广义积分

4、 4、广义积分 ∫
+∞
+∞
1
dx 当 _______时收敛； 当 ______ 时 _______ 时收敛； 时收敛 p x
a→−∞ a b→+∞ 0 0 b
0
+∞
+∞
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1 计算广义积分 解
+∞
∫
+∞
−∞
dx 0 +∞ dx dx ∫−∞ 1 + x 2 = ∫−∞ 1 x 2 + ∫0 1 x 2 + + 0 b 1 1 dx + lim ∫0 dx = lim ∫a 2 2 a → −∞ 1 + x b→ +∞ 1+ x
∫a f ( x)dx
b
= lim ∫a+ε f ( x)dx
ε →+0
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 称广义积分发散. 时，称广义积分发散.
类 似 地 ， 设 函 数 f ( x ) 在 区 间 [a , b ) 上 连 续 ， 而 在 点 b 的 左 邻 域 内 无 界 .取ε > 0 ， 如 果 极 限
a →−∞
b
限为函数 f (x ) 在无穷区间 (−∞, b] 上的广义积 分，记作∫−∞ f ( x )dx.
b
∫−∞ f ( x)dx
b
= lim ∫ f ( x)dx
a→−∞ a
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 称广义积分发散. 时，称广义积分发散.
广义积分
在前面所讨论的定积分事实上是有条件 一是积分区间是有限区间， 的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数 在积分区间上有界。 在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这 两个前提， 两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广 ：无穷区间上的积分——无穷限积分，无界函 无穷区间上的积分 无穷限积分， 无穷限积分 数在有限区间上的积分——无界函数积分或瑕 数在有限区间上的积分 无界函数积分或瑕 积分，统称为广义积分或旁义积分， 积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论 过的定积分称为常义积分。 过的定积分称为常义积分。
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点c ( a < c < b ) 外连 的邻域内无界. 续，而在点c 的邻域内无界.如果两个广义积分
∫a f ( x )dx 和 ∫c
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义 都收敛，
∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx+ ∫c
= lim ∫a
b c
b
∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx + ∫c
b b ∫a udv = (uv)a + 0 − ∫a vdu b
f ( x)dx
= F(b) − F(c + 0) + F(c − 0) − F(a)
例9。证明 。
1 I= ∫ α 2 α dx与 无关并求其值 (1 + x )(1 + x ) 0
1 因 此 当 q < 1时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为 ； 1− q 当 q ≥ 1时 广 义 积 分 发 散 .
例7 计算广义积分
2
∫
2
1
dx . xln x
2 dx dx 解 ∫ = lim ∫1+ε 1 x ln x ε → 0+ x ln x 2 d (ln x ) 2 = lim ∫1+ε = lim [ln(ln x )]1+ε ε →0+ ln x ε →0+ = lim [ln(ln 2) − ln(ln(1 + ε ))]
ε → +0
c −ε
b
c
b
f ( x)dx
f ( x )dx + lim
b
∫c +ε ′ f ( x )dx ε ′ → +0
b
否则， 发散. 否则，就称广义积分 ∫a f ( x )dx 发散.
定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分. 定义中 为瑕点，以上积分称为瑕积分 瑕积分 a dx 例5 计算广义积分 ∫0 a2 − x2 (a > 0). 1 解
= − lim
b → +∞
∫
b
2 π
1 1 cos 1 sin d = lim x x b → +∞ x2
b
π 1 = lim cos − cos = 1. b→ +∞ b 2 +∞ 1 时收敛， 例 3 证明广义积分∫1 dx当 p > 1时收敛， p x 时发散. 当 p ≤ 1时发散 +∞ 1 +∞ 1 +∞ (1) p = 1, ∫ 证 dx = ∫1 dx = [ln x ]1 = +∞ , p 1 x x + ∞, p < 1 +∞ x 1− p +∞ 1 dx = ( 2) p ≠ 1, ∫1 = 1 , p>1 1 − p 1 xp p−1
1
a −ε
π = . 2
1 敛， 例 6 证明广义积分∫0 q dx当q < 1时收 ，当 敛 x q ≥ 1时发散 时发散. 1 1 11 1 证 (1) q = 1, ∫0 x q dx = ∫0 x dx = [ln x ]0 = +∞ , + ∞, q > 1 1− q 1 x = 1 1 1 ( 2) q ≠ 1, ∫ q dx = 0 x 1 − q 0 1 − q , q < 1
ε → + 0 ∫a
b−ε
lim
f ( x ) dx 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 f ( x )
b
在 区 间 [a , b )上 的 广 义 积 分 ， 记 作 ∫a f ( x ) dx = lim
ε → + 0 ∫a
b−ε
f ( x ) dx .
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 称广义积分发散. 时，称广义积分发散.
如 无穷限积分
∫a
+∞
f ( x)dx = F(+∞) − F(a)
∫−∞ f ( x)dx = F(b) − F(−∞) +∞ + ∞ +∞ ∫a udv = (uv) a − ∫a vdu ∫a f ( x)dx = F(b − 0) − F(a)
b
b
再如 瑕积分
∫a
b
f ( x)dx = F(b) − F(a + 0)
α
+∞
α
⇒ I = I1 + I 2
=
+∞
∫ 1
∫ 1
x 2 α dx + (1 + x )(1 + x )
1 π dx = 2 4 1+ x
∫ 1
1 2 α dx (1 + x )(1 + x )
=
+∞
三、小结
无穷限的广义积分
∫− ∞ f ( x )dx ∫−∞
+∞
b
f ( x )dx
∫a
+∞
f ( x )dx
ε → 0+
= ∞.
故原广义积分发散. 故原广义积分发散
例8 计算广义积分 解
∫0
1
3
( x − 1) dx 1 3 dx 2 = ( 3 ∫0 + ∫1 ) ( x − 1) ( x − 1)
0
∫
3
dx
2 3
.
x = 1瑕点
2 3
∫0 ( x − 1) ∫1
3
dx
2 3
= lim ∫0
ε →0+ ε → 0+
一、无穷限的广义积分
定义 1 上连续， 设函数 f ( x ) 在区间[a ,+∞ ) 上连续 ， 取 存在， ∫a f ( x )dx 存在，则称此极 b→ +∞
b
b > a ，如果极限 lim
分，记作 ∫a
+∞
限为函数 f ( x ) 在无穷 区间 [a ,+∞ ) 上 的广义 积
f ( x )dx .
上连续, 设函数 f (x) 在区间(−∞,+∞) 上连续,如果 都收敛， 广义积分 ∫−∞ f ( x)dx 和 ∫0 f ( x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 上的广义积分， (−∞,+∞)上的广义积分，记作∫−∞ f ( x)dx.
= lim ∫ f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx
b b→+∞
∫a
+∞
f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx a
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 称广义积分发散. 时，称广义积分发散.
类似地， 上连续， 类似地，设函数 f (x ) 在区间(−∞, b]上连续，取
a < b ，如果极限 lim ∫a f ( x )dx 存在，则称此极 存在，
+∞ − px
b − px
二、无界函数的广义积分
上连续， 定义 2 设函数 f ( x ) 在区间( a , b]上连续，而在 点 a 的右邻域内无界．取ε > 0 ，如果极限
ε → +0
lim ∫a +ε f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x ) 存在，
b
b
上的广义积分， 在区间( a , b]上的广义积分，记作 ∫a f ( x )dx .
证
1
+∞
I=
+∞
+∞
∫ 0
1 2 α dx (1 + x )(1 + x )
1 = ∫+ ∫ 2 α dx (1 + x )(1 + x ) 0 1
1
=I1 +I2
1 1 I1 = ∫ x 2 α dx (令 = ) (1 + x )(1 + x ) t 0
=
+∞
∫ 1
t 2 α dt (1 + t )(1 + t )
b
无界函数的广义积分（瑕积分） 无界函数的广义积分（瑕积分）∫a f ( x )dx
（注意：不能忽略内部的瑕点） 注意：不能忽略内部的瑕点）
∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx + ∫c
思考题
1
b
c
b
f ( x)dx
ln x 的瑕点是哪几点？ 积分 ∫ dx 的瑕点是哪几点？ 0 x −1
= lim [arctan x ]a + lim [arctan x ]0
0 b a → −∞ b → +∞
dx . 2 1+ x
− π + π = π. = − lim arctan a + lim arctan b = − a → −∞ b → +∞ 2 2 +∞ 1 1 sin dx. 例2 计算广义积分 ∫2 2 x x π +∞ 1 +∞ 1 解 1 1 ∫π2 x 2 sin x dx = − ∫π2 sin x d x
1−ε
dx ( x − 1) dx
2 3
=3
= 3 ⋅ 3 2,
dx ( x − 1) 3 dx ( x − 1)
2 3
= lim ∫1+ε
2 3
3
( x − 1)
2 3
∴ ∫0
= 3(1 + 3 2 ).
注意
广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分， 广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分， 它与定积分采用同一种表达方式， 它与定积分采用同一种表达方式，但其含义 却不同，遇到有限区间上的积分时， 却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细 检查是否有瑕点。 检查是否有瑕点。 广义积分中， 公式， 广义积分中，N-L公式，换元积分公 公式 分部积分公式仍然成立， 式、分部积分公式仍然成立，不过代入 下限时代入的是极限值。 上、下限时代入的是极限值。
思考题解答
ln x 可能的瑕点是 x = 0, 积分 ∫ dx 0 x −1
1
x =1
ln x 1 ∵ lim = 1, x →1 x − 1 = lim x →1 x ∴ ∫0
1
∴ x =1
不是瑕点, 不是瑕点
ln x dx 的瑕点是 x = 0. x −1
练 习 题
一、填空题： 填空题： 1、广义积分 ∫ 发散； 发散； 2、广义积分 ∫ 散； 3、广义积分 ∫ 时发散； 时发散；
π
பைடு நூலகம்
1 因此当 p > 1时广义积分收敛，其值为 ； p−1 当 p ≤ 1时广义积分发散.
例 4 证明广义积分∫a e 时发散. 当 p < 0时发散
+∞ − px
dx当 p > 0时收敛， 时收敛，
− px b
e 证 ∫ e dx = lim ∫ e dx = lim − b→ +∞ a b→ +∞ a p a − ap e e − pa e − pb = p , p>0 = lim − b→ +∞ p p ∞ , p<0 时收敛， 时发散. 即当 p > 0 时收敛，当 p < 0 时发散
∵ lim
x →a − 0
为被积函数的无穷间断点. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 a a −ε dx dx ∫0 a 2 − x 2 = εlim0 ∫0 a 2 − x 2 →+
a −x
2
2
= +∞ ,
x a −ε = lim arcsin = lim arcsin − 0 ε → +0 a 0 ε → +0 a