平面几何讲义-过伯祥

平面几何 图形集 2018·03

浙江奥数网专家 过伯祥

一. 基本图形与基本结论

用综合法解平几题，一般可先问：（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！） 发现了什么基本图形?有什么基本结论可以利用么? 从（几十个）基本图形、基本结论入手:

1. (三角形的内切圆、旁切圆的性质)

基本图形：三角形的内切圆、旁切圆，及其在边上的切点.

基本结论一: 三角形内切圆的性质（可用a 、b 、c 表出与切点有关的诸线段.）

2AM ＝AB ＋AC ＋BC ＝2p ；2AG ＝AB ＋AC －BC ；GM ＝BC 等. [参练习1图] 基本结论二：三角形内切圆与旁切圆性质：若D 为内切圆的切点，F 为旁切圆的切点，则有BD ＝CF ＝CM ＝p －b ；S ＝p r ； S ＝（AB ＋AC －BC ）A r ÷2等. [参练习1图]

2.(圆与弧、角，三角形五心的性质)

基

本图形：三角形及其外接圆，外心，内心.

基本结论三: 三角形角B 平分线与其外接圆的交点G 有性质: GI ＝GA ＝GC ； ∠BIC ＝90°＋

2

1

∠A ；∠BOC ＝2∠A ；abc ＝4RS 等． 基本结论四:顺向全等的三角形保角，即对应边的夹角保持相等．

顺向全等的三角形（如△ADE 与△GOI ）的定义:

两三角形全等；且对应顶点的排列顺序相同. 顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各对应边的夹角同为锐角或钝角.

3. (圆与幂，证两线垂直的新法)

与圆的幂，与证线段垂直有关的 问题！

基本结论五: 一点关于一圆的幂： PR ·PC ＝PO 2－r 2.

基本结论六: 两线垂直的条件

AO ⊥

AQ 2－AP 2＝OQ 2－OP 2.

4.(圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸)

基本结论七: 一角为直角、锐角、钝角的条件 当CH ⊥AB

时，

∠BCA 为直角CH 2＝AH ·BH ； ∠BCA 为锐角CH 2＞AH ·BH ； ∠BCA 为钝角CH 2＜AH ·BH. 要证∠RIS 是锐角,只要证:BI ⊥SR ，BI 2＞BS ·BR.

证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆．

※5.（多圆与等幂轴，即根轴的性质）

一个与圆的根轴有关的问题．根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线．

A

基本结论八: 两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在根轴上．

由任意点P 到两圆O 、O 1的切线PE 、PF ，有PE 2－PF 2=2PH ×OO 1. （PH 垂直于根轴，H 为垂足.PE ＞PF.）

※6．（三角形诸要素间的关系）

基本结论九：三角形的内半与外半 r ＝4R sin

2A sin 2B sin 2

C

； 2r ≤R ； 基本结论十： 三角形的角 s i n 2

A

＝()()bc

c p b p --；

三角形的角平分线a t ＝

()a p bcp c b -+2＝2

cos 2A

c b bc +．

二. 常用的辅助线添法

用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！

这样添辅助线，你是怎么想到的? 是从什么情境 中想出来的?

想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中， 形成的想法．

7.(对称添线，从

结论想到的)

考虑到∠ADE ＝∠ADF ，为了把DE 与DF 拉直！用三角形不等式证明线段的不等关系 作出E 点关于BC 的对称点E 1，使新四线段CE 1、CF 、DE 1、DF 大致能形成一个三角形.．

可能还要利用塞瓦图景！

8.(平移添线，使分散的线段BE 、CF 、AD 集中到一处)

C

把线段EB 、FC 平移到DI 、DJ 处，与AD 集中在一个四边形AIDJ 中！

于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式的方向相同，可能用四边形的托勒密定理证线段的不等

关系么？．

9.(旋转添线，构造全等形)

两个结论，证明了一个，另一个即“同理可证”．

考虑到圆内接四边形的外角的性质及条件BC＝CD！

绕着C点旋转图形的一部分：把△CDF转到△CBH处！这就增多了相等线段、相等角，与比例线段、平行线等．可以一试！

B

A

※ 10.(距离比,三角法)

先证A 、C 、U 共线（余仿此！）.考察相交线形成的角的图景：即APUS 与CRUQ 两个四边形形成的图景．

利用锐角三角函数，比例线段与相似形．注意到AP ＝AS ；CR ＝CQ 等．

※ 11．(由要用的证法想到了辅助线)

有多种证法！

一种想法是：欲利用三圆的等幂轴共点的性质来证．这就要：构造出三个适当的圆，使三条对角

线恰好为每两个圆的一条等幂轴．——想法引导出辅助线的一例．

三. 常用方法

平几题有多种非纯几何证法！这也反映

了平几与数学各科的紧密联系与优势． 三角法,向量法,代数法, 解析法，面 积法等

12.(三角法, 充要条件)

B

P

三角法的要点是；设定能确定本问题情境的几个基本量后，使重要的相关量都能用基本量表示出来．

基本量:R 、α（∠ACD ）、β（∠BCE ），再令∠DCE ＝γ. 以R 、α、β（γ）为基本量,如何表出PQ,AP,BQ?

13.(向量法，比例关系)

向量法的要点是：选定几个向量为基向量后.重要的相关向量均能用基向量表示出来.

取任一点为原O 点，以OP 、OQ 、OA 、OB 为基向量．

14. (代数法,几何最值)

只要证什么？可归结为证什么？；

先把问题三角化，转化为证一个与半角相关的不等式； 再令x A

2

sin

，化为证一个代数不等式——代数化.

15.( 对称法,三角法)

Y