《高等工程数学(矩阵论)》复习提纲与习题选讲

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矩阵理论大纲

矩阵理论大纲

矩阵理论大纲《矩阵理论》教学大纲一.概况1.开课学院(系)和学科:理学院数学系2.课程代码:G0715553.课程名称:矩阵理论(Matrix Theory)4.学时/学分:52学时/3学分(每周四学时,共13周,第2周-第14周)5.预修课程:线性代数(行列式,矩阵与线性方程组,线性空间F n,欧氏空间R n,特征值与矩阵的对角化,实对称矩阵与二次型), 高等数学(一元微积分,空间解析几何,无穷级数,常微分方程)6.适合专业:全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类,以及人文学科等需要的专业7.教材/教学参考书:《矩阵理论与应用》,张跃辉,科学出版社,2011.《矩阵理论》,苏育才、姜翠波、张跃辉编,科学出版社,2006《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson,Cambridge Press (中译本),杨奇译,机械工业出版社,2005。

《矩理阵论与应用》,陈公宁编,高等教育出版社,1990。

《特殊矩阵》,陈景良,陈向晖,清华大学出版社,2001。

《代数特征值问题》,JH.威尔金森著,石钟慈邓健新译,科学出版社,2001。

教学团队: 张跃辉, 范金燕, 陈贤锋, 邓大萌, 麻志浩, 陈春丽,邓师瑾二、课程简介本课程包含五大部分:线性空间(含内积空间)的结构、线性变换的结构及其与矩阵的关系、矩阵的分解理论及应用、矩阵函数及其微积分、广义逆矩阵与线性方程组的最优解本课程的核心是线性变换与矩阵分解。

课程的主线可以理解为通过线性变换来研究矩阵的结构,赋予矩阵以几何直观,从而更好地运用矩阵的分解理论与微积分理论解决实际问题。

本课程在技术上的重点和难点是矩阵的特征值与矩阵的Jordan标准形,因为矩阵计算的实质是特征值的计算,而矩阵的Jordan标准形从理论上提供了理解矩阵性质、计算矩阵函数、研究矩阵微积分的一种简便方法。

本课程以研究正规矩阵的分解入手,说明了该类矩阵的分解实际上就是线性变换化为旋转、伸缩、再反转的复合,由此阐明了矩阵分解的框架:即使得相应的线性变换有简明的可操作的几何意义。

《高代》复习提纲)

《高代》复习提纲)

第四章矩阵矩阵在本课程中起者承上启下的作用。

尤其是以下几章的学习有重要作用。

矩阵是代数研究对象的进一步扩充。

要求:1.掌握矩阵的加法和乘法的条件、方法和运算规律;掌握数与矩阵的乘法、矩阵的转置的运算规律。

2.掌握初等矩阵的定义、初等矩阵与矩阵初等变换的关系;3.掌握可逆矩阵的定义、判别方法及逆矩阵的求法;4.理解矩阵乘积行列式的求法;重点::矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。

难点:理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。

第五章二次型本章介绍二次型的概念,化二次型为标准形的方法。

这些内容是线性代数的重要研究对象。

在数学的其它分支和物理学中有重要应用,对中学数学教学有直接指导作用。

要求;I.掌握二次型及二次型的矩阵的概念及二次型矩阵的求法;2.掌握矩阵合同的定义及性质;3.理解二次型的标准型的概念及化为标准型的方法;4.弄清二次型的标准形不唯一的原因,会确定复二次型和实二次型的规范形,理解它们的唯一性,掌握实二次型和实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数和符号差的概念;重点:二次型,二次型的秩,矩阵的合同,实二次型的标准型,惯性定理,第六章线性空间线性空间和下章的线性变换是高等代数的重要理论部分,但其内容抽象、难度较大。

要求:.1、掌握定义线性空间的“228”条件,和线性空间的四条简单性质2、掌握向量线性相关,无关概念,性质及判别方法;3、掌握子空间的概念和判别方法;掌握由向量组生成的子空间的概念及其基与维数的确定,知道每个有限维线性空间都是由它的基向量组生成的,掌握子空间的交、和等概念;理解子空间的交与和与一般集合交并与并的异同,4、掌握线性空间的维数、基和向量的坐标的概念及其相互关系。

会判定向量组是否可以作为空间的基;会求向量在给定基下的坐标,熟练掌握同一向量在两组不同基下的坐标的转换公式;过渡阵概念,性质及求法;重点:向量空间、线性相关、线性无关、子空间、子空间的运算、基、维数、坐标、过渡矩阵。

矩阵论学习复习资料共44页文档

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谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人,越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智,自知者明。胜人者有力,自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
矩阵论学习复习资料
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事, 只想现 在的事 。现在 有成就 ,以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人,心里必须 充满光 明莽撞的 人只能 引为烧 身,只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。

研究生矩阵论复习提纲(全)

研究生矩阵论复习提纲(全)

1矩阵的基本知识正规矩阵:实对称阵,实反对称阵,实正交矩阵,hermite 矩阵,反hermite 矩阵,酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法:初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法:J=P-1AP→AP=PJ,k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件:r 重根需对应r 特征向量,否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化,shur 分解2、酉矩阵的定义,正规矩阵的定义,酉相似定义,酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解:只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件,不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换(1)取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==)()(2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系:()AA ≤ρ4.2矩阵级数,矩阵幂级数,收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数:几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法:1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解:()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域:圆盘定理,行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ,()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。

高考高等数学备考指南矩阵论应用

高考高等数学备考指南矩阵论应用

高考高等数学备考指南矩阵论应用对于即将参加高考的同学们来说,高等数学中的矩阵论可能是一个相对较新且具有一定挑战性的知识点。

然而,掌握好矩阵论不仅能够提升我们在高考数学中的解题能力,还有助于培养我们的逻辑思维和数学素养。

一、矩阵的基本概念矩阵,简单来说,就是一个按照矩形排列的数表。

它由行和列组成,例如一个 m 行 n 列的矩阵,我们就称为 m×n 矩阵。

在高考中,我们常见的矩阵通常是 2×2 或者 3×3 的矩阵。

比如:1 2; 3 4 这就是一个 2×2 的矩阵。

了解矩阵的基本元素,包括矩阵的元素、行向量和列向量等,是我们学习矩阵论的第一步。

二、矩阵的运算1、矩阵的加法只有当两个矩阵的行数和列数都分别相等时,才能进行加法运算。

加法运算就是将对应位置的元素相加。

2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵,就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。

3、矩阵的乘法这是矩阵运算中的重点和难点。

矩阵乘法并非像数字乘法那样简单直接,它有着特定的规则。

对于矩阵 A(m×n)和矩阵 B(n×p),它们的乘积 C 是一个 m×p 的矩阵。

其中,C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。

三、矩阵的性质1、矩阵的转置将矩阵的行和列互换,得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。

2、矩阵的逆如果存在一个矩阵 B,使得矩阵 A 与矩阵 B 的乘积为单位矩阵,那么矩阵 B 就是矩阵 A 的逆矩阵。

但并非所有矩阵都有逆矩阵,只有行列式不为 0 的矩阵才有逆矩阵。

四、矩阵在高考中的应用1、求解线性方程组通过将线性方程组写成矩阵形式,利用矩阵的运算和性质,可以更简便地求解方程组。

例如,对于方程组:2x + 3y = 84x y = 1可以写成矩阵形式:2 3; 4 -1 x; y = 8; 1然后通过求矩阵的逆或者其他方法来求解 x 和 y 的值。

矩阵论复习大纲

矩阵论复习大纲

第一章1 线性空间概念(封闭性)2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解(教材P3例8) 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换5 子空间、列空间、和空间概念,维数定理以及求法(例1);直和, 直和补空间6 内积空间概念,标准正交基及标准正交化过程7 线性变换概念、线性变换的矩阵(概念:教材P22定义1.13,性 质:教材P22定理1.13),计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵(例2, 3)8 不变子空间,正交变换,酉交变化例1 设112{,}W L αα=,212{,}W L ββ=,其中T )0121(1=α,T )1111(1-=α,T )1012(1-=β,T )7311(1-=β,求12W W +与12W W ⋂的维数,并求出12W W ⋂解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+()⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==711022-203-5-30121-17110301111121211,,,2121行变换ββααA B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000310040101-001000031007110121-1得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim (W 1+W 2)=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--⨯X ββαα.即0711*******121211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------X解得()(){}.4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321TTk W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即例2 设3R 上线性变换T 为,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++=求T 在基TT T)111(,)110(,)101(321-===ααα下的矩阵B.解 在自然基321,,e e e 下,线性变换T 的坐标关系式为:,10111012123213132321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵,101110121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-又从C e e e )()(321321=ααα 得过渡矩阵,111101112,1111101011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-C C所以.4212204511⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==-AC C B3.设3R 中,线性变换T 为:.3,2,1,==i T i i βα其,)1,1,1(,)1,1,2(,)1,0,1(321T T T ==-=ααα与.)1,2,1(,)0,1,1(,)1,1,0(321T T T =-==βββ求(1)T 在基321,,ααα下的矩阵。

高等工程数学讲义(矩阵理论部分)

高等工程数学讲义(矩阵理论部分)
求 L(1,2,3,4) 的基与维数。
解:以1,2,3,4 为列向量构造矩阵
1 −1 2 1
A
=
2 1
1 1
−1 0
−1 3
,
0
1
1
7
对 A 施行初等行变换化为行最简形矩阵(即厄米特阶梯形矩阵)
2
1 −1 2 1 1 −1 2 1
A
=
2
1
−1
−1


0
3

−3
1 1 0 3 0 2 −2 2
3
在引入矩阵加法和数乘运算后, M mn (F ) 构成数域 F 上的向量空间。
的线性关系。
1.2 矩阵运算及其性质
我们用 M mn (F ) 或 F mn 表示数域 F 上 m n 矩阵的全体,即
M mn (F ) = (aij )mn | aij F .
特别地用 M n (F ) 或 F nn 表示数域 F 上 n 阶方阵的全体。
定义 1.4 设 A = (aij )mn , B = (bij )mn , A 与 B 的和为
0
1
1
7
0
1
1
7
1 0 1 2 1 0 0 -1


0
1
0
4


0
1
0
4
=B.
0 0 1 3 0 0 1 3
0
0
0
0
0
00
0
由矩阵 B 可知,1,2,3 是 L(1,2,3,4) 的基,且生成子空间的维数为 3。
注释:在这里,需要利用以下结论
(1) 设 B = (1, 2, 3, 4), 则 1, 2, 3 是 B 的极大无关组,也是 B 的列空间的基。 (2) A 施行初等行变换化为行最简形矩阵 B ,则它们的列向量组对应具有完全相同

高等工程数学复习重点

高等工程数学复习重点

1.线性变换定义、例子、表示矩阵求法、作用
2.线性变换特征值、特征向量、定义、求法
3.范数定义、向量、矩阵常见范数、求范数
4.矩阵对角化——对角化方法与Jordan标准型的关系、矩阵Jordan标准型的求法
5.子空间定义、常见字空间的构造、直和子空间、分解为直和
6.矩阵的零空间、R n在零空间下的直和分解
7.矩阵的域空间
8.代数精度的定义
9.Newton-Cotes求积公式中节点的定义、性质、与代数精度的关系
10.Newton迭代法的构造及构造原理
11.牛顿插值的定义、差商的定义、性质
12.代数线性方程组的几何数值计算方法
13.主元的定义、类型、在算法中的作用
14.线性方程组中的迭代解法中有关收敛的结论
15.插值多项式构造方法——拉格朗日、牛顿、埃尔米特插值
16.插值余项的定义、构造
17.正态总体下抽样分布的结论
18.t-、x2-、F- 分布有关构造结论
19.单正态总体有关参考数区间估计的结论
20.距估计定义、求法
21.极大似然估计定义、求法、性质(微分法、定义法)
22.常见分布:(0-1)、β(n,p),P(λ),G(p),U(a,b),E(λ),N(µ,σ2)
23.X2-拟合优度检验
24.单因素方差分析、条件、结论、算法、方差分析表
25.回归分析定义、科学意义、条件(G-M条件)、最小二乘法算法、性质、一元线性回归
方程的求法、应用。

高等代数复习提纲(下期)

高等代数复习提纲(下期)

高等代数复习提纲(下期)第五章二次型5.1. 二次型及其矩阵表示5.1.1. 二次型的定义、二次型的矩阵(是对称矩阵)及矩阵表示.注: 二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比.5.1.2. 二次型的非退化线性替换的定义;经非退还线性替换后,新老两个二次型的矩阵的关系(会推导).5.1.3. 矩阵合同的定义.注: 为什么要引入该定义?5.2. 标准形5.2.1. 二次型的标准形的定义及存在性(不唯一),任一对称矩阵都与对角矩阵合同.5.2.2.配方法化二次型为标准形,合同变换法化对称矩阵为对角阵.5.3. 唯一性5.3.1.复二次型的规范形.5.3.2.实二次型的规范形,惯性定理说明实二次型的规范形的存在性和唯一性,实二次型的正惯性指数, 负惯性指数以及符号差的定义. 实二次型的规范形的一些应用(书上哪些习题可以用此来解答?).5.3.3.复对称矩阵和实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同?5.4. 正定二次型5.4.1.实二次型和实对称矩阵的分类:正定,半正定,负定,半负定,不定.5.4.2.正定矩阵的一些等价条件:(1) 正定矩阵的定义;(2) 合同于单位矩阵;(3) 所有顺序主子式大于0;(4) 所有特征值大于0.正定矩阵的一些必要但不充分条件: (1)|A|>0;(2)所有对角线上的元素都大于0;(3)所有主子式都大于0.注:这些等价、必要条件的推导.还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一结果来判定实对称矩阵的正定性.5.4.3.列举出一些半正定矩阵的等价条件和必要条件.第六章线性空间6.1. 集合映射单射、满射、双射的定义及证明;可逆映射的定义及等价条件(即双射).6.2. 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义,即非空集合,加法运算和数乘运算(封闭),8条运算规则.6.3. 维数、基与坐标6.3.1. 维数、基与坐标的定义(会求给定空间的维数、基以及给定向量在给定基下的坐标).6.3.2. 一些常见空间的基和维数,例如n P ,[]n P x ,s n P ?,n n P ?中全体对称(反对称/上三角形)矩阵形成的线性空间,L(V)等.6.4. 基变换与坐标变换不同基之间的过渡矩阵,一个向量在不同基下的坐标之间的关系(会推导).注: (1)要联系线性变换在某组基下的矩阵、一个向量在线性变换作用下的像的坐标;(2) P271的习题2.6.5. 线性子空间6.5.1. 线性子空间的定义及判定(如何判定?).6.5.2.生成子空间的定义、维数、基(如何求?).6.5.3.扩基定理.与第九章的扩充为正交基进行对比.书上哪些定理的证明和习题的证明用到扩基定理?6.6. 子空间的交与和6.6.1.交空间、和空间的定义以及这两子空间的元素的特征.6.6.2.会求两个生成子空间的交空间、和空间.6.6.3.维数公式(会证明)及其应用.6.7. 子空间的直和6.7.1.子空间的直和的定义(为什么要引入该定义?).6.7.2.两个子空间的和是直和的判别条件(列举出4个,并知道哪些是常用的).6.7.3.如何证明12V V V =⊕?6.7.4.多个子空间是直和的判别条件(列举出3个,并会证明).6.7.5. 余子空间的定义和构造.(余子空间是否唯一?与正交补进行比较)6.8. 线性空间的同构线性空间同构的定义,并会用该定义证明两线性空间同构,会构造V 与nP 之间的同构映射,知道两线性空间同构的等价条件为它们的维数相等..第七章线性变换7.1. 线性变换的定义线性变换的定义(熟记),列举出一些线性变换的简单性质并会证明.7.2. 线性变换的运算线性变换的加法、减法、数乘、乘法、逆、方幂的定义及运算规律;线性变换的多项式.注:与矩阵的相应运算进行比较.7.3. 线性变换的矩阵7.3.1. 任意n个向量可唯一确定一个线性变换(如何确定?见P283 定理1). 7.3.2. 线性变换在某组基下的矩阵的定义,线性变换与矩阵的对应关系:线性变换的和、差、数乘、乘积、逆对应矩阵的和、差、数乘、乘积、逆,单位变换、零变换分别对应单位矩阵和零矩阵(会用数学式子表示这种对应,会推导).7.3.3.向量ξ的坐标与Aξ的坐标之间的关系,同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(会推导).7.3.4.两个矩阵相似的定义(为什么引入该定义?),如何判别两个矩阵相似?7.4. 特征值与特征向量7.4.1.线性变换和矩阵的特征值和特征向量的定义(为什么要引入该定义?).如何求线性变换和矩阵的特征值和特征向量?线性变换和矩阵的特征值和特征向量之间的关系如何?(掌握求特征值和特征向量的步骤)7.4.2. 线性变换和矩阵的特征多项式的定义.相似矩阵有哪些相似不变量,例如:行列式、特征多项式、特征值、最小多项式、不变因子、行列式因子、初等因子等.7.4.3.哈密顿-凯莱定理及其应用(例如:P309定理12,P326习题3),矩阵的迹的定义,列举出一些矩阵迹的性质(例如:.迹是所有特征值的和;tr(AB)=tr(BA);2tr A tr AA≤).()(')7.5. 对角矩阵7.5.1.矩阵特征值特征向量的一些性质(不同特征值的特征向量线性无关;实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交;属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量)7.5.2.列举出矩阵可对角化的一些充要条件和一些充分条件.充要条件:(1)有n个线性无关的特征向量;(2)所有特征值的重数与其几何重数相等(特征值λ的几何重数指的是λ-=的基础解系所含解向量的个数);E A X()0(3)最小多项式没有重根;(4)初等因子都是1次因式.7.5.3.若矩阵可对角化,如何对角化?7.6. 线性变换的值域与核7.6.1.线性变换的值域和核的定义. 值域和核是子空间,它们中的元素有什么特征?7.6.2.值域如何用生成子空间来表示?值域的维数(线性变换的秩)与线性变换的矩阵的秩的关系如何?,值域的维数与核的维数(线性变换的零度)的和为多少?并会证明这两种关系.7.7. 不变子空间7.7.1.不变子空间的定义.线性变换在不变子空间上的限制成为该子空间上的一个线性变换,该限制与原变换之间的区别是什么?举出一些特殊的不变子空间.7.7.2.会用定义证明一个子空间是一个线性变换的不变子空间.7.7.3.不变子空间在矩阵A 相似于一个准对角矩阵方面的应用.7.8. 若尔当标准形介绍若尔当块、若尔当矩阵的定义,任何方阵都唯一存在若尔当标准形,即相似于一个若尔当矩阵.7.9. 最小多项式最小多项式的定义,性质,求法,与不变因子的关系,应用.第八章λ-矩阵8.1.矩阵A 的特征矩阵及其初等变换,数字矩阵相似的条件,A 的不变因子、行列式因子、初等因子、最小多项式的求法及其关系,以及若尔当标准形的求法.8.2.A 的有理标准形的求法.8.3.利用若尔当块、若尔当矩阵的性质以及A 相似于一个若尔当矩阵证明某些命题.第九章欧几里得空间9.1. 定义及基本性质9.1.1. 内积的定义及其简单性质,欧式空间的定义,向量的正交的定义,会求向量的内积、长度、夹角.9.1.2.柯西-布涅科夫斯基不等式、三角不等式,勾股定理(会推导).9.1.3.内积的矩阵表示(会推导)9.1.4.基在某内积下的度量矩阵的定义及其性质(正定),不同基在同一内积下的度量矩阵之间的关系(合同)(会推导).9.2. 标准正交基9.2.1.标准正交基的定义,如何判定一组基是标准正交基?标准正交基的度量矩阵,内积在标准正交基下的矩阵表示.9.2.2.正交向量组扩充为正交基(或单位正交向量组扩充为标准正交基)的应用(书上有哪些结论的证明和习题的证明用到了该性质?)9.2.3.掌握施密特正交化过程及相应的向量表示,即:1212(,,,)(,,,)n n T ηηηεεε=L L其中12,,,n εεεL 是任一组基,12,,,n ηηηL 是由12,,,n εεεL 经施密特正交化后得到的标准正交基,矩阵T 是一个对角线上元素都大于0的上三角形矩阵。

高等代数复习提纲

高等代数复习提纲

高等代数复习提纲一. 多项式1. 带余除法—->辗转相除法- 1uf vg +=的运用2. 不可约多项式,标准分解式,特别是实数域和复数域情形。

3. 根与标准分解式(复数域),重因式判定。

4. 有理根计算。

Eisenstein 判别法变形运用。

二. 行列式基本性质与算法, 行列式仅是后继高代内容的研究工具。

三. 线性方程组核心内容。

线性相关性判定及线性组合方式计算是两个核心概念。

1. 消元法:初等行变换是代数最基本方法。

2. 向量组线性相关性概念,秩的计算,矩阵非零r 级子式计算,极大无关组的求法。

3. 方程组三种等价形式的运用。

4. 线性方程组有解判别定理与向量组秩关系。

5. 解的结构与极大无关组。

四. 矩阵1. 矩阵乘积的秩。

2. 逆矩阵计算3. 初等变换与初等矩阵:左乘变行,右乘变列。

4. 分块的思想:与矩阵乘积,方程组关系等。

五. 二次型1. 二次型几何意义。

2. 二次型矩阵,标准型计算。

合同概念。

3. 规范形几何意义。

特别是实二次型。

4. 正定性的判定。

与向量内积关系等:例如: ()();T r A r A A =T A A 正定当且仅当0AX =只有零解,其中A 不必是方阵。

六 线性空间1. 线性空间定义。

2. 基(维数),坐标,同构.n V P ≅3. 向量组线性相关性判定⇔同构坐标向量组相关性⇔ 线性方程组。

4. 子空间的交与和基的计算,维数公式。

5. 直和:交为{0}.七.线性变换1. 线性变换矩阵表示:线性变换=矩阵(基固定),这一相等保持线性关系和乘积,从而一切关于线性变换问题完全等价于一个矩阵问题。

2. 基变换前后矩阵相似。

3. 特征值,特征向量的计算和性质。

注意特征向量和特征向量坐标的区别:首先计算的是特征向量坐标!4.可对角化判定。

值域与核的基的计算,“维数公式“。

八.λ矩阵1. 初等变换注意事项。

2. 标准型计算:简便算法。

3.行列式因子,不变因子,初等因子,Jordan块之间对应关系。

《高等工程数学(矩阵论)》复习提纲与习题选讲(PDF)

《高等工程数学(矩阵论)》复习提纲与习题选讲(PDF)

《矩阵论》复习提纲与习题选讲chapter1 线性空间和内积空间内容总结:z 线性空间的定义、基和维数;z 一个向量在一组基下的坐标;z 同一线性空间不同基之间的过度矩阵;z 线性子空间的定义与判断;z 子空间的交;z 内积的定义;z 内积空间的定义;z 向量的长度、距离和正交的概念;z Gram-Schmidt 标准正交化过程;z 标准正交基。

习题选讲:1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间(按通常多项式的加法和数与多项式的乘法)。

(1) 求的维数;并写出的一组基;3]x [R 3]x [R (2) 求在所取基下的坐标;221x x ++ (3) 写出(1)所取基到的另一组基的过渡矩阵;3]x [R 2)1(),1(,1−−x x (4) 在中定义3]x [R , ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明上述代数运算是内积;求出的一组标准正交基;3][x R (5)求与之间的距离。

221x x ++2x 2x 1+−二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法)。

(1) 求22R ×的维数,并写出其一组基;(2) 在(1)所取基下的坐标; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111(3) 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。

证明:W 是22R ×的子空间;并写出W 的维数和一组基;(4) 在W 中定义内积, )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基;(5)求与之间的距离; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 (6)设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。

矩阵论知识要点

矩阵论知识要点
阵 ATA = O .
证明 必要性显然,下面证明充分性.
设 A = ( aij )m n ,把 A 用列向量表示为
A ( a1 , a 2 , , a n ) ,
a1T a1Ta1 a1Ta2 a1Tan T T T T a2 a2 a1 a2 a2 a2 an T A A (a1, a2 ,, an ) , aT a T a aT a a T a n n n n 1 n 2
序言 • 矩阵论是一门经典的数学学科,也是一门繁 琐的、但有广泛应用价值的数学课程。 • 矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限 维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少 的工具。 • 尤其是计算机的普及,更为矩阵论的应用提 供了广阔的应用舞台,如系统工程、控制工 程、最优化方法、管理工程等。
问题一 线性方程组的求解
4) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 2n 1n
叫做方阵 A 的伴随矩阵.
An1 An 2 , Ann
伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
(1)
( A B) A B ;
H H H
(2) (A)
H
A ;
H
(3)
(4)
( AB) B A ;
H H H
(A ) A
H H
3)设 A (aij ) Cnn ,如果 AH A ,则称 是Hermite矩阵,如果 A 是反Hermite矩阵。
H
A
A ,则称 A
(iii) (A-1)-1 = A; (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 );

矩阵论复习资料

矩阵论复习资料

矩阵论复习纲要前两讲要求理解并掌握高等代数中的基本概念与理论,这些是矩阵论进一步研究必要的基础。

对应于教材第八章8.1—8.6的内容第一讲 线性空间一、线性空间的定义及性质1. 线性空间的定义与性质 ;2. 线性相关性:线性组合;线性表示;线性相关性;.线性空间的维数 二、线性空间的基与坐标1. 基的定义;2. 坐标的定义;3. 基变换与坐标变换 三、线性子空间的定义及其性质1. 线性子空间的定义 ;2. 线性子空间的性质 ;3. 生成子空间 ;4. 基扩定理 四、子空间的交与和1. 子空间的交与和定义,两子空间的交与和仍为子空间;2 维数公式;3.子空间的直和及直和充要条件第二讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算1. 线性变换的定义;2. 线性变换的性质3. 线性变换的运算:恒等变换; 变换的相等; 线性变换的和,数乘,负变换,乘积,逆变换,线性变换的多项式。

二、线性变换的矩阵表示1、线性变换的矩阵的定义与性质;2. 相似矩阵及其性质三、线性变换及矩阵的值域和核及其性质:()R T 、()N T ;()R A ;()N A 。

四、线性变换的不变子空间 1. 不变子空间的定义 ;2. 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. 习题要求:习题八P215 1—24题(选做)第三讲 矩阵的相似对角化与Jodan 标准形第三讲对应于教材第一章1.1-1.3的内容**一、矩阵的相似对角化1. 特征值与特征向量;特征多项式 **例1 已知122224242A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,求其特征值和特征向量。

(P1)2. 矩阵的迹与行列式与特征根的关系11nnii ii i trA a λ====∑∑;1d e t nii A λ==∏.3. 性质(1)若A 与B 相似,则detA= detB ,rank(A)=rank(B), tr(A)=tr(B), det(λI-A)= det(λI-B); (2)设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵,则()()tr A B tr B A =;**4. 矩阵对角化的条件引理 n 阶方阵A 的互不相同的特征根对应的特征向量线性无关。

工程数学方法的主要内容期末复习提纲

工程数学方法的主要内容期末复习提纲

工程数学方法的主要内容期末复习提纲一、工程数学的基本内容工程数学是指应用数学知识来处理实际问题的应用数学分支,是数学与工程技术紧密结合的科学学科。

主要包括代数、微分方程、解析几何、复变函数等数学方法在工程科学、气象科学、物理学、经济学、环境科学等各个领域的应用。

二、数学方法的应用1、代数的主要内容和应用代数是以操作算子来理解、表示和解决多项式和数学问题的统称。

它是工程数学中最基础的内容,应用于政治经济的数量分析、物理工程的物理现象的建模和气象预报等,并已经成为求解实际问题的必备技能。

2、微分方程内容和应用微分方程是求解变化不同程度的函数问题的最有效方法,它可以描述定义在一个或多个变量上的函数的局部变化规律。

它的应用非常广泛,可用于研究生物学、环境学、力学、气象学等各个学科。

3、解析几何及应用解析几何是以几何学的思维来探讨数学问题的一种方法,它是求解图形设计等直观问题的基础。

它可用于社会、科学、技术等各个工程领域,用来解决几何实质性问题,在工业设计、建筑设计和其他复杂系统设计中特别有用。

4、复变函数及应用复变函数是指在复数域中定义的函数,它与实变函数有着很大的不同。

它用于数字信号处理、通信工程、信息压缩、图像处理、电子器件等诸多工程领域,经常用来解决非实常变函数相关的问题。

三、数学方法期末复习提纲1、代数:多项式的求导、偏导数、极值点、空间矢量及其性质、系数矩阵的性质和计算、矩阵元的向量尺度及其变换、逆矩阵的求法、格林公式的应用等。

2、微分方程:常微分方程的求解方法,几何意义,它的特殊解的研究,椭圆型、双曲型和抛物型的性质、高阶常微分方程的求解及其应用、常微分方程的分离变量的求解法等。

3、解析几何:利用解。

高等工程数学讲义 华科 (矩阵论)

高等工程数学讲义 华科 (矩阵论)

矩阵论为何要学矩阵论?自然界和社会发展的本质——“变”(change )。

种子幼苗 树林 房梁、桌椅…… 婴儿小学生中学生硕士、博士……数学描述:f :x y=f(x):RxRy function推于T : )(αβαT =→: βαB B T −→− transformationB α,B β具有线性结构:ααααααB B 2121∈⇒∈,,, 变换具有线性性质:)()()(2121ααααT T T +=+,)()(ααkT k T =那么α可表为向量α=(x1,… xn )T ,T 可表为矩阵n m ij a A ⨯=)( ,αβA y T =⋯=)y (m 1因此要研究矩阵的性质。

(等于研究线性变换的性质) 如解线性方程组:Ax=b b A x 1-=⇒,1-A 存在?唯一? 正如二次型Ax x x x a x x f T ji j i ij n ==⋯∑,,),(1若有P 使∧=⋯=)(n 1λλ,,diag AP P T 则2n 211y )()(x n T T y Px Px Ax λλ+⋯+=∧= ~标准化其中T n y y Px y )(1,,⋯== 引出相似对角化问题。

2.方阵的相似化简2.1 Jordan 标准型2.1.1 矩阵的相似及对角化A 与B 有相同的特征多项式,因而有相同的特征值。

A 课相似对角化~)(~1n diag A λλ,,⋯ 定理1.5.6 A 可相似对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量。

事实上i i i x Ax λ= n i ,,⋯=1 取)x (1n x P ⋯= (可选)有P -1AP =)(1n diag λλ,,⋯ 为求特征值∑==-⋯⋯-⋯⋯-=-n n I A i ns nin m ,()(0))(||1s 1i 11λλλλλλλi λ的代数重数~i n为求特征向量解0)(=-x I A i λ有)(I A R n i λ--个线性无关的解i λ的几何重数~)(I A R n k i i λ--=定理2.1.1 对任何方阵A 的特征值i λ有i i n k ≤证明:t i t A αλα= t=1,…,i k 。

高等工程数学笔记修正版_V1.1

高等工程数学笔记修正版_V1.1
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高等工程数学笔记 V1.1
第一章 非线性方程的数值解法........................................................................ 76 一、迭代法.................................................................................................. 76 二、迭代法的收敛性.................................................................................. 76 三、迭代法几何解释.................................................................................. 79 四、迭代法的收敛阶.................................................................................. 80 五、Newton 迭代法.................................................................................... 81 第二章 线性方程组的数值解法........................................................................ 86 一、Gauss 消元法 ....................................................................................... 86 二、列主元素法(列选主元法).............................................................. 89 三、矩阵的三角分解及 Gauss 消元法的变形 .......................................... 89 四、线性方程组的迭代解法...................................................................... 91 五、迭代法的收敛性.................................................................................. 93 第三章 插值法.................................................................................................. 100 一、插值问题与插值法............................................................................ 100 二、Lagrange 插值 .................................................................................... 100 三、Newton 插值...................................................................................... 104 四、Hermite 插值 ..................................................................................... 108 第四章 数值积分.............................................................................................. 110 一、数值积分的基本思想与数值公式的代数精度................................ 110 二、Newton-Cotes 公式 ........................................................................... 113 三、复化求积公式.................................................................................... 115 第五章 微分方程数值解法.............................................................................. 120 一、Euler 型公式 ...................................................................................... 120 二、梯形公式与改进的 Euler 公式 ......................................................... 121 三、Runge-Kutta ....................................................................................... 122 版本历史.................................................................................................................... 123
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《矩阵论》复习提纲与习题选讲
chapter1 线性空间和内积空间
内容总结:
z 线性空间的定义、基和维数;
z 一个向量在一组基下的坐标;
z 同一线性空间不同基之间的过度矩阵;
z 线性子空间的定义与判断;
z 子空间的交;
z 内积的定义;
z 内积空间的定义;
z 向量的长度、距离和正交的概念;
z Gram-Schmidt 标准正交化过程;
z 标准正交基。

习题选讲:
1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间(按通常多项式的加法和数与多项式的乘法)。

(1) 求的维数;并写出的一组基;
3]x [R 3]x [R (2) 求在所取基下的坐标;
221x x ++ (3) 写出(1)所取基到的另一组基的过渡矩阵;
3]x [R 2)1(),1(,1−−x x (4) 在中定义
3]x [R , ∫−=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明上述代数运算是内积;求出的一组标准正交基;
3][x R (5)求与之间的距离。

221x x ++2x 2x 1+−
二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法)。

(1) 求22R ×的维数,并写出其一组基;
(2) 在(1)所取基下的坐标; ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−3111(3) 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间(按通常矩
阵的加法和数与矩阵的乘法)。

证明:W 是22R ×的子空间;并写出W 的维数和一组基;
(4) 在W 中定义内积
, )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈
求出W 的一组标准正交基;
(5)求与之间的距离; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−1221 (6)设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间(按通常矩
阵的加法和数与矩阵的乘法)。

证明:V 也是22R ×的子空间;并写出V 的维数和一组基;
(7)写出子空间的一组基和维数。

V W ∩
chapter2 线性映射与线性变换
内容总结:
线性映射在基对下的矩阵表示;
矩阵的典型关系:相抵(等价)、相似与相合;
线性变换在基下的矩阵表示;
线性变换在不同基下的矩阵之间的关系——相似;
矩阵的特征值的定义与计算;
习题选讲:
一、 设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间(按通常多项式的加法和数与多项式的乘法)。

(1) 求的维数,并写出的一组基;
3]x [R 3]x [R (2) 在(1)所取基下的坐标; 求与之
间的距离;
2x 2x 1++23x 2x 1++2x 2x 1+−(3)已知其另一组基为,
2)a x (,a x ,1−−(4)求由(1)总所取的基到这组基的过度矩阵;
(5) 在中定义内积
3]x [R , ∫−=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 求出的一组标准正交基;
3][x R (6) 在中定义线性变换3]x [R D :D ()=)(x f )(x f ′,
n x R x f ][)(∈ 求D 在(1)中所取基下的矩阵表示.
chapter3 λ矩阵与矩阵的Jordan 标准形 内容总结:
z λ矩阵的定义与运算;
z λ矩阵的smith 标准形、不变因子、行列式因子和初等因子; z 矩阵的相似的条件;
z 矩阵的Jordan 标准形;
一、(20分)设矩阵,
21012114134A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
(1)求A 的特征多项式和A 的全部特征值;
(2)求A 的行列式因子、不变因子和初等因子;
(3)写出A 的Jordan 标准形.
Chapter4 矩阵的因子分解
内容总结:
矩阵的满秩分解;
矩阵的三角分解;
了解矩阵的QR 分解;
了解矩阵的schur 定理和奇异值分解
习题选讲:
一、(1)已知 ,作出矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=621911432A A 的分解; LU (2)已知 ,作出矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=010*********A A 的满秩分解;
Chapter5 Hermite 矩阵与正定矩阵
Hermite 矩阵的定义和性质;
正定矩阵的定义、性质和判定定理;
矩阵不等式
习题选讲:
一、设,其中⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2i i i 2i
i i 2A 1i −=,证明: ; 0A >(1) 设,,问: ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201021113A ⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111112121B B A >吗? 说明理由; (3) 设均为阶Hermite 矩阵,且,,且B ,A n 0A >0B ≥BA AB =,
证明:;
0AB ≥(4) 设均为阶Hermite 矩阵,且,即B ,A n 0A >A 正定,
证明:AB 相似于实对角矩阵;
(5) 设均为阶Hermite 矩阵,,且;
B ,A n 0A >0AB >证明:;
0B > (6) 证明:若则;
,0A >,0A 1>−
Chapter6 范数与极限
向量范数
矩阵范数—1、2、∞、F 范数的定义与计算;
范数等价性—范数不等式
习题选讲:
(1)设,求⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=230321012A F A A A A ,,,21∞; (2) 设是可逆矩阵,n n C A ×∈*是满足1I =的相容矩阵范数, 证明:11A A −−≥ ;
(3) 设,证明: n m C A ×∈22)(A A rank A
A F ≤≤;
Chapter8 广义逆矩阵
广义逆矩阵的定义
广义逆矩阵+A 的定义、性质、计算
利用广义逆矩阵+A 判断线性方程组的相容性,并表示通解形式 习题选讲:
(1)叙述广义逆矩阵+A 的定义;
(2)设; 作出A 的满秩分解,并计算⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=120111200321A +A ;
(3)利用(2)中广义逆矩阵判断如下线性方程组
T ]3,3,6[Ax =
是否相容?若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。

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