b8版高中数学必修5正弦定理2

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正弦定理

教学目标

（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；

（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点

正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境

在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？

探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在R t A B C ∆中，设90C

=︒，则

sin a A c

=

，

sin b B c

=

， sin 1C =， 即：sin a c A

=

， sin b c B

=

， sin c c C

=

，

sin sin sin a b

c A

B

C

=

=

．

探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动

学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学

探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？

证法 1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作A D

B C

⊥于D ，此时有

sin A D B c

=

，

sin A D C b

=

，所以sin sin c B

b C

=，即sin

sin b

c B

C

=

．同理可得sin

sin a

c A

C

=

，

所以sin sin sin a

b c A

B

C

=

=

．

若C 为钝角（图（2）），过点A 作A D

B C

⊥，交B C 的延长线于D ，此时也有

sin A D B c

=

，且sin sin(180

)A D C C b

=︒-=

．同样可得sin

sin sin a

b c A

B

C

=

=

．综上可

知，结论成立．

证法2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高A D 、B E 、C F ，则s i n A

D c B

=，

sin B E a C

=，sin C F b A

=．所以

111sin sin sin 2

2

2

A B C S a b C a c B b c A

∆=

=

=

，每项同

除以1

2

a b c

即得：sin

sin sin a

b

c A B

C

=

=

．

探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？

在A B C ∆中，有B C B A A C

=+

．设C 为最大角，过点A 作A D

B C

⊥于D （图（3）），

于是B C A D B A A D A C A D

⋅=⋅+⋅

．设A C

与A D

的

夹角为α， 则

0||||cos(90)||||cos B A A D B A C A D α

=⋅⋅︒++⋅

，

其中，当C ∠为锐角或直角时，90C

α

=︒-；当

C

∠为钝角时，90C α

=-︒．故可得sin sin 0c B b C -=，

即sin

sin b

c B

C

=

．同理可得sin

sin a

c A

C

=

．因此sin

sin sin a

b c A

B

C

==

．

四．数学运用 1．例题：

例1．在A B C ∆中，30A

=︒，105C =︒

，10

a

=，求b ，c ．

解：因为30A

=︒，105C =︒，所以45B

=︒．因为sin sin sin a

b c A B

C

=

=

，

所以

sin 10sin 451sin sin 30a B b A

︒=

=

=︒

，

sin 10sin 105sin sin 30a C c A

︒=

=

=︒

因此， b ，c 的长分别为和．

说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习：

（1）在A B C ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，

c =

．

（2）在A B C ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，A B C ∆的

面积是 ．

（3）在A B C ∆中，30

b c

=，

A B C S ∆=

，则A

∠=

．

（4）课本练习第1题．

五．回顾小结：

1．用两种方法证明了正弦定理：

（1）转化为直角三角形中的边角关系； （2）利用向量的数量积．

2．初步应用正弦定理解斜三角形．