平面几何讲义(一)

平面几何问题的几个层次
• 第三层次，组合几何——几何与组合的交叉 ．这 是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主 要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几 里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、 覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性 质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但 近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶， 成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题 目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点 之一．
知识准备
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例题解析 平 几 题 的 一 般 方 法
I
F
A I G
E C
Q
D
B
I1
体现不同思维水平的解法【要善于总结】
基本方法的应用
定理证明的本身也是方法之源
平面几何讲义（一）
七中嘉祥 LG
平面几何问题的几个层次
第一层次，中学几何问题.这是与中学教材结合比较 紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以 全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命 题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也 强，是编拟竞赛试题的优质素材． 第二层次，中学几何的拓展．这是比中学教材要求 稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极 值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相 联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．
最值问题的探讨
面积法及均值不等式的应用
数学竞赛大纲
• 得几何者得天下！ 在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材 内容外有如下的补充． 初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关 系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边 角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、 垂心、重心）及其性质． 高中竞赛大纲: 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦 定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点: 旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几 何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方 法，复数方法，向量方法，解析几何方法．