最短路径问题举例

最短路径问题举例
例 考察如下图所示的线路网络。

各点联线上标明的数字表示它们之间的距离，现计划要从A 地铺设一条输油管道到F 地，中间必须经过四个中间站，第一站可在i B （=i 1，2，3）三个地点中任选一地点；第二站可在i C （=i 1，2，3）三个地点中任选一地点；第三站可以分别在i D （=i 1，2，3）三个地点中任选一地点；第四点可以在1E 、2E 两地点中任选一处。

我们希
望找到一条从A 地到F 地的最短路线铺设输油管道，请给出最佳方案。

我们可用穷举法求这个问题的解。

找出所有可能选择的路线，求出每条路线的总线路长度列于下：
1 、A →1B →1C →1D →1E →F 总长度为：3+9+1+4+1=18
2 、A →1B →1C →1D →2E →F 总长度为：3+9+1+2+2=17
3 、A →1B →1C →2D →1E →F 总长度为：3+9+5+6+1=2
4 4 、A →1B →1C →2D →2E →F 总长度为：3+9+5+9+2=28
5 、A →1B →2C →1D →1E →F 总长度为：3+5+8+4+1=21
6 、A →1B →2C →1D →2E →F 总长度为：3+5+8+2+2=20
7 、A →1B →2C →2D →1E →F 总长度为：3+5+4+6+1=19
8 、A →1B →2C →2D →2E →F 总长度为：3+5+4+9+2=23
123110、A →1B →2C →3D →2E →F 总长度为：3+5+6+5+2=21 11、A →2B →1C →1D →1E →F 总长度为：5+4+1+4+1=15 12、A →2B →1C →1D →2E →F 总长度为：5+4+1+2+2=14 13、A →2B →1C →2D →1E →F 总长度为：5+4+5+6+1=21 14、A →2B →1C →2D →2E →F 总长度为：5+4+5+9+2=25 15、A →2B →2C →1D →1E →F 总长度为：5+3+8+4+1=21 16、A →2B →2C →1D →2E →F 总长度为：5+3+8+2+2=20 17、A →2B →2C →2D →1E →F 总长度为：5+3+4+6+1=19 18、A →2B →2C →2D →2E →F 总长度为: 5+3+4+9+2=23 19、A →2B →2C →3D →1E →F 总长度为：5+3+6+7+1=22 20、A →2B →2C →3D →2E →F 总长度为: 5+3+6+5+2=21 21、A →2B →3C →1D →1E →F 总长度为：5+5+4+4+1=19 22、A →2B →3C →1D →2E →F 总长度为：5+5+4+2+2=18 23、A →2B →3C →2D →1E →F 总长度为: 5+5+4+6+l=21 24、A →2B →3C →2D →2E →F 总长度为：5+5+4+9+2=25 25、A →2B →3C →3D →1E →F 总长度为：5+5+2+7+1=20 26、A →2B →3C →3D →2E →F 总长度为：5+5+2+5+2=19 27、A →3B →2C →1D →1E →F 总长度为：4+1+8+4+1=18 28、A →3B →2C →1D →2E →F 总长度为: 4+1+8+2+2=17 29、A →3B →2C →2D →1E →F 总长度为：4+1+4+6+1=16 30、A →3B →2C →2D →2E →F 总长度为：4+1+4+9+2=20 31、A →3B →2C →3D →1E →F 总长度为：4+1+6+7+1=19
323233、A →3B →3C →1D →1E →F 总长度为：4+7+4+4+1=20 34、A →3B →3C →1D →2E →F 总长度为：4+7+4+2+2=19 35、A →3B →3C →2D →1E →F 总长度为: 4+7+4+6+1=22 36、A →3B →3C →2D →2E →F 总长度为：4+7+4+9+2=26 37、A →3B →3C →3D →1E →F 总长度为: 4+7+2+7+1=2l 38、A →3B →3C →3D →2E →F 总长度为：4+7+2+5+2=20 比较上面38条不同路线的结果可知最短路线是标号为“12、”的那条路线，即
A →2
B →1
C →1
D →2
E →
F ，
最短路线的长度14。

这就是说按这条路线铺设输油管道为最佳方案。

从以上的解法可以看出，如果段数很多，各段的不同选择也很多时，穷举法的计算量将是很大的。

下面我们用动态规划的方法寻找从A 到F 的最短路线。

如何用动态规划的方法来求解这个最优路线呢？
假如一开始就知道由1B 到F 和由2B 到F 及由3B 到F 的最短路线，那么在A 点就很容易做出最优决策。

如果用i B I (=i 1～3)表示从i B 到F 的最短距离，则i B I 加上A 到i B 的距离就是由A 经过i B 到F 的最短距离。

将三者比较之后，立即就可以做出第一个决策。

同时也得出由A 到F 的最短距离。

但这种方法的前提是i B I 要已知，可惜在开始时，我们还并不知道i B I (=i 1～3)，但是，通过上述分析，已经可以看出动态规划的一个重要思想：即对A 点的最优决策来说，最重要的计算是由i B 到F 的最优路线的计算，至于由i B 到F 的那些非最优路线的计算，对A 点的决策来说是不重要的，也是不需要的。

这实际上也正反映了最优性原理的基本思想。

具体的计算如下：
由A 到F 的最短路线的距离应该是：
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=321
453min B B B A I I I I
尽管i B I (=i 1～3)一开始并不知道，但是如果知道由i C (=i 1～3)到F 点的最短距离i C I (=i 1～3)，那么就可以用同样的方法计算i B I (=i 1～3)，即有
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=21159min C C B I I I
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=321
2534min C C C B I I I I
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++=32371min C C B I I I
上面三个式子中的i C I (=i 1～3)虽然未知，但只要能获得i D I (=i 1～3)，就
能计算出来。

而 i D I (=i 1～3)又依赖于i E I (=i 1～2)，这样就可以逐级反推回去，计算出所有各点到达终点F 的最短距离。

由于1E I 、2E I 是距离F 点最近而又是唯一可供选择的一段路线，因此有
11=E I ；22=E I .
故可由此反向推算，很快就能算出其后各点到终点F 的最短距离。

计算步骤如下：
424min 211=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡++=E E D I I I 最短距离为1D →2E →F
796min 212=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡++=E E D I I I 最短距离为2D →1E →F
757min 213=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++=E E D I I I 最短距离为3D →2E →F
由此得到
551min 211=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡++=D D C I I I 最短距离为1C →1D →2E →F
11648min 321
2=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=D D D C I I I I 最短距离为2C →2D →1E →F
8244min 321
3
=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=D D D C I I I I 最短距离为3C →1D →2E →F
故得
1459min 211=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡++=C C B I I I 最短距离为1B →1C →1D →2E →F
9534min 321
2=⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=C C C B I I I I 最短距离为2B →1C →1D →2E →F
1271min 323=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++=C C B I I I 最短距离为3B →2C →2D →1E →F
由此得到
14453min 321
=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=B B B A I I I I 最短路线为 A →2B →1C →1D →2E →F .
这样，图中所有到达终点F 所需要的最短距离就都计算出来了。

根据计算出的结果很容易决定出各点的最优决策，由A 到F 的最短路线为
A →2
B →1
C →1
D →2
E →F
最短距离为14，这个问题到此就算解决了。

作业：最短路线问题
考察如图所示的线路网络，各点联线上标明的数字表示它们之间的距离。

我们从A点出发，要走到目的地G点，问经过哪些点(即要走什么路线)才能使总的路线最短？又问最短路程为多少?。