A .

因此，21ττ⋂是X 上的拓扑。 3度量空间

3.11度量空间相关概念

设X 为集合, R X X →⨯:ρ为一映射,如果对于任何x ，y ，z ∈X ，有:

)1y x y x y x =⇔=≥0),(,0),(ρρ. ),(),()2x y y x ρρ=

对于任意两点x ，y ∈X ，实数ρ(x ，y)称为从点x 到点y 的距离．[3]

3.21度量空间(,)X d 的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集。

证明：如右图所示，设 1122(,)(,)U B x B x εε=⋂

x U ∀∈，则有1122(,)0,(,)0d x x d x x εε->->记

1122min{(,),(,)}x d x x d x x εεε=--

则知(,)x B x U ε⊂，于是 (,)x x U

U B x ε∈=

证毕。

3.22 设X (度量空间)的子集族 {d U U τ=是若干个球形邻域的并集}

则d τ是X 上的一个拓扑。

证明：由于球形邻域是开集，于是X 可以表示为无穷个球形邻域的并，∅表示为零个球形邻域的并；又由d τ的定义知，任意多个邻域的并必属于d τ；

设,d U V τ∈，记 (,),U B x ααα

ε=

(,),V B x βββ

ε=

则 ((,))((,))U V B x B x ααββα

β

εε⋂=⋂ （由分配率）

,[(,)(,)]B x B x ααββαβ

εε=

⋂

由引理，(,)(,)B x B x ααββεε⋂一定满足d τ的条件，即属于d τ，故U V ⋂是若干个球形邻域的并，即d U V τ⋂∈.

3.23度量空间（X ，ρ）的球形邻域，如果y ∈X 属于x ∈X 的某一个球形邻域，则y 有一个球形邻域包含于x 的那个球形邻域．

设y∈B（x ，ε）．令＝ε-ρ（x ，y ）．显然．＞0．如果z∈B（y ，），则ρ（z ，x ）≤ρ（z ，y ）+ρ（y ，x ）＜+ρ（y ，x ）=ε所以z∈B（x ，ε）．这证明B （y ，）B （x ，ε）．

3.24度量空间X 中任意两个开集的交是一个开集；

证明：设U 和V 是X 中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x 的一个球形邻域B （x ，）包含于U ，也存在x 的一个球形邻域B （x ，）包含于V ．根据定理2.1.1（2），x 有一个球形邻域B （x ，ε）同时包含于B （x ，）和B （x ，），因此B （x ，ε）B （x ，）∩B（x ，

）U∩V。

由于U∩V 中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V 是一个开集．

4拓扑空间中连续映射的证明

4.1度量空间（X ，ρ）的球形邻域，对于点x∈X 的任意两个球形邻域，存在x 的一个球形邻域同时包含于两者.[4]

证明:如果B （x ，）和B （x ，）是x∈X 的两个球形邻域，

任意选取实数ε＞0，使得ε＜min{ }，则易见有B （x ，ε）

B （x ，）∩B（x ，

）即B （x ，ε）满足要求．

4.2设（X,T 1)，（Y,2T ),(Z,3T )都是拓扑空间，则 （1）恒同映射x ι:（X,T 1)→（X,T 1)是一个连续映射。 （2）如果f :都是连续映射，Z Y g Y X →→:,则Z X f g →︒:也是连续映射.

证明(1)如果U ∈1T ,我们有,)(1-1T U U ∈=ι，因此

是连续映射X X X →:ι。

(2)设Z Y Y X f →→,:都是连续映射,如果3T U ∈,则21)((T U g ∈-,因此

111)((T U g f ∈--,但))(()()(111U g f U gof ---=,因此若U ∈3T ,必有

.)()(11T U gof ∈-因此Z X gof →:连续.

4.3设X 和Y 是两个度量空间，f ：X→Y 以及∈X．f 在点处

是连续的，则f(

)的每一个邻域的原象是

的一个邻域； 证明：令U 为f （）的一个邻域．f （

）有一个球形邻域B

（f （

），ε）包含于U ．由于f 在点

处是连续的，所以

有一

个球形邻域B （，δ）使得f （B （

，δ））B （f （），ε）．然