三角形中的成比例线段(学生用)
九年级数学上册《成比例线段》教案、教学设计
（5）课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调成比例线段的重要性。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、问题解决能力等方面，给予积极的评价和鼓励；
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等形式，了解学生对成比例线段知识的掌握情况，及时发现问题并进行针对性的辅导。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对成比例线段知识的掌握，我将设计以下课堂练习：
1.基础练习：给出一些成比例线段的判定题，让学生独立完成；
2.提高练习：设计一些实际问题，让学生运用成比例线段知识解决；
3.拓展练习：给出一些复杂几何问题，如相似三角形中的成比例线段问题，让学生尝试解决。
在练习过程中，我会及时给予学生反馈，指导他们纠正错误，提高解题能力。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，提供个性化的辅导，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（2）注重培养学生的几何直观能力，引导学生通过观察、分析、归纳等方法探索几何规律；
（3）鼓励学生提问和质疑，培养学生的批判性思维和创新意识；
（4）整合现代教育技术，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
5.通过实际操作，培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下过程与方法：
1.创设情境，引导学生自主探究成比例线段的概念；
2.通过实际例子，让学生感受成比例线段在生活中的应用，培养学生学以致用的意识；
3.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动发现、提出和解决问题；
四、教学内容与过程
直角三角形中成比例线段
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
例1 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。 （1）已知AD=9，CD=6，求BD。 你还能求出哪些线段？
（2）你能举出其它例子吗？
C
解：∵ CD是Rt△ABபைடு நூலகம்的斜边AB上的高
DB︰AD=CF︰FA ∵CF=DG
DB︰AD=DG︰FA
△DBG ∽ △AFD
直角三角形中 成比例线段
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
E
GF
D
B
总结2：
在复杂图形中分解出射影定理的基本 图形，运用射影定理这一研究问题的方法， 去证明线段等积式。
思考题：
已知：如图，Rt△ACB中，CD⊥AB于D， 在CB的延长线上截取BE=BC，连结EA，ED。
求证：∠1=∠2
C
A
2
D
B
1
E
总结：
1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和 比例中项的表达式——射影定理。
∴△ACD∽△CBD
∴CD2 = AD·DB
A
6
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段
A
E
F
B
D
C
作业
姓名： 作业等级： . 1.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图，某女士 身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿 的高跟鞋的高度大约为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠， 使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为（ ） A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
10.在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BD∶DC=AB∶AC， BD－DC=2cm，求 BC.
◆----平行线分线段成比例定理 质定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线） ，所得的对应线段成比例。 2、三角形一边的平行线的判定定理 1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 3、三角形一边的平行线的性质定理 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延 长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 例 、 如 图 5， 在 △ABC 中 ， D 是 BC 上 的 点 ， E 是 AC 上 的 点 ， AD 与 BE 交 于 点 F， 若 AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。
1 2
a b c ，则 x 的值一定是（ bc ac ab 1 3 B、-1 C、 或-1 D、 2 2
）
2.已知一次函数 y kx 1 中，比例系数 k 满足 k 试求直线 y kx 1 与 x 轴的交点坐标.
中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)
中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。
2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。
(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
《4.1比例线段》说课稿
《4.1比例线段》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我要和大家说说浙教版（2012）九年级上册第4章相似三角形中的4.1比例线段这一课。
下面我就从说教材、说学情、说教法、说学法、说教学过程以及板书设计这几个方面来详细说说。
一、说教材1. 教材的地位和作用比例线段这一内容在整个相似三角形的章节中那可是相当重要的基础部分。
就好比盖房子，比例线段就是那稳固的地基。
相似三角形在生活中的应用可不少，像是工程绘图、测量物体高度啥的，而要学好相似三角形，比例线段这关必须得先过。
它能让学生对线段之间的数量关系有更深刻的认识，为后续学习相似三角形的判定和性质等知识做好铺垫。
2. 教材内容分析这部分内容主要是讲比例线段的概念、比例的基本性质等。
概念方面，它通过一些实际的例子，比如不同长度的线段之间的比例关系，让学生直观地感受比例线段是怎么回事。
而比例的基本性质，那可就像一把万能钥匙，能帮助学生在解决很多关于比例线段的问题时打开思路。
教材里的例题和习题也是由浅入深，循序渐进地引导学生掌握这些知识。
我曾经有一次帮朋友做一个手工小制作，是一个缩小版的房屋模型。
在制作过程中，我就发现，要想让模型各个部分看起来和真房子相似，就得精确地计算每个部分的长度比例。
这就和咱们要学的比例线段一个道理，不同的线段就像房屋模型的各个部件，只有比例合适了，整体才和谐美观。
这也让我深刻地认识到比例线段在实际生活中的重要性，学生学了这个知识，也能在生活中找到类似的例子，更好地理解和应用。
二、说学情1. 知识基础九年级的学生已经学过了一些代数知识，像一元一次方程、二元一次方程组等，对于数与数之间的运算关系有了一定的基础。
而且在之前的几何学习中，也对线段的长度、图形的形状和大小等概念有了初步的认识。
但是，比例线段这个概念相对来说比较抽象，对于他们来说，要从数的比例关系过渡到线段的比例关系，还需要一个适应的过程。
2. 学习能力和特点这个阶段的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和自主学习能力。
北师大版九年级上册数学教案：4.1成比例线段
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，加深了对成比例线段的理解。但我也发现，部分小组在讨论过程中存在依赖思想，个别成员不够积极参与。为了提高学生的参与度，我打算在下次活动中增加一些互动环节，鼓励每个学生都发表自己的观点。
-掌握比例的基本性质：包括比例的倒数性质（如果a:b=c:d，则b:a=d:c）、交叉相乘性质（如果a:b=c:d，则ad=bc）等。这些性质是解决比例问题的关键，需要在教学中反复强调，并通过练习题巩固。
-应用比例知识解决实际问题：培养学生将比例知识应用于实际情境中，如计算线段长度、解决比例分配问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了成比例线段的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对成比例线段的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解成比例线段的基本概念。成比例线段指的是两条线段之间存在一个常数k，使得一条线段的长度是另一条线段长度的k倍。它在几何图形的相似性、比例尺的计算等方面具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设图中有两条线段AB和CD，已知AB的长度是CD的两倍，我们将通过这个案例来展示成比例线段在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
专题17 直角三角形中的比例线段
专题17直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论． 如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC 于D ，则1．图中角的关系：∠B =∠DAC ，∠C =∠DAB ； 2．同一三角形中三边平方关系：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2；BC 2=AB 2+AC 2．3．三角形之间的关系： △ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系： AD 2=BD •DC ，AB 2=BD •BC ，AC 2=CD •BC ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边； ②另两条线段在同一直线上．例题与求解【例1】如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CB 于E ．若BE =6，CE =4，则AD =________．（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD ．例1题图 例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，CD ⊥AB ，下列结论：①CD •AB =AC •BC ； ②22AC ADBC BD=； ③222111AC BC CD+=； ④AC +BC >CD +AB ． 其中正确的个数是 ( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断．CAB DECABD AB C D【例3】如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积． （全国初中数学联赛试题）解题思想：欲求△EFC 的面积，由于EC =12，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系．本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法．【例4】如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找一点C ，使△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）解题思想：注意分类讨论．能力训练A 级1．如图，在两个直角三角形中，∠ACB =∠ADC =900，AC =6，AD =2，当AB =_______时，这两个直角三角形相似．2．如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB 于点D ，∠A 的平分线AF 交CD 于E ，过E 引EG ∥AB 交BCABCEF CDB（第1题图）（第2题图）（第3题图） BA Oxy ABD CFE GABCDEA于G ，若CE =3，则BG 的长为____________． （上海市竞赛试题）3．如图，ABCD 为矩形，ABDE 为等腰梯形，BD =20，EA =10，则AB =_________________．（“五羊杯”竞赛试题）4．如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC =BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A ．y x =B ．y x >C ．y x <D ．不确定（江苏省竞赛试题）5．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =3，AE ⊥BD 于E ，则EC 等于（ ）A ．72B ．52C ．152D ．2126．在△ABC 中，AD 是高，且2AD BD CD =⋅，那么∠BAC 的度数是（ ）A ．小于900B ．等于900C ．大于900D ．不确定（全国初中数学联赛试题）7．如图，在△ABC 中，已知∠C =900，AD 是∠CAB 的角平分线，点E 在AB 上，DE ∥CA ，CD =12，BD =15，求AE ，BE 的长．（上海市中考试题）8．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2=AF ·FC ．ABCDE （第7题图）CAB（第4题图）ABCD（第5题图）E（西安市中考试题）9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，D ，E ，F 分别为垂足，求证：CD 3=AB ·AE ·BF ．(四川省中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ·AD =16，AB =45 ．⑴ 求证：CE =EF ；⑵ 求EG 的长． （河南省中考试题）11．如图，在△ABC 中，已知∠ACB =90°，BC =k ·AC ，CD ⊥AB 于点D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ．ABE（第10题图）D FCGABE （第9题图）D FC（第8题图）AB CDEFG ABE（第11题图）DFC P⑴当k =2时，则CEBF=_____________； ⑵当k =3时，连结EF ，DF ，求EFDF的值；⑶当k =___________时，233EF DF （直接写出结果，不需证明）．B 级1．如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC ，P 为AD 的中点，BP 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，AE =3，EC =12，则EF =___________．（黄冈市竞赛试题）2．如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于______厘米．（全国初中数学联赛试题）3．如图，EFGH 是矩形ABCD 的内接矩形，且EF ：FG =3：1，AB ：BC =2：1，则AH ：AE =______．（上海市竞赛试题）4．如图，△ABC 中，∠ACB =900，CD 和CE 分别是底边AB 上的高和∠C 的平分线，若△CED ∽△ABC ，则∠ECD 等于( )A ．180B ．200C ．22.50D ．300ABCD F （第1题图）EAB CD（第2题图）A BC D（第3题图）FG EH E DB AC（第4题图）ABE（第5题图）D F C（山东省竞赛试题）5．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AE ⊥BC ，BD =DC =EC =1，则AC =（ ）A ．2B ．3C ．32D ．33E ．43（美国高中统一考试题）6．如图，在等腰Rt △ABC 中，F 为AC 边的中点，AD ⊥BF ．求证：BD =2CD ．（武汉市竞赛试题）7．如图，P ，Q 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且BP =BQ ，过B 点作PC 的垂线，垂足为H ．求证：DH ⊥HQ ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ．若∠C =900，如图1，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2．若△ABC不是直角三角形，如图2、图3，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论．ABCD（第7题图）QP H C 图2BAA A BBCCc c c b b b a a a 图1图39．已知∠AOB =900，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角形的直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA ，OB （或它们的反向延长线）相交于点D ，E ．当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图1，易证：OD +OE =2OC ．当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直，如图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD ，OE ，OC 之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．10．⑴如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．求证：DP PEBQ QC=． ⑵在△ABC 中，∠BAC =900，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上．连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．①如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证：MN 2=DM ⋅EN ．（武汉市中考试题）A D OEB MC CMBEO D A EBA DOC 图1图2图3D 图1EA BP Q CA A BBCDDEEM M NNG G FF 图2图3C。
成比例线段教案
教学目的：1.结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，理解线段的比和成比例线段．2.借助几何直观，掌握比例的性质及其简朴应用．3.通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的亲密联系．教学重、难点：重点：理解线段的比和成比例线段的概念，理解比例的基本性质及其应用．难点：理解线段的比和成比例线段的概念．课前准备：制作多媒体课件．教学过程：一、美图观赏，情境导入导语：同窗们，色彩斑谰的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相似，这就是我们前面学过和全等形（多媒体出示图1）；有的只有形状相似，这就是相似图形（多媒体出示图 2）．你知如何刻画图形的相似吗？你懂得如何鉴定两个三角形相似吗？你懂得如何将一种图形放大或缩小吗？从今天开始，我们学习第四章，本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，理解相似三角形的性质，并运用图形的相似解决某些简朴的实际问题．本节课就让我们一起从“成比例线段”开始学习本章．【板书课题：4.1 成比例线段(1)】图1 图2 解决方式：学生观看生活中的存在的全等形及相似形，体会数学来源于生活，在全等形的基础上感知相似图形．设计意图：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形．初步感知相似图形，引发学生思考相似图形的特性，激发学生的求知欲及学习爱好．为新课的学习做好情感铺垫．二、探究学习，获取新知活动 1：两条线段的比1.考考你的眼力（多媒体出示）你能在下面的这些图形中找出形状相似的图形吗？这些形状相似的图形有什么不同？解决方式：学生先自主观察这些图形的特点，然后在小组内交流自已的见解，交流后借助多媒体展示自己的成果．教师在学生交流展示时可作下列引导：（1）图中形状相似的图形，大小有什么不同？（2）形状相似的图形其中的一种如何由另一种得到？（多媒体动画演示图形的放大与缩小）（3）形状相似的图形对应的线段如何变化的？（4）形状相似而大小不同的两个图形，你认为如何来描述它们的大小关系？设计意图：通过以上引导性问题引导学生共同总结出：对于形状相似而大小不同的两个图形，能够用对应线段长度的比来描述它们的大小关系．适时引出两条线段的比的概念．2.引入线段的比（多媒体出示）如果选用同一种长度单位量得两条线段AB，CD 的长度分别是m，n，那么这两条线段的比（ratio ）就是它们的长度比，即 AB ∶CD =m ∶n ，或写成 AB = m．其中，线段 AB ，CD 分CD n别叫做这个线段比的前项和后项．如果把 m 表达成比值 k ，那么 AB= k ，或 AB =k ·CD ．两n CD 条线段的比事实上就是两个数的比．解决方式：教师运用多媒体出示两条线段的比的定义．强调有关要点，明确两条线段的比事实上就是两个数的比．接着出示下面实例进一步加深学生对两条线段的比的认识．（多媒体出示）五边形 ABCDE 与五边形 A ′B ′C ′D ′E ′形状相似， AB =5cm ， A ′B ′=3cm． AB ∶A ′B ′=5 : 3，就是线段 AB 与线段 A ′B ′的比．这个比值刻画了这两个五边形的大小关系．设计意图：通过两个五边形对应边的比，具体阐明线段的比的意义，进一步巩固对概念的理解．3. 想一想（1） 在计算两条线段的比时我们要注意什么？（2） 两条线段长度的比与所采用的长度单位有无关系？（3） 两条线段的比成果有单位吗？解决方式：学生思考并在小组内交流以上问题，举例阐明自己的理由．教师适时点拨引导，共同归纳出：在计算两条线段的比时我们要统一长度单位；两条线段长度的比与所采用的长度单位无关；两条线段的比成果没有单位，是一种数．设计意图：通过想一想使学生进一步加深对两条线段的比的认识．体会：两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.但要采用同一种长度单位．活动 2：成比例线段（多媒体出示）如图，设小方格的边长为 1，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB ， CD ，EF ，EH 的长度分别是多少？分别计算 AB , AD , AB , EF的值，你发现了什么？EF EH AD EH解决方式：引导学生结合图形分析题意，明确图中两四边形的四条边的长度能够通过观察或勾股定理得出．给学生充足的时间计算AB,AD,AB,EF的值，在计算的过程中体会EF EH AD EHAB=AD，AB=EF．教师借助多媒体展示解题思路及解题过程，规范学生的解题环节EF EH AD EH的书写．完毕后追问：你发现了什么？从而引出成比例线段的概念．强调：上图中AB，EF，AD，EH 是成比例线段，AB，AD，EF，EH 也是成比例线段．四条线段a，b，c，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段．（多媒体出示）设计意图：通过方格纸上两个四边形对应边的比值的计算，引导学生发现这四组对应线段的比相等，进而引出比例线段的概念．跟踪练习：判断下列四条线段与否成比例.(1)a = 2, b= 5, c = 15, d = 23;(2)a =2, b= 3, c = 2, d =3;(3)a = 4, b= 6, c = 5, d =10;(4)a =12, b= 8, c =15, d =10.解决方式：学生先自主判断，然后再在全班展示交流．共同总结出：四条线段成比例与这四条线段的次序有关．设计意图：通过练习巩固学生对概念的理解．活动 3：比例的基本性质议一议如果a，b，c，d 四个数成比例，即a/b=c/d，那么ad=bc 吗？反过来如果ad=bc，那么a，b，c，d 四个数成比例吗？与同伴交流．3 3 解决方式：第一种问题可引导学生从两方面加以阐明，首先根据等式的基本性质，在 a=bc 两边同时乘 bd ，得到 ad =bc ；另首先能够介绍引入比值 k 的办法：设 a = c=k ，那么 d b da =bk ，c = d k ，因此 ad = bk·d =b·kd =bc ．第二个问题，要注意条件．通过学生的展示，共同总结出比例的基本性质：如果 a = c，那么 ad =bc ．如果 ad =bc (a ，b ，c ，d 都不等于零)，b d那么 a = c ．b d设计意图：通过对两个问题的讨论引出比例的基本性质． 三、例题解析，应用新知例 1 如图，一块矩形绸布的长 AB =a m ，AD =1m ，按照图中所示的方式将它裁成相似的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比 与原绸布的长与宽的比相似，即 AE = AD ，那么 a 的值应当是多ADAB少？解决方式：引导学生阅读、理解题意，自己尝试解答，教师运用实物投影展示学生的做题状况，借助多媒体展示解题过程，规范学生的书写，强调知识的应用．解：根据题意可知，AB =a m ，AE = 1a m ，AD =1m ．3 1 a由 AE = AD ，得 3 = 1 ，即 1 a 2 = 1． AD AB ∴a 2=3．1 a 3 开平方，得 a = ( a =- 舍去)．设计意图：通过例题提供应用比例基本性质的一种具体情境，加深学生对比例基本性质的理解．让学生运用所学的知识来解决实际生活中的问题．想一想：生活中尚有哪些运用线段比的事例?你能举例吗？学生举例：房屋装修平面图，手机模型，汽车模型，深圳世界之窗，建筑物的效果图等等．设计意图：进一步让学生体会线段的比在生活中的应用． 四、回想反思，提炼升华通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些办法？先想一想，再分享给大家．解决方式：学生畅谈自己的收获！教师强调：1）线段的比的概念、表达办法；前项、后项及比值 k；2）两条线段的比是有序的;与采用的单位无关，但要选用同一长度单位；3）两条线段的比在实际生活中的应用．4）比例的基本性质：如果a=c，那么ad=bc．如果ad=bc (a，b，c，d 都不等于零)，b d那么a=c．b d设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈提高活动内容：通过本节课的学习，同窗们的收获真多！收获的质量如何呢？请完毕导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）1.一条线段的长度是另一条线段长度的5 倍，则这两条线段之比是_．32.一条线段的长度是另一条线段长度的，则这两条线段之比是．53.已知a、b、c、d 是成比线段，a=4cm，b=6cm，d=9cm，则c=__ ．x4.如果2x=5y，那么y =．5.把mn=pq 写成比例式，写错的是（）A.m=p； B.p=n； C.q=n； D. m =p ．q n m q m p n q6.已知a∶b∶c=2∶3∶4，且a+b+c=15，则a=，b=，c= .解决方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题状况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握状况，并最大程度地调动全体学生学习数学的主动性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达成全方面提高的目的．六、布置作业，课堂延伸必做题：课本79 页习题4.1 第1 题、第2 题．选做题：课本79 页习题4.1 第3 题．板书设计：。
奥数-第3讲三角形中与比例线段有关的定理竞赛班学生版
第三讲 三角形中与比例线段有关的几个定理梅涅劳斯（Menelaus ）是约公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学及三角学书籍．下面以他名字命名的定理是他首先发现的，发表在球面几何学的教科书《球论》里，有着广泛的应用，不仅可以证明点共线，对其他几何问题也非常有用．塞瓦（Ceva ）是17世纪意大利数学家兼水力工程师，1678年塞瓦自己发现了后来以他名字命名的定理，同时他重新发现梅涅劳斯定理，当时他一并刊登发表，两个定理齐名流传至今． 一、 基础知识1． 梅涅劳斯定理（Menelaus theorem ）在⊿ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，若D 、E 、F 共线，则：1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=；2． 梅涅劳斯定理的逆定理在⊿ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，若1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，则D 、E 、F 共线．3． 塞瓦定理（Ceva theorem ）设O 是⊿ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则1AE BD CF EB DC FA⋅⋅=4． 塞瓦定理的逆定理设点D 、E 、F 分别在⊿ABC 的边BC 、AB 、CA 上，若1AE BD CF EB DC FA⋅⋅=，则AD 、CE 、BF 交于一点．二、 例题部分－梅氏定理及逆定理的应用例1．（★）设AD 为⊿ABC 的一条中线，作任一直线CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：2AE AFED FB=例2．（★，97年湖北荆州竞赛题）如图，D 为⊿ABC 的BC 边的中点，E 为AC 边上的点，且AC ＝3CE ，BE 和AD 交于F 点，求AFFD的值；例3．（★）图中AD 是⊿ABC 的中线，E 是AD 上的点，且AE ＝2DE ，连结BE 并延长交AC 于F ．（1）求证：AF＝FC；（2）求BFEF的值；例4．（★，90年全国部分省市初中通讯赛）设D、E分别在⊿ABC的边AC与AB上，BD与CE交于F，AE＝EB，23ADDC=，ABCS＝40，求AEFDS四边形例5．（★★，第七届“祖冲之杯”数学邀请赛）图中，⊿ABC的∠B的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE＝AD＝4，求⊿ABC的三边．例6．（★★，93年第19届全俄中学生竞赛）在梯形ABCD的对角线AC的延长线上任意取一点P，过P 点及梯形两底中点的直线分别交腰AB及CD于M、N点，求证：线段MN与梯形的底平行；例7．（★★）如图，已知1111PA PD PC PB+=+，求证：∠BPQ＝∠DPQ．例8．（★★）如图⊿ABC的∠A的外角平分线与边BC的延长线交于P点，∠B的平分线与边CA交于Q点，∠C的平分线与边AB交于R点，求证：P、Q、R三点共线．例9．（★★★，笛沙格（Desargues）定理）若⊿ABC与⊿A’B’C’的对应顶点连线AA’，BB’，CC’相交于一点O，则对应边BC与B’C’，CA与C’A’，AB与A’B’的交点D、E、F共线．三、例题部分－塞瓦定理及逆定理的应用例10．（★）求证：（1）三角形的三条中线共点（重心）；（2）三角形的三条内角平分线共点（内心）；（3）锐角三角形的三条高所在的直线共点（垂心）；例11．（★★，78年全国高中竞赛）在⊿ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，设BE与CD交于S，求证：AS通过BC边的中点M．例12．（★★）⊿ABC中，M是BC的中点，AD平分∠A，BE⊥AD于E，BE交AM于N，求证：DN∥AB．例13．（★★）试证：过三角形三顶点且平分三角形周长的三条直线共点．例14．（★★★，99年全国联赛）四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，连BE 交AC于F，延长DF交BC于G，求证：∠GAC＝∠EAC；四、练习题1．（★）在⊿ABC的两边AB、AC上分别取点Q、R，满足AQ:QB＝2:1，AR:RC＝1:2，连结QR交CB延长线于P，那么PC:PB等于（）A．4:1 B．2:1 C．1:4 D．1:22．（★）ABCD为平行四边形，BC＝12，DC＝10，对角线AC与BD交于O，E是BC延长线上一点，且CE＝4，OE交DC于F，那么CF的长是（）A．1 B．2 C．0.5 D．33．（★）已知M、N分别在⊿ABC的边AC、AB上，且MN∥BC，BM、CN交于O点，连结AO并延长交BC于D，那么BD:DC（）A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．以上都可能4．（★）在⊿ABC中，如果AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD、BE、CF相交于一点，2BDEA=，3CEFB=，那么AFDC等于________；5．（★）在⊿ABC的BC边上任取一点D，设∠ADB、∠ADC的平分线与AB、AC分别相交于F、E，求证AD、BE、CF交于一点；6．（★）在⊿ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC＝m：1，CE：EA＝n：1，AD与BE 相交于F，那么:ABF ABCS S＝___________；7．（★★）在⊿ABC中，D是BC上的点，13BDDC=，E是AC中点，AD、BE相交于点O，CO交AB 于F，求四边形BDOF的面积与⊿ABC的面积之比．8．（★★）在面积为1的⊿ABC的三边上分别取D、E、F，使1BD CE AFkDC EA FB===>，连结AD、BE、CF交出⊿MNP，试求MNPS9．（★★★，2005年全国初中数学联赛）锐角三角形ABC中，AB>AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE与BC的延长线交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，求证：F、G、T三点共线．。
三角形比例线段和定理及其应用
三角形比例线段和定理（又称为比例线段和定理）是指：在同一三角形中，任意两条有关线段的比值等于这两条线段所在的边的比值。
该定理的公式表述为：设三角形ABC中，有线段AB、AC、BC，则有：$\frac{AB}{AC}=\frac{AB'}{AC'}$。
三角形比例线段和定理的应用非常广泛，可以用来解决各种关于三角形的问题。
例如，在三角形内构造平行线、平分线、解决三角形内构造线段的问题等。
此外，三角形比例线段和定理还与其他数学定理有密切的联系，如比例坐标定理、比例尺定理等。
这些定理都可以用来解决关于三角形的问题，并在工程测量、地图制作、几何建模等领域得到广泛应用。
总之，三角形比例线段和定理是一个非常重要的数学定理，在解决各种关于三角形的问题以及与其他数学定理的应用中都有着重要的作用。
其中包括：在三角形内构造平行线和平分线。
通过使用三角形比例线段和定理，可以在三角形内构造出与特定边平行或平分的线段。
解决三角形内构造线段的问题。
可以使用三角形比例线段和定理来解决在三角形内构造线段的问题，如构造两个三角形相似的线段。
应用于比例坐标定理和比例尺定理。
比例坐标定理是指：在两个平面图形之间进行比例尺比较时，若它们在一条直线上，则它们之间的比例关系与它们在该直线上的比例关系相同。
比例尺定理是指：在绘制地图时，可以使用比例尺将实际地物的尺寸缩小到地图上，以便于更好地表示地物的形状和位置关系。
比例尺的大小可以通过比例坐标定理来确定。
在几何建模中的应用。
几何建模是指使用数学方法来描述和分析实际问题的过程。
在几何建模中，三角形比例线段和定理可以用来描述和分析实际问题中的各种几何形状。
总之，三角形比例线段和定理在解决各种关于三角形的问题、应用于比例坐标定理和比例尺定理以及在几何建模中都有着重要的作用。
九上册：直角三角形中的比例线段
4．直角三角形中的比例线段一、基础知识回顾1.相似三角形的判定：（1） 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）有 角对应相等的两个三角形相似。
（3）两边对应 ，且 相等的两个三角形相似。
（4） 对应成比例的两个三角形相似。
（5）一条 对应成比例的两个直角三角形相似。
2．相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应角 ，对应边 。
(2)相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 。
（3）相似三角形的周长之比等于 ；相似三角形的面积之比等于 。
二、知识延伸拓展已知：如图1所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高线.求证： CD 2= AD •BD (1) ;AC 2 = AD •AB (2) ; BC 2 = BD •AB (3) .分析：易证△CBD ∽△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例，可得上述三个关系式。
证明：∵∠CDB=∠ACB=Rt ∠ ∠B=∠B ∴△CBD ∽△ABC同理可证 △ACD ∽△ABC ∴△CBD ∽△ACD ∽△ABC由△ACD ∽△CBD 得DD A B C CD D =∴CD 2= AD •BD (1)同理可得AC 2 = AD •AB (2) ； BC 2= BD •AB (3)利用上述三个关系式，可以较轻松地解决很多问题。
例如，利用这三个关系式很容易证明勾股定理，只要把上面（2），（3）两个关系式的两边分别相加，得AC 2 + BC 2 = AD •AB + BD •AB = AB （AD+BD ）= AB2 注意：运用这三个关系式时，要注意它们成立的条件。
三、精典例题点拨例1 在 图1中，若AD = 2cm ，DB = 6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长。
解：∵ CD 2= AD •BD=2×6=12∴ );(3212cm CD ==∵ AC 2= AD •AB = 2 ×（2+6）=16，图1∴ )(416cm AC ==；∵ BC 2= BD •AB = 6×（2 + 6）=48， ∴ )(3448cm BC ==。
成比例线段与比例的基本性质
例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？ （2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？
即时训练1
已知如图：在△ABC中，DE∥BC,分别交AB,AC的 延长线于D，E.且AB=15,AC=9,BD=4,求AE
几何语言：
在△ABC中，
∵DE∥BC ∴ AD AE DE
AB AC BC
三边对应成比例！简记： 上 上 上底
全 全 下底
即时练习2
已知AB,CD为梯形ABCD的两底，对角线AC,BD的 交点为O ,且CD=4，AB=12，求OB,OD.
即时练习3
如图△ABC中， DE∥BC，中线AM交DE于N. 求证：DN=EN
再连接CF )
解题视频
【拓展教材】
例题2.如图， D E∥BC,分别交AB,AC于点D、E. 求证： AD AE DE
AB AC BC
证明：过点D做DF∥AC交BC于F
∵DE∥BC，DF∥AC
∴ AD
，
AB
∵DE=
，
∴ AD AE DE AB AC BC
AD
=
AB
过某点做平行线是最 常用的辅助线哦！
定理2：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的 直线，所截得的三角形三边与原三角形的三边对应 成比例。
A
C
D
EFΒιβλιοθήκη 2 .已知如图， L1∥L2 ∥L3，AB=3，DE=2，DF=10，
则BC= .
【解读教材】
3.请观察下列图形， L1∥L2 ∥L3， L4与L5是它们的 截线，你能写出哪些成比例线段？
三角形中的平行线分线段成比例-冀教版九年级数学上册教案
三角形中的平行线分线段成比例-冀教版九年级数学上册教案一、教学目标1.知识与技能：掌握三角形中的平行线分线段成比例的概念、判定方法以及运用方法；2.过程与方法：学会观察分析、归纳总结的方法；3.情感态度与价值观：培养学生合作学习、动手实践的精神。
二、教学重点、难点1.教学重点：掌握三角形中的平行线分线段成比例的判定方法和运用方法；2.教学难点：能够自己发现和证明三角形中的平行线分线段成比例性质。
三、教学过程1.引入新知识1.1 导入情境：小明在学驾驶，教练告诉他必须牢记平行线分线段成比例的性质，才能正确驾驶。
1.2 引出概念：让学生观察教室黑板上的图形，引导他们发现，如果三角形中有一条直线分别与两边平行，那么这条直线必定把两边分成一定比例的线段。
1.3 引入名词：“平行线分线段成比例”。
2.学习三角形中平行线分线段成比例的概念2.1 定义平行线分线段成比例的概念。
2.2 给出例题演示如何判断平行线分线段成比例。
3.学习三角形中平行线分线段成比例的判定方法3.1 利用三角形内角和为180°，推导出平行线分线段成比例的判定方法。
3.2在黑板上演示例题，指导学生如何运用判定方法。
4.练习4.1 由简单到复杂，分步进行小组练习。
4.2 在黑板上选几道练习题，让学生互相检查。
5.学习三角形中平行线分线段成比例的运用方法5.1 给出例题，演示如何用平行线分线段成比例性质解题。
5.2 在白板上，列出几个需要用到平行线分线段成比例性质的类型题，让学生分组进行讨论。
6.总结6.1 教师带领学生回顾今天所学的知识点。
6.2 教师邀请学生发言，总结一下平行线分线段成比例的性质、判定方法和运用方法。
6.3 教师展示错误方法的例子，让学生纠错和解释。
四、作业1.看完课本P78页的例题，完成教材P80页的1、2、4、5题；2.尝试自己发现并证明一些平行线分线段成比例的例子；3.如果想挑战自己，可以尝试做一些拓展练习。
成比例线段教学设计与反思.docx
《4.1 成比例线段》的教学设计学校科目数学设计者教学对象 九年级学生 教材版本 北师大版 设计时间课题（本学科 组确定的研 初中数学作业批改的几点建议究主题）一、教学内容分析(简要说明课题来源、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性)教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求，理解并掌握比例 的基本性质及其简单应用。
学好本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学 习相似三角形和相似多边形奠定了基础。
二、教学目标(从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的 教学目标做出一个整体描述) 1. 知识与技能：掌握两条线段的比和比例线段的概念，及比例的基本性质；2. 过程与方法：通过学生自主探索、探究总结出比例的基本性质，并运用性质进行简单的计算； 3. 情感态度与价值观：培养学生的数学应用意识，体会数学与社会的密切联系三、学情分析(说明学生在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备(学习起 点)，以及学生的学习风格、特点等。
最好说明教师是以何种方式进行学生特征分析，比如说是 通过平时的观察、了解，或是通过预测题目的编制使用等)大部分学生学习能力一般，甚至较差，极少部分学生有一定分析探究问题的能力，对于模仿学习较易 掌握，在成比例线段的学习之前，学生已经学习了形状相同的图形的概念，引导学生由形状相同的图 形再过渡到只是大小不同，从而引入新课线段的比，探索成比例线段及比例的基本性质及简单的运用。
四、教学策略选择与设计(说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略。
) 通过学生自主探索，师生共同形成性质结论，从而掌握比例的基本性质。
主要在教学过程 中采用学生活动探索为主的教学手段，从而得出结论，进而即时反馈，检测学生的掌握程 度，最后采用课堂批改作业，检查学生对知识的领会程度。
五、课前对学生的要求（目的让学生有目标性的学习）结合生活实际预习课本例题并思考例题中提出的问题，不懂之处做好标记六、教学重点及难点(说明本课题的重难点) 1.教学重点：比例线段的概念. 2.教学难点：根据具体问题发现等量关系，找出比例式． 七、教学过程(这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需 的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语。
九夏3-平行线有关的比例线段2-学生版
章节相似三角形第三课时三角形一边平行线判定教学内容教学目标：1.经历三角形一边的平行线性质定理推论的推导；2.掌握三角形一边的平行线性质定理推论的应用；3.理解该定理的不同图形情况，并能灵活运用；4.了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；5.掌握三角形一边的平行线的判定定理；6.并能运用该定理证明有关两直线平行的问题.教学重点：1.三角形一边的平行线性质定理推论的理解和应用；2.三角形一边的平行线性质定理推论和性质定理的联系和区别；3.三角形的重心的性质；4.三角形一边的平行线的判定定理；5.三角形一边的平行线的判定定理的应用.教学难点：1.三角形一边的平行线性质定理推论的理解和应用；2.三角形一边的平行线性质定理推论和性质定理的联系和区别；3.三角形的重心的性质；4.三角形一边的平行线的判定定理；5.三角形一边的平行线的判定定理的应用.第一部分知识要点1.三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
2.三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
3.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
4.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
格式：如果直线L 1∥L 2∥L 3， AB ＝ BC ， 那么：A 1B 1＝B 1C 1，如图l说明：由此定理可知推论1和推论2推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
格式：如果梯形ABCD ，AD ∥BC ，AE ＝EB ，EF ∥AD ，那么DF=FC ，如图2 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
格式：如果△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，那么AE ＝EC ，如图3 说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况。
相似三角形-平行线分线段成比例(可直接使用)
戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【态 度 决 定 高 度】 平行线分线段成比例1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
例1、如图，已知EF CD AB ////，则下列结论正确的是 （ ）A.CE BC DF AD = B .AD DFCE BC=C .BE BC EF CD =D .AFAD EF CD =变式训练：如图，∆ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，下列条件中，能判定BC DE //的是（ ）A. AD AC AE AB ⋅=⋅B.AD AE EC DB ⋅=⋅ C. AD AB AE AC ⋅=⋅D. BD AC AE AB ⋅=⋅例2、如图，28,40,15,====AC AB AD ECAEDB AD ，求AE 的长．变式训练：如图，已知在ABC ∆中，9,6,2,//,//===BC AB CE AE AB EF BC DE ．求四边形BDEF 的周长．例3、已知菱形BEDF 内接于∆ABC ，点G D E ,,分别在BC AC AB ,,，若AB BC ==1512，，求菱形边长．典型例题B F CAB CD E变式训练：如图，在矩形ABCD 中，3,2==BC AB ，点H G F E ,,,分别在矩形ABCD 的各边上，//,////EH HG AC EF FG BD //，则四边形EFGH 的周长是 （ ）A.10 B .13 C .102 D .132例4、如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，E 是ABC ∆内一点，BC DE //，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于,F CF 与AB 交于P ，求证：PBPAPF PE =．变式训练：如图，在ABC ∆中，CD EF BC DE //,//，求证：AD 是AB 和AF 的比例中项．例5、如图，∆ABC 中，AD 是角平分线，DE AC //交AB 于E ，已知AB =12，AC =8，求DE ．变式练习：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则=AE EF :（ ）A.4:1 B .3:1 C .3:2 D .2:1A利用平行线分线段成比例基本事实的推论求线段长或线段比的方法：当三角形被一条与一边平行的直线所截形成“A ”字形或“X ”字形的图形，并且所求的线段不在平行的边上，通常考虑运用平行线分线段成比例基本事实的推论构建包含待求线段与已知线段的比例关系，然后把已知线段代入即可求出待求线段． 例6、下列说法正确的是 （ ）A.两个等腰三角形相似 B .所有的等腰梯形相似 C .两个等腰直角三角形相似 D .所有的正多变形相似变式练习：如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为1:2，则下列结论正确的是 （ ） A.K E ∠=∠2 B .HI BC 2=C .六边形ABCDEF =六边形GHIJKL 的周长D .G HIJKL ABCDEF S S 四边形四边形=例7、已知矩形ABCD 中，1=AB ，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE∆向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则=AD （ ） A.215- B .215+ C .3 D .2变式练习：如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，则ADAB等于 （ ） A.618.0 B .22 C .2 D .2例8、如图，在菱形ABCD 中，点F E ,分别在边CD BC ,上，DAE BAF ∠=∠，AE 与BD 交于点G ． （1）求证：DF BE =；（2）当DFADFC DF =时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA2、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
4.1.2成比例线段第二课时教案
运城市实验中学教案首页执教_________ _______年_____月_____日教学目标：1.知识与技能了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
2.过程与方法经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
3.情感态度和价值观通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
教学重点：让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。
教学难点：运用比例的基本性质解决有关问题。
教学方法：合作、探究学习方法：合作、探究教学创意：§4.1 成比例线段(2)一、复习回顾１、设线段ＡＢ＝２cm ，ＡＣ＝４cm,两条线段的长度比是___21____。
2、设线段ＡＢ＝200cm ，ＡＣ＝４m,两条线段的长度比是___21___ . 3.若a=3,b=4,c=5,d=6,则a,b,c,d 是否成比例线段?二、探究新知1.活动1：在四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.如果作为比例内项的是两条相等的线段即dc b =a 或a ：b = b ：c ， 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.2.活动2：如图，,HE AB ,EF BC ,FG CD GHDA 的值相等吗？GH FG EF HE DA CD BC AB ++++++ 的值又是多少？ 在求解过程中，你有什么发现？分析：由于2====GHDA FG CD EF BC HE AB ,则有AB=2HE ，BC=2EF,CD=2FG,DA=2GH, 2=++++++∴GHFG EF HE DA CD BC AB 议一议:已知a,b,c,d,e,f 六个数，如果f e d c b a ==（b+d+f ≠0），那么b a f d b e c =++++a 吗？ 解：设k fe d c b a ===，则a=kb,c=kd ，e=kf ，∴ba k f db kf kd f d b ec ==++++=++++kb a 等比性质：如果),0d b a ≠++===n n m d c b （ 那么b a n d b m c =++++++ a . 定理证明方法： 证明：设k a ====nm d c b ，则a=bk,c=dk,…，m=nk ， k nd b nk dk bk n d b m c =++++++=+++++∴ a . 3.活动3： 如果d c b a =，那么 dc ad d c b b d -b b -,a =+=+，你认为这个结论正确吗？为什么？ 解：正确，理由如下：d c b d d c b dc b ad c b a dc bd -b -a ,b a 1-1-,11a =+=+∴=+=+∴= 合比性质：如果d c b a =,那么dc ad d c b b d -b b -,a =+=+ 例.设a,b,c 为△ABC 的三边，且a c cb b b a -c --a ==，试判断△ABC 的形状，并给出证明。
三角形平行线分线段成比例定理
三角形平行线分线段成比例定理三角形平行线分线段成比例定理，是初中数学的一条基本定理。
该定理的内容是：若三角形ABC中，DE//BC，AD/DB=AE/EC，则DE/BC=AE/AC=DE/DC。
三角形平行线分线段成比例定理为我们理解梯形的性质提供了基础，为了方便叙述，我们在本文中将图形定名如下：在三角形ABC中，DE//BC，AD/DB=AE/EC。
下面，我们来详细探讨该定理。
一、证明证明如下：因为DE//BC，则∠AED=∠ABC，∠EDA=∠ACB。
根据正弦定理，有AD/BD=sin∠ABD/sin∠ADBAE/EC=sin∠AEC/sin∠EAC因为∠ABD=∠EAC，∠ADB=∠ECA，代入sinsin公式，我们得到：AD/BD=AE/EC因此，AD/BD=AE/ECAD/BD+1=AE/EC+1(DC/BD)+1=(EC/BD)+1DC/BD=EC/BDDE/BC=(DE/DC)(DC/BD)(BD/BC)DE/BC=(DE/DC)×(EC/BD)×1 （1）因为AD/DB=AE/EC，所以AD/DB+AE/EC=ADB/DBE+CEB/ECB=1因此，CEB/ECB=1-ADB/DBECEB/ECB=(DBE-ADB)/DBECE/EB=AC/BDAB/EB=AC/ECEB/BD=EC/AC因此，DE/BC=(DE/DC)×(EB/BD)×(BD/BC)DE/BC=(DE/DC)×(EC/AC)代入公式（1），即：DE/BC=(AE/AC)×(DE/DC)所以，DE/DC=(DE/BC)/(AE/AC)DE/DC=DE/BC×AC/AEDE/DC=DE/CE故而，DE/BC=DE/CE=AE/AC二、应用1.应用于梯形性质：利用三角形平行线分线段成比例定理，可以证明梯形的各种性质。
如下面的梯形ABCD，EF//DC，F与AB、CD交于G、H，AB=DC。
14初中数学“成比例线段”知识点全解析
初中数学“成比例线段”知识点全解析一、引言成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。
理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、成比例线段的概念1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是成比例的，记作a:b = c:d。
2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。
三、成比例线段的性质1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。
这一性质表明，成比例线段的对应项之和与原线段的比例关系相同。
2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。
这一性质表明，成比例线段的对应项之差与原线段的比例关系相同。
3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。
这一性质表明，成比例线段的交叉项之比相等。
4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。
这一性质表明，成比例线段的交叉项之积相等。
四、成比例线段的判定方法1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。
2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段是成比例的。
即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。
3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。
因此，可以通过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。
五、成比例线段的应用1.几何图形中的应用：在几何图形中，常常利用成比例线段的性质来解决一些问题，如证明两直线平行、证明两角相等、计算线段的长度等。
2.实际生活中的应用：在实际生活中，许多现象都与成比例线段密切相关。
例如，建筑设计师在设计建筑物时需要考虑不同部分之间的比例关系；摄影师在拍摄照片时需要运用成比例线段的原理来构图等。
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三角形中的成比例线段（学生用）
——相似三角形复习课
一、 看图形，识特征
练习：（学生独立完成）
如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点， CE 和DA 的延长线交于F ．若AF ：BC =1：2，求EF ：CF 的值.
在AB 上，BD ∶AD =1∶3，F 为BC 的中点，DF 与AC 的延长线交于点E ，求EF ∶FD 的值．
A B C
D E A
B
C D E
练习：（学生独立完成）
1． 如图，已知△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，AD 与BE 交于点F ，
、若BD ：DC =1：2，AE=CE ，求①BF ：EF ；② AF ：FD 的值。
例2 已知，如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，求作一条过点D 的直线DE ，E 为DE 与AC 的交点，使△ADE ∽△ABC ．
练习：（学生独立完成）
2．如图，∠B =Rt ∠，DE ⊥AC . 已知BC=3，AC=4.请你根据在以上变式中获得的经验，解下列各题：
（1） 如图1，D 是AC 的中点，求AE ；
（2） 如图2，D 与C 重合，求AE 和CE ；
（3） 如图3，D 在AC 的延长线上，AC =5CD ，求AE .
图1
图2
图3。