平面直角坐标系模板
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阶 段 一
阶 段 三
一
阶 段 二
平面直角坐标系
学 业 分 层 测 评
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1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领 会坐标法的应用． 2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的 伸缩变换．(重点、难点) 3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．
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2．y＝cos x
x′＝2x， 经过伸缩变换 y′＝3y
后，曲线方程变为(
)
x′ A．y′＝3cos 2 1 x′ C．y′＝3cos 2
B．y′＝3cos 2x′ 1 D．y′＝3cos2x′
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1 x＝2x′ x′＝2x 【解析】 由 ，得 y′＝3y y＝1y′ 3 x′ x′ 1 ∴3y′＝cos 2 ，即 y′＝3cos 2 .
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3．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标 和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通 过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
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点 P(－1,2)关于点 A(1，－2)的对称点坐标为( A．(3,6) C．(2，－4) B．(3，－6) D．(－2,4)
)
【解析】 设对称点的坐标为(x，y)， 则 x－1＝2，且 y＋2＝－4， ∴x＝3，且 y＝－6.
【答案】 B
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教材整理 2
平面直角坐标系中的伸缩变换
阅读教材 P4～P8“习题”以上部分，完成下列问题． 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换
x′＝ φ： y′＝
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[基础· 初探] 教材整理 1 平面直角坐标系
ຫໍສະໝຸດ Baidu
阅读教材 P2～P4“探究”及以上部分，完成下列问题． 1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标(有序实数对) 、曲线与
方程 建立了联系，从而实现了 数与形的结合．
2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程 ，通 过方程研究它的 性质及与其他几何图形的关系 ．
【答案】 A
，又∵y＝cos x，
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[小组合作型]
运用坐标法解决平面几何问题
已知▱ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
【思路探究】 从要证的结论， 联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)， 因此首先建立坐标系，设出 A，B，C，D 点的坐标，通过计算，证明几何结论．
1 2 ＝2(a ＋b2＋c2)， |AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
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法二
延长 AD 到 E，使 DE＝AD，连接 BE，CE，
则四边形 ABEC 为平行四边形，由平行四边形的两条 对角线的平方和等于四条边的平方和得 |AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)， 即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
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【自主解答】 法一 (坐标法) 以 A 为坐标原点 O，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面
直角坐标系 xOy，则 A(0,0)， 设 B(a,0)，C(b，c)， 则 AC 的中点
b c E2，2，由对称性知
D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab ＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， ∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
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2．建立平面直角坐标系的方法步骤： (1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是 利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明； (2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的 方程； (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．
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[再练一题] 1．已知△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且满足|BD|＝|CD|. 求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
λ· x λ>0， μ· y μ>0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换，简称伸缩变换．
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1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( A．椭圆 C．比原来小的圆 B．比原来大的圆 D．双曲线
)
【解析】 由伸缩变换的意义可得． 【答案】 D
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【证明】 法一 坐标系 xOy.
以 A(O)为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角
a＋b c D ， 2 ， 2
则 A(0,0)，设 B(a,0)，C(b，c)，则
2 2 2 2 a ＋ b a － b c c 所以|AD|2＋|BD|2＝ 4 ＋ 4 ＋ 4 ＋ 4
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1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的 平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法，即用解析法实现几何结论 的证明．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运 用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．
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法二
(向量法)
→ → → 在▱ABCD 中，AC＝AB＋AD， →2 → 2 →2 → 2 → → 两边平方得AC ＝|AC| ＝AB ＋AD ＋2AB· AD， → → → → → → 同理得BD2＝|BD|2＝BA2＋BC2＋2BA· BC， 以上两式相加，得 →2 →2 |AC| ＋|BD| →2 →2 → → → ＝2(|AB| ＋|AD| )＋2BC· (AB＋BA) → → ＝2(|AB|2＋|AD|2)， 即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
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一
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平面直角坐标系
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1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领 会坐标法的应用． 2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的 伸缩变换．(重点、难点) 3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．
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2．y＝cos x
x′＝2x， 经过伸缩变换 y′＝3y
后，曲线方程变为(
)
x′ A．y′＝3cos 2 1 x′ C．y′＝3cos 2
B．y′＝3cos 2x′ 1 D．y′＝3cos2x′
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1 x＝2x′ x′＝2x 【解析】 由 ，得 y′＝3y y＝1y′ 3 x′ x′ 1 ∴3y′＝cos 2 ，即 y′＝3cos 2 .
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3．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标 和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通 过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
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点 P(－1,2)关于点 A(1，－2)的对称点坐标为( A．(3,6) C．(2，－4) B．(3，－6) D．(－2,4)
)
【解析】 设对称点的坐标为(x，y)， 则 x－1＝2，且 y＋2＝－4， ∴x＝3，且 y＝－6.
【答案】 B
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平面直角坐标系中的伸缩变换
阅读教材 P4～P8“习题”以上部分，完成下列问题． 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换
x′＝ φ： y′＝
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[基础· 初探] 教材整理 1 平面直角坐标系
ຫໍສະໝຸດ Baidu
阅读教材 P2～P4“探究”及以上部分，完成下列问题． 1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标(有序实数对) 、曲线与
方程 建立了联系，从而实现了 数与形的结合．
2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程 ，通 过方程研究它的 性质及与其他几何图形的关系 ．
【答案】 A
，又∵y＝cos x，
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[小组合作型]
运用坐标法解决平面几何问题
已知▱ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
【思路探究】 从要证的结论， 联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)， 因此首先建立坐标系，设出 A，B，C，D 点的坐标，通过计算，证明几何结论．
1 2 ＝2(a ＋b2＋c2)， |AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
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法二
延长 AD 到 E，使 DE＝AD，连接 BE，CE，
则四边形 ABEC 为平行四边形，由平行四边形的两条 对角线的平方和等于四条边的平方和得 |AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)， 即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
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【自主解答】 法一 (坐标法) 以 A 为坐标原点 O，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面
直角坐标系 xOy，则 A(0,0)， 设 B(a,0)，C(b，c)， 则 AC 的中点
b c E2，2，由对称性知
D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab ＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， ∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
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2．建立平面直角坐标系的方法步骤： (1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是 利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明； (2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的 方程； (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．
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[再练一题] 1．已知△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且满足|BD|＝|CD|. 求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
λ· x λ>0， μ· y μ>0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换，简称伸缩变换．
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1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( A．椭圆 C．比原来小的圆 B．比原来大的圆 D．双曲线
)
【解析】 由伸缩变换的意义可得． 【答案】 D
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【证明】 法一 坐标系 xOy.
以 A(O)为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角
a＋b c D ， 2 ， 2
则 A(0,0)，设 B(a,0)，C(b，c)，则
2 2 2 2 a ＋ b a － b c c 所以|AD|2＋|BD|2＝ 4 ＋ 4 ＋ 4 ＋ 4
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1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的 平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法，即用解析法实现几何结论 的证明．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运 用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．
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法二
(向量法)
→ → → 在▱ABCD 中，AC＝AB＋AD， →2 → 2 →2 → 2 → → 两边平方得AC ＝|AC| ＝AB ＋AD ＋2AB· AD， → → → → → → 同理得BD2＝|BD|2＝BA2＋BC2＋2BA· BC， 以上两式相加，得 →2 →2 |AC| ＋|BD| →2 →2 → → → ＝2(|AB| ＋|AD| )＋2BC· (AB＋BA) → → ＝2(|AB|2＋|AD|2)， 即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．