数学物理方法matlab建模
使用Matlab进行模拟物理与实验数据处理
使用Matlab进行模拟物理与实验数据处理引言近年来，随着计算机技术的迅猛发展，越来越多的科学家和研究人员开始使用计算机模拟和实验数据处理的方法来解决各种物理问题。
其中，Matlab作为一种高效、灵活的科学计算工具，被广泛应用于物理领域。
本文将介绍如何使用Matlab进行模拟物理和实验数据处理。
一、Matlab概述Matlab是一种基于矩阵和向量运算的高级编程语言，专门用于科学计算和数据可视化。
它提供了丰富的内置函数和工具箱，可以方便地进行数值计算、符号计算和图形绘制等操作。
Matlab还支持面向对象编程和并行计算，使得处理大规模物理问题更加高效和便捷。
二、模拟物理1. 数值模拟Matlab提供了一系列的数值模拟工具，可以用来解决常微分方程、偏微分方程、边值问题等各种物理模型。
通过定义自定义函数和调用内置的求解器，可以轻松地实现各种数值求解算法。
例如，可以使用欧拉法、龙格-库塔法等经典算法对运动方程进行数值积分，得到粒子的轨迹。
此外，还可以利用有限元方法对结构力学、电磁场等问题进行数值求解。
2. 模型建立Matlab的强大矩阵和向量运算能力为物理模型的建立提供了很大的便利。
结合图形绘制工具箱，可以利用Matlab绘制出需要建模的物体的几何结构和其他参数。
然后，可以使用线性代数或者非线性优化等方法，通过数值迭代的方式求解模型的参数。
例如，在光学领域，可以利用矢量计算来模拟和优化光波的传播和调控。
三、实验数据处理1. 数据导入与预处理Matlab提供了灵活的数据导入和预处理工具，可以方便地处理各种类型的实验数据。
通过读取不同格式的文件，如文本、Excel、MAT等，可以将实验数据导入到Matlab工作空间中。
之后，可以使用Matlab的矩阵和向量运算功能对数据进行预处理，如去除异常值、平滑信号、插值数据等。
2. 数据分析与可视化Matlab内置了大量的数据分析函数和工具箱，可以对实验数据进行统计分析、频域分析、时频分析等。
在MATLAB中进行物理建模和仿真
在MATLAB中进行物理建模和仿真引言：MATLAB是一种强大的数学建模和仿真软件，可以广泛应用于各种学科领域，包括物理学。
通过在MATLAB中进行物理建模和仿真，研究人员可以更好地理解和探索各种物理现象、原理和实验，从而更好地设计和优化物理系统。
一、理论基础在进行物理建模和仿真之前，首先需要对相关的物理理论有一定的了解。
例如，在研究电磁波传播时，需要了解麦克斯韦方程组和电磁波的基本性质；在研究力学系统时，需要了解牛顿力学和拉格朗日力学等理论基础。
二、建立物理模型在MATLAB中建立物理模型是进行物理建模和仿真的重要一步。
物理模型可以是根据物理原理和实验数据建立的数学模型，也可以是经验模型。
在建立物理模型时，需要考虑系统的各个部分和它们之间的相互作用，以及外界因素的影响。
根据不同的物理现象和系统特点，可以选择合适的建模方法，如微分方程、差分方程、概率统计等。
三、数值方法在MATLAB中进行物理建模和仿真时，常常需要使用数值方法求解。
数值方法能够将复杂的数学模型转化为计算机可以处理的形式，从而得到系统的数值解。
常见的数值方法包括欧拉方法、龙格-库塔方法等。
在选择数值方法时，需要考虑精度和计算效率的平衡。
四、验证和优化在进行物理建模和仿真之后，需要对结果进行验证和优化。
验证是指将模型的结果与实验数据进行比较，以评估模型的准确性和可靠性。
优化是指通过调整模型的参数和改进算法，以提高模型的预测能力和计算效率。
通过验证和优化，可以不断改进模型，使其更好地符合实际情况。
五、应用实例MATLAB在物理建模和仿真方面有着广泛的应用。
例如，在光学领域，可以使用MATLAB进行光传输计算、光波导模拟等；在电路设计领域，可以使用MATLAB进行电路分析和优化；在力学系统中，可以使用MATLAB进行结构分析和振动仿真等。
这些应用实例表明，MATLAB为物理学家提供了一个强大的工具，可以更好地理解和解决各种物理问题。
总结：MATLAB作为一种数学建模和仿真软件，在物理建模和仿真方面具有重要作用。
使用Matlab技术进行建模和仿真的步骤
使用Matlab技术进行建模和仿真的步骤引言：Matlab是一种功能强大的数学计算软件，被广泛应用于各个领域的科学研究和工程技术中。
其中，建模和仿真是Matlab应用的重要方面，它可以帮助工程师和研究人员分析和预测各种系统的行为。
本文将介绍使用Matlab技术进行建模和仿真的步骤，包括建立模型、定义参数、进行仿真和分析结果等。
一、确定建模目标在开始建模之前，首先需要明确建模的目标和需求。
例如，我们可以通过建模来分析电路、机械系统或者物理过程等。
只有明确了建模目标，才能选择合适的建模方法和工具。
二、选择合适的建模方法建模方法可以根据系统的特点和需求进行选择。
常用的建模方法包括物理建模、统计建模、数据驱动建模等。
物理建模是基于系统的物理原理和方程进行建模，统计建模是通过统计分析来描述系统的行为，数据驱动建模则是利用已有的数据来建立模型。
根据不同的情况，选择合适的建模方法至关重要。
三、建立模型在Matlab中，建立模型可以使用Simulink或者编程的方式。
Simulink是一种基于图形化界面的建模工具，可以通过拖拽组件和连接线来搭建模型。
编程的方式则可以使用Matlab脚本语言来描述系统的数学模型。
根据系统的特点和个人的喜好，选择适合自己的建模方式。
四、定义参数和初始条件在建立模型之后，需要定义参数和初始条件。
参数是影响系统行为的变量，可以通过Matlab的变量赋值来定义。
初始条件是模型在仿真开始之前系统的状态，也需要进行设定。
对于一些复杂的系统，可能需要对模型进行调优和参数敏感性分析等，以获取更加准确的结果。
五、进行仿真在模型建立并定义好参数和初始条件之后，就可以进行仿真了。
仿真是通过运行模型，模拟系统在不同条件下的行为。
Matlab提供了强大的仿真功能，可以灵活地设置仿真时间步长和仿真条件，进行数据记录和后续分析。
六、分析结果仿真完成后，需要对仿真结果进行分析。
Matlab提供了各种分析工具和函数，可以方便地对仿真数据进行处理和可视化。
MATLAB数学建模方法与实践
MATLAB数学建模方法与实践引言：MATLAB（Matrix Laboratory）是一种十分强大的数学软件，广泛应用于工程、科学计算以及数学建模等领域。
本文将深入探讨MATLAB在数学建模方面的方法与实践，旨在帮助读者更好地掌握和应用这一工具。
一、MATLAB的基本特点和功能1.1 MATLAB的基本特点MATLAB具有易学易用的特点，无论是初学者还是专业人士，都能迅速上手。
其直观的界面和功能丰富的工具箱，使得用户可以高效地进行数学建模和数据分析。
1.2 MATLAB的功能MATLAB拥有强大的数值计算能力，包括线性代数、各种函数的数值求解、曲线拟合等。
此外，它还支持符号计算，能够对表达式进行符号化求解和化简。
同时，MATLAB还提供了丰富的绘图工具，可以绘制各种类型的图形，如曲线图、柱状图、散点图等。
二、数学建模的基本流程2.1 问题定义在进行数学建模之前，首先需要明确问题的定义。
数学建模可以涉及各种领域，如物理学、工程学、经济学等。
因此，定义好问题是解决问题的第一步。
2.2 建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤之一。
通过对问题进行抽象和理论分析，可以将实际问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型。
MATLAB提供了丰富的数学函数和工具，可以帮助用户完成模型的建立和求解。
2.3 模型求解模型建立完成后，需要对其进行求解。
MATLAB提供了多种数值计算方法和优化算法，可以方便地对模型进行求解和优化。
同时，MATLAB还支持符号计算，可以进行符号化求解，获得更具普遍性的结果。
2.4 模型验证和分析模型求解之后，需要对结果进行验证和分析。
MATLAB的绘图功能十分强大，可以将模型的结果可视化展示，并通过图表分析结果的合理性和准确性。
此外，MATLAB还支持数据统计和概率分布分析，可以通过统计方法对模型的结果进行验证。
三、MATLAB在数学建模中的实践应用3.1 数值计算数值计算是MATLAB最常用的功能之一，它通过各种算法和方法，对数学模型进行求解。
matlab建模教程
matlab建模教程Matlab是一种强大的数学建模和仿真平台，广泛应用于科学、工程和金融领域。
本教程将介绍如何使用Matlab进行建模，并详细解释每个步骤。
首先，我们需要了解什么是建模。
建模是根据实际问题或系统的特性创建数学模型的过程。
这些数学模型可以帮助我们理解系统的行为并预测未来的结果。
使用Matlab进行建模可以简化模型的创建和分析过程。
在Matlab中，我们可以使用一个称为“脚本”的文件来编写和运行建模代码。
脚本是一系列Matlab命令的集合，这些命令可以被连续执行以创建所需的模型。
为了方便起见，我们可以在Matlab编辑器中创建和编辑脚本。
建模的第一步是定义问题。
要定义问题，我们需要确定所建模型的目标、输入和输出。
例如，如果我们想建立一个温度预测模型，我们需要明确模型的输入是什么（例如，环境条件）和输出是什么（例如，预测的温度值）。
接下来，我们需要收集数据。
收集数据是为了分析和验证我们的模型。
在Matlab中，我们可以使用数据存储和处理工具，如表格和数据数组，来导入和处理数据。
一旦我们有了数据，我们就可以开始建立模型。
在Matlab中，我们可以使用数学方程、统计方法和机器学习算法等多种方法来建立模型。
例如，我们可以使用线性回归来拟合数据，或者使用神经网络进行分类。
建立模型后，我们可以使用Matlab的可视化工具来分析模型的输出。
Matlab提供了各种绘图函数，如plot和scatter，来绘制图形并展示模型的结果。
我们可以使用这些图形来比较实际数据与模型的预测结果。
最后，我们可以优化我们的模型。
通过调整模型的参数和改进算法，我们可以提高模型的性能和准确性。
在Matlab中，我们可以使用遗传算法、粒子群优化和模拟退火等算法来优化我们的模型。
在建模过程中，我们还需要注意一些常见的问题和错误。
例如，过拟合是一种常见的问题，指的是模型过度适应训练数据，导致对新数据的预测效果较差。
为了避免过拟合，我们可以使用交叉验证和正则化等技术。
matlab数学建模方法与应用
matlab数学建模方法与应用Mathematical modeling is a powerful tool used in various fields such as engineering, physics, biology, economics, and many others. It involves the process of creating a mathematical representation of a real-world system or phenomenon. This allows us to better understand and analyze the system, make predictions, and even optimize its behavior. 数学建模是在工程、物理、生物学、经济学等各个领域中使用的一种强大工具。
它涉及创建对现实世界系统或现象的数学表示的过程。
这使我们能够更好地理解和分析系统，作出预测，甚至优化其行为。
One of the most common techniques used in mathematical modeling is differential equations. These equations describe the rate of change of a quantity with respect to another quantity. They are widely used to model various phenomena such as population growth, chemical reactions, and the behavior of physical systems. Differential equations can be solved using a variety of analytical and numerical methods, allowing us to study the behavior of the system over time. 在数学建模中使用的最常见技术之一是微分方程。
数学物理方法matlab建模
数学物理方法matlab建模数学物理建模与计算机仿真考试试题（2011——2012第二学期）1、计算机仿真计算积分：（n 为自然数）；积分方向为正方向（10分）。
解：利用留数定理计算闭合路径积分，设g=1+z^n ，f=z^(2*n)/(1+z^n)求出所有n 个奇点并放在矩阵A 中，A=solve(g)再求出每个奇点k ∈A 对应的留数，Res(k)=limit(f*(z-A(k)),z,A(k))故所求的积分结果为：INT=2πi ∑Res(k)对应程序为：n=input('n=');syms zg=1+z^n; f=z^(2*n)/(1+z^n);A=solve(g);sum=0;for k=1:nRes=limit(f*(z-A(k)),z,A(k));sum=sum+Res;endint=2*pi*i*sumINT=simplify(int)2、在同一幅图中绘制函数和平面的图像（10分）。
解：参照教材第二页，用cplxgrid 指令绘图，去掉投影，程序如下：function cplxmap2(z,w,B)blue = 0.2; x = real(z);221n n z z dz z =+? 0x =253()f z z =-()()1d 2i Res ,nk C k f z z f z z π==∑?y = imag(z);u = real(w);v = imag(w);if nargin > 2k = find((abs(w) > B) | isnan(abs(w)));if length(k) > 0u(k) = B*sign(u(k));v(k) = zeros(size(k));v = v/max(max(abs(v)));v(k) = NaN*ones(size(k));endendM = max(max(u));m = min(min(u));axis([-1 1 -1 1 m M]);caxis([-1 1]);s = ones(size(z));surf(x,y,u,v);colormap(hsv(64))再参照第8页绘出2/（5-3z）的图像及x=0的图像，程序如下：z=cplxgrid(30);cplxmap2(z, 2./((5-3.*z)+eps*(z==5/3)));colorbar('vert')title('2/(5-3z)')hold on[y,z]=meshgrid(-1:0.01:1,-1:0.01:1);a=0; x2=a*ones(size(y));mesh(x2,y,z);hold off输出图像为：3、绘制贝塞尔函数的图形并标注出零点（10分）。
matlab求解数学与物理问题
4.54
1.64
第一种方法：
由于产值 Q、资金 K、劳动力 L 之间满足著名的 Cobb-Douglas 生产函数关系：
Q(K, L) aK L , 0 , 1
我们可以用 MATLAB 软件中的 curvefit()程序来作数据拟合，即寻求函数 Q(K，L)中的未知 参数 a,α,β，使这个函数尽量逼近表 1 所给出的统计数据。
atan((1/970*(208+6*1191^(1/2))^(3/2)-147/388*(208+6*1191^(1/2))^(1/2))/(9/3880*(208+6*11 91^(1/2))^(3/2)-468/485*(208+6*1191^(1/2))^(1/2)))+pi
atan((-1/970*(208-6*1191^(1/2))^(3/2)+147/388*(208-6*1191^(1/2))^(1/2))/(-9/3880*(208-6*1 191^(1/2))^(3/2)+468/485*(208-6*1191^(1/2))^(1/2)))
解，为此，将原方程 360 tan( ) 4.9 3.24 / cos2 160 变形为
tan1 0.4444 0.0441/ cos2
编程如下：
>> x=0;
>> for k=1:20
x=atan(0.444+0.0441/(cos(x))^2);
end
>> x
x=
0.4629
具体求法有两种方法：a) 图解法；b) 解析法
a) 图解法 利用消元法，消去参变量 t，得到
360 tan( ) 4.9 3.324 / cos2 160
matlab 动力学建模
MATLAB 动力学建模1. 引言动力学建模是一种描述物体运动和行为的数学建模方法。
在工程学和物理学中，动力学建模被广泛应用于设计、控制和优化系统。
MATLAB是一个强大的数值计算软件，可以用于动力学建模和仿真。
本文将介绍MATLAB在动力学建模中的应用。
2. 动力学建模基础动力学建模的基础是牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度。
根据这个定律，可以建立物体的运动方程。
在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱来求解运动方程。
例如，考虑一个简单的弹簧振子系统，其中一个质量m通过一个弹簧与墙壁相连。
弹簧的劲度系数为k，质量m的加速度为a，弹簧的位移为x，墙壁的位置为0。
可以建立如下运动方程：m * a = -k * x在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱来求解这个方程，并得到系统的运动方程。
3. 动力学建模方法在动力学建模中，有几种常用的方法可以用于建立系统的数学模型。
以下是一些常见的方法：3.1. 基于物理原理的建模基于物理原理的建模是一种常见的动力学建模方法。
这种方法基于系统的物理特性和力学原理，建立系统的数学模型。
例如，对于一个机械系统，可以根据质量、惯性、摩擦等物理特性，建立系统的动力学方程。
3.2. 系统辨识建模系统辨识建模是一种通过实验数据来建立系统模型的方法。
通过对系统进行实验观测，收集系统的输入和输出数据，然后使用系统辨识算法来估计系统的动力学模型。
MATLAB提供了多种系统辨识工具箱，可以用于建立系统的数学模型。
3.3. 仿真建模仿真建模是一种通过数值仿真来建立系统模型的方法。
通过使用数值计算方法和数学模型，可以模拟系统的运动和行为。
MATLAB提供了强大的仿真工具箱，可以用于建立系统的数学模型，并进行仿真研究。
4. MATLAB 动力学建模工具MATLAB提供了多种工具和函数，用于动力学建模和仿真。
以下是一些常用的工具和函数：4.1. 符号计算工具箱符号计算工具箱可以用于求解符号方程和符号运算。
如何用MATLAB进行数学建模
如何用MATLAB进行数学建模下面是一个关于如何用MATLAB进行数学建模的文章范例：MATLAB是一种强大的数学软件工具，广泛应用于各种数学建模问题的解决。
通过合理利用MATLAB的功能和特性，可以更加高效地进行数学建模，并得到准确的结果。
本文将介绍如何使用MATLAB进行数学建模，并给出一些实际例子。
一、数学建模的基本步骤数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并利用数学方法对其进行求解和分析的过程。
在使用MATLAB进行数学建模之前，我们需要明确问题的具体要求，然后按照以下基本步骤进行操作：1. 理解问题：深入了解问题背景、影响因素以及目标要求，确保对问题有一个清晰的认识。
2. 建立模型：根据问题的特性，选择合适的数学模型，并将问题转化为相应的数学表达式。
3. 编写MATLAB代码：利用MATLAB的计算功能和算法库，编写用于求解数学模型的代码。
4. 数据处理和结果分析：在获得计算结果后，根据需要进行数据处理和结果分析，评估模型的准确性和可行性。
二、MATLAB的数学建模工具MATLAB提供了一系列用于数学建模的工具箱和函数，这些工具可以帮助我们快速构建数学模型，并进行求解。
下面是一些常用的数学建模工具：1. 符号计算工具箱：MATLAB的符号计算工具箱可以实现符号运算，用于建立和求解复杂的数学表达式。
2. 优化工具箱：优化工具箱可以用于求解多种优化问题，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
3. 数值解工具箱：数值解工具箱提供了各种数值方法和算法，用于求解微分方程、积分方程、差分方程等数学问题。
4. 统计工具箱：统计工具箱可以进行统计建模和分析，包括假设检验、回归分析、时间序列分析等。
5. 控制系统工具箱：控制系统工具箱用于建立和分析控制系统模型，包括经典控制和现代控制方法。
三、数学建模实例为了更好地展示使用MATLAB进行数学建模的过程，我们给出一个实际的数学建模例子：求解物体的自由落体运动。
Matlab技术在物理建模和数值计算中的应用
Matlab技术在物理建模和数值计算中的应用近年来，Matlab成为了物理学研究和数值计算的重要工具。
其强大的数据处理和可视化能力以及灵活的编程语言，为物理建模和数值计算提供了极大的便利。
本文将探讨Matlab技术在物理建模和数值计算中的应用，并展示其在不同领域中的实际案例。
一、物理建模物理建模是物理学研究的关键步骤，它通过建立数学模型来描述和解释自然现象。
Matlab作为一种高效的数学计算工具，可以帮助研究人员快速地进行物理建模，并对模型进行分析和优化。
例如，在光学领域，研究人员经常使用Matlab来建立光传输模型。
他们可以基于光的传输方程和介质的光学性质，编写Matlab程序来计算和可视化光在不同介质中的传播路径和强度分布。
这种建模和仿真的方法可以帮助研究人员理解光的传输机制，并为光学器件设计提供指导。
在力学领域，物理建模可以用于模拟和分析复杂的物体运动。
例如，研究人员可以使用Matlab的刚体运动模型来研究机器人的动力学特性。
他们可以通过在Matlab中定义机器人的几何结构和关节运动，以及描述力和力矩的方程，来模拟机器人在不同任务下的运动轨迹和力学响应。
这种建模方法可以为机器人控制算法的开发和优化提供测试平台。
二、数值计算数值计算是物理学研究中的重要工具，它通过数值方法对物理问题进行近似求解。
Matlab提供了丰富的数值计算库和函数，使得研究人员能够高效地进行数值计算和分析。
在量子力学领域，研究人员常常使用Matlab进行量子系统的数值模拟和求解。
他们可以编写Matlab程序来求解薛定谔方程，从而获得量子系统的波函数和能谱。
这种数值求解的方法在研究纳米尺度物理系统以及量子信息领域具有重要的应用价值。
在流体力学领域，数值计算在流体流动的模拟和分析中起到关键作用。
研究人员可以使用Matlab的流体力学工具箱来建立流体模型，并通过数值方法求解雷诺方程等流体动力学方程。
这种基于Matlab的数值模拟方法可以帮助研究人员研究流体流动的行为、优化流体系统的设计，并解决与流体力学相关的实际问题。
利用Matlab进行数学建模的基本思路与方法
利用Matlab进行数学建模的基本思路与方法一、引言数学建模是应用数学的一种方法，它将实际问题抽象化为数学模型，并利用数学方法对模型进行分析和求解。
在现代科学研究和工程实践中，数学建模起到了不可替代的作用。
而Matlab作为一种功能强大、灵活易用的数值计算软件，成为了数学建模的常用工具。
本文将介绍利用Matlab进行数学建模的基本思路与方法，希望对读者在实际应用中有所帮助。
二、数学建模的基本步骤1. 问题分析在进行数学建模之前，首先要明确问题的目标和限制。
通过对问题的深入分析，确定问题的关键因素和变量，并建立问题的数学模型。
2. 确定假设在建立数学模型时，需要对问题中一些不确定的因素进行假设。
这些假设是为了简化问题，并使问题能够用数学方法求解。
假设应该尽量符合问题的实际情况，并且在后续分析中可以进行验证。
3. 建立数学模型根据问题的特点和假设，选择合适的数学工具和方法，建立数学模型。
数学模型可以是代数方程、微分方程、优化问题等形式。
在建立数学模型时，需要考虑模型的准确性和有效性。
4. 求解数学模型利用Matlab进行数学模型的求解是相对简便和高效的。
Matlab提供了丰富的函数库和工具箱，可以帮助用户快速求解各种数学问题。
根据建立的数学模型，选择适当的数值方法和算法，编写相应的Matlab程序进行求解。
5. 模型验证和分析对求解得到的结果进行验证和分析，比较模型与实际情况的一致性和可行性。
如果模型与实际情况存在较大差异，需要对模型进行修正。
同时，对模型的解释和分析，可以得到更深入的结论和洞察。
三、利用Matlab进行数学建模的方法1. 数据可视化与分析Matlab提供了强大的绘图功能，可以对数据进行可视化分析。
通过绘制曲线、散点图、柱状图等，可以直观地观察数据的分布和变化趋势。
同时，Matlab也提供了统计工具和函数，可以对数据进行统计分析，如求取均值、方差、相关系数等。
2. 参数拟合与优化对于某些复杂的数学模型，往往存在一些未知参数，需要通过实验数据进行求解。
MATLAB在数学物理方法中的应用共5页文档
MATLAB在数学物理方法中的应用“数学物理方法”是我院物理系物理专业重要基础课程之一。
本课程对培养学生的数学思想，数学工具的应用能力以及对后续课程的学习都起到了重要的作用。
虽然说，数学物理方法是与实际问题联系比较紧密，内容比较生动丰富的一门课，学生应该比较感兴趣，但是在数学物理方法的教学过程中，学生的兴趣却常常为繁琐、单调、冗长的计算所淹没，教师怕教，学生怕学。
随着社会的不断发展，计算机技术的不断更新，数学与计算机技术两者的结合，能够方便快速高效地解决各种实际问题，在各个领域发挥着越来越重要的作用。
MATLAB语言是基于最流行的C语言基础上的，因此与C 语言比较相似，但是使用起来比C语言要简单很多，新手能很快的掌握它的使用方法。
本文从实例出发，主要论述了MATLAB软件在数学物理方法教学中的重要作用，从而提高对MATLAB软件的认识和学习数学物理方法的效率，进而提高学生解决实际问题的能力。
1 MATLAB简介MATLAB是当今最优秀的科技应用软件之一，MATLAB最初作为矩阵实验室，主要向用户提供一套非常完整的矩阵运算命[1]。
随着数值运算的演变，它逐渐发展成为各种系统仿真、数字信号处理、科学可视化的通用标准语言。
它以强大的科学计算与可视化功能、简单易用、开放式可扩展环境，特别是所附带的30多种面向不同领域的工具箱支持，使得它在许多科学领域中成为计算机辅助设计和分析、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。
MATLAB主要具有如下的优势和特点：（1）友好的工作平台和编程环境：一般的Windows程序就可以使用。
（2）简单易用的程序语言：MATLAB语言是基于最流行的C语言基础上的，因此与C语言比较相似，但是使用起来比C语言要简单很多，新手会很快的掌握它的使用方法。
（3）强大的计算能力和数据处理能力：MATLAB能够实现复变函数中的导数、极限、积分、留数、级数展开等的运算，使我们的工作量大大减小，同时也减少了我们在计算过程当中的错误率。
数学物理方法 matlab
数学物理方法matlabMatlab is a powerful programming language and software tool that is widely used in various fields, including mathematics and physics. Here are a few examples of how Matlab can be used for mathematical and physics computations:1. Symbolic Math: Matlab's Symbolic Math Toolbox allows for symbolic computation, which can be used for various mathematical calculations such as solving equations and finding derivatives and integrals symbolically.2. Numerical Analysis: Matlab provides numerical methods for solving various mathematical problems, such as solving systems of linear equations, finding roots of equations, and performing numerical integration and differentiation.3. Linear Algebra: Matlab has powerful built-in functions for linear algebra computations, such as matrix operations, eigenvalue and eigenvector calculations, and singular value decomposition.4. Differential Equations: Matlab offers several numerical solvers for ordinary and partial differential equations, allowing for the simulationand analysis of mathematical models in physics and engineering.5. Fourier Analysis: Matlab provides functions for Fourier analysis, such as the fast Fourier transform (FFT) and inverse FFT, which are essential for analyzing signals and images in physics and engineering.6. Optimization: Matlab includes optimization algorithms that can be used to solve optimization problems, such as finding the minimum or maximum of a function subjected to certain constraints.These are just a few examples of the mathematical and physics methods that can be implemented using Matlab. Matlab's extensive functionality and broad range of libraries and toolboxes make it a versatile tool for a wide variety of mathematical and scientific applications.。
MATLAB中的数学建模方法及应用
MATLAB中的数学建模方法及应用引言数学建模作为一门重要的学科，已经成为了现代科学研究和工程实践中不可或缺的一部分。
而在数学建模过程中，数值计算和数据分析是关键步骤之一。
MATLAB作为一种强大的数学计算软件，在数学建模领域得到了广泛应用。
本文将介绍MATLAB中常用的数学建模方法，并探讨一些实际应用案例。
一、线性模型线性模型是数学建模中最基础的一种模型，它假设系统的响应是线性的。
在MATLAB中，我们可以通过矩阵运算和线性代数的知识来构建和求解线性模型。
例如，我们可以使用MATLAB中的线性回归函数来拟合一条直线到一组数据点上，从而得到一个线性模型。
二、非线性模型与线性模型相对应的是非线性模型。
非线性模型具有更强的表达能力，可以描述更为复杂的系统。
在MATLAB中，我们可以利用优化工具箱来拟合非线性模型。
例如，我们可以使用MATLAB中的非线性最小二乘函数来优化模型参数，使得模型与实际数据拟合程度最好。
三、微分方程模型微分方程模型在科学研究和工程实践中广泛应用。
在MATLAB中，我们可以使用ODE工具箱来求解常微分方程（ODE）。
通过定义初始条件和微分方程的表达式，MATLAB可以使用多种数值方法来求解微分方程模型。
例如，我们可以利用MATLAB中的欧拉法或者龙格-库塔法来求解微分方程。
四、偏微分方程模型偏微分方程（PDE）模型是描述空间上的变化的数学模型。
在MATLAB中，我们可以使用PDE工具箱来求解常见的偏微分方程模型。
通过定义边界条件和初始条件，MATLAB可以通过有限差分或有限元等方法来求解偏微分方程模型。
例如，我们可以利用MATLAB中的热传导方程求解器来模拟物体的温度分布。
五、曲线拟合与数据插值曲线拟合和数据插值是数学建模过程中常见的任务。
在MATLAB中，我们可以使用拟合和插值工具箱来实现这些任务。
通过输入一系列数据点，MATLAB可以通过多项式拟合或者样条插值等方法来生成一个模型函数。
MATLAB在大学物理中的应用共3篇
MATLAB在大学物理中的应用共3篇MATLAB在大学物理中的应用1MATLAB在大学物理中的应用MATLAB是一种数学软件，被广泛应用于大学物理的教学和研究中。
其功能强大，包含了许多求解数学和物理问题所需的工具和函数。
本文将探讨MATLAB在大学物理中的应用。
一、矢量和矩阵计算MATLAB中的矢量和矩阵计算功能可以方便地帮助学生学习和理解物理中的向量和矩阵。
例如，通过MATLAB可以进行向量叉乘、点乘等运算，帮助学生更深入了解向量的性质和运算规律。
在矩阵方面，MATLAB可以进行矩阵的转置、逆矩阵的计算、特征值和特征向量的计算等操作，这些在物理中常常遇到的矩阵计算可以大大简化学生的计算过程。
二、数值计算和绘图在物理中，我们经常需要对一些物理现象进行数值计算和绘图。
MATLAB中的数值计算和绘图功能可以方便地进行这些操作。
例如，使用MATLAB可以进行微积分的数值计算，包括求导、积分等。
同时，MATLAB还可以绘制函数图像、动画、示波器等，帮助学生更加直观地理解物理现象。
三、符号计算在大学物理中，符号计算也是重要的一部分。
MATLAB可以进行符号计算，包括求解方程、求解微分方程、求导、积分等。
这些功能可以帮助学生更加深入地理解物理中的数学公式和方程，同时也方便了学生在计算中的操作。
四、数值模拟MATLAB还可以进行数值模拟，模拟物理问题的数值计算和分析。
例如，可以使用MATLAB模拟机械振动、光学成像等。
数值模拟可以帮助学生更好地理解物理中的现象、规律和数学模型，同时也可以提高学生的实际操作能力。
五、数据分析最后，在大学物理中，数据分析也是一个重要的环节。
MATLAB 中可以进行数据分析，包括数据的导入、处理、分析和可视化等。
数据分析可以帮助学生更加准确地分析物理中的数据，进一步深入理解物理现象。
综上所述，MATLAB在大学物理中的应用非常广泛，涉及到矢量和矩阵计算、数值计算和绘图、符号计算、数值模拟和数据分析等多个方面。
MATLAB中的动态系统建模与仿真方法详解
MATLAB中的动态系统建模与仿真方法详解MATLAB是一种广泛应用于科学和工程领域的高级计算机编程语言及集成开发环境。
它拥有强大的数值计算和数据处理能力，被许多研究人员和工程师广泛使用。
在MATLAB中，动态系统建模与仿真是一个重要的应用领域。
本文将详细介绍MATLAB中动态系统建模与仿真的方法。
一、动态系统建模动态系统建模是指将实际的物理或数学系统抽象为数学模型的过程。
在MATLAB中，可以使用多种方法进行动态系统建模，包括基于物理原理的建模、数据拟合建模和系统辨识建模等。
1.基于物理原理的建模基于物理原理的建模是指根据系统的物理特性和运动规律，通过建立方程或微分方程组来描述系统的动态行为。
在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱来推导系统的运动方程，并使用ode45等数值求解器对方程进行数值求解。
这种方法适用于已知系统物理特性和运动规律的情况。
2.数据拟合建模数据拟合建模是指通过对实验数据进行分析和拟合，建立与数据拟合程度较高的数学模型。
在MATLAB中，可以使用curve fitting工具箱对数据进行拟合，得到拟合曲线的函数表达式。
这种方法适用于已有实验数据但系统的物理特性未知的情况。
3.系统辨识建模系统辨识是指根据已知的输入-输出数据，利用数学方法建立系统的数学模型。
在MATLAB中，可以使用系统辨识工具箱进行系统辨识建模。
系统辨识工具箱提供了多种经典的辨识算法，包括ARX模型、ARMAX模型和ARIMA模型等。
这种方法适用于已知输入-输出数据但系统的物理特性未知的情况。
二、动态系统仿真动态系统仿真是指利用建立的数学模型，在计算机上模拟系统的动态行为。
MATLAB提供了多种工具和函数，可用于动态系统的仿真分析。
1.数值求解器MATLAB中的ode45函数是一种常用的数值求解器，可用于解决常微分方程初值问题。
ode45函数基于龙格-库塔法，具有较好的公式稳定性和数值稳定性，适合求解各种常微分方程。
使用Matlab进行数学建模的基本流程
使用Matlab进行数学建模的基本流程引言数学建模作为一门交叉学科，旨在将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法求解问题。
而Matlab作为一种常见且强大的数学软件，为数学建模提供了便捷的工具和平台。
本文将介绍使用Matlab进行数学建模的基本流程，包括问题提出、模型建立、求解分析等方面。
一、问题提出在进行数学建模之前，首先需要明确问题的提出。
问题可以来源于实际生活、工程技术、自然科学等领域。
在提出问题时，需要明确问题的背景、目标和约束条件。
以一个实际问题为例，假设我们需要优化某个生产过程的生产能力，而该过程中不同工序的生产速度会受到各种因素的影响。
我们的目标是最大化总产量，同时要满足资源约束和质量要求。
二、模型建立在问题提出的基础上，开始建立数学模型。
数学模型是问题实质的抽象和化简，它可以通过数学语言和符号来描述问题。
在建立模型时，需要关注以下几个方面：1. 变量的选择：根据问题的特点和目标，确定需要考虑的变量。
例如，在我们的生产过程优化问题中，可以考虑生产速度、资源利用率等变量。
2. 建立关系：通过分析问题，确定变量之间的关系。
关系可以是线性的、非线性的，也可以是概率性的。
在我们的例子中，我们可以根据生产速度和资源利用率的关系建立数学表达式。
3. 假设和简化：在建立模型时，为了简化问题，可以进行一些假设和简化。
但是需要保证这些假设和简化对问题求解的结果不会产生重大影响。
基于以上步骤，我们可以建立一个数学模型，例如使用线性规划模型来最大化总产量，并满足资源和质量约束。
三、求解分析模型建立完毕后，需要使用Matlab进行求解分析。
Matlab提供了丰富的函数和工具箱，可以方便地进行数学计算、模拟仿真、优化求解等操作。
在求解分析阶段，我们可以进行以下几个步骤：1. 数据处理：将实际问题中获取的数据导入Matlab，并进行必要的预处理和清洗。
例如，我们可以将生产速度和资源利用率的数据导入Matlab，进行统计分析和数据可视化。
使用MATLAB进行数学建模和仿真的步骤和注意事项
使用MATLAB进行数学建模和仿真的步骤和注意事项随着科技的发展，数学建模和仿真在工程、科学、经济等领域中扮演着至关重要的角色。
MATLAB作为一种强大的数学建模和仿真工具，在各种研究领域都广泛应用。
本文将介绍使用MATLAB进行数学建模和仿真的步骤和注意事项，帮助读者更好地进行数学模型的开发和仿真实验。
一、数学建模的步骤1. 确定问题和目标：首先明确所要解决的问题和需要达到的目标。
这一步是建立数学模型的基础，为后续的步骤提供方向。
2. 收集数据和背景信息：收集与问题相关的数据和背景信息，包括实验数据、文献资料等。
这些信息将作为建模的依据和参考，有助于更好地理解问题和找到解决方案。
3. 建立数学模型：选择合适的数学方法和工具，将问题转化为数学表达式。
根据问题的特点和需求，可以选择不同的数学模型，如代数方程、微分方程、优化模型等。
4. 参数估计和模型验证：根据已有的数据和背景信息，对模型的参数进行估计，并通过实验数据验证模型的准确性和适用性。
如果需要对模型进行修改和改进，可以返回第三步进行调整。
5. 模型求解和分析：使用MATLAB进行模型求解和分析。
根据建立的数学模型，利用数学工具和算法，得到问题的解或结果。
可以使用MATLAB各种内置函数和工具箱，例如符号计算工具箱、优化工具箱等。
6. 结果评估和应用：对模型的结果进行评估和分析，判断模型的有效性和可行性。
根据实际问题的需求，将模型结果应用于实际情况中，提供决策和解决方案。
二、MATLAB数学建模和仿真的注意事项1. 确定合适的数学工具：MATLAB提供了丰富的数学工具和函数，可以满足不同问题的需求。
在建模过程中，需要根据具体的问题特点和要求，选择合适的数学工具和函数。
同时，要善于利用MATLAB的帮助文档和在线资源，充分了解和掌握所使用的函数和工具的功能和使用方法。
2. 数据准备和预处理：良好的数据质量对于建模的准确性和仿真的可靠性至关重要。
MATLAB中数学物理建模与方程分类资料
数学物理建模与计算机辅助设计
波动物理模型传输线方程(电报方程)
讨论： (1) 无失真线：RC=LG，信号无失真。方程化为
vxx
1
2
vtt
2
vt
2v
ixx
1
2
itt
2
it
2i
2 1 , 2 RG
LC
3.2 物理模型的数学物理建模举例
数学物理建模与计算机辅助设计
波动物理模型传输线方程(电报方程)
3.2 物理模型的数学物理建模举例
数学物理建模与计算机辅助设计
波动物理模型弦的微小横振动方程
根据牛顿第二定律F=ma，微元横向运动方程为
T2 sin2 T1 sin1 gds (ds)utt
微元的纵向运动方程为
T2 cos2 T1 cos1 0
仅考虑微小的横振动，可忽略高阶小量，即
cos1
3.1 数学物理建模的相关概念
数学物理建模与计算机辅助设计
本课程的数学物理建模的重点
• 二阶线性偏微分方程规律的物理问题的建模
– 静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 – 波的传播所满足的波动方程 – 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 – 连续介质力学中的Navier-Stockes方程组合Euler
第3章数学物理建模与方程分类数学物理建模与计算机辅助设计31数学物理建模的相关概念32物理模型的数学物理建模举例稳定型问题的建模33数学物理方程的定解条件34二阶偏微分方程的分类数学物理建模与计算机辅助设计寻求把物理问题和其他自然科学和技术科学转换成数学模型的过程从物理学及其它各门自然科学技术科学中所导出的函数方程主要指偏微分方程和积分方程凡是在建立和研究描述物理现象的数学模型时所用到的数学方法都属于数学物理方法的范畴31数学物理建模的相关概念数学物理建模与计算机辅助设计newton和leibniz创立了微积分并用于表述力学基本定律与万有引力定律数学物理方法成功地应用于研究与各类物理场和波动过程有关的物理现象的数学模型量子物理和相对论的理论研究空气动力学粒子转换现象和等离物理中新问题的出现大大扩展了数学物理所使用的数学工具31数学物理建模的相关概念数学物理建模与计算机辅助设计结合计算技术推动物理学的发展31数学物理建模的相关概念数学物理建模与计算机辅助设计数学物理方法解决问题的立足点是某物理现象的内在物理规律ued31数学物理建模的相关概念数学物理建模与计算机辅助设计在获得物理规律的情况下可以根据现象归纳其具体的物理过程求解定解问题就是通过建立数学物理模型确定定解条件现象现象现象现象现象现象物理模型31数学物理建模的相关概念数学物理建模与计算机辅助设计对物理问题根据相关的物理定律建立相应的数学模型也就是将物理问题归结成数学上的定解问题对所得的解通过输血的论证和客观实践的检验鉴定其正确性并将所得的解作适当的物理意义解释从而理解遵循同一类方程的普遍物理模型31数学物理建模的相关概念数学物理建模与计算机辅助设计连续介质力学中的navierstockes方程组合euler方程组作为微观物质运动基本规律的schrodinger方程和dirac方程弹性力学中的saintvenant方程31数学物理建模的相关概念数学物理建模与计算机辅助设计三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表方程31数学物理建模的相关概念数学物理建模与计算机辅助设计弦的微小横振动方程问题
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数学物理建模与计算机仿真考试试题（2011——2012第二学期）1、 计算机仿真计算积分： （n 为自然数） ；积分方向为正方向（10分）。
解：利用留数定理计算闭合路径积分， 设g=1+z^n ，f=z^(2*n)/(1+z^n)求出所有n 个奇点并放在矩阵A 中，A=solve(g)再求出每个奇点k ∈A 对应的留数，Res(k)=limit(f*(z-A(k)),z,A(k))故所求的积分结果为：INT=2πi ∑Res(k)对应程序为：n=input('n=');syms zg=1+z^n; f=z^(2*n)/(1+z^n);A=solve(g);sum=0;for k=1:nRes=limit(f*(z-A(k)),z,A(k));sum=sum+Res;endint=2*pi*i*sumINT=simplify(int)2、 在同一幅图中绘制函数 和平面 的图像（10分）。
解：参照教材第二页，用cplxgrid 指令绘图，去掉投影，程序如下：function cplxmap2(z,w,B)blue = 0.2; x = real(z);221n n z z dz z =+⎰ 0x =253()f z z =-()()1d 2i Res ,nk C k f z z f z z π==⎡⎤⎣⎦∑⎰y = imag(z);u = real(w);v = imag(w);if nargin > 2k = find((abs(w) > B) | isnan(abs(w)));if length(k) > 0u(k) = B*sign(u(k));v(k) = zeros(size(k));v = v/max(max(abs(v)));v(k) = NaN*ones(size(k));endendM = max(max(u));m = min(min(u));axis([-1 1 -1 1 m M]);caxis([-1 1]);s = ones(size(z));surf(x,y,u,v);colormap(hsv(64))再参照第8页绘出2/（5-3z）的图像及x=0的图像，程序如下：z=cplxgrid(30);cplxmap2(z, 2./((5-3.*z)+eps*(z==5/3)));colorbar('vert')title('2/(5-3z)')hold on[y,z]=meshgrid(-1:0.01:1,-1:0.01:1);a=0; x2=a*ones(size(y));mesh(x2,y,z);hold off输出图像为：3、 绘制贝塞尔函数 的图形并标注出零点（10分）。
解：参考书上29页绘图，程序如下：y=besselj(0:3,(0:0.2:10)');figure(1);plot((0:0.2:10)',y);legend('J0','J1','J2','J3')hold onx=0:0.05:10;LD=[];for n=0:3y=besselj(n,x);for k=1:length(y)-1if y(k)*y(k+1)<0h = interp1(y(k:k+1),x(k:k+1),0);LD=[LD,h];endendendplot(LD,0,'o')hold off输出图像为：0123,,,J J J J4、求任意两个圆相交的区域，并求出相交区域的面积。
（注：如果两个圆不相交，输出“两个圆不相交”）（20分）。
解：先写一个绘制任意圆的函数，程序如下：function circle(x0,y0,R)fai=0:2*pi/100:2*pi;y=y0+R*sin(fai);x=x0+R*cos(fai);plot(x,y,'b','LineWidth',5);%fill(x,y,'c')hold on;axis equalend根据输入绘制两个圆并计算面积：function twocirclex1=input('X1=');y1=input('Y1=');r1=input('R1=');x2=input('X2=');y2=input('Y2=');r2=input('R2=');circle(x1,y1,r1);circle(x2,y2,r2);Num=0;for x=x1-r1:0.1:x1+r1;for y=y1-r1:0.1:y1+r1;p1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2);p2=sqrt((x-x2)^2+(y-y2)^2);if (p1<=r1)&&(p2<=r2)plot(x,y,'c.');hold onNum=Num+1;endendendhold offArea=Num/100;if Area==0disp('两个圆不相交');elseArea=Areaend5、 两端固定的均匀弦的自由振动的定解问题是它的解是 其中系数是设初始位移为零，初速度为⎪⎩⎪⎨⎧=========-)(),(),(),(),(,),(x f t x u x t x u t l x u t x u u a u t xx tt 0000002ϕl x n l at n B l at n A t x u n n n πππ∑∞=+=1sin )sin (cos ),(,sin )(ξπξξϕd l n l A l n ⎰=02ξπξξπd ln f a n B l n ⎰=02sin )(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=（其余）053521)()(l x l x f（1）根据给出的解的表达式进行仿真，画出动画图形（10分）。
解：初位移为零初速不为零，故参照教材167页绘图：function strN=50;t=0:0.001:2.0;x=0:0.001:1;ww=string(N,0);h=plot(x,ww,'linewidth',3);axis([0,1,-0.12,0.12])s=[];for n=2:length(t)ww=string(N,t(n));set(h,'ydata',ww);drawnow;s=[s,sum(ww)];endendfunction wtx=string(N,t)x=0:0.001:1; a=1;wtx=0;for k=1:Nbk=2/(k*k*pi*pi)*(cos(2*k*pi/5)-cos(3*k*pi/5));wtx=wtx+bk*sin(k*pi*t)*sin(k*pi*x);endend输出图像为：（2）用差分方程求出数值结果，画出动画图形。
（10分）。
解：令x=i△x,t=j△t,将微分方程写成差分方程，即有：u i,j+1=c(u i+1,j+ u i-1,j)+2(1-c) u i,j- u i,j-1其中初始条件可以表示成u i,1=φu i,2=所用的程序是：clearN=4025;dx=0.0024;dt=0.0005;c=dt*dt/dx/dx;u(1:420,1)=0;x=linspace(0,1,420)';u(1:420,1)=0;u(180:240,2)=dt*0.5;h=plot(x,u(:,1),'linewidth',5);axis([0,1,-0.05,0.05]);set(h,'EraseMode','xor','MarkerSize',18)for k=2:Nset(h,'XData',x,'YData',u(:,2));drawnow;%pauseu(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)...-2*u(2:419,2)+u(1:418,2));u(2:419,1)=u(2:419,2);u(2:419,2)=u(2:419,3);end输出图像为：（3）用PDE工具箱进行仿真，写出仿真步骤。
（10分）。
步骤：1、在Option/Axes Limits下选择x轴的范围为-0.1~1，y轴的范围为-0.1~0.1。
2、以原点为顶点画一个长为1宽为0.08的矩形，矩形顶点为（0，-0.04）,(1,-0.04)，（1,0.04），（0，0.04）。
3、选择Boundary/Boundary Mode选项4、矩形的左右边界是齐次的狄里克利边界条件，可取h=1，r=0；上下边界则取齐次的诺依曼边界条件，即g=0，q=0。
5、选择PDE/PDE Specification选项，选择Hyperbolic选项，参数是c=1，a=0，f=0，d=1；6、选择Mesh/Initialize Mesh选项，再连续两次选择Mesh/Refine Mesh选项，将初始化的网格作两次细分。
7、选择Solve/Parameters选项，将Time改为0:0.01:2,u(t0)设为0，u’(t0)设为tanh(10000*(x-0.4))-tanh(10000*(x-0.6)),然后按OK键。
8、选择plot/Parameters选项，勾选Height（3-D plot）和Animation选项，按OK键。
9、输出图像：6、本题20分已知一个波包从左边入射，它在这5个区间的波函数分别为并且满足并且透射系数和反射系数可以分别写为：那么透射相位时间和反射相位时间分别为：请用matlab编程画出透射相位时间和反射相位时间随势)()()()()()()()(lalalalaaaVIVIVIIIIIIIIIII+=++=+==22ψψψψψψψψ，，，垒宽度a 的变化在三种不同参数下的三条曲线图。
这里我们假定参数为（1） （2）（3）解：查找文献有α、β的公式：α=β= 程序如下：En=[1.8 1.46 1.01];Vn=[1.5 2.19 0.018];h=1;c=1;m=1;l=0.7;syms E afor n=1:1:3k=sqrt(E^2-(m^2)*(c^4))/(h*c);q=sqrt((m^2)*(c^4)-(E-V)^2)/(h*c);alfa=k*(E-V+m*(c^2))/(q*(E+m*(c^2)));beta=k*l-atan((4*alfa.*(1-alfa.^2).*sinh(2*q.*a)-(1+alfa.^2).^2.*sin(2*k.*l).*(1-cosh(2*q.*a)))./(4*alfa.^2.*(1+cosh(2*q.*a))+(1-cosh(2*q.*a)).*((1-alfa.^2)^2-(1+al fa.^2)^2.*cos(2*k.*l))));E0=En(n);V=Vn(n);t1=h*diff(beta,E,1);b=0:0.2:10;t2=subs(t1,a,b);t=subs(t2,E,E0);figure(n)plot(b,t)end输出图像为：7011.====l m c ，， 518100..==V E ，19246100..==V E ，018001100..==V E ，。